专题04 几何初步与三角形（10题型）（山东专用）-【好题汇编】2025年中考数学二模试题分类汇编

专题04 几何初步与三角形 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 三角形的有关概念和性质 题型04 三角形的有关线段 题型05 直角三角形 题型06 等腰与等边三角形 题型07 全等三角形的性质与判定 题型08 相似三角形的性质与判定 题型09 解直角三角形 题型10 解直角三角形的应用 01几何图形初步 1．（2025·山东济宁·二模）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（2025·山东聊城·二模）如图，直线，它们之间的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长 D．线段的长度 3．（2025·山东临沂·二模）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 02相交线与平行线 4．（2025·山东潍坊·二模）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·山东滨州·二模）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东东营·二模）如图，直线，，，那么的度数是（  ） A． B． C． D． 8．（2025·山东济南·二模）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 °． 9．（2025·山东德州·二模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东济南·二模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则（   ） A． B． C． D． 11．（2025·山东菏泽·二模）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（ ）． A．75° B．90° C．100° D．105° 03三角形的有关概念及性质 12．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 13．（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 14．（2025·山东威海·二模）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 15．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 16．（2025·山东青岛·二模）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．    17．（2025·山东日照·二模）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 04三角形的有关线段 18．（2025·山东烟台·二模）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 19．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 20．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 21．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．5 05直角三角形 22．（2025·山东枣庄·二模）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 ． 23．（2025·山东临沂·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）    A．3 B．2 C． D．1 24．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为 ． 25．（2025·山东潍坊·二模）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 26．（2025·山东聊城·二模）在尺规作图专题课上，老师让同桌各设置一个问题考考对方： (1)如图1，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，求的值． (2)如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与相交于点，求的长． 06等腰与等边三角形 27．（2025·山东潍坊·二模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能确保是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·山东济南·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 29．（2025·山东青岛·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    30．（2025·山东聊城·二模）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为 ． 31．（2025·山东聊城·二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为 ． 07全等三角形的性质及判定 32．（2025·山东淄博·二模）下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 33．（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 34．（2025·山东淄博·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 35．（2025·山东济宁·二模）如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使． 36．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 37．（2025·山东德州·二模）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 38．（2025·山东烟台·二模）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 39．（2025·山东淄博·二模）如图，点，，，在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 08相似三角形的性质及判定 八、相似三角形的性质及判定 40．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 41．（2025·山东菏泽·二模）如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 42．（2025·山东日照·二模）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 43．（2025·山东潍坊·二模）如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理． 根据共边定理和所学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形中，，则等于 ． 44．（2025·山东泰安·二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是 . 45．（2025·山东滨州·二模）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点” (1)如图（1）．在中．若，于点．试说明：点是点的“关联点”； (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”． 46．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 47．（2025·山东泰安·二模）综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”    任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线．    任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线．    任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 09解直角三角形 48．（2025·山东青岛·二模）下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 49．（2025·山东临沂·二模）2024年我国粮食产量突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米．①用计算器求输送带部分与地面的夹角，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了6米；③坡角为；④；以上说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 50．（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 51．（2025·山东青岛·二模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 52．（2025·山东威海·二模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 53．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 10解直角三角形的实际问题 54．（2025·山东临沂·二模）如表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（   ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米， A． B． C． D． 55．（2025·山东威海·二模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米（用含、、的式子表示）． 56．（2025·山东德州·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 57．（2025·山东泰安·二模）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． (1)求立管的长； (2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 58．（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 59．（2025·山东德州·二模）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 1．（2025·山东青岛·二模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山东日照·二模）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山东德州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 4．（2025·山东济南·二模）如图，在△ABC中，∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是 度． 5．（2025·山东菏泽·二模）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 6．（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 7．（2025·山东东营·二模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ． 8．（2025·山东威海·二模）如图，点在内，，，若，则的长度为 ． 9．（2025·山东泰安·二模）如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为 ． 10．（2025·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 11．（2025·山东烟台·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．则的面积最大值为 ． 13．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 14．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，已知中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，． (1)填空：①_____； (2)探索，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，试求四边形的面积． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 几何初步与三角形 题型概览 题型01 几何图形初步 题型02 相交线与平行线 题型03 三角形的有关概念和性质 题型04 三角形的有关线段 题型05 直角三角形 题型06 等腰与等边三角形 题型07 全等三角形的性质与判定 题型08 相似三角形的性质与判定 题型09 解直角三角形 题型10 解直角三角形的应用 01几何图形初步 1．（2025·山东济宁·二模）如图，推动水桶，以点O为支点，使其向右倾斜．若在点A处分别施加推力、，则的力臂大于的力臂．这一判断过程体现的数学依据是（    ） A．垂线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【知识点】两点确定一条直线、垂线段最短、垂线的定义理解、平行公理的应用 【分析】本题考查了力臂，平行公理，垂直的性质，直线特点，垂线段最短，根据图形分析得到过点有，进而利用垂线段最短得到即可解题． 【详解】解：过点有， ， 即得到的力臂大于的力臂， 其体现的数学依据是垂线段最短， 故选：A． 2．（2025·山东聊城·二模）如图，直线，它们之间的距离是（   ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长 D．线段的长度 【答案】B 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据平行线间的距离的定义判断即可． 【详解】解：平行线间的距离是指平行线上任意一点与另一条平行线的垂线段的长度． 观察图形可得为直线之间的垂线段． 故选：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，熟练掌握定义，并结合图形准确判断是解题的关键． 3．（2025·山东临沂·二模）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B不符合题意； C、和是内错角，故C不符合题意； D、和是同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 02相交线与平行线 4．（2025·山东潍坊·二模）如图，直线、相交于点，．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查的是对顶角相等，邻补角的性质，角的和差运算，掌握“对顶角与邻补角的含义”是解本题的关键． 根据对顶角得出，然后结合图形求解即可 再利用角平分线的定义求解 再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 5．（2025·山东滨州·二模）利用下列尺规作图中，不一定能判定直线平行于直线的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同旁内角互补两直线平行、内错角相等两直线平行、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图，平行线的判定．根据作图痕迹，结合平行线的判定方法逐项分析即可． 【详解】解：A、根据同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； C、根据同旁内角相等，不能判定直线平行于直线，故符合题意； D、根据对顶角相等和同位角相等，两直线平行，可判定直线平行于直线，故不符合题意； 故选：C． 6．（2025·山东淄博·二模）如图，，点在上，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线性质． 利用平行线性质求的度数，计算的度数，利用平行线性质求的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 已知， ， ，， ∵， ∴． 故答案为：C． 7．（2025·山东东营·二模）如图，直线，，，那么的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，利用平行线的性质求出的度数，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 8．（2025·山东济南·二模）光线照射到平面镜，镜面会产生反射现象，物理学中，我们知道反射光线与法线的夹角等于入射光线与法线的夹角（垂直于平面镜的直线叫法线）．如图一个平面镜斜着放在水平面上，形成形状，，在上有一点，从点射出一束光线（入射光线），经平面镜点处反射光线刚好与平行，则的度数为 °． 【答案】76 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线性质的应用，由，可得，，由反射的性质可得，由此可解． 【详解】解：， ， 由题意知，， ， ， ， ， 故答案为：76． 9．（2025·山东德州·二模）一把直尺和一个含角的直角三角板按如图所示的方式放置，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，与三角板有关的计算，掌握平行线的性质，是解题的关键．根据题意得，结合计算即可． 【详解】解：∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 10．（2025·山东济南·二模）如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线a上，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，根据“两直线平行，同旁内角互补”即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 又，， ∴， 故选：C． 11．（2025·山东菏泽·二模）把一副三角尺放在同一水平桌面上，如果它们的两个直角顶点重合，两条斜边平行（如图所示），那么的度数是（ ）． A．75° B．90° C．100° D．105° 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】通过在∠1的顶点作斜边的平行线可得∠1=105°． 【详解】如图：过∠1的顶点作斜边的平行线， 利用平行线的性质可得，∠1=60°+45°=105°． 故选D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，利用了转化的数学思想． 03三角形的有关概念及性质 12．（2025·山东淄博·二模）下列长度的三条线段，能组成钝角三角形的是（   ） A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7 【答案】C 【知识点】构成三角形的条件、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理． 利用勾股定理的逆定理逐项进行判断即可． 【详解】解：， 可构成直角三角形，且斜边为5，故选项B不符合题意； ∵，且， ∴可构成钝角三角形，故选项C符合题意； ∵，故选项D不能构成三角形，不符合题意； ∵，故选项A不符合题意； 故选：C． 13．（2025·山东滨州·二模）老师在讲“三角形的边”一节时，让每一位同学带来一根长的细铁丝，课堂上进行实验操作，具体操作如下：在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形. （1）量出； （2）在点右侧取一点，使点满足； （3）将向右翻折，向左翻折. 若要使、两点能在点处重合，则长可能为（  ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【知识点】求不等式组的解集、三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查三角形的三边关系．根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， 将向右翻折，向左翻折， ， 符合三角形三边关系， ， 即， 解得， 解得， 观察四个选项，选项A符合题意， 故选：A． 14．（2025·山东威海·二模）如图，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】此题考查了平行线的性质、三角形外角的性质等知识，根据平行线的性质得到再由三角形外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴, 故选：C 15．（2025·山东滨州·二模）图1是实验室利用过滤法除杂的装置图，图2是其简化示意图，在图2中，若， ，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据平行线的性质得到，，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 16．（2025·山东青岛·二模）一副三角板按如图所示放置，点A在上，点F在上，若，则 ．    【答案】/100度 【知识点】三角板中角度计算问题 【分析】根据直角三角板的性质，得到，，结合得到，利用平角的定义计算即可． 【详解】解：如图，根据直角三角板的性质，得到，， ∵， ∴， ．    故答案为：． 【点睛】本题考查了三角板的性质，直角三角形的性质，平角的定义，熟练掌握三角板的性质，直角三角形的性质是解题的关键． 17．（2025·山东日照·二模）如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】与平行线有关的三角形内角和问题 【分析】延长交于点，根据，利用三角形和为，求得，再根据，可得出，再根据求得． 【详解】解：如图，延长交于点，   ，， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，作出辅助线是解决本题的关键． 04三角形的有关线段 18．（2025·山东烟台·二模）如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线，直线与相交于点D，连接，若，，则的长为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了尺规作图、线段垂直平分线的性质，勾股定理．根据题意可知：是线段的垂直平分线，所以，再判断出，于是，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设与的交点为，    由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ， ∴． ， 故选C． 19．（2025·山东青岛·二模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了基本作图——作角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键． 当时，最短，由作图可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解． 【详解】如图，由角平分线的作法可知，是的角平分线， ∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 20．（2025·山东菏泽·二模）如图，在中，，平分，交于点D，则点D到的距离为（　　）    A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】解直角三角形的相关计算、角平分线的性质定理、三角形内角和定理的应用 【分析】本题主要考查了解直角三角形，角平分线的性质与定义，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再解直角三角形求出，据此由角平分线的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴在中，， ∵平分，， ∴， ∴点D到的距离为， 故选：B．    21．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，画射线交于点D，于点E，则的长为（   ） A． B． C． D．5 【答案】C 【知识点】利用二次根式的性质化简、角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，根据作图可判断出平分，根据角平分线性质得到，从而判断出，得到，利用勾股定理得到，再进一步利用勾股定理求出最后结果即可． 【详解】解：由作图可得，平分， ， ， ， ， ， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ． 故选：C． 05直角三角形 22．（2025·山东枣庄·二模）如图，在中，，点在线段上，且，若，，则的面积是 ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 过点作于，设，则，利用列出等式解答即可． 【详解】解：过点作于， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 设，则， ， ， ， 解得：（舍去）或， 经检验是原分式方程的解， ， 故答案为：． 23．（2025·山东临沂·二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F，若∠F=30°，DE=1，则EF的长是（ ）    A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形 【详解】连接AF，    ∵DF是AB的垂直平分线，∴AF=BF． ∵FD⊥AB，∴∠AFD=∠BFD=30°，∠B=∠FAB=90°﹣30°=60°． ∵∠ACB=90°，∴∠BAC=30°，∠FAC=60°﹣30°=30°． ∵DE=1，∴AE=2DE=2． ∵∠FAE=∠AFD=30°，∴EF=AE=2．故选B． 24．（2025·山东淄博·二模）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、折叠问题、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查的是翻折的性质、含的直角三角形的性质，解直角三角形，先根据正切求出长，然后根据的直角三角形的性质求出长，再证明是等腰直角三角形解答即可． 【详解】解：，， ∴，， ∵边沿翻折，使点落在上的点处， ∴， ， 由折叠可得：且 且 ， ， 故答案为：． 25．（2025·山东潍坊·二模）如图，为等腰直角三角形，，是上一点，交直线于点，且，，点为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质．过点作交延长线于，可得是等腰直角三角形，即得，设，则，利用勾股定理可得，即得，进而得到，最后根据直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点作交延长线于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 由勾股定理得，，， ， ∴， 整理得， 解得，（不合，舍去）， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 26．（2025·山东聊城·二模）在尺规作图专题课上，老师让同桌各设置一个问题考考对方： (1)如图1，在中，，，以点为圆心，以的长为半径画弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，交于点，连接，求的值． (2)如图，在中，，分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线，与相交于点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了基本作图，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握基本作图是解题的关键； （1）根据作图可得平分，先根据角的直角三角形的性质得到，证明，再根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． （2）根据作图可得是的垂直平分线，则，勾股定理求得的长，设，则，在中，勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， 由题意得：，平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， 在中，， ∴， 根据作图可得是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 【点睛】本题考查作图—基本作图，直角三角形两锐角互余，角的直角三角形，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等底同高的三角形面积相等．掌握基本作图及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 06等腰与等边三角形 27．（2025·山东潍坊·二模）四边形是平行四边形，下列尺规作图不能确保是等腰三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质及其尺规作图，角平分线的定义及其尺规作图，平行四边形的性质，根据作图方法可得，据此可判断A；根据作图方法可得点E在线段的垂直平分线，故，据此可判断B；根据作图痕迹可知，为的角平分线，则可证明得到，据此可判断C；D作图无法证明为等腰三角形，据此可判断D． 【详解】解：A．根据作图痕迹可知，点，在以为圆心，的长为半径的圆上，故，即为等腰三角形，A不符合题意； B．根据作图痕迹可知，点E在线段的垂直平分线，故，即为等腰三角形，B不符合题意； C．根据作图痕迹可知，为的角平分线，故， 根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，即， 故，即为等腰三角形，D不符合题意；    D．该作图无法证明为等腰三角形，D符合题意． 故选：D． 28．（2025·山东济南·二模）如图，在中，，，，点D为边上一点，且，以点D为圆心，以为半径作弧，交于点E，连接，再分别以B、E为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点M、N，作直线交于点F，则的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【知识点】作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查尺规作图——作线段，作垂直平分线，解直角三角形，等腰三角形的性质． 由作图可知，是的垂直平分线，在中，解直角三角形得到，，．过点D作于点H，设与的交点为G，在中，，由等腰三角形的性质得到，从而，在中，解直角三角形即可． 【详解】解：由作图可知，是的垂直平分线， ∵，，， ∴在中，， ， ． 过点D作于点H，设与的交点为G， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∵， ∴在中，． 故选：C 29．（2025·山东青岛·二模）如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为    【答案】4 【知识点】根据等角对等边证明等腰三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 30．（2025·山东聊城·二模）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，已知．点，对应的刻度分别为，，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵直尺的两边平行， ∴， ∵含角的直角三角尺， ∴， ∴是等边三角形， ∵点，表示的刻度分别为， ∴， ∴ ∴线段的长为 故答案为：． 31．（2025·山东聊城·二模）如图，将绕点A逆时针旋转得到，点B，C的对应点分别为点D，E，点D恰好落在线段上．若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．由旋转得，，，，求出，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴， ∴ 故答案为：． 07全等三角形的性质及判定 32．（2025·山东淄博·二模）下面是定理：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的证明过程，需要补充符号处要填写的内容，则下列答案错误的是（   ） 已知：如图，是的平分线，点在上，，垂足分别为、． 求证：． 证明：∵是的平分线， ∴（①） ∵， ∴， ∵ ∴（③）， ∴（④） A．①处应填写“角平分线的定义” B．②处应填写“” C．③处应填写“ASA” D．④处应填写“全等三角形对应边相等” 【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质；掌握（AAS）的判定条件是解题关键． 根据全等三角形的判定：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）；即可解答； 【详解】证明：∵是的平分线， ∴（角平分线的定义） ∵， ∴， ∵ ∴， ∴（全等三角形对应边相等） 原证明过程中③处填写错误， 故选：C． 33．（2025·山东聊城·二模）在中，作的平分线交于点D，作的垂直平分线分别交于点E，交于点F，连接，，得到四边形．若，则四边形的周长为（    ） A．16 B． C． D． 【答案】A 【知识点】线段垂直平分线的性质、角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查角平分线、垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质；解题关键是利用上述性质得出线段相等关系，进而求出四边形的周长． 先利用角平分线性质得，再由垂直平分线性质推出， ，通过证明得到，最后根据的值求出四边形各边长度，进而算出周长． 【详解】解：设与交点为 ∵平分， ∴． ∵是的垂直平分线， ∴， ，且． 在和中， ， ． ∴． ∵， ∴ ． ∴四边形的周长为． 故选：A． 34．（2025·山东淄博·二模）如图，中，，将绕点顺时针旋转60°得到，点，的对应点分别为，，延长交于点，下列结论中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等三角形的性质、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 【详解】解：设和交于点H， 绕点顺时针旋转得到， ， ， ，故D选项正确，不符合题意； ， ， 故A选项正确，不符合题意； 仅根据已知条件，，无法得出相等，也就无法证明， 故B选项不一定正确，符合题意； 根据旋转的性质，旋转前后的对应边相等，绕点旋转得到， ， 故C选项正确，不符合题意． 故选：B． 35．（2025·山东济宁·二模）如图，为中边上一点，，，请你补充一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】两直线平行内错角相等、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）、等边对等角 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和平行线的性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据已知条件，，可得，再添加，可以判定两三角形全等． 【详解】解：欲证，已有条件：， ， ， ， ， 所以补充便可以根据证明． 故答案为：（答案不唯一）． 36．（2025·山东聊城·二模）如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析 (2)见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 37．（2025·山东德州·二模）如图，已知AB=AC，AD=AE，BD和CE相交于点O． （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）判断△BOC的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）等腰三角形，理由见解析． 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）由“SAS”可证△ABD≌△ACE； （2）由全等三角形的性质可得∠ABD=∠ACE，由等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB，可求∠OBC=∠OCB，可得BO=CO，即可得结论． 【详解】证明：（1）∵AB=AC，∠BAD=∠CAE，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）△BOC是等腰三角形， 理由如下： ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABC﹣∠ABD=∠ACB﹣∠ACE， ∴∠OBC=∠OCB， ∴BO=CO， ∴△BOC是等腰三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟记相关定理是解题关键． 38．（2025·山东烟台·二模）如图，点、、、在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SSS综合（SSS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，即可证明； （2）由（1）知，得到，继而得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ； （2）解：由（1）知， ， ． 39．（2025·山东淄博·二模）如图，点，，，在直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，三角形外角的性质，平行线的性质，证明是解题的关键． （1）根据平行线的性质得，，结合，利用证明，即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质以及三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ，即； （2）解：，， ， ， ． 08相似三角形的性质及判定 八、相似三角形的性质及判定 40．（2025·山东临沂·二模）如图，点B，C，D，E处的读数分别为15，12，0，1，若直尺宽，则的长为（   ） A．1.5 B．1 C．0.5 D． 【答案】A 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值、相似三角形实际应用 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 证明，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，解得， ∴ 故选：A． 41．（2025·山东菏泽·二模）如图，边长为10的等边，点D在边上，且，将含角的直角三角板（）绕直角顶点D旋转，分别交边于P、Q，连接，当时，的长为（   ） A．2 B．1 C． D．3 【答案】A 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，证明是解题的关键． 根据以及直角三角形的性质可得，，然后结合等边三角形的性质可得，可证，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴． 故选：A 42．（2025·山东日照·二模）露营越来越受大众喜爱．如图是一个帐篷的示意图，其高，某时刻帐篷顶端E在阳光下的影子为点F，，交于点G，，在同一时刻，附近一根长为的标杆在地面的影长为，则为 ． 【答案】3 【知识点】相似三角形实际应用、平行投影、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查相似三角形的应用，平行投影．关键是掌握相似三角形的对应边成比例． 相似三角形的对应边成比例得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：由题意得：， ， ， （m）． 故答案为：3． 43．（2025·山东潍坊·二模）如图1，与有一条公共边，则与叫做共边三角形．与交于点E，则与的面积之比为，这个性质叫共边定理． 根据共边定理和所学知识，解决下面的问题：如图2，在四边形中，，则等于 ． 【答案】3 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，连接交于O，可证明得到，再有共边定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接交于O， ∵， ∴， ∴ 由共边定理可得， 故答案为：． 44．（2025·山东泰安·二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝2，则四边形MABN的面积是 . 【答案】18 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】 如图，连接CD，与MN交于点E，根据折叠的性质可知CD⊥MN，CE=DE.再根据相似三角形的判定可知△MNC∽△ABC,再根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方.由图可知四边形ABNM的面积等于△ABC的面积减去△MNC的面积. 【详解】解:连接CD，交MN于点E. ∵△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在边AB上的点D处， ∴CD⊥MN，CE=DE. ∵MN∥AB， ∴△MNC∽△ABC, CD⊥AB， ∴===4. ∵=MCCN=62=6, ∴=24, ∴四边形ACNM=-             =24-6             =18 故答案是18. 【点睛】本题考查了折叠的性质、相似三角形的性质和判定，根据题意正确作出辅助线是解题的关键. 45．（2025·山东滨州·二模）在中，点在边上，若，则称点是点的“关联点” (1)如图（1）．在中．若，于点．试说明：点是点的“关联点”； (2)如图（2），已知点在线段上，用无刻度的直尺和圆规作一个，使点为点的“关联点”． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、画圆(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了尺规作图，圆周角定理、相似三角形的判定和性质等内容． （1）证，根据“关联点”的定义即可得结论； （2）①作线段的垂直平分线，交于点；②以为圆心，为半径作圆；③过作交于点，连接、，可得是直角三角形，由此即可解题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D是点C的“关联点”． （2）解：如图，即为所求， ． 46．（2025·山东济宁·二模）【实践课题】测量河对岸两棵树之间的距离． 【实践工具】皮尺、测角仪、标杆等． 【实践活动】研学游期间，甲同学在拍照时，发现河对岸有A，B两棵树（与河岸平行），于是他提出，在不过河的前提下，如何测量河对岸的树A与树B之间的距离呢？乙同学观察地形，制订了测量方案：如图1，在河岸一侧确定两个点C，D，使与河岸平行，且，经测量，，． 【问题解决】（1）请根据乙同学的方案，计算出A，B两棵树之间的距离．（结果精确到整数，参考数据：，，） 【交流讨论】丙同学给出了另一种方案，如图2，在河岸一侧确定两点C，D，使与河岸平行，且，测量出，，，即可计算出的长度． （2）丙同学需要利用的__________值（填“正弦”，“余弦”或“正切”），先求出长为__________m（用三角函数表示），由和的长度，再利用__________三角形（填“全等”或“相似”）就可以得到的长度． 【答案】（1）；（2）余弦，，相似 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）、相似三角形的判定与性质综合、根据矩形的性质与判定求线段长、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）作，根据等腰直角三角形的性质可得，再说明四边形为矩形，可得，，进而得出，然后根据，结合得出答案； （2）先根据余弦求出，进而求出，再说明，可得答案． 【详解】解：（1）过点作于点． ∵与河岸平行，与河岸平行， ∴， ∵ ∴， ∴四边形为矩形， ，， ∵， ∴， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：树与树之间的距离约为； （2）在中，， ， ， ， ， ， ， 即． 故答案为：余弦，，相似． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，矩形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 47．（2025·山东泰安·二模）综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．”    任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线．    任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线．    任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】任务1：；全等三角形的对应角相等；任务2：见解析；任务3：或2 【知识点】作角平分线(尺规作图)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 任务1：由尺规作图作交角平分线的依据即可求解； 任务2：过点作，交于，可证得，可知，进而得，则，可知，即可证明结论； 任务3：如图，过点作，则，，再结合角平分线可证，根据平行可证明，得，进而可知，当平分且将分成面积比为的两部分时，或2，即可求得或2． 【详解】解：任务1：思路：由作图可知，，，， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线． 任务2：过点作，交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴是的平分线． 任务3：如图，过点作，则，， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， 当平分且将分成面积比为的两部分时，或2， ∴或2． 09解直角三角形 48．（2025·山东青岛·二模）下列说法中，正确的是（　　） A．在Rt△ABC中，锐角A的两边都扩大5倍，则cosA也扩大5倍 B．若45°＜α＜90°，则sinα＞1 C．cos30°+cos45°＝cos（30°+45°） D．若α为锐角，tanα＝，则sinα＝ 【答案】D 【知识点】三角函数综合 【分析】根据三角函数的定义利用排除法求解． 【详解】A、在中，锐角A的两边都扩大5倍，但它们的比值不变，所以值不变，故本选项错误； B、，则，故本选项错误； C、三角函数的度数不能直接相加，故本选项错误； D、根据设两直角边为、，根据勾股定理得斜边为 ，所以，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查同角三角函数的关系，锐角三角函数的增减性，解题关键在于对三角函数定义以及概念的把握. 49．（2025·山东临沂·二模）2024年我国粮食产量突破1.4万亿斤，秋粮收购点全面开放收粮，某收购点用输送带把粮袋从地面输送到高处，若输送带的坡度，输送带的长度米．①用计算器求输送带部分与地面的夹角，按键顺序为：；②一袋粮食从底部输送到顶部，升高了6米；③坡角为；④；以上说法正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查科学计算器，解直角三角形的应用；根据科学计算器按键顺序和解直角三角形的应用等知识点逐项判断解答即可． 【详解】解：①缺步骤，最后应加步骤“”，故①错误； ②∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴米，故②正确； ③坡角为，故③错误； ④由②知，故④错误； 综上所述，正确的个数是1； 故选：A． 50．（2025·山东济宁·二模）在如图所示的小正方形网格中，A，B，C，D均为小正方形的顶点，线段和相交于点O，则的值为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】求角的正弦值、勾股定理与网格问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了解直角三角形，灵活运用网格特点和证明是解决问题的关键． 连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ，则利用正方形的性质得到，则，再根据正切的定义，在中可计算出，在中可计算出，所以，然后利用三角形外角性质和角的代换可证明，所以． 【详解】解：连结、，取格点，如图，设小正方形的边长为 1 ， 则， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 故选：B． 51．（2025·山东青岛·二模）如图1，将正方形纸片对折，使与重合，折痕为．如图2，展开后再折叠一次，使点与点重合，折痕为，点的对应点为点，交于点，则 ． 【答案】/0.6 【知识点】用勾股定理解三角形、正方形折叠问题、求角的正弦值 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，勾股定理，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．由折叠可得：，，，设正方形的边长为，，则，，在中，由勾股定理得：，即，推出，得到，证明，即可求解． 【详解】解：由折叠可得：，，， 设正方形的边长为，，则，， 在中，由勾股定理得：，即， ， ， ，， ，， ， ， 故答案为：． 52．（2025·山东威海·二模）如图，在中，D为中点，延长至点E，使，延长至点F，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】证明四边形是平行四边形、与三角形中位线有关的证明、解直角三角形的相关计算 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质，中位线的性质，解直角三角形． （1）证明是的中位线，得，，再由得，即可得，即可得出结论； （2）根据角平分线定义求出，由平行四边形的性质得，即可得，，，根据等腰三角形的性质求出，再根据正切定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵延长至点E，使， 为中点， 为中点， ∴是的中位线， ，， ∵延长至点F，使， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：平分， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，． 53．（2025·山东聊城·二模）如图，在中，是边中线．延长至点B，作的角平分线，过点C作于点F． （1）求证：四边形是矩形； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1）详见解析；（2）10． 【知识点】根据三线合一证明、根据矩形的性质求线段长、证明四边形是矩形、已知余弦求边长 【分析】（1）先根据等腰三角形的三线合一得出，平分，再根据角平分线的定义可得，从而可得，然后根据垂直的定义可得，最后根据矩形的判定即可得证； （2）如图（见解析），连接DF，先根据矩形的性质得出，再在中，利用余弦值、勾股定理可求出OA的长，从而可得OC的长，由此即可得出答案． 【详解】（1）∵在中，，是边中线 ∴，平分（等腰三角形的三线合一） ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四边形是矩形； （2）如图，连接DF 由（1）知，四边形是矩形 ，即 是直角三角形 在中， 设，则 由勾股定理得： 解得 又 ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、余弦三角函数值等知识点，较难的是题（2），利用余弦三角函数值和勾股定理求出OA的长是解题关键． 10解直角三角形的实际问题 54．（2025·山东临沂·二模）如表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：设树顶到地面的高度米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（   ） 题目 测量树顶到地面的距离 测量目标示意图 相关数据 米， A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，先表示出，，再根据即可列等式，问题随之得解． 【详解】解：在中，， 即， 在中，， 即， ∵米，，， ∴， 即：， 则有：， 故选：B． 55．（2025·山东威海·二模）如图，平地上一幢建筑物与铁塔相距米，在建筑物的顶部观测塔顶的仰角为，塔底的俯角为，则铁塔的高度为 米（用含、、的式子表示）． 【答案】 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形，过点作，可知四边形是矩形，根据矩形的性质可知，利用锐角三角函数可得：，，从而可求出，即为铁塔的高度． 【详解】解：如下图所示，过点作， 则有， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为： ． 56．（2025·山东德州·二模）项目式学习 目的 探究遮阳篷的影子长度 素材1 图1是一款固定在墙上的遮阳篷，篷面可伸缩，还可以绕固定在墙上的轴旋转．在遮阳篷下，离墙米处有一盆铁树盆景． 图2是遮阳篷侧面示意图．表示墙面，表示篷面，可以绕点A旋转，其中米．为了获得更好的遮阳效果，将篷面延伸至最长，此时米． 素材2 此地某天上午不同时间的太阳高度角（即太阳光线与地面的夹角，如图2中的）的数据表： 时刻 8:00 9:00 10:00 11:00 12:00 太阳高度角（度） 观察·思考 在这天10:00时，将篷面与墙面的夹角调整为． 任务1：求点D到墙的距离； 任务2：铁树能否会被太阳光照射到？ 探究·发现 调节篷面伸缩的长度或篷面与墙面的夹角，可以改变篷面在地面的影长l． 解答问题（，结果精确到米） （1）完成任务1，要有必要的解答过程． （2）完成任务2，要有必要的解答过程． （3）直接写出这天10:00时，l的最大值以及相应的的度数． 【答案】（1）点D到墙的距离约为米；（2）铁树能被太阳光照射到；（3）l的最大值为米，此时的度数． 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）作于点，证明，利用勾股定理求解即可； （2）作于点，证明四边形为矩形，求得，，再根据正切函数的定义求得，据此求解即可； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点，利用四边形内角和定理求得，再解直角三角形即可得解． 【详解】解：（1）作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）， 即点D到墙的距离约为米； （2）作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， ∴米， ∵， ∴铁树能被太阳光照射到； （3）如图，当垂直太阳光线时，篷面在地面的影长l最大．即太阳光线时，在地面的影长为，作于点，作于点， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵10:00时，， ∴， 在四边形中，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴米， ∴l的最大值为米，此时的度数． 57．（2025·山东泰安·二模）自行车骑行是一项充满乐趣和挑战的爱好．通过骑自行车，可以享受自由、放松身心，增强体力和耐力，欣赏大自然的美景，还可以与他人一同分享美妙的体验．图1为一骑行山地车，图2是该车的车架示意图，已知立管与上管垂直，立管比上管短，前下管，后下叉与立管所成的夹角为，即． (1)求立管的长； (2)当时，求后下叉的长．（结果精确到，参考数据，，） 【答案】(1)厘米 (2)厘米 【知识点】用勾股定理解三角形、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查勾股定理，解直角三角形的计算，掌握锐角三角函数的计算是关键． （1）设，则，根据勾股定理列式求解即可； （2）过点作于，在中，，，可得，，由即可求解． 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， ∴； （2）解：过点作于， 在中，，， ，， ，， ，， ， ， ∴． 58．（2025·山东临沂·二模）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测量人工湖中喷泉的长度 测量工具 皮尺、测角仪等 活动过程 模型抽象 湖中有一组喷泉设施，其中有一段东西走向的喷泉设施排成如图所示线段，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 （1）在岸边取一点C，观察发现点B在点C的正北方． （2）从点C处向正东方走了40米达到D处，此时测得点B在北偏西方向上，点A在北偏西方向上． （3）参考数据：（，） 请根据表格中提供的信息，解决下列问题： (1)求B，C两点间的距离； (2)求的长． 【答案】(1)40米 (2)60米 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据在中，，得出，即可求出； （2）过点A作于点E，先求出的长度，在中，得到，在中，，得到，再根据即可求出． 【详解】（1）解：依题意， ，， ， ∴B，C两点间的距离为40米． （2）解：作于点，则． 由题意知： ，，． 则． 所以在中，． 即． 所以． 在中，． 即． 所以． 所以． ∴的长为60米． 59．（2025·山东德州·二模）时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． (1)为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ (2)如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】(1)应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工 (2)能，理由见解析 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ． 在中，， ． 答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工； （2）能，理由如下： 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， ， ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 1．（2025·山东青岛·二模）如图，，，相交于点，若，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．延长至点，交于点，由，，可得，推出，最后根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，交于点， ，， ， ， ， ， 故选：B． 2．（2025·山东日照·二模）将一张长方形纸条按如图所示的方式折叠，则与一定满足的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质和折叠性质，解题关键是熟练运用平行线的性质进行推理计算．根据平行可得出，，再根据折叠可知即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，延长至， ∴， 由折叠可知，， 又∵， ∴，即， 故选：D． 3．（2025·山东德州·二模）如图，在中，，，以点为圆心，以为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，连接．以下结论不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】公式法解一元二次方程、作角平分线(尺规作图)、等边对等角、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由题意得，，平分，根据三角形内角和及角平分线判断A即可；由角平分线求出，得到，根据三角形内角和求出，得到，即可判断B；证明，得到，设，则，求出x，即可判断C；过点E作于G，于H，由角平分线的性质定理推出，即可根据三角形面积公式判断D． 【详解】解：由题意得，，平分， ∵在中，，， ∴ ∵平分， ∴，故A正确； ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴，故C错误； 过点E作于G，于H，    ∵平分，，， ∴ ∴，故D正确； 故选：C． 【点睛】此题考查了等腰三角形等边对等角，相似三角形的判定和性质，角平分线的作图及性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解题的关键． 4．（2025·山东济南·二模）如图，在△ABC中，∠B=32°,将△ABC沿直线m翻折，点B落在点D的位置，则∠1-∠2的度数是 度． 【答案】64 【知识点】三角形折叠中的角度问题 【分析】根据三角形的外角定理即可求解． 【详解】∵∠1=∠B+∠3，∠3=∠2+∠D， 又∵折叠，∴∠B=∠D， ∴∠1=2∠B+∠2 故∠1-∠2=2∠B=64°． 【点睛】此题主要考查三角形的外角定理，解题的关键是熟知外角定理． 5．（2025·山东菏泽·二模）将图所示的七巧板，拼成图所示的四边形，连接，则 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角函数，如图，设等腰直角的直角边为，利用图形的位置关系求出大正方形的边长和大等腰直角三角形的直角边长，进而根据正切的定义即可求解，掌握等腰直角三角形和正方形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，设等腰直角的直角边为，则，小正方形的边长为， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，过点作的延长线于点，则，， 由图（）可得，，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，点，分别为边，上的一点，当，时，将沿折痕翻折后，点恰好落在边中点处，则的长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、折叠问题 【分析】连接，根据点恰好落在边中点处，，得到，，求得，结合解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，图形的面积，熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵点恰好落在边中点处，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2025·山东东营·二模）将一副学生常用的三角板如图摆放在一起，组成一个四边形ABCD，连接AC，探究的值为 ． 【答案】/ 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】如图作AH⊥CB交CB的延长线于H ，由，推出∠ACD=∠CAH，解直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，作AH⊥CB交CB的延长线于H， ∠ABD=90°，∠DBC=45°， ∠ABH=45°， ∠AHB=90°， 是等腰直角三角形， AH=BH， 设AH=BH=a，则AB=a， BD=a， BC=CD=a， CH=a+a， ∠AHB+∠DCB=90°+90°=180°， AH// DC， ∠ACD=∠CAH， tan∠ACD=tan∠CAH= ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，解此题的关键是能构造直角三角形，并进一步求出各个线段的长，难度适中. 8．（2025·山东威海·二模）如图，点在内，，，若，则的长度为 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，二次根式的性质，作，交的延长线于点，则，证明，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：作，交的延长线于点，则， ， ，， 在和中， ， ∴， ∵， ∵即 ∴ 故答案为：． 9．（2025·山东泰安·二模）如图，中，，，为边上一点，将绕点顺时针旋转得到，点落在线段上，此时、、三点也恰好共线，点的对应点为，连接，则长度的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质和勾股定理以及垂线段最短，熟练掌握相关定义是解题的关键．连接，，由旋转性质可得，，结合勾股定理得出，即可得出时，长度取最小值，即长度取最小值，利用等面积法进行运算即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图：   绕点顺时针旋转得到，点的对应点为， ， 、、三点共线， ，即旋转角， ，， ， 由勾股定理可得：， ，， ， 可知长度取最小值，则长度亦取最小值， 点在上，由点到直线垂线段最短， 可得时，长度取最小值，即长度取最小值， ， ， ， 长度的最小值为． 故答案为：． 10．（2025·山东潍坊·二模）如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则 ． 【答案】/ 【知识点】矩形与折叠问题、相似三角形的判定与性质综合、求角的正弦值 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 11．（2025·山东烟台·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，分别以AB、AC为边作正三角形ABD、ACE，连接DE，交AB于点F，则DF的长为 ． 【答案】 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形 【分析】过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H，依据全等三角形的性质即可得到DF＝DE，再根据勾股定理即可得到DE的长，进而得出DF的长． 【详解】解：如图所示， 过D作DG⊥AB于G，过E作EH⊥DA，交DA的延长线于H， ∵∠EAC＝60°，∠BAC＝30°， ∴∠EAG＝∠AGD＝90°， ∵BC＝1， ∴Rt△ABC中，AC＝，AB＝2， 又∵△ABD和△ACE是等边三角形， ∴AE＝，DG＝， ∴DG＝AE， 又∵∠DFG＝∠EFA， ∴△AEF≌△GDF（AAS）， ∴DF＝DE， 又∵Rt△AEH中，∠EAH＝30°， ∴HE＝AE＝，AH＝， ∴DH＝DA+AH＝2+＝， ∴Rt△DEH中，DE＝＝＝， ∴DF的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质及勾股定理，关键是由等边三角形得到三角形的全等，然后利用勾股定理进行求解即可． 12．（2025·山东济宁·二模）如图，在中，，，点是边上一点，连接，已知，点是射线上的一个动点，点是线段上一点，且，连接．则的面积最大值为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、解直角三角形的相关计算 【分析】由，设，则，，然后由勾股定理得出，然后解方程求出x的值，得出的长，过点作于，则，证明，所以，即，设，则，得出，，故有，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：由，， 设，则，， 在中，， ∴， 解得：，， ∴， 过点作于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵，且对称轴为直线， ∴当时有最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 13．（2025·山东济南·二模）某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯，截面的示意图如图所示，一楼和二楼地面平行（即点与点所在的直线与平行），层高为，坡角，为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头，，之间必须达到一定的距离． (1)要使身高的小明乘坐自动扶梯时不碰头，那么，之间的距离要大于多少米？（精确到） (2)商场计划改造这个扶梯，将其分为三段：段（上坡段自动扶梯）、段（水平平台，即）、段（上坡楼梯），如图中虚线所示．段和段的坡度（垂直距离与水平距离之比）相同，为保障安全其坡度不能超过．商场希望尽可能延长平台的长度，以方便顾客休息．在其他条件不变的情况下，请探究平台的最大长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1)大于米 (2)约为米 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】（）连接，过点作交于点，可得，再解即可求解； （）延长交于点，可得四边形为平行四边形，即得，由坡度的定义得米，解得米，进而求出即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，连接，过点作交于点， ， ， ， （米）， 答：，之间的距离要大于米； （2）解：如图，延长交于点， ∵段和段的坡度， ∴， ∴ 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵段和段的坡度， （米）， 在中，， ∴（米）， ∴（米）， 答：平台的最大长度约为米． 14．（2025·山东临沂·二模）【阅读理解】 小明用了如下的方法计算出的值． 如图，在中，，，作线段的垂直平分线交于点，连接，则，．设，则，．．    【拓展应用】 如图，矩形为某建筑物的主视图，小丽在该建筑物的右侧点处用地面测角仪（忽略其高度，下同）测得顶点的仰角为，由于某个原因，的长度无法测量，于是小丽又到它的左侧点处测得的坡度为，同时测得的长度为米． (1)请模仿小明的方法，求出的值； (2)求出的长度．（结果精确到．参考数据：，，，）． 【答案】(1) (2)BM的长度为36.7米 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、求角的正切值、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】（1）设 ，根据 与边的关系设出 ，再设 ，在 中利用勾股定理求出 关于 的表达式，最后根据正切函数的定义求出 的值． （2）利用矩形对边相等的性质得到 ，再根据 中 与边的关系求出 的长度． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线EF，连结，如图示：    ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． 由题意得：，． 设，则．设， 在中，由勾股定理得：， 解得：． ∴． （2）解：∵的坡度为， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD为矩形， ∴． 在中， ∵， ∴． 答：BM的长度为36.7米． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、坡度的概念以及三角函数的应用．解题的关键在于通过作辅助线构造等腰三角形，利用相关性质和定理建立边与角的关系，再结合已知条件逐步求解． 15．（2025·山东淄博·二模）如图，已知中，，，于点，点是延长线上一点，点是线段上一点，． (1)填空：①_____； (2)探索，，之间的数量关系，并加以证明； (3)若，试求四边形的面积． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3) 【知识点】全等三角形综合问题、线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定和性质、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）连接，如图所示，由等腰三角形的性质得到垂直平分线段，从而确定，由等腰三角形的性质得到相关边及角度，等量代换即可得到答案； （2）在上截取，连接，如图所示，由等腰三角形性质、等边三角形的判定与性质得到相关边及角度，在结合两个三角形全等的判定定理得到，进而有，数形结合，即可得证； （3）过点作于点，如图所示，由题意得到，在中，解直角三角形求出，再由两个三角形全等的判定与性质得到，数形结合，由，结合三角形面积公式代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，， 由等腰三角形三线合一性质可知是边上的中线， 垂直平分线段， ， ， ， ，， 在中，，，则， ， 故答案为：； （2）解：， 证明如下： 在上截取，连接，如图所示： 在中，，，， ，，， ，， 是等边三角形， 由（1）知， 在中，，则， ， ， 即是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：过点作于点，如图所示： 由题意知，， 在中，，，则， 在和中， ， ， 由（2）知，则． 【点睛】本题考查几何综合，综合性较强，涉及等腰三角形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、三角形内角和、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、解直角三角形、三角形面积公式等知识．熟练掌握相关几何性质，作出恰当辅助线，灵活运用是解决问题的关键． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$