第21章 二次函数与反比例函数（单元测试·基础卷）数学沪科版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 B A C A C B C A D D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11． 12． 13．10 14． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（8分） 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：，(3分） 代入得：， 解得：，(5） 抛物线的解析式：．(8） 16．（8分） 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，．(3分） （2）观察图象可知：不等式的解集为或．(6分) （3）由图象可知，时，方程无实数根．(8分） 17．（8分） 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，．(4分） （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，，(6分） ∴．． ∴的面积为．(8分） 18．（8分） 【详解】（1）解：某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为， ， ；(2分） （2）解：在中，当时，，当时，， ∴； 故答案为：，；(4分） 函数图像如下图，为所求； (6分） （3）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点坐标为， ∴由函数图象可得当时，x的取值范围是． 故答案为：，．(8分） 19．（10分） 【详解】（1）解：根据题意可得，，其中， 即．(2分） （2）设利润为，则，(3分） 当时，随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值是400． 既当牛奶单价为20元／瓶时，所获日销售利润最大，最大利润是400元(4分） （3）设小礼品成本为元，利润为元． 由题意可知，．(6分） 对称轴为直线，且， 故当时，随的增大而增大， 故当时，日销售利润最大，此时．(8分） 由题意可知，， 解得(10分） 20．（10分） 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10．(2分） 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣．(3分） ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）．(4分） （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB．(5分） （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． (6分） 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1．(8分） ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米．(10分） 21．（12分） 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线；(3分） （2）解：将二次函数向上平移3个单位长度后得到的解析式为，(4分） ∵该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点， ∴，(5分） 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为；(7分） （3）证明：∵和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足， ∴，(8分） 整理可得：， ∵， ∴， 解得：，(10分） 当时，， ∴，(11分） ∵，二次函数开口向下， ∴．(12分） 22．（12分） 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， (1分） 再将代入得，         (2分） 联立得：，(3分） 解得：（舍去）， ∴；(4分） （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴，(5分） ∴ ，(6分） 解得（舍去）， ∴点C的坐标为；(7分） （3）解：是定值(8分） 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得，(9分） ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为，(10分） 令得，即， 令得，即， ∴，(11分） ∴为定值．(12分） 23．（14分）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 【详解】（1）解：∵拋物线的解析式为． 令， ∴C点坐标为， 令，解得，． 点坐标为，点坐标为． 由题意可知，， 点坐标为． 故答案为：，，，．(4分） （2）①点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴为直线，(5分） ②∵对称轴为，点坐标为． ∴点坐标为． 点在上，且不与点，重合， ． ．(6分） ，都在二次函数的图象上， ．(7分） 综上所述，且．(8分） （3）解：当时，如图，， ， 解得， ∴此时的解析式为：，(10分） 设点坐标为，点Q坐标为， 当时，．(12分） 当时，有最大值3，此时四边形的面积为．(14分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线顶点坐标的求解，解题的关键是掌握抛物线形式的顶点坐标公式．根据抛物线的顶点坐标为，可知抛物线的顶点坐标是． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征．掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 把代入各选项函数解析式判断即可． 【详解】解：A、当时 ， ，所以函数的图象不经过点，故此选项符合题意； B、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； C、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； D、当时 ， ，所以函数的图象经过点，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数的图象．由点，点，点在同一个函数图象上，可得与关于轴对称；当时，随的增大而增大，继而求得答案． 【详解】解：∵点，点， ∴与关于轴对称， 即这个函数图象关于轴对称，故选项A、D不符合题意； ∵点，点， ∴当时，随的增大而增大，故选项C符合题意，选项B不符合题意． 故选：C． 4．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，以及分式求值．熟练掌握交点坐标同时满足反比例函数解析式和一次函数解析式，利用整体思想，进行求值，是解题的关键． 根据反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，得到，利用整体思想代入，求值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴， ∴， ∴ ； 故选：A． 5．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；联立两个函数解析式，根据有两个交点可知联立得到的方程有2个不相等的实数根． 【详解】解：∵一次函数与函数的图象有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 方程整理得， ∵一次函数中， ∴关于的一元二次方程根的情况是有2个不相等的实数根， 故选：C． 6．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数、一次函数和反比例函数的图象的综合判断，熟练掌握各函数图象的特征是解题的关键； 先由二次函数的图象得出抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点，得到，，当时，对应的函数，即，进一步即可作出判断. 【详解】解：由函数的图象可得：抛物线的开口向下，对称轴是直线，与x轴交于点， ∴，抛物线与x轴的另外一个交点为， ∴，当时，对应的函数，即， ∴一次函数的图象过第一、二、四象限，反比例函数的图象在第二、四象限； 观察各选项，只有B选项符合； 故选：B. 7．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据抛物线，得开口方向向上，对称轴为直线，则当，，当，则，据此进行逐项分析就，即可作答． 【详解】解：∵抛物线，且， ∴开口方向向上，对称轴为， ∴越靠近对称轴的所对的函数值越小， 则当，，故A、B选项不符合题意； 当，则，故C选项符合题意； 当，则，故D选项不符合题意； 故选：C 8．如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则：左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故选A． 9．关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握图象开口，对称轴直线，最值，增减性是关键． 根据二次函数顶点式得到图形开口，对称轴直线，最大值，增减性，由此即可求解． 【详解】解：二次函数， ∵，图象开口向上，顶点坐标为，对称轴直线为，最小值为，当时，随的增大而增大， ∴故A、B、C选项错误，不符合题意，只有D选项正确，符合题意； 故选：D ． 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系以及二次函数图象的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用函数图象的性质来确定系数的取值和关系，根据函数的图象以及顶点坐标判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：①根据图象开口向下可知，与轴交点坐标位于轴正半轴可知， ， 故①正确； ②根据顶点坐标可知，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间， 则另一交点在和之间， 当时，代入得：，观察图象可知，即， 故②正确； ③根据顶点坐标公式可得，，整理得， 故③正确； ④一元二次方程，可看作抛物线与直线相交情况，经过观察图象可知抛物线和这条直线无交点， ∴一元二次方程没有实根， 故④正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把整理得，则顶点坐标为，结合关于直线对称后所得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴抛物线的顶点坐标为， 则 ∴关于直线对称后所得， 则 故答案为：． 12．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查方程与二次函数的关系，根的判别式，数形结合思想是解这类题的关键． 根据抛物线与x轴有交点，的方程就有两个的实数根，根的判别式．据此列不等式求解即可中． 【详解】解：∵抛物线与轴有交点， ∴方程有两个的实数根， ∴， 解得：． 故答案为：． 13．已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是 米． 【答案】10 【分析】本题考查了反比例函数的应用，先求出，再求出当时的值即可，正确求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 【详解】解：∵当频率赫兹时，波长米， ∴， ∴， ∴， 当时，，即当频率为34赫兹时，波长是10米， 故答案为：10． 14．如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，熟练运用反比例函数的性质解题的关键． 设点，根据题意可得的值，即可求点坐标，代入解析式可求解． 【详解】解：∵轴，点的坐标为， 设点， ∵， 解得：， ∴， ． 故答案为： ． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（8分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 设交点式，然后把C点坐标代入求a即可； 【详解】解：抛物线经过点，， 设抛物线的解析式为：， 代入得：， 解得：， 抛物线的解析式：． 16．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 【答案】（1），；（2）或；（3） 【分析】（1）找到抛物线与x轴的交点，即可得出方程ax2+bx+c=0的两个根； （2）找出抛物线在x轴下方时，x的取值范围即可； （3）根据图象可以看出k取值范围． 【详解】解：（1）观察图象可知，方程的根，即为抛物线与轴交点的横坐标， ∴，． （2）观察图象可知：不等式的解集为或． （3）由图象可知，时，方程无实数根． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与方程和不等式的关系，求方程ax2+bx+c=0的两个根，即为抛物线与x轴的交点的横坐标；判断y＞0，y=0，y＜0时，x的取值范围，要结合开口方向，图象与x轴的交点而定；方程ax2+bx+c=k有无实数根，看顶点坐标的纵坐标即可． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 【答案】(1)， (2)16 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数与反比例函数综合，正确求出a、k的值解题的关键． （1）把A、B横坐标分别代入两个函数解析式，根据同一个横坐标下，两个函数的函数值相同建立方程组求解即可； （2）根据（1）所求可得直线的解析式，则可求出点C和点D的坐标，坐标可得的长，据此根据三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，． （2）解：由（1）知直线对应的一次函数表达式为． 在中，令，得，令，得， ∴，， ∴．． ∴的面积为． 18．（8分）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，画函数图象，正确理解题意是解题的关键． （1）根据长方体体积计算公式求解即可； （2）分别把和代入（1）所求解析式中求出对应的函数值即可得到m、n的值，再描点，连线画出对应的函数图象即可； （3）先利用待定系数法求出函数解析式，进而可求出函数与函数的交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为， ， ； （2）解：在中，当时，，当时，， ∴； 故答案为：，； 函数图像如下图，为所求； （3）解：∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴函数与函数的交点坐标为， ∴由函数图象可得当时，x的取值范围是． 故答案为：，． 19．（10分）某专卖店准备代销进价为10元／瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶． (1)直接写出日销量与单价的函数解析式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件．若该款牛奶日最大利润在160元～280元之间浮动（包括160元和280元），求赠送小礼品成本的取值范围． 【答案】(1) (2)当牛奶单价为20元／瓶时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 (3)取值范围为3元~6元 【分析】此题考查了二次函数的应用、一元一次不等式和不等式组的应用、一次函数的应用等知识，准确列出函数解析式是关键． （1）若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶．据此列出函数解析式即可； （2）设利润为，列出二次函数解析式，根据二次函数的性质进行解答即可； （3）设小礼品成本为元，利润为元．得到的二次函数解析式，根据二次函数的性质得到当时，日销售利润最大，此时．由题意可知，，即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得，，其中， 即． （2）设利润为，则， 当时，随的增大而增大， 故当时，有最大值，最大值是400． 既当牛奶单价为20元／瓶时，所获日销售利润最大，最大利润是400元 （3）设小礼品成本为元，利润为元． 由题意可知，． 对称轴为直线，且， 故当时，随的增大而增大， 故当时，日销售利润最大，此时． 由题意可知，， 解得 20．（10分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 21．（12分）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 【答案】(1)直线 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象的平移，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将二次函数的解析式化为一般式，再由二次函数对称轴公式计算即可得解； （2）先求出平移后的抛物线的解析式，再由该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x只有一个交点得出，计算即可得解； （3）先求出，当时，，从而得出，即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴该二次函数图象的对称轴为直线； （2）解：将二次函数向上平移3个单位长度后得到的解析式为， ∵该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴抛物线的解析式为； （3）证明：∵和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足， ∴， 整理可得：， ∵， ∴， 解得：， 当时，， ∴， ∵，二次函数开口向下， ∴． 22．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值，2 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、平面直角坐标系中面积问题、待定系数法求一次函数和反比例函数解析式等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先利用A点坐标求出一次函数和反比例函数表达式，再联立方程组求另一交点B坐标即可； （2）用割补法表示出的面积，设参求解即可； （3）先求出直线解析式，得到点Q和点N坐标，再求出直线解析式，得到点P和点M坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：将代入直线得， ， 解得，， 再将代入得，          联立得：， 解得：（舍去）， ∴； （2）解：如图，过C作轴交于点T， 设，则， ∴， ∴ ， 解得（舍去）， ∴点C的坐标为； （3）解：是定值 设点， 设直线解析式为，将A、D坐标代入得， ， 解得， ∴直线解析式为， 令得，即， 令得，即， 同理可得直线解析式为， 令得，即， 令得，即， ∴， ∴为定值． 23．（14分）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)，，， (2)①直线；②且． (3) 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、坐标点的计算以及四边形面积最值问题，解题关键是熟练运用二次函数的性质，结合已知条件建立方程或函数表达式来求解相关量． （1）令，得出，，从而得到A，两点的坐标，令求得的坐标，将化为顶点式，得． （2）①根据题意可得二次函数对称轴为，得出点坐标． ②根据点落在线段上且不与、重合点位置确定m初步范围，然后根据、位置排除特殊值； （3）根据求值及解析式，并表示、坐标并求的解析式，然后当通过配方得时，取最大值，根据四边形面积计算方法得出四边形面积，即可得出点坐标． 【详解】（1）解：∵拋物线的解析式为． 令， ∴C点坐标为， 令，解得，． 点坐标为，点坐标为． 由题意可知，， 点坐标为． 故答案为：，，，． （2）①点坐标为， ∴二次函数的图象的对称轴为直线， ②∵对称轴为，点坐标为． ∴点坐标为． 点在上，且不与点，重合， ． ． ，都在二次函数的图象上， ． 综上所述，且． （3）解：当时，如图，， ， 解得， ∴此时的解析式为：， 设点坐标为，点Q坐标为， 当时，． 当时，有最大值3，此时四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 5．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 6．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 12．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ． 13．已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是 米． 14．如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（8分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 16．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 18．（8分）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 19．（10分）某专卖店准备代销进价为10元／瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶． (1)直接写出日销量与单价的函数解析式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件．若该款牛奶日最大利润在160元～280元之间浮动（包括160元和280元），求赠送小礼品成本的取值范围． 20．（10分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 21．（12分）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 22．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 23．（14分）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第21章 二次函数与反比例函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．抛物线的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，下列函数的图象不经过点的是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点，点，点在同一个函数图象上，则该函数图象可能是（ ） A． B． C． D． 4．反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（   ） A． B． C． D．2 5．已知一次函数与函数的图象有两个交点，则关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．无实数根 B．有2个相等的实数根 C．有2个不相等的实数根 D．无法确定 6．已知二次函数的部分函数图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（   ） A． B． C． D． 7．已知是抛物线上的点，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．如果将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，那么所得的抛物线的解析式是（    ） A． B． C． D． 9．关于二次函数，下列说法正确的（   ） A．函数图象开口向下 B．函数图象的对称轴是：直线 C．该函数有最大值 D．当时，随的增大而增大 10．如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 11．求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 12．若抛物线与轴有交点，则的取值范围是 ． 13．已知声波在某均匀介质中传播，波速v恒为．由物理学知识可知，当波速一定时，波长（米）与频率f（赫兹）成反比例函数关系，即．当频率赫兹时，波长米，则当频率为34赫兹时，波长是 米． 14．如图，反比例函数的图像经过的顶点轴，点在轴上，若点的坐标为，则实数的值为 ． 三、解答题（共9小题，共90分） 15．（8分）如图，抛物线分别经过点，，．求抛物线的函数解析式． 16．（8分）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题： （1）写出方程的根； （2）写出不等式的解集； （3）若方程无实数根，写出的取值范围． 17．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点．已知点A和B的横坐标分别为6和2． (1)求a与k的值； (2)设直线与x轴、y轴的交点分别为C，D，求的面积． 18．（8分）某厂家生产一种体积为的长方体零件，其底面为边长的正方形，高为．请结合函数知识回答下列问题： (1)写出关于x的函数关系式，并写出自变量的取值范围． (2)根据（1）的函数关系式补全表格，并画出函数图像． 1 2 3 4 5 6 … 6 m n … 表格中________，________． (3)直线经过点，其解析式为________．当时，x的取值范围是________． 19．（10分）某专卖店准备代销进价为10元／瓶的牛奶，根据品牌方要求，销售价不低于进价，且不高于进价的2倍．试销期间的数据显示：若以进价出售，日销量为60瓶，当价格每提升1元时，日销量则下降2瓶． (1)直接写出日销量与单价的函数解析式； (2)牛奶销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大？最大利润是多少？ (3)为培养客户习惯，该店购入价值不等的四种小礼品，每日随机选一款随牛奶赠送给顾客，每瓶牛奶赠送一件．若该款牛奶日最大利润在160元～280元之间浮动（包括160元和280元），求赠送小礼品成本的取值范围． 20．（10分）如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 21．（12分）已知二次函数． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)若该二次函数图象向上平移3个单位长度后与x轴只有一个交点，求该二次函数的表达式． (3)已知，和是该二次函数图象上任意两点，若对，，都满足，求证：． 22．（12分）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、B两点，C为第二象限内反比例函数图象上的点，且C点在A点右侧． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)连接，当的面积为30时，求点C的坐标； (3)如图2，在（2）的条件下，D为第四象限内反比例函数的图象上一动点，连接分别与x轴，y轴交于点M、N、P、Q，是否是定值？如果是定值，请求出定值；如果不是，请说明理由． 23．（14分）二次函数的图象与轴交于两点，与轴正半轴交于点为抛物线的顶点． (1)则、、、四点的坐标分别为___________，___________，___________，___________； (2)设点坐标为，二次函数的图象经过点三点，且与轴的交点落在线段上（不与点，重合）， ①二次函数的对称轴为___________（用表示）； ②求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当时，为图象段上任一点，过点作轴的垂线交的图象于点，求四边形面积的最大值． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$