1.1菱形的性质与判定（3） 导学案2024-2025学年 北师大版九年级数学上册

1.1菱形的性质与判定（3） 导学案 【学习目标】能综合运用菱形的性质和判定解决问题. 【学习重难点】提高综合运用能力. 【学导过程】 一.知识回顾: 菱形的定义: ；性质定理: ；判定定理: ． 二.典例与练习 ( C D A H B O )例1．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12． （1）求菱形的边长AB；（2）求AB边上的高DH． ( 图1 )练习：1．如图1，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，H为边AD中点，则OH的长为_______． 2．如图2，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线长分别是6和8时，阴影部分的面积是_____． ( B M C N D A P )3．如图3，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，点P是对角线BD上一动点，则PM+PN的最小值为___________． ( A O D B C H ) ( C B A D O ) 图2 图3 图4 例2． ( C A E B D F )已知：如图5，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点． 求证：四边形EGFH是菱形． ( H ) ( G ) ( 图5 ) ( D E C A F B )练习：4．如图6，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD的中点，且∠BAC=90°． （1） 求证：四边形AECF是菱形； （2） ( 图6 )若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF的面积． ( C F B E A D G )5．如图7，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．作CD的垂直平分线EF，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF． （1） 求证：四边形DFCE是菱形； （2） 若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长． ( 图7 ) 三.课堂小结：1.菱形具有平行四边形的所有性质； 2.证明一个四边形是菱形，首先证明它是一个平行四边形，再证明它是一个菱形. 四.分层过关： 1．如图8，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　　） A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 2．如图9，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，若AE=3，则四边形AECF的周长为（ ）A.22 B.18 C.14 D.11 ( 图11 ) ( C B E F D A 图9 ) ( B C D A 图8 ) ( 图10 ) 3.如图10，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　　）A.（2， ） B.（，2） C. （，3） D. （3，） 4.如图11，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且BE∥CF． (1)求证：△BDE≌△CDF,(2)连接BF，CE，若AB=AC时，判断四边形BECF的形状. ( C F B D E A G H 图12 )5．如图12，在△ABC中，BD为的角平分线，EF垂直平分BD分别交AB、BC于点E、F，垂足为点G，连接DE、DF．（1）求证：四边形BEDF为菱形； （2）若∠ABC=45°，∠A=30°，BE=2，求AE的长． 思考题： 1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是　__　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布 2.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，将菱形翻折，使点A落在边CD的中点E处，折痕交边AD，AB于点G，F，求AF的长. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1菱形的性质与判定（3） 导学案 【学习目标】能综合运用菱形的性质和判定解决问题. 【学习重难点】提高综合运用能力. 【学导过程】 一.知识回顾：菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形； 性质定理:①菱形的四条边相等．②菱形的对角线互相垂直，每一条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴有2条；菱形是中心对称图形，对称中心为对角线的交点． ( C D A H B O )判定定理:①四条边都相等的四边形是菱形．②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．③定义. 二.典例与练习: 例1．如图1，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且AC=16，BD=12． （1）求菱形的边长AB；（2）求AB边上的高DH． ( 图1 )解（1）AB=10;(2)DH=9.6； 练习：1．如图2，在菱形ABCD中，AC=8，BD=6，H为边AD中点，则OH的长为_2.5_． 2．如图3，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分，当菱形的两条对角线长分别是6和8时，阴影部分的面积是_12_． ( B M C N D A P )3．如图4，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是6和8，M，N分别是边BC，CD的中点，点P是对角线BD上一动点，则PM+PN的最小值为_5_． ( A O D B C H ) ( C B A D O ) 图2 图3 图4 例2． ( G H C A E B D F 图5 )已知：如图5，在四边形ABCD中，AD=BC，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点． 求证：四边形EGFH是菱形． 证明：∵E、F、G、H分别为AB、CD、AC、BD的中点 ∴ ∵AD=BC∴FG=EG=EH=FH∴四边形EGFH为菱形 ( D E C A F B 图6 )练习：4．如图6，已知点E、F分别是平行四边形ABCD的边BC、AD的中点，且∠BAC=90°． （1） 求证：四边形AECF是菱形； （2） 若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF的面积． （1）证明：∵平行四边形ABCD∴AD=BC，AD//BC∵E、F分别为BC、AD的中点 ∴∴AF=EC,AF//EC∴四边形AECF为平行四边形 ∵∠BAC=90°，E为BC中点 ∴AE=CE∴平行四边形AECF为菱形 （2）∵∠B=30°，BC=10，∠BAC=90°∴AC=5，AB=∴ ( C F B E A D G 图7 )5．如图7，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D．作CD的垂直平分线EF，分别交AC、DC、BC于点E、G、F，连接DE、DF．（1）求证：四边形DFCE是菱形； （2）若∠ABC=60°，∠ACB=45°，BD=2，试求BF的长． (1)证明：∵EF是CD的垂直平分线,∴DE=CE,DF=CF，DG=CG,∠EGC=∠FGC=90° ∵BD平分∠ABC,∴∠ECG=∠FCG,又∴CG=CG,∴△CFG≌△CEG ∴CE=CF ∴DE=CE=CF=DF ∴四边形DECF为菱形 （2）如图，作DH垂直BC于H，则∠DHF=∠DHB=90° ∵∠ABC=60°∴∠BDH=30°∵BD=2 ∴BH=1，DH= ∵菱形DECF∴DF//EC∴∠DFH=∠ACB=45° ∴∠FDH=45°=∠DFH∴BF=1+ 三.课堂小结：1.菱形具有平行四边形的所有性质； 2.证明一个四边形是菱形，首先证明是一个平行四边形，再证明是一个菱形. 四.分层过关： 1．如图8，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是（　B　） A．△ABD与△ABC的周长相等 B．△ABD与△ABC的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍 ( B C D A 图8 C B E F D A 图9 图10 图11 )2．如图9，菱形ABCD的边长为4，过点A、C作对角线AC的垂线，分别交CB和AD的延长线于点E、F，若AE=3，则四边形AECF的周长为（ A ）A.22 B.18 C.14 D.11 3．如图10，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，O（0，0），A（4，0），∠AOC=60°，则对角线交点E的坐标为（　D　）A.（2，）B.（，2）C.（，3）D.（3，） 4.如图11，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且BE∥CF． (1)求证：△BDE≌△CDF,(2)连接BF，CE，若AB=AC时，判断四边形BECF的形状. 证：(1)∵BD=CD,BE∥CF∴易得：△BDE≌△CDF. （2）四边形BECF是菱形.∵AB=AC，点D是BC的中点∴AD⊥BC；由（1）知，BEFC是平行四边形，∴四边形BECF是菱形. ( C F B D E A G H 图12 )5．如图12，在△ABC中，BD为∠B的角平分线，EF垂直平分BD分别交AB、BC于点E、F，垂足为点G，连接DE、DF．（1）求证：四边形BEDF为菱形；（2）若∠ABC=45°，∠A=30°，BE=2，求AE的长． 证明：(1)证明：∵EF是CD的垂直平分线∴DE=BE,DF=BF，DG=BG,∠BGF=∠BGE=90° ∵BD平分∠ABC∴∠EBG=∠FCG又∴BG=BG∴△BFG≌△BEG ∴BE=BF∴DE=BE=BF=DF∴四边形BEDF为菱形. (2）作DH垂直AB于H，则∠HDF=∠DHA=90°∵菱形BEDF，BE=2∴DE=2，DE//BF ∴∠AED=∠ABC=45°∴∠EDH=45°=∠HED ∴EH=HD 设EH=HD=x，则DE==2， ∴DH=EH=，∴AD=2DH=，AH=，∴AE=. ( 图13 )思考题：1.如图13，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是　①③　．（把所有正确结论的序号都填在横线上）①OG＝AB；②与△EGD全等的三角形共有5个；③由点A、B、D、E构成的四边形是菱形． 解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，易得：△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，∴OG是△ACD的中位线，∴OG＝CD＝AB，①正确； ∵AB∥CE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形，∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形，∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，③正确；∴AD⊥BE，由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG， 易得△ABG≌△DCO（SAS），∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；正确的是①③．故答案为：①③． 2.如图14，在菱形ABCD中，AB＝2，∠D＝120°，将菱形翻折，使点A落在边CD的中点E处，折痕交边AD，AB于点G，F，求AF的长. 解过点E作EN⊥AB于N，过点A作AM⊥CD于M，如图 ( 图14 )∵ABCD是菱形，∴AB∥CD，AD=AB=CD=AB=2 ∵∠D＝120°，∴∠ADM=∠BAD=∠HDE=60°， 在Rt△AMD中，AD=2，AM⊥DM，∠ADM=60°∴MD=1，AM=， ∵AB∥CD，AM∥EN∴AMEN是平行四边形且AM⊥CD∴AMEN是矩形 ∴AN=ME=1+1=2，（即N与B重合）AM=EN=，在Rt△FBE中，EF2=EN2+FB 2 EF2=（2-EF）2+3∴EF=. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$