第1期 1.1 菱形的性质与判定 1.2 矩形的性质与判定(第一课时)（答案见下期）-【数理报】2025-2026学年九年级(中考)数学学案（北师大版）

4 素养拓展 数理极 (上接第3版) 专题辅导 19.(12分)如图16，在矩形ABCD中，AB= 3,AB<BC,E是BC边上的一动点，连接DE AE,过点D作DF⊥AE交BC于点G,垂足为点 矩形折叠间题多 F,连接BF 。山西杨超 (1)当点G恰为BC中点时，求BF的长； 近年来考试中出现了许多考查数形结合和 因为AD=3,所以AH=2AD=6. (2)当DE平分∠FEC时，若DE=√0，求空间想象能力的矩形折叠问题，解决此类问题 因为△BEF沿直线EF翻折得到△NEF AF:FE的值 的关键是充分利用矩形和轴对称的性质—一折 所以△BEF兰△NEF,所以BE=NE=1. 叠前后的图形全等，将已知条件进行转化.下面 因为AB=4,BE=1, 我们撷取几例，分类说明折叠问题的求解策略. 所以AE=AB-BE=3. 一、利用折叠求角度 因为四边形ABCD为矩形， 例1如图1，将矩形 所以∠DAB=90°. 纸片ABCD沿BE折叠，使点 在Rt△HAE中，HE=√A+AE2=35, A落在对角线BD上的A 当H,M,N,E四点共线时，HM+MN最小，最小 处，若∠DBC=34°，则 图 为HE-NE=35-1, ∠A'EB等于 ( 所以AM+MN的最小值为3J5-1.故选D. A.28° B.34° C.56° D.62° 三、利用折叠求面积 解析：因为四边形ABCD是矩形，所以∠A =∠ABC=90°.由折叠的性质得：∠BA'E= 例3如图3，在矩形 ABCD中，AB=4,AD=2,E ∠A=90°，∠A'BE=∠ABE 是AB上一个动点，F是AD 因为∠DBC=34°，所以∠A'BE=∠ABE 上一点（点F不与点D重 图3 =2090-∠Cnm)）=280, 合).连接EF,将△AEF沿EF翻折，使点A的对 所以∠A'EB=90°-∠A'BE=62°.故 应点A'落在边CD上，连接EC,若A'E=CE,则 20.(12分)在边长为6的菱形ABCD中， △A'EC的面积为 ∠B=60°，点E,F分别在边BC和CD上，且 选D. 二、利用折叠求线段 解析：过点E作EH⊥CD于点H,由折叠的 ∠EAF=60° 性质得AE=A'E,因为四边形ABCD是矩形，所 (1)如图17-①，求证：△AEF是等边三角 例2如图2，矩形 形 ABCD中，AB=4,AD=3,点 以AD=BC=2,∠B=90°.设AE=EA'=EC (2)如图17-②，BD交AE于点P,交AF于E在AB上，且BE=1,点M, =x,则BE=4-x,在R△EBC中，则有x2=22 点G. F分别为边DC,BC上的动 +(4-户，解得=子所以EB=4-=多 ①当△AEF的周长最小时，求证：BD=点，将△BEF沿直线EF翻折 图2 因为四边形ABCD是矩形，所以∠D=90°， 2AE; 得到△NEF,连接AM,MN,则AM+MN的最小AB∥CD.因为EH⊥CD,所以EH=AD=2. ②已知GH∥AE交BC的延长线于点H,求 值为 ( 在Rt△ECH中，根据勾股定理，得CH= 证：AG=GH. A.5 B.35 所以4H=h=多，所以4G=3,所以 3 C.35-2 D.35-1 解析：作A关于CD的对称点H,连接EH △A'EC的面积为7×A'C×EH=3.故填3. 在平面几何的考查中，辅助线的添加往往 是难点，因此本学期我们将开辟一个专门练习 辅助线 添加辅助线的学习板块，希望同学们好好练习. 周周练 1.如图1，菱形ABCD的边长为4，且∠DAB =60°，E是BC边的中点，P为BD上一动点，若 Y厘/窖R慧A▣怕‘斗阴H9慧1缸其部 △PCE的周长最小，则其最小值为 g‘b=OH‘￡=H0量‘D8TH00学 g‘90=b=0日‘售0‘H8WTW0 乐业‘鲜售印90‘出鲜弯0示‘90=W0 4‘09V云80NV1肾‘W0舞要‘98 =阳冲弹可母（坐】9+品又 1 影易R怕‘少z=avH煮A缸马 2.如图2，在矩形ABCD中，AB=6,BC=8. 部☑甲旦售‘/=3a‘1=)8业W‘09 点O为矩形ABCD的对称中心，点E为边AB上 =3aa7量也09=aV07唑用： 等甲‘3学上形斗阴8V交av T oa学 的动点，连接EO并延长交CD于点F.将四边形 ‘/售斗图阴a0dVHH‘a0+aV=aD AEFD沿着EF翻折，得到四边形A'EFD',边A'E +Ad+Od=斗明4Od7m‘Od县‘d 数理报社试题研究中心 交边BC于点G,连接OG,OC,则△OGC面积的 学上Ia卒aV瓣妻‘班必aa壬￥D学与v学 徵口单阴处甲【些群】乙+小乙[ (参考答案见下期) 最小值为 本版责任编辑：智雅文 报纸编辑质量反馈电话， 0351-5271268 2025年7月3日·星期四 初中数学 报纸发行质量反馈电话 0351-5271248 教理橘 第 期总第1145期 北师大 中考 2025~2026学年 山西师范大学主管山西师大教育科技传媒集团主办 数理报社编辑出版 社长：徐文伟 国内统一连续出版物号：CN14-0707/八F) 邮发代号：21-205 中考数学北师大 编辑计划 重点精讲 菱形的判定是本 第1期 1.1菱形的性质与判定：1.2矩 形的性质与判定（第一课时） 菱形性质的应用 章内容的重点和难点之 “,判定一个四边形是 第2期 菱形，主要有以下三种 12矩形的性质与判定（第二果 时)：13正方形的性质与判定 ⊙湖南。尚志超 方法： 第3期 一、菱形的四条边都相等 一章复习测试 2BD=4,所以AD=5.因为CH」 A 所以 方法一：有一组邻 第4期 例1如图1，在菱形 边相等的平行四边形是 2.1认识一元二次方程：2.2用 配方法求解一元二次方程：23 ABCD中，∠BAD=120°.已 ∠AHC=90°.因为AC×OD=AD×CH,所以 菱形 用公式法求解 二次万 知△ABC的周长是12，则菱 第5期 CH=6x4 =4.8.故选C. 5 例1如图1，BD 2.4用因式分解法求解 元 形ABCD的周长是( 图1 次方程：*25 元二次方程的 是△ABC的角平分线， 李 根与系数的关系：2.6应用 A.20 B.16 C.15 D.12 三、菱形的每一条对角线平分一组对角 过点D作DE∥BC交 次方程 解：因为四边形ABCD是菱形，∠BAD= 例3如图3，在菱 AB于点E,DF∥AB交 第6期 二章复习测试 120°，所以AB=AD=BC=CD,∠BAC=形ABCD中，对角线AC BC于点F.求证：四边 定姜形有方法 第7期 与BD相交于点O,OE1 3.1用状图成表格求概率：3② ∠BAD=60°，所以△ABC是等边三角形，所 形BEDF为菱形， 用场率估计撕率：第一章复 AB,垂足为E,若∠BCD 以AB=AC=BC.因为△ABC的周长是12，所 第8期 =50°，则∠B0E的大小 4.1成比例线段；4.2平行线分 以AB=4,所以菱形ABCD的周长是16.故选B. 线段成比例：4.3相似多边形 笔0粗 二、菱形的对角线互相垂直 A.24° B.25° C.40 D.659 4探索 形相似的条 例2如图2，四边形 *4.5相似三角形判定定理的证正明 解：因为四边形ABCD为菱形，∠BCD 第10期 ABCD是菱形，AC=6,BD= .6利用相似三角形测肩 相似三角形的性质：4.8图形的 8,CH⊥AD于点H,则CH的 50°，所以AC平分∠DAB,∠AOB=90°，∠BAD 证明：因为DE∥BC,DF∥AB,所以四边 位似 长为 ∠BCD=50°，所以∠BAO= 形BFDE是平行四边形.因为BD是△ABC的角 第11期 -∠BAD 平分线，所以∠EBD=∠DBF.因为DE∥BC 第四章复习 测试 A.4 B.4.5 第12期 C.4.8 D.5 25°.因为OE⊥AB,所以∠AE0=90°，所以 所以∠EDB=∠DBF,所以∠EBD=∠EDB 5.1投影：5.2视图：第五章复 习测试 解：因为四边形ABCD是菱形，AC=6,BD ∠AOE+∠BA0=90°.因为∠AOB=90°，所以 所以BE=ED,所以平行四边形BFDE是菱形 第13期 ∠BOE+∠AOE=90°，所以∠BOE=∠BAO= 方法二：对角线互相垂直的平行四边形是 6.1反光例函：62反比例☒ 数的图象与性质 =8,所以AC⊥DB,OA= =3.0D= 25°.故选B. 菱形 第14期 反比例函数的应用；第 例2如图2，在四边形 6 复习测试 名师点晴 ABCD中，AC与BD相交于 第15期 九年级上册综合测评 65 双形”共舞闹中考 点0，且A0=C0,点E在 第16期 BD上，满足AE∥CD,若AB 1.1锐角 角函数；1.230° 45°，60°角的三角函数值；1.3三 =BC,判断四边形AECD的 角函数的计算 O广东 陈芸 第17期 形状，并证明 1.4解直角 将两种特殊的平行四边形融合为一体考查各边的中点，且AB∥CD,AD∥BC,四边形 角形：15三角函 解：四边形AECD为菱形.证明：因为AE∥ 的应用；1.6利用三角函数测高 平行四边形及特殊平行四边形的性质与判定，这EFGH是矩形 第18期 CD,所以∠EAO=∠DCO.因为A0=C0 第 章复习测试 是中考中常见的一种题型.解决这类问题的关键 (1)求证：四边形ABCD是菱形； ∠A0E=∠COD,所以△AOE兰△C0D,所以 第19期 2.1二次函数：2.2二次函数的图 在于熟练掌握和运用各种特殊平行四边形的性 (2)若矩形EFGH的周长为22，四边形 OD=OE,所以四边形AECD是平行四边形.因 象与性质（第一课时第三课时） 贡和判定，下面以中考题为例进行说明. ABCD的面积为10，求AB的长. 为AB=BC,OA=OC,所以OB⊥AC,所以平 二次函数的图象与性质（第 例1 四边形ABCD为矩形，过A,C作对角线 解：(1)证明：如图2，连接BD,AC,因为AB 行四边形AECD是菱形. 四课时)：2.3确定二次函数的 表达式：2.4二次函数的应用 BD的垂线，过B,D作对角线AC的垂线，如果四条 ∥CD,AD∥BC,所以四边形ABCD是平行四边 方法三：四边相等的四边形是菱形 第21期 垂线拼成一个四边形，那这个四边形为 二次函数与 例3如图3，在等腰 无二次方程 形.因为四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是各 第二章复习测试 A.菱形 B.矩形 边的中点，所以GF∥BD,HG∥AC.因为四边形 梯形ABCD中，AD∥BC, 第22期 1圆 3.2圆的对称性；*3 C.直角梯形 D.等腰梯形 EFGH是矩形，所以HG⊥GF,所以BD⊥AC,所 M,N分别为AD,BC的中 经定理：3.4圆园周角和圆角 解：如图1所示，因为 关系 以四边形ABCD是菱形 点，E,F分别是BM,CM的 第23期 四边形ABCD为矩形，所以 35确定圆的条件3.6直线利 (2)因为四边形ABCD中，点E,F,G,H分 中点.求证：四边形MENF 的位置关系：*3.7切线长定理 是菱形 第24期 OA=OD.因为过A,C作对 别是各边的中点，所以GF=EH= 、BD,HG= 证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，所以 3.8圆周内接正多边形：3.9弧长及 扇形的面积：第 章复习测试 角线BD的垂线，过B,D作对角线AC的垂线，所 EF= ∠A=∠D,AB=DC.因为M是AD的中点，所 第25期 -AC.因为矩形EFGH的周长为22，所以 以AM=DM,所以△ABM≌△DCM,所以BM 九年级下册综合测评 第26期 以SAc=SAOAD=)0C·BF=)0B·CH= 年级上下册综合测 BD+AC=22.因为四边形ABCD是菱形，所以 =CM.因为E,F分别是线段BM,CM的中点， 第27-44期 中考数学14月复习专号：高 20D·AE=0A·DG,所以B CH =AE -BD+ 2AC=0A+0B=11.因为四边形 所以ME=BE=2BM,MF=CF=2CM,所 效复习 第45 期 DG.如果四条垂线拼成一个四 以ME=MF.又因为N是BC的中点，所以EN 中考数学5-6月复习专号：满 ABCD的面积为10，所以)BD·AC=10,即 分冲刺 边形，那这个四边形为菱形 FV是△BCM的中位线，所以EN= 2CM,FN 故选A. 20A·0B=10.因为(0A+0B)2=0A2+20A· 例2如图2，在四边形 0B+0B2=121,所以0A2+0B2=121-10= 1 BM,所以EN=FN=ME=MF,所以四边 ABCD中，点E,F,G,H分别是 111,所以AB=WOA2+OB2=/11I 形MENF是菱形 素养专练 数理极 1.1菱形的性质与判定（第二课时） 1.2矩形的性质与判定（第一课时） 跟踪训练 屋础训练 屋四训练 1.四条边都相等的四边形是 1.如图1，在Rt△ABC中 1.1菱形的性质与判定（第一课时） A.正方形 B.矩形 ∠ACB=90°，点D是AB的中点 C.菱形 D.任意四边形 AB=6,则CD的长是 ( 基础训练 2.下列图片中，能观察到菱形的是 + A.2 B.3 1.在菱形ABCD中，AB=4,则菱形的周长为 C.4 D.5 ( ) 2.矩形不一定具有的性质是 A.8 B.12 C.16 D.20 A.四个角都是直角 2.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质 B.对角线互相垂直 B C D 是 ( C.是轴对称图形 3.如图1，在四边形ABCD中，E,F,G,H分别 A.两组对边分别相等 D.对角线相等 是边AB,BC,CD,DA的中点.当对角线AC,BD满 B.两组对边分别平行 3.如图2，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相 足条件 时，EG⊥HF C.对角线互相垂直 交于点0，若∠A0D=120°，AB=3,则AC的长为 D.有一个角是直角 3.如图1，在菱形ABCD中，∠ABC= 80°，BA =BE,则∠BAE= 图2 4.如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AD是 图2 △ABC的角平分线，分别以点A,D为圆心，大于 4.如图3，矩形ABCD中，AB=3cm,AD 分4D的长为半径作弧，两弧交于点M,N,作直线9cm,将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为 4.如图2，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD= MN,分别交AB,AC于点E,F,连接DE,DF,若 EF,则△BEF的面积为 cm. 2,P是AB边上的一点，E,F分别是DP,BP的中 △CDF的周长为12，AC=8,则四边形AEDF的面 5.如图4，在矩形ABCD中，对角线AC与BD 点，则线段EF的长为 积为 交于点O,BE1AC,CF⊥BD,垂足分别为E,F 5.如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=a,点E 5.如图3，在菱形ABCD中，AC,BD交于点O, 求证：OE=OF. 在对角线BD上，将线段DE绕点D顺时针旋转角 点E,F在AC上，AE=CF.求证：四边形EBFD是 ,得到DF,连接AF,CE,求证：△ADF兰△CDE. 菱形. 能力提高 6.如图5，将矩形ABCD绕着点C按顺时针方 能刀提高 向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应，点E恰 能刀提高 6.如图4，在四边形ABCD中，对角线AC与 好落在AD边上，BH⊥CE交于点H 6.如图4，在菱形ABCD中，AE1CD交CD于 BD交于点0，已知0A=OC,0B=OD,过点0作 (1)求证：CD=BH: 点E,延长AE交BC的延长线于点F,且E为AF的EF⊥BD,分别交AB,DC于点E,F,连接DE,BF (2)连接BG交CH于点O,已知AB=5,BC (1)求证：四边形DEBF是菱形； =13,求0H的长. 中点，连接AC,BE: (1)求证：AC=CD: (2)设AD∥EF,AD+AB=12,BD=43 (2)求能的值 求AF的长 数理报社试题研究中心 (参考答案见下期) 数理极 素养·测评 3 16.(10分)如图13，在菱形ABCD中，E,F分 同 别为边AD和CD上的点，连接AF,CE,AF与CE的 步 检测题（一） 交点G在对角线BD上.求证：∠DGE=∠DGF 【检测范围：1.1~1.2（第一课时）】 (满分：120分) 一、精心选一选（每小题4分，共32分） 题号123456 78 答案 图6 图7 1.矩形ABCD的对角线交于点O,若B0=2, 10.两个矩形的位置如图7所示，若∠1=， 则OC的长为 则∠2= 11.如图8，在口ABCD中(AD>AB),∠ABC A.2 B.3 C.25 D.4 2.如图1，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交 为锐角，将△ABC沿对角线AC方向平移，得到 于点O,∠ABD=30°，则∠ADC的度数是() △A'B'C',连接AB和CD,在不添加任何辅助线的 前提下，要使四边形AB'C'D是菱形，只需添加的 A.30° B.45° C.60° D.1209 一个条件是 17.(10分)如图14，在矩形ABCD中，E为AB 的中点，连接CE并延长，交DA的延长线于点F (1)求证：△AEF≌△BEC; (2)若CD=4,∠F=30°，求CF的长 图2 3.矩形具有而菱形不具有的性质是 图8 图9 A.对边平行 B.邻边相等 12.如图9，矩形ABCD的对角线相交于点0， C.四个角是直角 D.对角线垂直 过点O的直线交AD,BC于点E,F,若AB=3,BC 4.如图2，矩形A0BC的边A0,B0分别落在直 =4,则图中阴影部分的面积为■ 角坐标系y轴和x轴上，且A0=3,AB=5,则点C 13.如图10，在菱形ABCD中，对角线AC,BD 的坐标为 ( 相交于点O,点E在线段BO上，连接AE.若BE:: 图14 A.(3,5) B.(4,3) OD=2:3,∠EDA=2∠EAC,EO=1,则线段AE C.(4,5) D.(3,4) 的长为 5.菱形ABCD的两条对角线长分别为4和6 则菱形ABCD的面积为 ( A.12B.18 C.24 D.30 6.小明和小颖同学交流学习心得，小明发现 将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿着图3 ③中的虚线剪下，就能得到一个特殊的图形.这个 图10 图11 特殊的图形是 14.如图11，在矩形ABCD中，AB=2,BC=1, 18.(10分)如图15，四边形ABCD中，AB= ( 将矩形ABCD绕点A顺时针旋转，得到矩形AD,PE,PF分别是边BC,CD的中垂线，连接PA, AB'C'D',边C'D'交AB于点E,当点C的对应点C'PB,PC,PD,延长AP交BC于点H,延长CP交AB ←一 对折 再对折 沿虚线剪下 恰好落在线段CB的延长线上时，AE的长是于点G,若AD∥BP,CG1AB,∠AHB=45°. ① ② ③ (1)判断四边形ABPD的形状，并加以证明： 图3 三、耐心解一解（本大题6小题，共64分） (2)若BH=6,CH=2,求AB的长度 A.矩形 B.三角形 15.(10分)如图12，已知矩形ABCD,过点C C.菱形 D.正方形 作CE∥BD交AB的延长线于点E.求证：AC= 7.如图4，D,E分别是△ABC的边AB,AC的中 EC. 点，点F是线段DE上的一点，且AF⊥BF,若EF= 2,AB=6,则BC= A.8 B.10 C.12 D.14 凤12 4 5 8.如图5所示，在四边形GBCD中，GC⊥BD 于点0，G0=C0=4,B0=D0=3,点H为线段 GC上的一个动点，过点H分别作HM⊥GD于点 M,作HN⊥DC于点N,连接HB,在点H运动的过 程中，HM+HN+HB的最小值为 () A.6 B.7.8C.8 D.9.8 二、细心填一填（每小题4分，共24分） 9.如图6，在菱形ABCD中，两条对角线AC 6,BD=8,则此菱形的边长为」 (下转第4版)