专题01 集合11种题型归类（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第一册

专题01 集合归类 目录 典例详解 类型一、读懂集合的“元素” 类型二、集合相等求参数 类型三、集合元素个数最值范围型 类型四、子集型最值范围求参 类型五、并集型最值范围求参 类型六、交集型最值范围求参 类型七、补集与全集型最值范围求参 类型八、文氏图 类型九、容斥定理 类型十、集合运算压轴型小题综合 类型十一、集合新定义型压轴小题 压轴专练 类型一、读懂集合的“元素” 集合综合题，难度设置之一，主要在元素形式的负责性，也就是要“读懂”集合的元素是谁？要从以下几方面入手。 1.确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合； （1）数集形式{x|。。。}， （2）点集形式{（a，b）|。。。}。 （3）函数形式{f（x）|。。。}， （4）数列形式{an|。。。}等等 2.确定元素是否有限制条件。如定义域限制，实际意义限制等等。 3.根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 4.集合中元素的互异性容易忽略，子集的真子集是从空集开始的，也容易忽略。求解问题时要特别注意 例1．（24-25高一·四川眉山·模拟）集合中最小的元素是 . 【答案】/ 【分析】问题可转化为求的最小值，其中，结合关系，并利用基本不等式可求结论. 【详解】因为， 所以集合中的最小元素等于的最小值，其中， 又， 因为， 由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以当时，取最小值，最小值为， 所以集合中最小的元素是. 故答案为：. 变式1-1． （24-25·上海·阶段练习）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 【答案】 【分析】分析可知有一个不等于3的实数解，分类讨论最高项系数以及根的个数，运算求解即可. 【详解】由题意可知：方程有且仅有一解， 等价于有一个不等于3的实数解， 1.当时，解为，满足题意； 2.当时，只有一解时， 则，解得， 若，则，解得，符合题意； 3.当时，且有两解但3是方程的解， 故，解得； 综上所述，实数取值集合为. 故答案为：. 变式1-2． （24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为 . 【答案】或 【分析】根据题意，分角的终边在一条直线上和角的终边在上两种情况讨论，确定的值，得到答案. 【详解】根据单位圆，若集合中恰有2个元素，则满足以下两钟情况： 当角的终边在一条直线上，此时，可取除的任意角； 当角的终边在上来回跳，此时，取值只能为， 故的取值为或. 故答案为：或. 变式1-3．（高一·上海·阶段练习）设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合 ； 【答案】或 【分析】根据若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，分两种情况讨论，一种两者相乘等于自身的情况，第二种是均不等于自身情况，依次分析． 【详解】解：集合中任意两数之积仍是中的元素 所以会出现两者相乘等于自身的情况，也有可能均不等于自身情况 即其中有一项为或者 （1）当时，或 若，则或 所以，或 又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素 所以，剩下的一个数必为-1，所以集合 当时，则必须 又因为集合中任意一个数的平方仍是中的元素 则， 解得，或，， 所以，集合． （2）当时，三个等式相乘则得到 所以得到或 若，则三者必有一个为0，同（1）可得集合． 若，则得到， 当时，则可以得到且，则不成立； 当时，则，不成立． 故集合M为或 【点睛】求解这类问题时，要注意逻辑严谨分析，对每一个条件，每一种情况都要力求准确到位，在复数范围内要注意实系数方程的解有扩充． 类型二、集合相等求参数 两个相等集合，元素形式不一样，一个方式是化为一致形式，另一个是根据集合所表示的元素来确定。 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 例2（24-25高三·浙江温州·模拟）已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出函数的简图，可得及，由并结合图象建立关系求解即得. 【详解】作出函数的简图，如图，    由，得，而，解得，即， 由，得，则， 由及函数图象，得，整理得，则， 所以实数的取值范围为. 故选：D 变式2-1．（24-25高一·湖南长沙·模拟）已知集合，若，则实数（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】求出函数的值域及函数的定义域，根据函数相等即可求解. 【详解】，所以， 的定义域为，即，解得， 所以，，且，所以． 故选：. 变式2-2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 【答案】B 【分析】不妨设，则，根据集合相等的定义可得，分析可得为偶数，从而可得可得为奇数，再分析计算即可得出答案. 【详解】解：不妨设，则， 因为，，，，， 所以， 因为为偶数， 所以，，必为两奇一偶，从而可得为奇数， 又因为，所以为不小于3的奇数， 若，则，，，，， 故，且，所以，不符合要求， 若，则，，，，，故，解得， 此时，， 所以的最小值是1297. 故选：B. 【点睛】本题主要考查的时集合相等的定义，解决本题的关键在于先假设，判断，，三个数中奇偶数的个数，考查了数据分析及逻辑推理能力. 变式2-3． （24-25高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将集合中元素化为统一形式，然后进行判断即可. 【详解】， , ， 故 故选：B. 类型三、集合元素个数最值范围型 集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。 例3．（24-25高一上·北京房山·期末）已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 【答案】B 【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项. 【详解】45个正奇数的和不小于， 因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数. 取， 则中共有元素个数为， 这个数的和为， 故的最小值为7. 故选：B. 【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可. 变式3-1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】先得到与的元素不同，则元素个数为4，从中选择1个元素，再加入一个新元素，即可得到中元素个数最少，求解即可． 【详解】，， 与的元素不同，则元素个数为4， 若中元素个数的最小值是4，则只能是，，与矛盾， 若从中选择1个元素，再加入一个新元素，这样元素个数为5个， 这5个元素适当排列，得到，，，， 例如，，， 取，，，，符合题意， 则中元素个数的最小值是， 故选：B． 【点睛】方法点睛： 由已知，元素个数为4，从开始讨论中是否还要增加元素，最少增加几个能满足题意. 变式3-2． （23-24高一·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 【答案】B 【分析】分析可得当和同时为时，，当和至少有一个为时，，要使，则的所有元素的位置至多有个，讨论即可得到集合的元素个数的最值． 【详解】依题意，对于中元素和， 当和同时为时，， 当和至少有一个为时，， 要使得的一个子集中任两个不同元素、，均满足， 设集合中的元素记为， 则的所有元素的位置至多有个， 若位置为，其它位置为的元素有个， 若全为的有个， 综上中元素最多有个． 故选：B． 【点睛】关键点点睛：本题关键是分析出的所有元素的位置至多有个，从而确定中元素个数的最大值. 变式3-3． （22-23高一·北京·阶段练习）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】根据题设描述只需保证各集合中（）尽量小，结合已知及集合的性质有最大时，进而分析的取值. 【详解】由题设，，，…，中都至少有一个元素，且元素个数互不相同， 要使最大，则各集合中（）尽量小， 所以集合，，，…，的元素个数尽量少且数值尽可能连续， 所以，不妨设，有， 当时，， 当时，， 只需在时，在上述特征值取最小情况下，使其中一个集合的特征值增加5即可，故的最大值为11. 故选：B 【点睛】关键点点睛：注意最大则各集合中（）尽量小，并求出该情况下特征值之和关于n的公式，再分析其最大取值. 类型四、子集型最值范围求参---5空 元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束” 例4．（24-25高一·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据真子集的定义，推断出中有4个元素，即不等式的解集中有且仅有4个整数，由此进行分类讨论求实数的取值范围. 【详解】若集合有15个真子集，则中有4个元素，又，可知，即，且区间中有4个整数， 当时，的区间长度为，此时中不可能有4个整数； 当时，，其中含有共4个整数，符合题意； 当时，的区间长度大于3， 若的区间长度，即， 若是整数，则区间中含有4个整数， 根据可知，则， 此时，其中含有四个整数，符合题意； 若不是整数，则区间中含有四个整数， 则必须有且，解得； 若时，，其中含有五个整数，不符合题意； 若时，的区间长度， 此时中有这四个整数，故，即， 结合，得； 综上所述，或或， 即实数的取值范围是. 故答案为： 变式4-1．（24-25高三·山东德州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 ． 【答案】 /0.2 【分析】根据区间长度定义得到关于的不等式组，再分类讨论即可；代入得到，再根据区间长度大于，得到关于n的不等式组，解出即可. 【详解】因为，都是集合的子集， 所以，解得，， 要使集合的“长度”最小，则只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立， 当，时，，“长度”为； 当，时，，“长度”为， 所以集合的“长度”最小值是. 若，则， 要使集合的“长度”大于，则或， 即或，又， 则n的取值范围是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分理解区间长度的定义，再根据交并集的含义得到不等式组，结合分类讨论的思想即可. 变式4-2． （23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 变式4-3． （22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 类型五、并集型最值范围求参 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 例5．（24-25高三·上海·阶段练习）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 【答案】或 【分析】根据所处的不同范围，得到和时，所处的范围；再利用集合A的上下限，得到与的等量关系，从而构造出方程，求得的值. 【详解】因为，则只需考虑下列三种情况： ①当时，因为，则， 且，可得， 又因为，则且，可得：， 则，解得； ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去； ③当，即时，可得：且， 可得，解得；综上所述：或.故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用集合与元素的关系求解参数的取值问题，关键在于能够通过的不同取值范围，得到与所处的范围，从而能够利用集合的上下限得到关于的等量关系，从而构造出关于的方程；难点在于能够准确地对的范围进行分类. 变式5-1．（2024·湖南·二模）已知，若，则实数的取值范围是 ， 【答案】 【分析】构造函数，先分析其值域，从而得到的最大值，进而利用解绝对值不等式得到或，结合集合的并集运算即可得解. 【详解】设， 因为在上单调递增，可知在上单调递增， 即在上单调递增，则， 且， 由绝对值的性质可知的最大值为或， 因为等价于，又， 即关于的不等式或在上恒成立， 由，得； 由，得； 所以， 则，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，将等价于关于的不等式或在上恒成立，从而得解. 变式5-2． （24-25高一·四川成都·阶段练习）已知集合.若，实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由得.计算和时的取值范围即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵，∴. 当时，，解得. 当时，，解得. 综上得，的取值范围为. 故答案为：. 变式5-3． ．（24-25高一上海闵行·阶段练习）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过分析可得，进而结合可得，进而得到不等式恒成立，再根据一元二次不等式恒成立问题求解即可. 【详解】由于， ， 所以， 则，所以， 则不等式恒成立， 当时，不等式不一定成立，不符合题意，则. 若恒成立，则，解得， 若恒成立，则，解得， 同理，若恒成立，则， 若恒成立，则， 所以要使恒成立， 则或， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 类型六、交集型最值范围求参---5单 交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A；    ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. 例6．（2020高一·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出中不等式的解集确定出,求出集合对应的一元二次方程的根,表示出B集合,由的范围判断出两整数解为和,从而得到关于的不等式. 【详解】，令，由题意，， 又，所以，设，又. 所以要使中恰好有两个整数解，则只能是和， 所以应满足,解得.故选A 【点睛】本题考查利用集合间的交运算求参数的范围;判断出中的两个整数解为4和5和结合一元二次函数图象得出关于a的不等式是求解本题的关键;属于难度大型试题. 变式6-1． （2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元二次不等式求出集合，然后由可得在时，恒成立，将问题转化为求在上的最小值，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得，解得， 所以， 因为，， 所以当时，恒成立，即恒成立， 令，，则， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以， 所以，即的取值范围是. 故选：B 变式6-2． （23-24高三·湖北荆门·模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意求出﹣4≤x≤4，结合正弦函数的性质可得，从而可求出ω的取值范围. 【详解】解：∵f′（x0）＝0，∴f（x0）是f（x）的最大值或最小值， 又f（x）＝sin（ωx+φ）的最大值或最小值在直线y＝±1上， ∴y＝±1代入得，，解得﹣4≤x≤4， 又存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，∴ ，且ω＞0， 解得 ，∴ω的取值范围是． 故选：B． 【点睛】关键点睛： 本题的关键是求出的取值范围，再结合三角函数的性质列关于ω的不等式. 变式6-3． （22-23高三江苏·模拟）设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】依题画出满足题意的图形，因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况，然后分析计算即可得解. 【详解】，，即圆M：的上半部分，如图： 圆M的圆心坐标为，半径为2，圆N的圆心坐标为，半径为r， 因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点， 所以圆N的位置为圆（1）和介于圆（2）、圆（3）之间两种情况， ①外切：，d为圆心距， ，此时， ②介于圆（2）、圆（3）之间：圆（2）处的半径， 圆（3）处的半径， 所以， 综上，正数的所有取值为或. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键是由因为有且只有一个元素，所以圆N和圆M只有一个交点，进而分析计算. 类型七、补集与全集型最值范围求参 ---5单 全集与补集运算的性质： 例7．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合计算，利用求参数的取值范围. 【详解】由得，. 由得，， ∴或， ∴，解得. 故选：A. 变式7-1．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式不等式求解集合A及，然后按照和分类讨论，根据集合的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为，所以，所以或， 所以或，所以， 当时，，解得，满足； 当时，要使，则，解得， 综上，，即的取值范围是. 故选：D 变式7-2． （22-23高三上·河北唐山·阶段练习）设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，再结合集合及，运算即可得解. 【详解】由集合或，则， 又集合且，则， 故选：B. 变式7-3． （20-21高一上·江苏南京·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【解析】首先根据题意，求得或，由可以得到，根据子集的定义求得参数所满足的条件，得到结果. 【详解】， ∵． ∴或， ∵即，∴或． 即或，‎即实数的取值范围是或． 故选：C. 【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的补集，根据子集求参数的取值范围，属于简单题目. 类型八、文氏图---5单 文氏图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 例8．（北京西城·二模）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】通过设出只持有股票的人数和只同时持有了和股票的人数，表达出持有不同股票的人数，通过持股的总人数即可求出只持有股票的股民人数. 【详解】由题意， 设只持有股票的人数为， 则持有股票还持有其它殸票的人数为 (图中的和 )， ∵只持有一支股票的人中, 有一半没持有或股票, ∴只持有了和股票的人数和为 (图中部分) . 假设只同时持有了和股票的人数为, ∴, 即， 则的取值可能是, 与之对应的值为, ∵没持有股票的股民中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍 ∴，即， ∴时满足题意，此时, ∴只持有股票的股民人数是, 故选：A.    【点睛】本题主要考查了逻辑推理能力，韦恩图在解决实际问题中的应用，解答此题的重点是求持有股票的人数，利用韦恩图结合条件即得. 变式8-1． （23-24高一上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】作出示意图，由可知两个阴影部分均为，根据新定义结合集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义判断即可. 【详解】如图，由于， 故两个阴影部分均为， 于是， （1）若，则，， 而，成立； （2）反之，若，则由于，， ，，，故选：A    【点睛】本题主要考查集合并集的运算以及充分条件与必要条件的定义，考查了分类讨论、数形结合思想的应用，属于较难题. 变式8-2．（24-25高一·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 【答案】D 【分析】根据集合之间的关系作出图，逐项判断即可. 【详解】， 由，，，，， 作出图，如图所示，    由图可知，，，故A，正确； 集合的子集个数为个，故B正确； 因为，所以，错误. 故选：D 变式8-3． （24-25高一·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 【答案】D 【分析】由集合的交并补运算即可得出答案. 【详解】图形I表示的集合为； 图形Ⅱ表示的集合为； 图形Ⅲ表示的集合为； 图形Ⅳ表示的集合为； 图形Ⅴ表示的集合为； 图形Ⅵ表示的集合为； 图形Ⅶ表示的集合为； 图形Ⅷ表示的集合为． 故选：D. 类型九、容斥定理 例9．（23-24高一湖北·阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 【答案】 【分析】令，作出图形，每个元素可在、、中任何一个，共有中，除去为空集、为空集以及、同时为空集的情形，即可得出的表达式，即可得解. 【详解】令，如图，全集被划分成、、三个部分， 中的任意一个元素只能在集合、、之一中，有种方法， 则这个元素在集合、、中，每个元素均有种选择，故共有种选择方法， 其中为空集的种数为，为空集的种数为，、均为空集的种数为种， 则、均为非空子集的种数为， 因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”， 而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合的所有“互斥子集”的组数为， 其中. 故答案为：；. 变式9-1． （24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 【答案】180 【分析】根据给定条件，利用容斥原理列式计算即得. 【详解】依题意，， 而，， 所以 . 故答案为：180 变式9-2． （22-23高二上·山东·阶段练习）如图，这是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图和集合间的基本运算依次求出、、、，结合古典概型的计算公式计算即可. 【详解】A：， 所以，故A正确； B：，故B错误； C：因为， 所以，故C错误； D：因为 所以，故D错误； 故选：A. 变式9-3． ．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 【答案】 50 【分析】令，推出均为非空子集的种数为，从而得到，并计算出的值. 【详解】令，如图，全集被划分成三个部分， 中的任意一个元素只能在集合之一中，有3种方法， 则这个元素在集合中，每个元素均有3种选择，故共有种选择方法， 其中为空集的种数为为空集的种数为， 均为空集的种数为1种， 则均为非空子集的种数为， 因当且仅当时，与为同一组“互斥子集”， 而，满足的与不是同一组“互斥子集”， 于是得集合的所有“互斥子集”的组数为， 其中. 故答案为：， 类型十、集合运算压轴型小题综合----4单 集合的并、交、补运算： 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ，或 ，且 若全集为U，则集合A的补集记为 ，且 Venn图表示(阴影部分) 意义 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合 例10．（22-23高三·上海金山·模拟）在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是 . 【答案】 【详解】过与分别作直线的垂线，垂足分别为，， 则由题意值，即，∴三角形为正三角形，边长为，正三角形的高为，且，∴集合对应的轨迹为线段的上方部分，对应的区域为半径为1的单位圆内部，根据的定义可知，中的所有点所组成的图形为图形阴影部分． ∴阴影部分的面积为，故答案为. 变式10-1．（22-23高一·上海浦东新·阶段练习）若集合,集合，且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值是 ． 【答案】 【分析】先归纳出集合时，集合且时，的平均值，然后令可得出的平均值. 【详解】先考虑集合时，集合且时，的平均值. ，，则，此时，的平均值为； ，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为； ，当时，，当时，，时，，当时，，当时，，当时，，当时，，此时，的平均值为； 依此类推，对于集合，的平均值为. 由于，所以，. 故答案为. 【点睛】本题考查了集合的新定义，同时也考查了归纳推理，解题的关键就是利用归纳推理得出的表达式，考查推理论证能力，属于难题. 变式10-2．（24-25高一·江苏·期末）已知，，且．则满足条件的集合共有 个． 【答案】410 【分析】由题意，除以3的余数相同，按照，除以3的余数相同，，被3除余1，，被3除余2分类讨论，结合组合数的运算求解即可. 【详解】因为，所以能被3整除，所以，除以3的余数相同， 中的元素能被3整除的整数有，被3除余1的整数有， 被3除余2的整数有， 当，都被3整除时，则从被3整除的5个数中选取3个， 或，可从被3整除的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余1时，则从被3除余1的6个数中选取3个， 或，可从被3除余1的6个数中选取2个，从其余10个数中选择， 所以的个数为， 当，被3除余2时，则从被3除余2的5个数中选取3个， 或，可从被3除余2的5个数中选取2个，从其余11个数中选择， 所以的个数为， 所以满足条件的集合共有个． 故答案为：410 变式10-3．（2025高三·全国·专题练习）已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ． 【答案】3 【分析】由题意作出韦恩图，根据集合的运算，结合计数原理解题即可. 【详解】由题意作出韦恩图如图，因为， 所以全集中不属于交集的元素有个， 剩余的元素属于集合或，但不能同时属于两者， 每个剩余元素有两种选择，因此总分配方式为， 所以，解得．故答案为：3 类型十一、集合新定义型压轴小题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性” 例11．（24-25高三·北京·模拟）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数， 定义：当且仅当时； ； ． 对于集合，其中，定义： 当且仅当时，成立，则称为的线性无关子集； 若存在，，，且，使得成立，称为的线性相关子集．给出以下四个结论： ①时，是的线性相关子集； ②当时，已知集合不存在，使得是的线性相关子集； ③当时，若，，是同一平面内的三个向量，且和不共线，则集合为集合的线性相关子集； ④已知集合，其中，若对任意都成立，则是的线性无关子集． 所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】对于①：根据线性相关子集的定义，设，列方程组求得，，的值即可判断；对于②，由题意可得：存在，使得，列出方程组，解方程组求出的值即可求解；对于③，根据平面向量基本定理得存在，，使得成立，然后根据线性相关子集的定义判断即可；对于④，假设存在不全为0的实数，，满足，不妨设，则，由结合已知条件得出矛盾即可求解．【详解】对于①，设，可得， 解得，，，所以是的线性相关子集，正确； 对于②，因为集合B是的线性相关子集， 所以存在，，，且，使得成立， 即，由集合的互异性可得：且且，所以且，所以，可得，， 所以，即， 所以，所以或，当时，，解得， 所以存在使得， 当时，因为，所以，，不符合题意，所以，错误； 对于③，当时，若，，是同一平面内的三个向量，且和不共线， 根据平面向量基本定理知，存在，，使得成立， 即，取，则， 满足线性相关子集的定义，所以集合为集合的线性相关子集；正确； 对于④，假设存在不全为0的实数、、满足， 不妨设，则，否则与假设矛盾， 由，可得， 所以与， 即矛盾，所以假设不成立， 所以，所以，所以是的线性无关子集，正确； 故答案为：①③④ 【点睛】方法点睛：与数列的新定义有关的问题的求解策略： ①通过给出一个新的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； ②遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 变式11-1．（23-24高一下·上海松江·期末）设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当最小时，的取值为 . 【答案】 【分析】先分析出，或或或或，当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且，当对称轴为时最小，从而得到不等式，求出的最小值及此时的取值. 【详解】若空间向量，，均为非零向量，则空间向量，，共线或两两互相垂直， 此时三组向量中两两共线的有0组或3组； 若其中一个为零向量，当另外两个向量共线且不为零向量时， 此时三组向量中两两共线的有3组， 若另外两个向量一定不共线， 则， 此时零向量和另外两个向量组成两组共线向量，此时两两共线的有2组， 显然，这三组向量中两两共线的不可能有且仅有1组. 则，由得是的子集， 令，其开口向上，对称轴为，顶点坐标为， 由二次函数的连续性和对称性，或或或或， 当或或或时， 所得的取值范围必包含； 当时二次函数的图象可以最靠下，即最小，且， 由对称性可知，当对称轴为时最小， 此时且，则， 综上，，最小时，的取值为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：集合新定义问题，命题新颖，且存在知识点交叉，常常会和函数的性质，包括单调性，值域等进行结合，很好的考虑了知识迁移，综合运用能力，对于此类问题，一定要解读出题干中的信息，正确理解问题的本质，转化为熟悉的问题来进行解决. 压轴专练 一、单选题 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】依题意，，，或， 由，得，解得， 所以a的取值范围是. 故选：B 2．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】依题意可得，则或，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 所以，则或， 解得或或， 当或时，此时集合不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，满足，符合题意. 故选：D. 3．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 4．（2025·辽宁鞍山·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解不等式求得集合，进而可求得. 【详解】由，可得，解得， 所以，或， 由，可得，所以， 所以，所以或. 故选：C. 5．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，从集合A的非空子集中任取两个集合，，则它们的交集为空集的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解一元二次不等式，求出集合中的元素，计算集合的所有非空子集的个数，分类讨论其中两个集合，交集为空集的情况数，计算概率即可. 【详解】由，解得，所以，共有个非空子集， 当中有一个元素时，是剩下三个元素的非空子集，则有种情况， 当中有两个元素时，是剩下两个元素的非空子集，则有种情况， 当中有三个元素时，是剩下一个元素的非空子集，则有种情况， 根据对称性可知，其中有一半是重复的情况，则，交集为空实际有种不同情况， 任取两个集合，交集为空集的概率为. 故选：C. 6．（2025·福建福州·模拟预测）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 【答案】AD 【分析】根据题意中集合的划分定义对每个选项逐一分析判断即可. 【详解】对于选项AB： 在集合划分定义中并未要求，但若存在， 则矛盾，故必然成立. 对于选项C： 集合为，而集合为，此时， 不符合集合划分的定义，所以选项C错误. 对于选项D： 若，则，无法划分； 若，则，无法划分； 所以D正确. 故选：AD. 7．（24-25高一·内蒙古乌兰察布·期中）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】首先根据已知条件求出的值，然后分区间讨论时的值，找到集合中的最小元素. 【详解】由可知， 因为当时，，所以， 所以. 当时，令无解； 当时，，此时， 令无解； 当时，，所以， 由解得，所以集合中的最小元素是6. 故选：C 8．（24-25高三湖南·模拟）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“间距置换”的定义，讨论的大小关系，并结合，求得，即可求解. 【详解】由题可知，，． 若x介于y，z之间，则． 由题可知，，所以，矛盾，舍去． 又因为，所以，结合，可得或． 若，由题可知，，， 上述三个式子相加可得，所以，，即，则，可得； 若，同理可得. 故选：A． 二、多选题 9．（24-25高三·河南新乡·阶段练习）若对于非空数集A，存在k个两两交集均为空集的集合，使得，且中每个集合的元素之和均相等，则称集合A为“k可分集”．设，则下列说法正确的是（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则k为偶数 C．对于任意的偶数不为“k可分集” D．对于任意的奇数均为“k可分集” 【答案】BCD 【分析】利用定义易判断A，利用定义计算可判断BC；设奇数，利用构造法证明即可判断D. 【详解】对于A，因为均只有一个元素，即元素之和为，互不相等，故A错误； 对于B，集合的元素之和能被4整除，因为能被4整除，所以必须能被4整除，因此k为偶数，故B正确； 对于C，若为“k可分集”，那么能被k整除， 于是必然是整数，这与k为偶数矛盾，所以不为“k可分集”，故C正确； 对于D，对于显然成立，不妨设奇数，下面给出一种构造： 由于， 则前组为，， 后m组为，， 因此对于任意的奇数均为“k可分集”，故D正确． 故选：BCD． 10．（24-25高三·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 【答案】AD 【分析】根据集合的新定义结合并集及子集定义分别计算判断各个选项即可. 【详解】对A，，A正确； 对B，若，当时，，，且，当时，假设， 则，故，B错误； 对C，若，则，C错误； 对D，由得，反之也成立，D正确． 故选：AD． 11．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，其中，设，且，又中所有元素之和为224，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C．设i是虚数单位，实数x，y满足，则 D．椭圆的离心率为 【答案】ABC 【分析】对A：由中元素为完全平方数与可得，即可得；对B：由中所有元素之和为224，可得，结合题意可得，从而可得或为3，再分类计算即可得；对C：利用复数相等条件得到方程，计算即可得；对D：结合B中所求，利用椭圆离心率公式计算即可得 【详解】对A：∵且， 而中的元素为完全平方数， 又，故此两数只能为1，9， 显然，满足，∴，故A正确； 对B：由中所有元素之和为224，注意到中的元素互异性， 即，又， 进而， 即， ∵，∴，进而， 又，而， 即推测出中只能必然有或，即或为3． 若，则，则，代入， 符合要求，此时， 若，即代入， 此时，解得，负值舍去， 其中故舍弃，故B正确； 对C：∵i是虚数单位，实数x，y满足， 根据复数相等条件， 则，故C正确； 对D：结合选项B，椭圆为， 于是，故D错误． 故选： ABC. 三、填空题 12．（2025高一·天津·专题练习）已知集合，集合，若中有三个元素，则的取值为 ． 【答案】 【分析】列举法表示集合，再解不等式可得集合，根据交集的结果可得参数范围，即可得解. 【详解】由题得， 不等式，即， 则． 若中有三个元素，则必为，，， 则有，又， 所以， 故答案为：. 13．（24-25高一·上海·假期作业）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 【答案】 【分析】把2024写成2的自然数幂的和即可求解． 【详解】因为， 所以的第2024个子集是. 故答案为： 14．（24-25高一上·河北·阶段练习）设集合，，其中和是定义在上的函数. （1）若，则集合中元素的横、纵坐标之和的和为 ； （2）若，，则中元素的横坐标之积为 . 【答案】 0 1 【分析】对于（1）联立方程后可求交集中的元素，故可求它们的和；对于（2）联立方程，利用导数可求中元素具有的性质，从而可求横坐标的乘积. 【详解】（1）由题设可得，， 由得，故或，故， 故横、纵坐标之和的和为. （2）由题设有，， 由题设有，故，设， 设，则，且， 当或时，，当时，， 故的增区间为，减区间为， 而，故，， 而，， 故在各有一个实数解，记为， 则而 其中，故即， 故中元素的横坐标之积为1. 故答案为：0,1. 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 集合归类 目录 典例详解 类型一、读懂集合的“元素” 类型二、集合相等求参数 类型三、集合元素个数最值范围型 类型四、子集型最值范围求参 类型五、并集型最值范围求参 类型六、交集型最值范围求参 类型七、补集与全集型最值范围求参 类型八、文氏图 类型九、容斥定理 类型十、集合运算压轴型小题综合 类型十一、集合新定义型压轴小题 压轴专练 类型一、读懂集合的“元素” 集合综合题，难度设置之一，主要在元素形式的负责性，也就是要“读懂”集合的元素是谁？要从以下几方面入手。 1.确定构成集合的元素是点集、数集、还是其他类型的集合； （1）数集形式{x|。。。}， （2）点集形式{（a，b）|。。。}。 （3）函数形式{f（x）|。。。}， （4）数列形式{an|。。。}等等 2.确定元素是否有限制条件。如定义域限制，实际意义限制等等。 3.根据元素的特征（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 4.集合中元素的互异性容易忽略，子集的真子集是从空集开始的，也容易忽略。求解问题时要特别注意 例1．（24-25高一·四川眉山·模拟）集合中最小的元素是 . 变式1-1． （24-25·上海·阶段练习）已知集合恰有两个子集，则实数取值集合为 . 变式1-2． （24-25高一下·上海奉贤·期中）已知集合，，若存在实数使得集合与中均恰有2个元素，则的取值为 . 变式1-3．（高一·上海·阶段练习）设集合，其中是复数，若集合中任意两数之积及任意一个数的平方仍是中的元素，则集合 ； 类型二、集合相等求参数 两个相等集合，元素形式不一样，一个方式是化为一致形式，另一个是根据集合所表示的元素来确定。 1.研究集合问题，要抓住元素，看元素应满足的属性。 2.研究两（多个）集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系。 3.集合相等，是所属元素相同，与顺序无关（互异性），与形式无关（数集中与表示数的范围的字母无关） 例2（24-25高三·浙江温州·模拟）已知，，记集合，，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式2-1．（24-25高一·湖南长沙·模拟）已知集合，若，则实数（   ） A．1 B． C．2 D．4 变式2-2．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设､､是两个两两不相等的正整数.若，，，，，则的最小值是（    ） A．1000 B．1297 C．1849 D．2020 变式2-3． （24-25高一·河北石家庄·阶段练习）已知集合，，，则的关系为（   ） A． B． C． D． 类型三、集合元素个数最值范围型 集合元素个数型最值与参数，多涉及到数列，三角、解析几何与函数等知识交汇处出题，难度较大，注意相关基础知识的积累和应用。 例3．（24-25高一上·北京房山·期末）已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（   ） A．5 B．7 C．9 D．10 变式3-1．（24-25高一上·上海·期中）设是均含有2个元素的集合，且，记，则B中元素个数的最小值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 变式3-2． （23-24高一·北京昌平·期末）已知集合，对于集合中的任意元素和，记.若集合，，均满足，则中元素个数最多为（    ） A．10 B．11 C．1023 D．1024 变式3-3． （22-23高一·北京·阶段练习）设集合的最大元素为，最小元素为，记的特征值为，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知，，，…，是集合的元素个数均不相同的非空真子集，且，则的最大值为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 类型四、子集型最值范围求参---5空 元素与集合以及集合与集合子集关系的判断，解题的关键是正确理解所给的定义及熟练运用分类讨论的思想进行列举 公式法求有限集合的子集个数 (1)含n个元素的集合有2n个子集． (2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集． (3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集． (4)含n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集． 集合子集求参题型，往往存在着思维和计算的一个“坑”，即若有，则要讨论集合B 是否是空集。 所以思考子集，要有“从空集开始到自身结束”这个“顺序感”： 子集是从“从空集开始，到自身结束” 例4．（24-25高一·山西·阶段练习）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 . 变式4-1．（24-25高三·山东德州·阶段练习）定义集合的“长度”是，其中．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 ． 变式4-2． （23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是 . 变式4-3． （22-23高一下·上海杨浦·期末）已知常数，集合，，若，则t的取值范围是 . 类型五、并集型最值范围求参 并集： 集合并集运算的一些基本性质： (1)在进行集合运算时，若条件中出现A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． (2)集合运算常用的性质： A∪B＝B⇔A⊆B； 例5．（24-25高三·上海·阶段练习）已知集合.若存在正数，使得对任意.都有时成立，则实数的值为 变式5-1．（2024·湖南·二模）已知，若，则实数的取值范围是 ， 变式5-2． （24-25高一·四川成都·阶段练习）已知集合.若，实数的取值范围为 . 变式5-3． ．（24-25高一上海闵行·阶段练习）已知集合，集合，且，则实数的取值范围是 ． 类型六、交集型最值范围求参---5单 交集运算时，要注意交集运算的一些基本性质： ①A∩B_A； ②A∩BB； ③A∩A＝A；    ④A∩＝； ⑤A∩B=B∩A. 例6．（2020高一·浙江·专题练习）已知集合，，若，且中恰好有两个整数解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-1． （2025·福建厦门·三模）已知集合，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2． （23-24高三·湖北荆门·模拟）设函数f（x）＝sin（ωx+φ），，，若存在实数φ，使得集合A∩B中恰好有7个元素，则ω（ω＞0）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-3． （22-23高三江苏·模拟）设集合，（）.当有且只有一个元素时，则正数的所有取值为（    ） A．或 B． C．或 D．或 类型七、补集与全集型最值范围求参 ---5单 全集与补集运算的性质： 例7．（24-25高一上·江苏南通·期中）已知集合，若，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式7-1．（2025·全国·模拟预测）已知集合，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-2． （22-23高三上·河北唐山·阶段练习）设集合或，，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式7-3． （20-21高一上·江苏南京·期中）已知集合，．若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 类型八、文氏图---5单 文氏图： （1）表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 例8．（北京西城·二模）有三支股票位股民的持有情况如下：每位股民至少持有其中一支股票.在不持有股票的人中，持有股票的人数是持有股票的人数的2倍.在持有股票的人中，只持有股票的人数比除了持有股票外，同时还持有其它股票的人数多1.在只持有一支股票的人中，有一半持有股票.则只持有股票的股民人数是（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 变式8-1． （23-24高一上海浦东新·阶段练习）定义，设、、是某集合的三个子集，且满足，则是的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 变式8-2．（24-25高一·江苏泰州·阶段练习）已知全集，，，，，，则下列选项不正确的为（   ） A． B．的不同子集的个数为8 C． D． 变式8-3． （24-25高一·江西南昌·阶段练习）如图，三个圆形区域分别表示集合A，B，C.用集合U，A，B，C表示图中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ八个部分所表示的集合，不正确的是（    ） A．图形I表示的集合为 B．图形Ⅲ表示的集合为 C．图形Ⅴ表示的集合为 D．图形Ⅷ表示的集合为 类型九、容斥定理 例9．（23-24高一湖北·阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集、，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 变式9-1． （24-25高一上·浙江·期中）在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数.例如，，则，一般地，对任意两个有限集合，，有.例如某学校举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参赛的有3人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？用集合表示田径运动会参赛的学生，用集合表示球类运动会参赛的学生，就有是田径运动会参赛的学生，是球类运动会参赛的学生，那么是两次运动会都参赛的学生，是所有参赛的学生，则，所以，在两次运动会中，这个班共有17名同学参赛；若集合，集合，集合，集合，则 . 变式9-2． （22-23高二上·山东·阶段练习）如图，这是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则（    ） A． B． C． D． 变式9-3． ．（23-24高一上·湖北襄阳·阶段练习）已知集合，对于集合的两个非空子集，若，则称为集合的一组“互斥子集”.记集合的所有“互斥子集”的组数为（当且仅当时，与为同一组“互斥子集”），则 ， . 类型十、集合运算压轴型小题综合----4单 集合的并、交、补运算： 集合的并集 集合的交集 集合的补集 符号 表示 ，或 ，且 若全集为U，则集合A的补集记为 ，且 Venn图表示(阴影部分) 意义 由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合 由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合 由全集中不属于集合的所有元素组成的集合 例10．（22-23高三·上海金山·模拟）在直角坐标平面中，已知两定点与位于动直线的同侧，设集合点与点到直线的距离之差等于，，记,.则由中的所有点所组成的图形的面积是 . 变式10-1．（22-23高一·上海浦东新·阶段练习）若集合,集合，且，记为中元素的最大值与最小值之和，则对所有的，的平均值是 ． 变式10-2．（24-25高一·江苏·期末）已知，，且．则满足条件的集合共有 个． 变式10-3．（2025高三·全国·专题练习）已知满足（且）的有序集合组（A，B）的个数为32，则 ． 类型十一、集合新定义型压轴小题 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 新定义题型，多涉及到“韦恩图”来释义。韦恩图思考时，要从四种位置关系来保证思考的“完备性” 例11．（24-25高三·北京·模拟）设正整数，集合，对于集合中的任意元素和，及实数， 定义：当且仅当时； ； ． 对于集合，其中，定义： 当且仅当时，成立，则称为的线性无关子集； 若存在，，，且，使得成立，称为的线性相关子集．给出以下四个结论： ①时，是的线性相关子集； ②当时，已知集合不存在，使得是的线性相关子集； ③当时，若，，是同一平面内的三个向量，且和不共线，则集合为集合的线性相关子集； ④已知集合，其中，若对任意都成立，则是的线性无关子集． 所有正确结论的序号是 ． 变式11-1．（23-24高一下·上海松江·期末）设集合为满足，，的空间向量，，中可能出现的两两共线的向量组数组成的数集，集合，若，当最小时，的取值为 . 压轴专练 一、单选题 1．（2025·云南玉溪·模拟预测）已知全集，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一·浙江杭州·期末）已知集合，，若，则实数的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（2025高二上·北京·学业考试）已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．（2025·辽宁鞍山·一模）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西安康·模拟预测）已知集合，从集合A的非空子集中任取两个集合，，则它们的交集为空集的概率为（   ） A． B． C． D． 6．（2025·福建福州·模拟预测）若非空集合，满足条件： ①；②若，，则. 则称为集合的划分. 下列命题正确的是（   ） A．若为集合的划分，则 B．若为集合的划分，则 C．若，，则为的划分 D．若存在划分，，则 7．（24-25高一·内蒙古乌兰察布·期中）定义在区间上的函数满足：①；②当时，，则集合中的最小元素是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 8．（24-25高三湖南·模拟）置换是抽象代数的一种基本变换，对于有序数组，有序数组，定义“间距置换”：，，．已知有序数组，经过一次“间距置换”后得到新的有序数组（），且S中所有数之和为2025，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高三·河南新乡·阶段练习）若对于非空数集A，存在k个两两交集均为空集的集合，使得，且中每个集合的元素之和均相等，则称集合A为“k可分集”．设，则下列说法正确的是（   ） A．是“4可分集” B．若是“4可分集”，则k为偶数 C．对于任意的偶数不为“k可分集” D．对于任意的奇数均为“k可分集” 10．（24-25高三·安徽·阶段练习）对任意集合，记，并称为集合的相异集，则（   ） A． B．若，则 C．命题“若，则”为假命题 D．若，则是成立的充分必要条件 11．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）已知，其中，设，且，又中所有元素之和为224，则下列各选项正确的是（    ） A． B． C．设i是虚数单位，实数x，y满足，则 D．椭圆的离心率为 三、填空题 12．（2025高一·天津·专题练习）已知集合，集合，若中有三个元素，则的取值为 ． 13．（24-25高一·上海·假期作业）若规定由整数组成的集合，，的子集为的第个子集，其中，则的第2024个子集是 ． 14．（24-25高一上·河北·阶段练习）设集合，，其中和是定义在上的函数. （1）若，则集合中元素的横、纵坐标之和的和为 ； （2）若，，则中元素的横坐标之积为 . 结束 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$