1.1 菱形的性质与判定（第3课时 菱形的性质与判定）（导学案）数学北师大版九年级上册

1.1菱形的性质与判定 导学案 第3课时 菱形的性质与判定 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法. 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法. 学习重点：菱形面积的求法. 学习难点：菱形的性质与判定定理的灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1） 菱形的性质是什么？ （2） 菱形的判定方法有哪些？ 新知自研：自研课本第8-9页的内容． 【学法指导】 自研课本P8页的内容，思考： ●探究一：菱形的面积 问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? 【解答】能，过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 = 问题：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC把菱形ABCD分成等腰三角形ABC和等腰三角形ADC,试用两个等腰三角形的面积和推导菱形的面积. 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC + =AC·BO+ =AC = . ◆知识归纳： 菱形的面积= = . 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求:(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 【分析】（1）根据菱形的性质可得BD⊥ ,AE= =AC,BE= =BD=5cm,然后利用 计算出AE长,即可解答; （2）根据菱形面积公式计算即可解答, 【解答】 ◆练一练 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ 　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm ●探究二：菱形的性质与判定的综合应用 ◆做一做：如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ ◆分析：由两组对边互相 ，可得出四边形ABCD是平行四边形，只需证 或 即可.由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证△ABE≌△ADF，即得 . ◆练一练 2.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD. 若测得AB＝5 cm，则四边形ABCD的周长为 cm. 【例题导析】 自研例1和例2的内容，回答问题： 典例分析: 例1 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8 cm． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形ABCD的面积． 【分析】 (1)由在菱形ABCD中,由∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,可求出∠ABC的度数是 ，从而得出△ABC是 ， 根据周长是8cm,可求得菱形的边长是 ，然后利用直角三角形的性质求出AC与BD的长: (2)由菱形的面积等于 ，即可求得答案 【解答】 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 【分析】根据菱形的性质可得 ,然后根据∠BAD=60°判断出△ABD是 ,即可求出AB的长度;根据 求出AO的长度，然后根据萎形的性质即可求出AC的长度， 【解答】 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A、探究菱形的面积的求法； B、复习菱形的性质与判定定理； C、交流例题和典例的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，形成展示策略预案. D、相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图,在菱形ABCD中,AB＝5,对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(　 ) A.4　　 B.2.4　　 C.4.8 　　 D.5 （1题） （2题） 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC和CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为（ ） A. B. C. D.3. 3.已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（ 　） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 （3题） （4题） 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（ 　） A. （3，4） B. （4，3） C. （2，3） D. （2，4） 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN， CM，则四边形ANCM是菱形. 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形. 根据两人的作法可判断(　 　) A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 6.如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是 （填序号）. （6题） （7题） 7.如图，两张宽度均为2 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 cm. 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 题型一：利用菱形的性质求面积 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E、F，连接BE，DF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积． 题型三：利用菱形的性质和判定求角度 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连接交于点为上一点，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数及的长． 题型四：利用菱形的性质和判定求线段长 7．（2025·贵州安顺·三模）如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形． (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长． 8．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 题型五：利用菱形的性质和判定求面积 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 11、已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN． （1）将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积． 12．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 1. 菱形的性质定理：菱形的四条边 .菱形的对角线 . 2. 菱形的判定定理： 的四边形是菱形. 的四边形是菱形. 3.菱形的面积计算方法： ①底×高； ② 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定 导学案 第3课时 菱形的性质与判定 1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法. 2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法. 学习重点：菱形面积的求法. 学习难点：菱形的性质与判定定理的灵活运用. 第一环节 自主学习 温故知新： （1）菱形的性质是什么？ 边：四条边相等； 对角线：互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角； 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形（2条对称轴）. （2） 菱形的判定方法有哪些？ 1．有一组邻边相等的平行四边形叫菱形. 2．对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3．四条边相等 四边形是菱形. 新知自研：自研课本第8-9页的内容． 【学法指导】 自研课本P8页的内容，思考： ●探究一：菱形的面积 问题1：菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积吗? 【解答】能，过点A作AE⊥BC于点E, 则S菱形ABCD=底×高 =BC·AE. 问题：如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC把菱形ABCD分成等腰三角形ABC和等腰三角形ADC,试用两个等腰三角形的面积和推导菱形的面积. 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD, ∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC =AC·BO+AC·DO =AC(BO+DO) =AC·BD. ◆知识归纳： 菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半. 例 如图，四边形ABCD是边长为13 cm的菱形，其中对角线BD长10 cm. 求:(1)对角线AC的长度；(2)菱形ABCD的面积. 【分析】（1）根据菱形的性质可得BD⊥AC,AE=CE=AC,BE=DE=BD=5cm,然后利用勾股定理计算出AE长,即可解答; （2）根据菱形面积公式计算即可解答, 【解答】(1)∵四边形ABCD是菱形，AC与BD相交于点E， ∴∠AED=90°(菱形的对角线互相垂直), ∴DE=BD=×10=5(cm)(菱形的对角线互相平分), ∴AE===12(cm). ∴AC=2AE=2×12=24(cm). (2)菱形ABCD的面积 =△ABD的面积+△ABD的面积 =2×△ABD的面积 =2××BD×AE =2××10×12 =120(cm²). ◆练一练 1.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm，则这个菱形的高DE为（ B　） A.2.4cm B.4.8cm C.5cm D.9.6cm ●探究二：菱形的性质与判定的综合应用 ◆做一做：如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？ ◆分析：由两组对边互相平行，可得出四边形ABCD是平行四边形，只需证一组邻边相等或对角线互相垂直即可.由题意可知BC边上的高和CD边上的高相等，然后通过证△ABE≌△ADF，即得AB=AD. ◆练一练 2.如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD. 若测得AB＝5 cm，则四边形ABCD的周长为 20 cm. 【例题导析】 自研例1和例2的内容，回答问题： 典例分析: 例1 如图，在菱形ABCD中，∠ABC与∠BAD的度数比为1：2，周长是8 cm． 求：（1）两条对角线的长度； （2）菱形ABCD的面积． 【分析】 (1)由在菱形ABCD中,由∠ABC与∠BAD的度数比为1:2,可求出∠ABC的度数是 60°，从而得出△ABC是等边三角形， 根据周长是8cm,可求得菱形的边长是 2 ，然后利用直角三角形的性质求出AC与BD的长: (2)由菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得答案 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，AC⊥BD，AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°. ∵∠ABC与∠BAD的度数比为1：2， ∴∠ABC=×180°=60°， ∴∠ABO=×∠ABC=30°，△ABC是等边三角形. ∵菱形ABCD的周长是8cm． ∴AB=2cm， ∴OA=AB=1cm，AC=AB=2cm， OB==(cm). ∴BD=2OB=2 cm； （2）S菱形ABCD=AC•BD=×2×2= 2（cm2）． 例2 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD =6，求菱形的边长AB和对角线AC的长. 【分析】根据菱形的性质可得AB=AD,然后根据∠BAD=60°判断出△ABD是等边三角形,即可求出AB的长度;根据勾股定理求出AO的长度，然后根据萎形的性质即可求出AC的长度， 【解答】∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)， OB=OD=BD =×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形ABC中， ∵∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形. ∴AB = BD = 6. 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 OA2+OB2=AB2， ∴OA ===3. ∴AC=2OA=6（菱形的对角线相互平分）. 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A、探究菱形的面积的求法； B、复习菱形的性质与判定定理； C、交流例题和典例的已知的条件和所求问题，理清解题思路，关注解题格式，形成展示策略预案. D、相互检查导学内容的完成书写情况并给出等级评定. 1.如图,在菱形ABCD中,AB＝5,对角线AC＝6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为(　C　) A.4　　 B.2.4　　 C.4.8 　　 D.5 （1题） （2题） 2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E，F分别是BC和CD的中点，连接AE，EF，AF，则△AEF的周长为（ B ） A. B. C. D.3. 3.已知在菱形ABCD中，AB＝10，BD＝16，则菱形ABCD的面积为（ D　） A. 160 B. 80 C. 40 D. 96 （3题） （4题） 4.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则点C的坐标为（ A　） A. （3，4） B. （4，3） C. （2，3） D. （2，4） 5.如图，在给定的一张平行四边形纸片ABCD上作一个菱形，甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC，作AC的垂直平分线MN分别交AD，AC，BC于点M，O，N，连接AN， CM，则四边形ANCM是菱形. 乙：分别作∠A，∠B的平分线AE，BF，分别交BC，AD于点E，F，连接EF，则四边形ABEF是菱形. 根据两人的作法可判断(　C　) A.甲正确，乙错误 B.甲错误，乙正确 C.甲、乙均正确 D.甲、乙均错误 6.如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD.若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　② （填序号）. （6题） （7题） 7.如图，两张宽度均为2 cm的纸条交叉叠放在一起，交叉形成的锐角为30°，则重叠部分构成的四边形ABCD的周长为 16 cm. 8.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，BE＝2DE，延长DE到点F，使得EF＝BE，连接CF. (1)求证：四边形BCFE是菱形； (2)若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形BCFE的面积． 【解答】(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE∥BC且2DE＝BC. 又∵BE＝2DE，EF＝BE， ∴EF＝BC，EF∥BC， ∴四边形BCFE是平行四边形． 又∵EF＝BE， ∴四边形BCFE是菱形. (2)解：∵∠BCF＝120°， ∴∠EBC＝60°， ∴△EBC是等边三角形， ∴菱形的边长为4，高为2， ∴菱形的面积为4×2=8. 题型一：利用菱形的性质求面积 1．（24-25八年级下·湖北十堰·期中）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查菱形的性质及面积，含度角直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质及面积是解题的关键．根据菱形的性质得，，再利用已知条件求，根据勾股定理求出，然后根据菱形的面积计算公式进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形，， ，，， ， ． 在中根据勾股定理得∶ ， ， ． 故选∶C． 2．（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别为，的中点，连接，，，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查中位线的性质，菱形的性质，根据中位线的性质可得，根据菱形的性质可得，，根据菱形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴， ∵在菱形中，对角线，相交于点，， ∴，， ∴菱形的面积为， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·山东菏泽·期中）如图，菱形的周长为16，是对角线上一点，分别作点到直线、的垂线段、，若，则菱形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质、三角形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键． 根据菱形的性质得到，再根据三角形的面积公式得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形的周长为16， ， ，， ， 故答案为：． 4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交DA，BC的延长线于点E、F，连接BE，DF． （1）求证：△AOE≌△COF； （2）若EF＝BD，BE＝8，DE＝16，求菱形ABCD的面积． 【分析】（1）根据菱形的性质可得AO＝CO，AD∥BC，从而可得∠AEO＝∠CFO，再由对顶角相等可得∠AOE＝∠COF，再根据“AAS”证明即可； （2）根据菱形的性质可得AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC，再由（1）可得AE＝CF，再根据平行四边形和矩形的判定可得∠DEB＝90°，利用勾股定理可得（16﹣x）2+82＝x2，求得AD＝10，再利用菱形的面积公式计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO＝CO，AD∥BC， ∴DE∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO， 在△AEO和△CFO中， ， ∴△AEO≌△CFO（AAS）； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB＝BC＝DC，AD∥BC， 由（1）可得，△AEO≌△CFO， ∴AE＝CF， ∴AD+AE＝BC+CF，即DE＝BF， 又∵DE∥BF， ∴四边形EBFD是平行四边形， 又∵EF＝BD， ∴四边形EBFD是矩形， ∴∠DEB＝90°， 设AD＝x，则AB＝x，AE＝16﹣x， 在Rt△AEB中，AE2+BE2＝AB2， 即（16﹣x）2+82＝x2， 解得x＝10， ∴AD＝10， ∴S菱形ABCD＝BE⋅AD＝8×10＝80． 题型三：利用菱形的性质和判定求角度 5．（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，在中，分别是边，，的中点． (1)求证：四边形为菱形． (2)若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，三角形中位线定理，解题的关键是： （）由三角形中位线的性质可得，，即可得四边形为平行四边形，又由中点定义可得，即可求证； （2）先根据平行线的性质求出的度数，然后根据菱形的对角线平分每一组对角求解即可． 【详解】（1）证明：∵分别是的中点， ∴，，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴． 6．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在四边形中，点与点关于直线对称，连接交于点为上一点，，连接． (1)求证：四边形为菱形； (2)若，求的度数及的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质与判定是解题的关键； （1）根据轴对称的性质可得，，进而证明四边形为平行四边形，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得证； （2）根据等边对等角得出，进而根据三角形的外角的性质即可得出的度数，进而根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点与点关于直线对称 ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）∵ ∴ ∴ ∵四边形为菱形； ∴，， ∴ ∴是等边三角形， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 题型四：利用菱形的性质和判定求线段长 7．（2025·贵州安顺·三模）如图，在四边形中，，，对角线交于点O．有下列条件：①，②． (1)请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形． (2)在（1）的条件下，若菱形的面积为24，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5． 【分析】本题主要考查平行四边形的判定、菱形的定义与性质以及勾股定理的应用。解题的关键在于熟练掌握平行四边形和菱形的判定条件，利用菱形对角线的性质和面积公式建立边与对角线的关系，再通过勾股定理求解边长。 （1）若选择条件① ，根据平行四边形的判定定理“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形。又因为已知 ，根据菱形的定义“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形 是菱形。若选择条件② ，根据平行四边形的判定定理“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，由 且 可判定四边形 是平行四边形。再结合已知 ，依据菱形的定义，能得出四边形 是菱形。 （2）已知四边形 是菱形，根据菱形的性质，菱形的对角线互相垂直且平分，即 ， ， 。由菱形面积公式 菱形 ，已知面积和 的值，可求出 的长度，进而得到 的长度。在 中，利用勾股定理 求出菱形的边长。 【详解】（1）证明：若选择①． ，， 四边形ABCD是平行四边形． ， 四边形ABCD是菱形． 若选择②． ，， 四边形ABCD是平行四边形． ， 四边形ABCD是菱形． （2）解：四边形ABCD是菱形，， ，，， ，． 菱形ABCD的面积为24， ， ， ． 在中，， 菱形ABCD的边长为5． 8．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键； （1）先证明四边形是平行四边形，再由可得平行四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得出的长以及，利用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边中线定理得出，即可解答． 【详解】（1）证明： ， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形， ， ， ∵， ∴， ∵， ∴在中，可有， ∴， 即， ∴， ， ， ， ． 9．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）如图，中，点，分别是、的中点，，延长到点，使得，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，菱形的面积为4，求菱形边长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查三角形中位线定理，菱形的判定和性质，勾股定理，通过中位线定理把与联系起来是解题的关键． （1）由中位线定理证明，，通过等量代换得出，先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形； （2）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据菱形的面积为4，得出，根据勾股定理求出． 【详解】（1）证明： ，分别是，的中点， ∴是的中位线， ，， 又 ，， ， 又 ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：连接，交于点O，如图所示： 四边形是菱形， ∴，，， ∵菱形的面积为4， ∴， ∴， ∴， 即菱形的边长为． 题型五：利用菱形的性质和判定求面积 10．（24-25八年级下·山东德州·期中）如图，在四边形中，，，相互平分且交于点，过点作的垂线交的延长线于点． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)64 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）对角线互相平分的四边形是平行四边形，则可证明四边形是平行四边形，再由，即可证明平行四边形是菱形； （2）由勾股定理得到，再由菱形的性质得到，，据此根据梯形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）证明：∵相互平分， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2）解：在中，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴四边形是梯形， ∴． 11、已知矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN． （1）将两个矩形叠合成如上图，求证：四边形ABCD是菱形； （2）若菱形ABCD的周长为20，BE＝3，求矩形BEDG的面积． 【答案】(1)见解析 (2)27 【分析】（1）作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形；（2）根据菱形的性质得出AD的长，进而得出AE的长，再利用矩形面积公式求出即可． 【解答】（1）解答：证明：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵矩形BEDG和矩形BNDQ中，BE＝BN，DE＝DN，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形． （2）解答：解：∵菱形ABCD的周长为20， ∴AD＝AB＝BC=CD＝5， ∵BE＝3， ∴AE＝4， ∴DE＝5＋4＝9， ∴矩形BEDG的面积为：3×9＝27． 12．（23-24九年级下·湖南邵阳·期中）在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)证明：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质及菱形的面积计算，熟练掌握菱形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）证明，可得，再由D是的中点，即，根据可证四边形是平行四边形，再利用直角三角形的性质可得，即可得出结论； （2）连接，证明四边形是平行四边形，可得，再利用菱形的面积公式即可计算出结果． 【详解】（1）证明：∵， ， ∵E是的中点， ∴， 又∵， 在和中， ， ， ， ∵D是的中点， ， ， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，D是的中点， ∴在中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：连接， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ， 又∵四边形是菱形，， ． 1. 菱形的性质定理：菱形的四条边 相等 .菱形的对角线 互相垂直 . 2. 菱形的判定定理：对角线互相垂直的四边形是菱形.四条边相等的四边形是菱形. 3.菱形的面积计算方法： ①底×高； ②对角线乘积的一半. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$