第03讲 两条直线的平行与垂直（2知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第03讲 两条直线的平行与垂直 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．能根据斜率判断两条直线平行或垂直； 2．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 知识点1 两条直线平行的判定 1、通过斜率判断直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当，具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2、通过一般式方程判断直线平行 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若 （24-25高二上·广西南宁·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 【答案】A 【解析】两直线的斜率都是2，但在轴上的截距分别为：3，-5， 故两直线平行，故选：A 知识点2 两条直线垂直的判定 1、通过斜率判断直线垂直 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、通过一般式判断直线垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若 （24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】直线和直线的斜率分别为，， 因为，所以.故选：A 考点一：两条直线平行的判断 例1．（24-25高二上·河北承德·月考）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【答案】A 【解析】依题意，直线的斜率，直线的斜率， 即，所以或重合.故选：A 【变式1-1】已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】B 【解析】， 由图可知不共线，所以．故选：B 【变式1-2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【答案】平行或重合 【解析】直线的倾斜角为135°，故斜率． 由经过点，，得， 所以，所以直线与平行或重合． 【变式1-3】（23-24高二上·陕西西安·期末）（多选）若直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】设的斜率分别为， 结合题意易得：， 因为，所以 因为且，所以.故选：BD. 考点二：已知直线平行求参数 例2.（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知直线与直线互相平行，则m为（    ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【答案】D 【解析】因为直线与直线互相平行， 所以，解得或， 又因为时，两直线重合，不符合题意，舍去. 所以，.故选：D. 【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与平行， 所以，得.故选：D 【变式2-2】（24-25高二上·江苏南京·月考）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 【答案】A 【解析】因为，所以，解得或． 当时，，满足与平行； 当时，，可判断此时与重合，舍去； 所以.故选：A． 【变式2-3】（24-25高二上·广东清远·月考）已知两条直线，且，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．2或 【答案】B 【解析】斜率不可能同时不存在， 和斜率相等， 则或， 时，，和重合， 当时，，和不重合， 故． 另解：，故．故选：B． 考点三：两条直线垂直的判断 例3.（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（   ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】直线和直线的斜率分别为， 因为，所以．故选：A． 【变式3-1】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】A 【解析】由题意， 所以，所以.故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】B 【解析】因为 ， 所以 ,故 因此该三角形为直角三角形.故选：B. 【变式3-3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】直线的斜率为2, 若直线m与直线垂直，则，， 对于A,的斜率为2,不与直线垂直; 对于B,的斜率为2,不与直线垂直; 对于C,的斜率为-1，不与直线垂直； 对于D,的斜率为 ,与直线垂直.故选:D. 考点四：已知直线垂直求参数 例4.（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知直线的斜率， 当时，直线的斜率不存在，不满足； 当时，直线的斜率， 由，得，即，解得．故选：B 【变式4-1】（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【解析】根据题意，可得，解得.故选：C. 【变式4-2】（24-25高二上·河北邢台·月考）直线与直线垂直，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解析】因为直线与直线垂直， 所以，解得，故D正确.故选：D 【变式4-3】（24-25高二上·广东汕头·月考）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 【答案】0或5 【解析】直线AB与直线CD垂直，故， 其中， 故， 解得或5. 考点五：根据平行垂直求直线方程 例5. （24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设与直线平行的直线为：， 因为过点，所以，解得：. 故经过点且与直线平行的直线是， 即.故选：A. 【变式5-1】（24-25高二上·湖南长沙·月考）与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ． 【答案】 【解析】根据题意，设所求的直线方程为， 令，得， 因为所求直线在轴上截距是， 所以，即， 所以所求的直线方程为． 【变式5-2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】直线的斜率为，两直线垂直， 故所求直线方程为，则.故选：B. 【变式5-3】（24-25高二上·广东广州·月考）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即，故选：A. 考点六：平行垂直在多边形中的应用 例6.（24-25高二上·陕西西安·月考）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）因为的三个顶点为， 所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 所以直线的方程为， 化为一般式方程为； （2）因为，所以的中点为， 又因为，所以直线的斜率为， 所以直线的点斜式方程为， 化为一般式为. 【变式6-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）设线段中点为，则点坐标为， 设点坐标为，由平行四边形性质得为线段中点， 有，解得，所以； （2）因为直线的斜率为， 所以边上的高线所在直线的斜率为， 又，故边上的高线所在直线的方程为， 即为. 【变式6-2】（24-25高二上·浙江绍兴·月考）菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【答案】(1)；；(2). 【解析】（1）由菱形的性质可知，则. 所以边所在直线的方程为，即； 边所在直线的方程为，即. （2）线段的中点为，， 由菱形的几何性质可知，且为的中点，则， 所以对角线所在直线的方程为，即. 【变式6-3】（24-25高二上·福建福州·期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 【答案】(1)；(2)直角三角形 【解析】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①， 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为； （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以， 所以，， 所以，所以， 又，， 所以是直角三角形. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 【答案】D 【解析】由直线得，, 由直线得，, 因为，故两直线相交但不垂直.故选：D. 2．（24-25高二下·河南周口·月考）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，直线的斜率为，因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为. 结合斜率与倾斜角的关系，得直线的倾斜角为.故选：D. 3．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知点，，且直线与直线平行，则（    ） A． B． C．2 D．-2 【答案】A 【解析】点，，所以， 又直线的斜率为， 因为直线与直线平行，所以，即，故，故选：A 4．（24-25高二上·吉林通化·月考）“”是“直线和直线不重合而平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当时，直线和直线是不重合而平行关系，即满足充分性， 当直线和直线不重合而平行时， 有，解得，故满足必要性，故选：C. 5．（24-25高二上·四川南充·月考）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为、均为正实数，且直线与直线互相垂直， 则，可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为.故选：C. 二、多选题 6．（24-25高二上·云南玉溪·期中）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题意可得：，， ，，， 因为，可知，故A正确； 因为，可知，故B正确； 因为，可知PS与QS不平行，故C错误； 因为，可知，故D正确；故选：ABD. 7．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【解析】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确.故选：AD 8．（24-25高二上·吉林长春·月考）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【解析】对于A，设垂直于直线的直线方程为， 将点代入得，因此所求直线方程为，A正确； 对于B，直线的方程化为：， 由，得，因此直线过定点，B错误； 对于C，当时，直线的斜率为，而直线的斜率为，，与不垂直，C错误； 对于D，当时，直线的斜率为，等于直线的斜率， 又直线在上的截距分别为，因此，D正确.故选：AD 三、填空题 9．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·月考）已知直线，若且，则的值为 【答案】5 【解析】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 10．（24-25高二上·吉林白山·开学考试）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 【答案】垂直或重合 【解析】由，得或， 当时，：，：，，， 显然，所以直线与垂直； 当时，：，：，所以直线与重合． 11．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 【答案】 【解析】由题意可设：， 又直线过点，，解得：， 故直线：， 令，解得：，故， 设直线绕点逆时针旋转所得直线为，则易知， 故设直线：， 将代入，即，解得：， 故直线：． 四、解答题 12．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 【答案】(1)；(2)；(3)或 【解析】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得，可得， 所以所求的方程为； （2）设与直线垂直的直线方程为； 由于过点，代入，解得，可得， 所以所求的直线方程为； （3）当直线过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 当直线不过原点时，设直线方程为， 代入点，，可得， 综上，所求直线方程为或. 13．（24-25高二上·广东广州·月考）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或；(3)，或 【解析】（1）因为，所以直线的斜率为， 则直线：，即. （2）的中点坐标为，因为， 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为， 且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为， 即，所以点在直线上， 设点，由可得：， 解得或，所以点坐标为或， 当坐标为时，，直线：，即. 当坐标为时，，直线：， 即. （3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为， 因为过，得到，解得，所求直线方程为，即． ②当直线不过原点时，设其方程， 又经过点，有，解得，则方程为，即． 故所求直线的方程为，或． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两条直线的平行与垂直 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．能根据斜率判断两条直线平行或垂直； 2．能应用两条直线平行或垂直解决有关问题． 知识点1 两条直线平行的判定 1、通过斜率判断直线平行 对于两条不重合的直线，其斜率分别为，当，具体关系如下表所示 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 2、通过一般式方程判断直线平行 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若 （24-25高二上·广西南宁·期中）在同一平面直角坐标系中，直线与的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．重合 D．垂直 知识点2 两条直线垂直的判定 1、通过斜率判断直线垂直 对应关系 与的斜率都存在，分别为，则 与中的一条斜率不存在，另一条斜率为零，则与的位置关系是 图示 2、通过一般式判断直线垂直 已知直线的方程分别是（不同时为0），（不同时为0），若 （24-25高二上·湖北宜昌·期中）直线和直线的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 考点一：两条直线平行的判断 例1．（24-25高二上·河北承德·月考）已知直线的倾斜角为，直线经过点，则直线的位置关系是（    ） A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合 【变式1-1】已知，则直线与的位置关系是（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式1-2】若直线的倾斜角为135°，直线经过点，，则直线与的位置关系是 ． 【变式1-3】（23-24高二上·陕西西安·期末）（多选）若直线，则（    ） A． B． C． D． 考点二：已知直线平行求参数 例2.（24-25高二下·安徽铜陵·月考）已知直线与直线互相平行，则m为（    ） A． B．-2 C．-2或2 D．2 【变式2-1】（23-24高二上·云南昭通·期中）已知直线与平行，则实数的值为（    ） A．2 B． C． D． 【变式2-2】（24-25高二上·江苏南京·月考）设为实数，已知直线，，若，则（    ） A．6 B． C．6或 D．或3 【变式2-3】（24-25高二上·广东清远·月考）已知两条直线，且，则m的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．2或 考点三：两条直线垂直的判断 例3.（24-25高二上·河南开封·期中）直线和直线的位置关系为（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-1】（24-25高二上·广东东莞·月考）已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（    ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直 【变式3-2】（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【变式3-3】（24-25高二上·江苏淮安·期中）下列哪条直线与直线垂直（    ） A． B． C． D． 考点四：已知直线垂直求参数 例4.（24-25高二下·河南新乡·期中）若直线与互相垂直，则（    ） A．0 B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·北京·月考）若直线 与直线 垂直，则实数为（    ） A． B． C．0 D．1 【变式4-2】（24-25高二上·河北邢台·月考）直线与直线垂直，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式4-3】（24-25高二上·广东汕头·月考）已知点，直线AB与直线CD垂直，则 考点五：根据平行垂直求直线方程 例5. （24-25高二上·云南曲靖·期末）经过点且与直线平行的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·湖南长沙·月考）与直线平行，且在轴上的截距为的直线方程是 ． 【变式5-2】（24-25高二下·贵州贵阳·月考）经过点且与直线垂直的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·广东广州·月考）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 考点六：平行垂直在多边形中的应用 例6.（24-25高二上·陕西西安·月考）已知的三个顶点为. (1)求边上的高所在直线的一般式方程； (2)求边上的中线所在直线的一般式方程. 【变式6-1】（23-24高二上·福建厦门·期中）如图，已知平行四边形的三个顶点的坐标为，，. (1)求平行四边形的顶点的坐标； (2)在中，求边上的高线所在直线方程. 【变式6-2】（24-25高二上·浙江绍兴·月考）菱形的顶点A，的坐标分别为，，边所在直线过点. (1)求，边所在直线的一般式方程； (2)求对角线所在直线的一般式方程. 【变式6-3】（24-25高二上·福建福州·期中）在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 一、单选题 1．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线与直线一定（    ） A．平行 B．垂直 C．重合 D．相交但不垂直 2．（24-25高二下·河南周口·月考）已知直线与直线垂直，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·吉林四平·期末）已知点，，且直线与直线平行，则（    ） A． B． C．2 D．-2 4．（24-25高二上·吉林通化·月考）“”是“直线和直线不重合而平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高二上·四川南充·月考）若直线与直线互相垂直，且、均为正实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·云南玉溪·期中）设平面内四点，，，，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·广东阳江·月考）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（24-25高二上·吉林长春·月考）已知直线，下列选项正确的是（    ） A．过点且垂直于直线的直线方程为 B．直线过定点 C．当时， D．当时， 三、填空题 9．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·月考）已知直线，若且，则的值为 10．（24-25高二上·吉林白山·开学考试）已知，则直线：和直线：的位置关系为 ． 11．（24-25高二上·北京顺义·期中）已知直线过点，且和直线平行.设直线与轴相交于点，求直线绕点逆时针旋转所得直线的方程 . 四、解答题 12．（24-25高二上·湖北孝感·期中）求满足下列条件的直线方程； (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)过点，且与直线垂直的直线方程； (3)过点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程． 13．（24-25高二上·广东广州·月考）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$