第一章 直线与圆测试（单元测试·基础卷）数学北师大版2019选择性必修第一册

2025-2026学年高二选择性必修一数学单元检测卷 第一章 直线与圆·基础通关（参考答案） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D A C D C D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABC BD BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式来求得正确答案. （2）求的直线的方程，通过联立方程组来求得的坐标. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， ………（2分） 故边上的中线所在直线的一般方程为. ………（4分） （2）由题意知，，则垂线的斜率，………（6分） 故直线的方程为，即，………（8分） 直线的方程为，即 ………（10分） 联立和方程，解得垂足. ………（13分） 16．（15分） 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）设，由题意可得，，求解即可. （2）设，由题意可得且，可求得，进而可判断的形状.. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①，………（3分） 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为；………（6分） （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以，………（9分） 所以，， 所以，所以，………（11分） 又，， 所以是直角三角形. ………（15分） 17．（15分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为．………（6分） （2）设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为．………（15分） 18．（17分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①，………（3分） 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为．………（8分） （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1，………（13分） 且到直线的距离， 则. ………（17分） 19．（17分） 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆；………（4分） （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点；………（9分） （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又，………（13分） 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. ………（17分） 【点睛】方法点睛： 求动点轨迹方程，通常根据已知条件建立动点坐标满足的等式，然后化简得到方程.对于涉及距离比的问题，利用两点间距离公式构建等式是常用方法. 当出现圆的切线和切点时，利用圆的性质（如切线与半径垂直）确定点的位置关系，进而得到相关圆的方程.求两圆公共弦所在直线方程，通过两圆方程相减的方法来实现，这是处理两圆公共弦问题的常见技巧. 求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式求解参数，是解决此类问题的常用方法. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年高二选择性必修一数学单元检测卷 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 11．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点（0，1） B．直线l与圆恒相交 C．直线l被圆截得的最短线段长为 D．圆C与圆M：有2条公共切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且倾斜角为的直线方程为 ． 13．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 14．已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 16．（15分） 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 17．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 18．（17分） 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 19．（17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二选择性必修一数学单元检测卷 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求直线的斜率，利用斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】化圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】圆： 的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B 3．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两直线平行可得参数，进而确定平行线间距离. 【详解】有已知直线与直线平行， 则，即， 此时直线与直线，即满足平行， 则两直线间距离， 故选：D. 4．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据直线被圆截得的弦长可求得的值，根据的取值即可得结论. 【详解】圆的圆心为，半径为3，圆心到直线的距离为， 由点到直线的距离公式可得，即，解得或3， 所以“”是“圆截直线所得弦长为2”的充分不必要条件. 故选：A． 5．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【详解】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 6．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由中点坐标公式可得边的中点坐标为，可得边上的中线的斜率，由点斜式可得边上的中线所在直线的方程. 【详解】因为， 设边的中点为，则，即， 又，所以， 故边上的中线所在直线的方程为，即． 故选：D. 7．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【详解】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 8．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可. 【详解】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，时圆C方程为， 此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误； 对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2， 设圆D的方程为，由， 对称圆D方程为即，故D正确. 故选：BD. 11．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点（0，1） B．直线l与圆恒相交 C．直线l被圆截得的最短线段长为 D．圆C与圆M：有2条公共切线 【答案】BD 【分析】依据方程恒成立，直线与圆位置关系的判断，圆与圆位置关系的判断，直线与圆相交弦长求解办法对选项逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故直线l定点，故A错误； 对于B，C：，圆心C为， 因为，所以位于圆内，所以直线l与圆恒相交，故B正确； 对于C，定点与圆心的距离为， 直线l被圆截得的最短线段长为，故C错误； 对于D，圆C与圆M圆心的距离为 ， 所以两圆相交，有两条公共切线，故D正确． 故选：BD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且倾斜角为的直线方程为 ． 【答案】 【分析】根据条件直接写出直线的点斜式方程，化简后得到直线的一般式方程. 【详解】由题意，直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 因为直线过点， 所以，由直线的点斜式方程可得，化简得． 故答案为：. 13．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 【答案】 【分析】求出直线所过的定点并判断与圆的位置关系，再利用圆的性质求出范围. 【详解】由直线l：，得直线l恒过定点， 由圆C：，得，圆心，半径为， 又，即点在圆内， 当直线l经过圆心时，， 当直线时，，则， 所以的取值范围是 故答案为： . 14．已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 【答案】. 【分析】由，可得出圆心到直线的距离满足，由此可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【详解】由题意可知，圆是圆心为坐标原点，半径的圆，直线方程为，如图， 圆心到直线的距离为， 由于， ，即，即，解得. 因此，实数的取值范围是.. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据两点式来求得正确答案. （2）求的直线的方程，通过联立方程组来求得的坐标. 【详解】（1）中点为，由直线两点式方程， ………（2分） 故边上的中线所在直线的一般方程为. ………（4分） （2）由题意知，，则垂线的斜率，………（6分） 故直线的方程为，即，………（8分） 直线的方程为，即 ………（10分） 联立和方程，解得垂足. ………（13分） 16．（15分） 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 【答案】(1) (2)直角三角形 【分析】（1）设，由题意可得，，求解即可. （2）设，由题意可得且，可求得，进而可判断的形状.. 【详解】（1）设， 因为边的高线所在直线方程是，所以， 又，所以①，………（3分） 又点在直线上，所以②， 由①②解得，所以点的坐标为；………（6分） （2）设，因为点在上，所以， 因为边上的中线所在直线方程是， 所以，解得，所以，………（9分） 所以，， 所以，所以，………（11分） 又，， 所以是直角三角形. ………（15分） 17．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程. （2）设出点的坐标，用的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程. 【详解】（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则． 因为，所以， 所以直线的方程为． 由，得， 所以圆心， 半径， 所以圆的方程为．………（6分） （2）设点． 因为点的坐标为，所以即 又点在圆上运动，所以， 即线段的中点的轨迹方程为．………（15分） 18．（17分） 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①，………（3分） 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为．………（8分） （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1，………（13分） 且到直线的距离， 则. ………（17分） 19．（17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，曲线是以为圆心，2为半径的圆 (2)（i）证明见解析，；（ii）存在， 【分析】（1）根据已知条件列方程，化简求得轨迹的方程；（2）（i）先判断出点、在以为直径的圆上，然后根据两个圆的位置关系来证得结论成立；（ii）求得的面积的表达式，进而求得的面积最大值以及此时点的坐标. 【详解】（1）设，由题意得，化简整理得①， 故曲线是以为圆心，2为半径的圆；………（4分） （2）如图： （i）证明：因为，，所以点、在以为直径的圆上， 可求得圆的方程为②， 所以直线为圆与圆的公共弦所在的直线， 由，整理得，即直线的方程为， 故直线恒过定点；………（9分） （ii）当时，点、重合， 当时，因为，点、在直线上，所以， 综上，点在以为直径的圆上，圆方程为， 因为，又，………（13分） 所以当时，的面积最大，此时， 又由，，三点共线，得，即，， 所以存在点，使的面积最大，此时点坐标为. ………（17分） 【点睛】方法点睛： 求动点轨迹方程，通常根据已知条件建立动点坐标满足的等式，然后化简得到方程.对于涉及距离比的问题，利用两点间距离公式构建等式是常用方法. 当出现圆的切线和切点时，利用圆的性质（如切线与半径垂直）确定点的位置关系，进而得到相关圆的方程.求两圆公共弦所在直线方程，通过两圆方程相减的方法来实现，这是处理两圆公共弦问题的常见技巧. 求三角形面积最大值问题，先确定三角形面积的表达式，再根据已知条件分析变量的取值范围，从而求出最大值.对于三点共线问题，利用直线斜率相等来建立等式求解参数，是解决此类问题的常用方法. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年高二选择性必修一数学单元检测卷 第一章 直线与圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．“”是“圆截直线所得弦长为2”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知的三个顶点分别为，则边上的中线所在直线的方程是（   ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 8．已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线，则（    ） A．的倾斜角为 B．在轴上的截距为 C．原点到的距离为1 D．与坐标轴围成的三角形的面积为2 10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．若已知在圆内，则 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆方程为 11．已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．直线l过定点（0，1） B．直线l与圆恒相交 C．直线l被圆截得的最短线段长为 D．圆C与圆M：有2条公共切线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．过点且倾斜角为的直线方程为 ． 13．已知直线l：与圆C：相交于A，B两点，则弦长的取值范围是 . 14．已知直线与圆相交于两点，若，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知的三个顶点是. (1)求边上的中线所在直线的方程； (2)过点作直线的垂线，求垂足的坐标. 16．（15分） 在中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)判断的形状. 17．（15分） 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程． 18．（17分） 已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 19．（17分） 已知动点与两个定点，的距离的比为，动点的轨迹为曲线. (1)求的轨迹方程，并说明其形状； (2)过直线上的动点分别作的两条切线，（、为切点），，交于点. （i）证明：直线过定点，并求该定点坐标； （ii）是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$