第04讲 两条直线的交点（2知识点+6考点+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

第04讲 两条直线的交点 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点1 两条直线的交点 1、两条直线的交点 设两直线的方程分别为，的交点坐标．如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点． 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． （24-25高二上·贵州贵阳·月考）直线：与直线：的交点坐标为 . 知识点2 过两直线交点的直线系方程 1、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 2、直线过定点问题 对于方程中含参数的直线过定点问题，一般先将直线方程化为以下形式：．再令，其解就是该直线所过定点的坐标． （24-25高二上·天津·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考点一：求两条直线的交点 例1．（24-25高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 【变式1-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【变式1-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高三上·广东深圳·月考）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 考点二：由方程组的解判断直线位置 例2. （24-25高二上·河南信阳·月考）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·月考）(多选)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（    ） A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0 【变式2-2】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【变式2-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 考点三：由直线的交点求参数 例3. （24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高二上·广东梅州·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【变式3-3】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 考点四：多条直线共点问题 例4.（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·月考）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（    ） A． B．3 C．1 D． 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 考点五：直线的交点系方程及应用 例5.过两直线和的交点和原点的直线方程为（    ） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【变式5-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【变式5-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 考点六：多条直线围成三角形问题 例6.（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高二上·湖南岳阳·期中）（多选）已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【变式6-3】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 一、单选题 1．（23-24高二上·河南三门峡·月考）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·月考）曲线与正半轴围成的凸四边形面积为（    ） A． B． C．5 D． 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·福建·月考）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（24-25高二上·宁夏石嘴山·月考）下列选项中，正确的有（    ） A．直线 和 的交点坐标为 B．直线 和 的交点坐标为 C．直线 和 没有交点 D．直线 和两两相交 7．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 8．（24-25高二上·吉林白城·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 三、填空题 9．（23-24高二上·山西晋中·月考）三条直线与相交于一点，则的值为 . 10．（24-25高二上·广东湛江·月考）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 11．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 四、解答题 12．（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 13．（24-25高二上·山东济宁·月考）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 两条直线的交点 内容导航——预习三步曲 第一步：导 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标明确内容掌握 第二步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练考点 强知识：7大核心考点精准练 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识导图梳理 学习目标明确 1．会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标； 2．会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系． 知识点1 两条直线的交点 1、两条直线的交点 设两直线的方程分别为，的交点坐标．如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的公共解；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线和的交点． 2、直线的交点与方程的解 求两直线与的交点坐标， 只需求两直线方程联立所得方程组的解即可． 若有，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合； 若有，则方程组无解，此时两直线平行； 若有，则方程组由唯一解，此时两直线相交，此解即两直线的交点坐标． （24-25高二上·贵州贵阳·月考）直线：与直线：的交点坐标为 . 【答案】 【解析】联立，解得，故交点为. 知识点2 过两直线交点的直线系方程 1、过两条直线交点的直线系方程 一般地，具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程叫做直线系方程，直线系方程中除含有以外，还有根据具体条件取不同值的变量，称为参变量，简称参数． 由于参数取法不同，从而得到不同的直线系． 过两直线的交点的直线系方程： 经过两直线，交点的直线方程为 ，其中是待定系数． 在这个方程中，无论取什么实数，都得不到，因此它不能表示直线． 2、直线过定点问题 对于方程中含参数的直线过定点问题，一般先将直线方程化为以下形式：．再令，其解就是该直线所过定点的坐标． （24-25高二上·天津·期中）已知直线的方程是，则对任意的实数，直线一定经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【解析】， ，得，定点在第一象限，则直线一定经过第一象限故选：A 考点一：求两条直线的交点 例1．（24-25高二上·重庆·期中）直线与直线的交点坐标为 . 【答案】 【解析】联立，解得， 因此，直线与直线的交点坐标为. 【变式1-1】（24-25高二上·湖南长沙·期中）直线与直线的交点坐标为 【答案】 【解析】联立，得， 所以交点坐标为. 【变式1-2】（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组解得. 把代入，得. 所以交点坐标为.故选：C. 【变式1-3】（24-25高三上·广东深圳·月考）过原点的直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线与的交点坐标为 ． 【答案】 【解析】设直线的倾斜角为，则， 则直线的斜率， 又直线过原点，所以的方程为， 联立，解得，即直线与的交点坐标为. 考点二：由方程组的解判断直线位置 例2. （24-25高二上·河南信阳·月考）曲线与的交点的情况是（    ） A．最多有两个交点 B．两个交点 C．一个交点 D．无交点 【答案】A 【解析】联立两条直线方程得：得到， 两边平方得：， 当即时，， 得到方程有两个不相等的实数解，所以曲线与直线有两个交点． 当时，得到，与曲线只有一个交点． 所以曲线与的最多有两个交点．故选：A 【变式2-1】（22-23高二上·江苏盐城·月考）(多选)与直线2x－y－3＝0相交的直线方程是（    ） A．y＝2x＋3 B．y＝－2x＋3 C．4x－2y－6＝0 D．4x＋2y－3＝0 【答案】BD 【解析】对于A，联立，方程组无解，两直线平行； 对于B，联立方程组，解得：，有唯一解，与原直线相交； 对于C，联立方程组有无数解，与原直线重合； 对于D，联立方程组有唯一解，与原直线相交.故选：BD. 【变式2-2】（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（    ） A．无论，，如何，总是无解 B．无论，，如何，总有唯一解 C．存在，，，使是方程组的一组解 D．存在，，，使之有无穷多解 【答案】B 【解析】直线的斜率存在，∴， 由题意， 则， 故：与：相交， ∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确； 若是方程组的一组解，则， 则点，在直线，即上， 但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线， ∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·山东菏泽·月考）写出使得关于的方程组无解的一个的值为 .（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【解析】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点， 则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 考点三：由直线的交点求参数 例3. （24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 因为两直线的交点在第一象限， 所以，解得：.故选：B. 【变式3-1】（24-25高二上·广东梅州·月考）已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为.故选：D. 【变式3-2】（24-25高二上·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线互相垂直，交点坐标为，则的值为（    ） A．20 B． C．0 D．24 【答案】B 【解析】已知直线的斜率为，直线的斜率为． 又两直线垂直，则，解得． ，即， 将交点代入直线的方程中，得． 将交点代入直线的方程中，得． 所以，．故选：B． 【变式3-3】（24-25高二上·天津南开·期中）若过点的直线与直线的交点位于第一象限，则直线斜率的范围是 . 【答案】 【解析】设直线在轴的交点为，在轴的交点为， 则,，， ，，， 过点的直线与直线的交点位于第一象限， 直线斜率的取值范围是． 考点四：多条直线共点问题 例4.（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【解析】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 【变式4-1】（24-25高二上·河南驻马店·月考）（多选）已知，，这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】由题意可得这三条直线交于同一点，联立， 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得， 解得或，故选：AC． 【变式4-2】（23-24高二上·河南焦作·月考）（多选）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】CD 【解析】联立直线方程与， 即，解得， 故直线与的交点为， 因为三条直线，，交于一点， 所以将代入， 解得或，检验符合，故选：CD. 【变式4-3】（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【解析】由，即两直线交点坐标为， 代入得：.故选：C 考点五：直线的交点系方程及应用 例5.过两直线和的交点和原点的直线方程为（    ） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【解析】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即.故选：D. 【变式5-1】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为 ．（写成一般式） 【答案】 【解析】由题设，令直线的方程为，且直线过， 所以，故直线的方程为. 【变式5-2】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为 ． 【答案】 【解析】设直线l的方程为（其中为常数）， 即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 【变式5-3】（23-24高二上·湖北武汉·月考）过两直线和的交点且过原点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】令所求直线为， 又直线过原点，则， 所以所求直线为. 考点六：多条直线围成三角形问题 例6.（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为.故选：C 【变式6-1】（24-25高二上·湖南岳阳·期中）（多选）已知直线，，把平面分成六个部分，则实数a的取值可能为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BCD 【解析】当三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时， 不能构成三角形，可把空间分成6个部分， 因为直线的斜率为3，直线的斜率为，所以直线一定相交， 交点坐标是方程组的解，解得， 故交点坐标为， 当时，直线与横轴垂直，方程为，不经过点， 所以三条直线能构成三角形，不合要求； 当时，直线的斜率为， 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线与直线的斜率相等时，即， 此时这两直线平行，空间被分成6个部分，满足要求； 当直线过直线交点时，三条直线不能构成三角形， 即有，满足要求， 综上，的可能取值为，或.故选：BCD 【变式6-2】（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知三条直线，，能构成三角形，则实数m的取值可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为三条直线，，能构成三角形， 所以直线与，都不平行， 且直线不过与的交点， 直线与，都不平行时，，且， 联立，解得， 即直线与的交点坐标为， 代入直线中，得，故可知， 结合选项可知实数m的取值可以为2或，故选：AD 【变式6-3】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（    ） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】B 【解析】由题设，的方向向量分别为，，， 若，则， 此时，，，它们交于一点，不符； 若，则或或， 当时，，，，满足题设； 当时，，，，满足题设； 当时，，重合，不符； 若，则或， 当时，，，，满足题设； 当时，同上分析，不符. 综上，、、时满足要求，故有3组.故选：B 一、单选题 1．（23-24高二上·河南三门峡·月考）已知两直线和，相交于点，则的值分别是（    ） A．7，1 B．1，7 C． D． 【答案】B 【解析】将点代入直线的方程可得，解得； 将代入直线的方程可得，解得；故选：B 2．（24-25高二上·云南曲靖·期中）已知直线过直线和的交点，且与平行，则的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】联立直线、的方程，，解得， 故直线、的交点坐标为， 因为直线与直线平行，设直线的方程为， 将点的坐标代入直线的方程可得，解得. 因此，直线的方程为.故选：B. 3．（24-25高二上·辽宁大连·月考）曲线与正半轴围成的凸四边形面积为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【解析】由， 可得，即， 所以或， 所以所求为直线、、正半轴围成的凸四边形面积， 作图如下， 联立，解得，所以, 联立，解得，所以, 且，则，点到的距离等于， 则四边形的面积等于.故选:A. 4．（24-25高二上·广东东莞·月考）若直线：与直线：的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意联立，解得， 即直线：与直线：的交点为， 由题意可得，解得， 即实数的取值范围是，故选：A 5．（24-25高二上·福建·月考）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为.故选：C． 二、多选题 6．（24-25高二上·宁夏石嘴山·月考）下列选项中，正确的有（    ） A．直线 和 的交点坐标为 B．直线 和 的交点坐标为 C．直线 和 没有交点 D．直线 和两两相交 【答案】BCD 【解析】对于A，直线，，两直线重合，故有无数个交点，故A错误； 对于B，联立方程组，解得，所以与的交点坐标为，故B正确； 对于C，直线 ，，两直线斜率相等且不重合， 故与平行，所以没有交点，故C正确； 对于D，直线，， 可知直线的斜率分别为，斜率都不相等，故三条直线两两相交，故D正确；故选：BCD． 7．（24-25高二上·河南驻马店·月考）已知这三条直线有唯一公共点，则实数的可能取值有（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．4 【答案】AC 【解析】由题意可得这三条直线交于同一点，联立 解得直线和直线的交点坐标为， 把交点坐标代入直线的方程可得，解得或2， 经检验，直线有交点，不平行.故选：AC. 8．（24-25高二上·吉林白城·期末）设直线：，：，下列说法正确的是（    ） A．当时，直线与不重合 B．当时，直线与相交 C．当时， D．当时， 【答案】BD 【解析】对于A，时，若,,且时， 两直线：，：重合，A错误； 对于B，联立 ，可得, 当时，，此时方程组有唯一一组解， 故直线与相交，B正确； 对于C，时，若，则无解，此时； 若，则有无数多组解，此时重合，故C错误； 对于D，若，则由可得， 即两直线斜率之积等于，故； 若,则可得，此时满足， 直线：，：，此时， 故当时，，D正确，故选： 三、填空题 9．（23-24高二上·山西晋中·月考）三条直线与相交于一点，则的值为 . 【答案】3 【解析】由，即三条直线交于， 代入，有. 10．（24-25高二上·广东湛江·月考）斜率为，且过两条直线和交点的直线方程为 ． 【答案】 【解析】联立方程组，解得， 由题意斜率为，且过的直线方程为. 即所求直线方程为. 11．（24-25高二上·江苏泰州·月考）已知平行四边形的两条边所在的直线方程分别为，，且它的对角线的交点是，求这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是 ． 【答案】， 【解析】由，解得，则平行四边形的一个顶点, 点关于点对称点，于是平行四边形的另两边过点， 它们分别与直线，平行， 设对应方程为，，， 则，，解得，， 所以这个平行四边形其他两条边所在的直线方程是，. 四、解答题 12．（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知两条直线， (1)当为何值时，与相交; (2)与是两条不同直线，经过定点，当也经过点时，求的值. 【答案】(1)，且，且；(2) 【解析】（1）依题意，得， 得，得，且，且． （2）， 得，得，得过定点， 又因为也经过点，得，得． 当时，与重合，故舍去，故． 13．（24-25高二上·山东济宁·月考）若直线经过，，点分的比为，则（为参数）已知三顶点分别为，，，为内的一点，且，,的面积之比为，求点的坐标. 【答案】 【解析】 由，它们有公共边， 故，到直线的距离之比为． 同理，，到直线的距离之比为， 边上靠近的三等分点为，即， 它与点连线的直线方程为． 边上靠近的四等分点为即， 它与点连线的直线方程为． 由，解得点坐标为． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$