第一章 直线与圆全章复习（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题2.5 直线与圆全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如直线方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点 (1) 直线方程的综合； (2)圆的相关知识的综合. 2.难点 (1)直线中的对称问题 (2)利用韦达定理解决直线与圆的相交问题. 一、构建知识网络 二、回顾重点知识 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k＝ (3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标． 2．两条直线平行与垂直的判定——斜率法 两条直 线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2 两条直 线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2 3.直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐标系内所有直线 4.利用系数判断两条直线的位置关系 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0. (2)相交⇔A1B2－A2B1≠0. (3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)． 5．两条直线的交点 6．三种距离公式 (1)两点间的距离公式：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝； ⑶两平行直线l1：Ax＋By＋C＝0与l2：Ax＋By＋D＝0的距离d＝ . 【易错警示】 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 7．直线中的对称问题 ⑴中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 ⑵轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 8．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 9．点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上． 10.判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 11．圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 12.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝|xA－xB|＝. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 三、熟记重要结论 1．识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0； (2)y轴：x＝0； (3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)； (4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)； (5)过原点的直线：y＝kx或x＝0. 2．倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． 3.6种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 4.圆中的相关结论 (1)若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： ①当F＝0时，圆过原点． ②当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． ③当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． ④当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． (2)圆的几何性质 ①圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2. ②圆的弦的垂直平分线过圆心． ③一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点． ④已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心． (3)不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 5．与圆的切线有关的3个结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 6．两圆公切线的条数 (1)外离时4条；(2)外切时3条；(3)相交时2条； (4)内切时1条；(5)内含时0条． 7．两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 8．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 10．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 题型01 直线的倾斜角或斜率的综合问题 【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【解析】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 直线的倾斜角与斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　 【变式1-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【解析】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 【变式1-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据斜率与倾斜角的关系即可判断. 【解析】倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大； 倾斜角为钝角时，斜率为负，倾斜角越大，倾斜程度越小，斜率越大， 所以 故选： A. 题型02 两直线的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】计算出时的的值，结合充分条件与必要条件的定义即可得. 【解析】若，则有，解得， 当时，，不重合，符合要求； 当时，，不重合，符合要求； 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 判断两直线位置关系的注意点 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【答案】BC 【分析】A选项根据斜截式方程的形式判断，BC选项根据两条直线的平行垂直的关系求解，D选项直接代入检验即可. 【解析】A选项，根据斜截式方程的定义，直线的斜截式方程是：，A选项错误； B选项，直线化为，与斜率一样，且，则两条直线平行，B选项正确； C选项，直线的斜率是，斜率为，且，于是两直线垂直，C选项正确； D选项，代入，直线不过点，D选项错误. 故选：BC 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 【答案】AB 【分析】由直线方程求定点可判定A；根据两直线垂直的条件可判定B；根据两直线平行的充要条件可判定C，由点到直线的距离公式可判定D. 【解析】直线，即， 令，得，则过定点，故A正确； 当时，直线，，可得，故B正确； 若直线，平行 题型03 直线方程的综合应用 【典例】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可. （2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解. 【解析】（1）直线的斜率，直线的方程为， 所以BC边所在直线的一般式方程为. （2）依题意，，设点到直线的距离为， 由的面积等于2，得，解得， 于是，解得或， 所以点的坐标为或. 求直线方程时的注意事项 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【答案】ABC 【分析】由，可判断A；边上的高斜率为0，可求边上的高所在直线的方程，判断B；求，由直角三角形面积判断C；求出点，中点，再求，即可得边上的中线所在直线的方程，判断D. 【解析】根据题意，，， 则，所以，是直角三角形，A正确； 由，所以边上的高斜率为0， 边上的高则所在直线的方程是，B正确； 由，所以，C正确； 由点，中点，则， 所以边上的中线所在直线的方程是， 即，D错误. 故选：ABC. 【变式3-2】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【答案】 【分析】先求出的中点坐标，进而求得边上的中线所在直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可求解；先求得直线的斜率进而得到边上的高所在直线的斜率，进而再根据点斜式写出方程即可求解. 【解析】由题意，的中点坐标为，即， 则边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程为：，即. 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【分析】（1）令，解方程组即可得解； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为，列方程即可求解. 【解析】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 题型04 距离公式的综合应用 【典例】（多选）（24-25高二上·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 【答案】BCD 【分析】根据两直线平行列方程求解，然后根据充分不必要定义判断A，根据直线垂直列方程求解，然后根据充要条件判断B，将直线变形即可求得定点判断C，由到所过定点距离为最大距离，即可判断D. 【解析】因为直线，所以，解得或，经检验都成立， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误. 因为直线，所以，解得， 所以“”的充要条件是“”，故B正确. 因为，即，所以过定点，故C正确. 因为过定点，所以点到直线距离的最大值， 是到定点的距离，即为，故D正确. 故选：BCD 距离公式的综合应用 距离公式是高考考查的重点内容之一，常与两条直线的位置关系、直线的方程形式、直线的斜率、直线的倾斜角等内容综合考查，判断直线与圆、圆与圆的位置关系时也往往要用到距离公式，故距离公式更多的是以解题工具形式出现. 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 【答案】 / / 【分析】利用点到直线的距离公式结合辅助角公式求得，然后利用正弦函数的性质求解最值即可. 【解析】点到直线的距离 ，其中， 故当时，取得最小值；当时，取得最大值． 故答案为：； 【变式4-2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与，则（   ） A．若，则两直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线在两坐标轴上的截距相等 D．若两直线平行，则与的距离是 【答案】ABD 【分析】对于A，根据条件得两直线斜率之积为，即可判断；对于B，通过变形得，由，即可求出定点，从而作出判断；对于C，直接求出横纵截距，即可判断；对于D，根据条件，求出，再利用两平行线间的距离公式，即可求解. 【解析】对于选项A，当时，，斜率为， 又直线的的斜率为，所以，故两直线垂直，所以选项A正确， 对于选项B，由，得到， 由，得到，所以直线过定点，故选B正确， 对于选项C，令，得到，令，得到，所以直线在两坐标轴上的截距不相等，故选项C错误， 对于选项D，当时，，得到，此时， 所以两平行线间的距离为，故选项D正确， 故选：ABD. 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 【分析】（1）利用点斜式求得直线的方程. （2）先求得两点的坐标，结合点到直线的距离公式、两点间的距离公式求得三角形的面积. 【解析】（1）由边上的高所在直线方程为，得直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. （2）边上的中线所在的直线方程为， 由，解得，即， 设，则， 所以，解得，即， ，到的距离为， 所以的面积为. 题型05 对称问题 【典例】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 【答案】BC 【分析】利用点线对称与光线镜面反射的虚像原理作出图像，数形结合，可一一得到答案. 【解析】由于该射线平行于地面，根据题意可视为射线在平面四边形内部发生反射， 对于A，当时，发出射线使其反射点在靠近端的四等分点，反射后再正好被感应器捕捉， 所以，则，故A错误； 对于B，当时，第一次反射在边上，所以不可能只反射一次就被感应器捕捉； 如图1，假设反射两次后被感应器捕捉，则第二次反射一定在边上， 将平面依次向右、向上翻折一次，到达， 观察线段，要求此线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 设直线，所以:，令得， 所以线段不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 即不可能经过两次反射后被感应器捕捉； 如图2，计算得：时可以反射三次后被感应器捕捉（线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部）， 故B正确； 对于C，如图3，依次将平面向上、向右翻折，连接，观察线段，其经过点， 所以与直线的交点在线段上， 故线段完全在平面与翻折平面构成图形的内部， 意味着射线将依次经过、反射后被感应器捕捉，反射了两次，故C正确； 对于D，如图4，同翻折，同理分析，观察线段，交点恰好在转折点处， 所以线段一定不可能完全在平面与翻折平面构成图形的内部，故D错误. 故选：BC. 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【变式4-1】（多选）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】点关于直线的对称点在反射光线所在的直线上，进而求反射后的光线所在的直线方程即可求解. 【解析】倾斜角为的且过的直线 的方程为，即. 设点关于直线的对称点， 则有，即，解得，即. 于是反射后的光线所在的直线方程为，即. 对于A：在l的左侧，反射光线（射线）不经过该点，故A错误； 对于B：时，故B正确； 对于C：时，故C正确； 对于D：时，故D错误； 故选：BC. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【答案】 【分析】借助线段和的几何意义求解即可. 【解析】设关于直线对称对称点坐标为， 则，解得，即， ， 所以的最小值为. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 【分析】（1）先求，再直线垂直斜率乘积为得出斜率，最后点斜式写出直线方程即可； （2）先求两直线的交点，再设点求出点关于直线的对称点，最后应用两点式求出直线方程. 【解析】（1）因为，直线与直线垂直，所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为，即. （2）由解得，故的交点坐标为， 因为在直线上，设关于对称的点为， 则解得 所以直线关于直线对称的直线经过点， 代入两点式方程得，即， 所以直线关于直线的对称直线的方程为. 题型05 圆的方程的综合应用 【典例】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 【分析】（1）求出直线的斜率，可得出直线的斜率，结合点斜式可得出直线的方程； （2）圆的方程为，将三个顶点的坐标代入圆的方程，求出、、的值，可得出圆的一般方程，再化为标准方程即可. 【解析】（1）因为直线的斜率为，所以上的高所在直线的斜率为， 所以上的高所在直线的方程为，即直线的方程为． （2）设圆的方程为（其中， 因为、、三点都在圆上，可得，                 解得，，，满足， 所以所求圆的方程为，即. 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 【变式5-1】在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】设圆心Q的坐标为，圆的半径为r.如果选择①，根据求出的值即得解；如果选择②，根据求出，即得解. 【解析】解：因为点，均在圆Q上，所以圆心Q在线段AB的垂直平分线上． 又直线AB的方程为，所以线段AB的垂直平分线的方程为， 则可设圆心Q的坐标为，圆的半径为r． 如果选①， 由，解得，即直线和的交点为，则圆Q过点， 所以，解得，则， 即存在圆Q，且圆Q的方程为． 如果选②， 由圆心Q在直线上可得，则， 所以． 即存在圆Q，且圆Q的方程为． 【变式5-2】求满足下列条件的圆的方程． (1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆； (2)经过点，且与直线l：相切于点的圆． 【分析】（1）由题，设圆心为，由圆心到直线的距离等于到点的距离列等式，整理解出a，即可进一步求出半径，即得圆的方程； （2）由AB坐标求AB的中垂线方程，再求过点B且与l垂直的直线，由两直线交点求出圆心，进一步求出半径，即得圆的方程. 【解析】（1）圆心在直线上，设圆心为，圆心到直线的距离等于到点的距离， 即， 整理得，解得或． 当时，圆心为，半径为，方程为； 当时，圆心为，半径为，方程为． （2）圆心到A、B的距离相等，即在线段AB的中垂线上，AB的中垂线的点法向式方程为，化简得． 另一方面，圆心在过点B且与l垂直的直线上，其点法向式方程为，化简得． 联立方程组解得圆心坐标为，则到点A的距离． 综上所述，圆的方程为． 题型06 圆的对称性的综合应用 【典例】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 【分析】（1）设圆心的坐标为，利用，解得，再计算半径即可; （2）找出点关于轴的对称点为，设反射后光线所在直线为，利用直线与圆相切，求出或，写出直线方程即可. 【解析】（1）设圆心的坐标为，则， 即， 即，解得， 圆心的坐标为，圆的半径， 所以圆的方程为. （2）点关于轴的对称点为，反射光线经过点， 当反射光线所在直线的斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意， 当反射光线所在直线的斜率存在时，设方程为：， 即， 设圆心到直线的距离为， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以,所以， 即,解得或, 所以反射后光线所在直线的方程为或. 圆中与对称有关的几个结论 (1)圆关于直径所在直线对称； (2)任意两圆关于连心线所在直线对称； (3)若两圆关于某点对称，则两圆圆心关于该点对称，且两圆半径相等; (4)若两圆关于某直线对称，则两圆圆心关于该直线对称，且两圆半径相等. 【变式6-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】将圆的方程化成标准形式得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，若圆关于已知直线对称，则圆心(－1,2)在直线上，代入整理得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－2＋≤，故选A. 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【分析】（1）由圆的标准方程可得圆心，根据点关于直线对称，建立方程组可求出圆心，可得答案； （2）根据对称写出点的坐标，利用直线的点斜式方程，分别求得截距，结合圆的方程计算，可得答案. 【解析】（1）设圆的圆心关于直线的对称点为， 的中点坐标是，的斜率是， ， 由得：，，， 圆，圆． （2），，，， 直线的方程为：， 令，则，同理可得：， 由，，， 则， 是定值． 题型07 与圆有关的轨迹问题 【典例】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 【分析】（1）设圆的方程为，，利用直线与圆相交的弦长公式求出半径长即可； （2）设点，由题意可得圆的半径为，由动圆与圆相外切可得，整理后分类化简即得动点轨迹方程. 【解析】（1）设圆的方程为，， 由圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得， 故圆的方程为； （2） 设点，则动圆的半径为，因动圆与圆相外切，则， 即，两边取平方，化简得：， 故当时，，当时，，当时，点在圆上，不合题意. 故动圆圆心的轨迹方程为；. 与圆有关的轨迹问题 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【变式7-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】利用几何法直接求出轨迹方程，进而由圆的面积公式求解. 【解析】，设为线段中点， ，设，则，即． 则线段中点的轨迹是以坐标原点为圆心，2为半径的圆； 故线段中点的轨迹所围成图形的面积为. 故选：D 【变式7-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【答案】/ 【分析】根据条件求出点P的轨迹方程，可知点P的轨迹为圆，再根据圆的面积公式求解即可. 【解析】设点P的坐标为. 因为，所以， 整理得，即. 所以点P的轨迹方程为，其轨迹为以为圆心，且半径的圆. 所以轨迹形成的图形面积. 故答案为： 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【解析】（1）圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2）设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. 题型08 圆中的最值问题 【典例】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题 【答案】(1)(2) 【分析】（1）设出圆心坐标，判断出圆的半径，利用直线截圆所得弦长列方程来求得，从而求得圆的方程. （2）先求得，通过求的最小来求得的最小值. 【解析】（1）依题意，设圆的圆心坐标为，半径为， 到直线的距离为，所以，解得， 所以圆的方程为. （2）由（1）得，圆的圆心为，半径， ，所以当最小时，最小. 到直线的距离为，所以的最小值为， 所以四边形PACB面积的最小值为. 两法搞定圆中的最值问题 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 【答案】3 【分析】取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，结合，，求出点的轨迹方程，再结合三角形的面积公式，即可求解． 【解析】 取中点，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系， 因为，故， 设，则, 整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去点，）， 则当时，面积取最大值， 此时. 【变式8-2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【答案】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹为圆，进而利用点与圆的位置关系算出PA的最大值. 【解析】以BC所在直线为轴，BC中点为原点，建立平面直角坐标系，     则，设， 由，得， 整理得，即 因此，点P的轨迹是以为圆心，半径的圆， PA长的最大值等于. 故答案为：. 【变式8-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据几何位置关系，结合两点之间距离公式即可判断A；当与圆相切时，最大，进而求得，即可判断B；当，，三点共线，且在，之间时，最大，即可判断C；当为射线与圆的交点时，取得最大值，即可判断D． 【解析】因为，所以点在圆外，点在圆内，如图所示， 对于A，当为线段与圆的交点时，即，此时取得最小值为，故A正确； 对于B，由题知，点在圆内，当与圆相切时，最大，此时与重合，此时，故B错误； 对于C，因为点在圆上，为圆心，则，所以当最大时，也最大， 当，，三点共线，且在，之间时，其最大值为，故C正确； 对于D，当为射线与圆的交点时，取得最大值，故D正确． 故选：ACD．    题型09 直线与圆的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 【分析】（1）设，求出圆心坐标，利用的数量积为零求出轨迹方程即可； （2）设圆心到直线的距离为，由三角形面积公式求出，再利用弦长公式求解即可； 【解析】（1）    由可得点为线段的中点，设， 圆方程化为标准方程为，所以圆心，半径， 所以， 因为，所以， 整理可得， 所以点的轨迹方程为， （2）设圆心到直线的距离为， 因为为的中点，且，的面积为2，， 所以，即，解得， 由弦长公式可得. 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 【变式9-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】判断已知点与圆的位置关系，并确定过定点的直线与圆所成弦长的范围，结合圆的对称性确定弦的条数. 【解析】依题设，圆的圆心为，且半径， 而，即点在圆内，且圆心到该点的距离， 当直线与、的连线垂直时，弦长最短为， 而最长弦长为圆的直径为，因此所有弦的弦长范围为， 所以相交所形成的长度为整数的弦，弦长为， 根据圆的对称性，弦长为各有2条，弦长为2的只有1条， 所以共有9条. 故选：C 【变式9-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线：及圆：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 【分析】（1）利用圆心到直线的距离为半径求出的值即可； （2）分别用勾股定理和圆心到直线的距离建立等量关系求出的值. 【解析】（1）圆心，半径为， 由题意得：，解得或. （2）如图： 设点到直线的距离为，利用勾股定理得：， 同时利用圆心到直线的距离：，解得. 题型10圆与圆的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）因为、已知，所以通过到的距离求半径，即可得到圆的方程，再根据半径求点坐标，注意到点坐标的特殊性，这条直线是垂直于轴的． （2）将、点坐标设出来，数量积坐标化，将直线方程与圆的方程联立，韦达定理代入即可求解． （3）假设、的坐标，根据两点距离公式与建立等式，再根据A、P分别满足直线和圆的方程化简等式，最后根据等式恒成立的条件求解. 【解析】（1）因为， 因为圆与相切，所以半径等于到的距离． 又直线，所以圆的半径，所以圆． 圆与相切，又过点与圆相切的直线有或， 所以直线，所以．即， 所以直线， 又到的距离为，所以，解得或（舍）， 所以． （2）设，，则. 由，可得， ，解得. 所以，， 故. 所以，所以. 故. （3）设. 则，. 若在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点， 都有为常数, 等价于对圆上任意点恒成立. 即. 整理得. 因为点在直线上，所以. 由于在圆上，所以. 故对任意恒成立. 所以显然，所以. 故， 因为，解得或. 当时，，此时重合，舍去. 当时，， 综上，存在满足条件的定点，此时. 圆与圆的位置关系的综合应用 圆与圆的位置关系的综合应用类型有判断位置、求参数、求公切线、求公共弦长等，常利用圆的性质、相应结论、联立方程等策略求解. 【变式10-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】利用圆与圆的位置关系，结合图形和几何关系，即可求解. 【解析】圆，圆心，半径， 圆，圆心，半径， 圆心距，由，    所以两圆相交，则. 【变式10-2】（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【解析】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 题型11 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 【典例】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 【分析】（1）根据题意，由圆的标准方程可得圆的方程，然后与圆方程作差可得公共弦所在直线方程，再结合弦长公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，联立直线与圆方程，结合韦达定理以及向量数量积的坐标运算代入计算，即可得到，从而得到结果. 【解析】（1）设圆的方程为， 圆心在直线上，则， 且截y轴弦长为，则①， 由圆过点，则②， 联立①②可得或， 当时，，则圆的方程为， 当时，，则圆的方程为， 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为，即， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 当圆的方程为时， 且圆， 两圆方程作差可得公共弦所在直线方程为， 又圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 则C与D相交所得公共弦长为； 综上所述，C与D相交所得公共弦长为或. （2）由题设可知直线l的方程为， 设， 将代入方程， 整理得， 所以，， ， 因为， 解得，经检验，直线与圆有交点， 所以直线l的方程为， 故圆心C在直线l上，所以. 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【变式】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【分析】（1）设圆的标准方程为，根据已知条件代入求即可； （2）（i）由可得，且，根据三角形面积公式和基本不等式求最大值即可；（ⅱ）设直线的方程为，与圆的方程联立，利用韦达定理和斜率公式代入求出与的关系进而可得定点. 【解析】（1）设圆的标准方程为， 由已知可得：，解得：，，， 所以圆的标准方程为. （2）（ⅰ）由（1）知，因为，所以， 从而直线经过圆心，是直角三角形，且， 设，，则， 又，所以，当且仅当时取等号， 所以. （ⅱ）由已知得：直线的斜率必存在， 设直线的方程为，，， 由，消去得：， 当时，，，（※） 又， 即， 代入（※）得：， 即，解得：，或， 当时，此时直线的方程为，过定点（舍去）， 当时，此时直线的方程为，过定点， 故当，动弦过定点. 题型12 与圆有关的新定义题 【典例】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 【分析】（1）利用向量夹角公式和圆的方程来求解的值； （2）设，根据 “相关点”，则，，得到设，可得结合，得最后根据点的轨迹与圆有公共点，求得的取值范围即可. 【解析】（1）因为，，点是点关于点的 “相关点”， 所以，， 则，即 因为，所以， 又，，则， 两边平方得，即，即， 解得 （2）设，因为在圆：上，所以 点是点关于点的 “相关点”，则，， 所以， 即 设，则，可得 因为，所以，整理得 因为点的轨迹与圆有公共点，所以两圆的圆心距满足. 连不等式前面可化为. 两边同时平方可得，展开得. 可得. 因为，所以，即，即恒成立，所以， 即不等式的解集为. 连不等式后边可化为. 两边同时平方可得，展开得. 移项可得， 又，可得，解得. 因为不等式的解集为，不等式的解集为， 所以原不等式的解集为. 与圆有关的新定义题求解策略 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【变式】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【解析】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 1、 单选题 1．（2024-2025河南高二上学期12月阶段性联合考试数学试题）已知直线与直线平行，则（   ） A．4 B． C．或5 D． 【答案】D 【分析】利用两直线平行的条件，列式求出值. 【解析】由直线与直线平行，得， 所以. 故选：D 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（    ）是“”的充要条件. A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】求出的值，再利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求解. 【解析】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时， 又时，，此时， 所以“或  ”是“”的充要条件， 故选：C. 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）两条平行线：与：间的距离为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】根据两直线平行可得，即可根据平行线间距离公式求解. 【解析】由于两直线平行，故，解得， 故：， 两直线距离为. 故选：A. 4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由于点在圆的外部，故 ，解得， 故选：C 5. （24-25高二下·云南昆明·阶段练习）与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 【答案】B 【分析】根据直线的截距式方程以及直线与圆相切，即可根据圆心到直线距离等于半径求解. 【解析】圆的圆心坐标为，半径是，而原点在圆外， 如图所示，则与圆相切， 且在两坐标轴上截距相等的直线中过原点的直线有两条； 当直线不过原点时，可设切线方程为，即， 可得，即（舍去）或， 当时，直线方程为. 综上可知，与圆相切，且在两坐标轴上截距相等的直线共有3条. 故选：B. 6.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件得到曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，结合条件，数形结合，即可求解. 【解析】由，得到， 所以曲线表示以原点为圆心，为半径的半圆，图象如图， 当直线过点时，，此时与曲线有两个不同的交点， 当直线与曲线相切时，由，解得或（舍）， 由图可知，实数的取值范围是，故选：C. 7.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知动点在曲线上，原点在直线上的射影为点的轨迹称为“圆方曲线”，则（    ） A．曲线所围成区域的面积为4 B．直线与圆相切 C．“圆方曲线”与曲线无交点 D．“圆方曲线”的周长为 【答案】AC 【分析】对于选项A，分情况讨论，去绝对值并画出图象，即可求得其面积；对于选项B，先求出圆心到直线的距离，然后与圆的半径进行比较即可；对于选项C，根据原点到直线的距离等于的长度，可通过求出并判断其长度的范围，进而判断有无交点；对于选项D，先判断圆方曲线的特征，进而求出周长即可. 【解析】对于选项A： 因为， 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 当时，，即； 画出图象为： 其面积为，所以A正确； 对于选项B： 圆心到直线的距离为：， 若相切，则满足，则. 而点在曲线上，根据曲线的图象可知： ，所以不满足，所以B错误； 对于选项C： 因为原点在直线上的射影为点， 所以直线与直线垂直，所以为原点到直线的距离， 所以. 因为，所以， 所以“圆方曲线”与曲线无交点，C正确； 对于选项D： 因为原点在直线①上的射影为点， 所以直线与直线垂直，所以直线的方程为②. 联立①②方程组，将方程①乘以得， 然后将方程②乘以得，两式相加可求得， 从而解得.所以直线与直线的交点坐标为， 所以.当时，，此时点的轨迹为圆，其周长为.然而，所以“圆方曲线”的周长应大于等于，所以D错误. 故选：AC. 8．（25-26高三上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，，根据圆的切线的性质可得在以为直径的圆上，求得其圆的方程，再由在圆上，可得直线的方程，求得直线恒过定点，从而得在以为直径的圆，得出圆的方程可求得的最大值． 【解析】设点，， 因为是圆的切线，所以， 所以在以为直径的圆上， 其圆的方程为， 又在圆上， 则将两个圆的方程作差得直线的方程：， 即，所以直线恒过定点， 又因为，四点共线，所以， 即在以为直径的圆上， 其圆心为，半径为， 所以， 所以的最大值为. 故选：D． 2、 多选题 9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 【答案】ACD 【分析】根据倾斜角和斜率的定义逐一判断即可求解. 【解析】对于选项，由直线倾斜角的定义可知，倾斜角的取值范围是，则正确； 对于选项，由直线斜率的定义可知（为直线的倾斜角），当时斜率不存在，则错误； 对于选项，由直线斜率的定义可知选项正确； 对于选项，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，当直线与轴垂直时直线的倾斜角为，则正确； 故选：ACD. 10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 【答案】ABD 【分析】根据直线的斜率与纵截距的实际意义(斜率表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价，纵截距表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出)，分析图形即可得出结论. 【解析】由题意，直线的斜率的实际意义表示每增加一个乘客时收入的增加值，即票价； 直线的纵截距的实际意义表示乘客人数为0时的收支差额，即负支出. A项，当时，， 所以图（1）中点B表示当乘客量为时， 既不亏损也不盈利，收支持平，故A说法正确； B项，当时，， 所以图（1）中当乘客量为0时，亏损个单位，故B说法正确； 对于C，根据题意和图（2）知，当乘客量为时，纵坐标不变， 即支出成本不变，故C项说法错误； D项，根据题意和图（3）知，两直线平行说明此建议保持票价不变， 乘客人数为0时的收支差额变大，即支出成本变小， 即说明此建议是降低成本而保持票价不变，所以D项说法正确. 故选：ABD. 11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】根据条件得到，即可得到直线过定点，即可判断选项A的正误；再利用，可得到点的轨迹是以为直径的圆，结合图形及圆的性质，即可判断出选项B、C和D的正误. 【解析】因为是的等差中项，得到，直线， 即， 由，得到，所以直线过定点，所以选项A正确， 又因为，又， 所以点的轨迹是以为直径，即以点为圆心，5为半径的圆， 方程为， 对于选项B，如图，当时，即与重合，此时最大，最大值为，所以选项B正确， 又易知，，，得到， 所以选项C错误，选项D正确， 故选：ABD. 3、 填空题 12．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点求得直线的斜率，根据二倍角的正切公式求得直线的斜率. 【解析】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 13．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期中）赵州桥又名安济桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是40米，拱顶离水面5米;当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米； 【答案】 【分析】先求得圆的半径，然后利用勾股定理求得跨度. 【解析】设圆的半径为，则，解得， ， 所以，当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为米. 14．（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，若复数，（是虚数单位），记 ，则的最小值的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设，由题意可得，在复平面内对应的点为，在复平面内对应的点，求得关于直线的对称点的坐标，进而由平面几何知识可得，求得的取值范围即可. 【解析】设，其中，因为， 所以 两边平方： 整理得，所以， 又在复平面内的对应于点， 由可知复数在复平面内对应的点位于以为中心、半径为2的圆内或圆上， 记关于的对称点为， 所以，解得，记， 复数在复平面内对应的点记为， 由平面几何知识可得， 所以的最小值为， 又， 所以， 所以的最小值的取值范围是. 4、 解答题 15. （2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 【分析】（1）利用斜率公式可得出直线、、的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系可得出这三条直线的倾斜角； （2）数形结合可得出直线斜率的取值范围，再利用直线斜率与倾斜角的关系可得出直线倾斜角的取值范围. 【解析】（1）由斜率公式，得，，， 因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是， 所以直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为. （2）如图，当直线绕点由逆时针转到时， 直线与线段恒有交点，即在线段上，此时由增大到， 所以的取值范围为， 即直线的倾斜角的取值范围为.    16. (15分) （24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 【分析】（1）设出C点坐标，利用垂直，转化为斜率之积为即可求出的值； （2）求出两直角边长，代入三角形面积公式即可； （3）写出AC中点E的坐标，利用直线的点斜式方程即可求出斜边中线所在直线方程． 【解析】（1）设．因为，所以， 显然，则． 因为，， 所以，解得，则． （2），， 的面积为． （3）记AC的中点为E，则． 直线BE的斜率为， 直线BE的方程为，即， 所以斜边上的中线所在直线的方程为． 17．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 【分析】（1）根据题意，分别设出点与点的坐标，由中点坐标公式结合圆的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，先得到两圆的公共弦方程，再由弦长公式代入计算，即可得到结果. 【解析】（1）设点P的坐标为，点A的坐标为， 由于点B的坐标为，且点P是线段AB的中点，所以，， 于是有①， 因为点A在圆上运动，即：②， 把①代入②，得，整理，得， 所以点P的轨迹的方程为． （2）将圆与圆的方程相减得： ， 由圆的圆心为，半径为1， 且到直线的距离， 则. 18．（2024-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【解析】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 19.（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点； （3）求四边形面积的取值范围. 【解析】（1）当时，直线的斜率为2，由与垂直，直线的斜率为，由此能求出直线的方程； （2）由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为，设方程为，，，然后联立直线的方程与圆的方程消元，求出 ，，然后利用算出答案即可； （3）当直线与轴垂直时，求出四边形的面积，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，则直线方程为，求出点到直线的距离，从而得到弦长和，然后表示出面积，然后用换元法能求出四边形面积的范围． 【解析】（1）当点坐标为时，直线的斜率为， 因为与垂直，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即． （2）设，，则，由对称性可知直线恒过的定点必在轴上，记为 设由题意直线斜率存在且不为，设方程为，代入圆可得：， ∴，， ∵三点共线    ∴，解得 ∴ ∴直线恒过定点 （3）当直线与轴垂直时，，所以四边形面积． 当直线与轴不垂直时，设直线方程为，即， 则直线方程为，即 点到直线的距离为，所以， 点到直线的距离为，所以， 则四边形面积 ， 令（当时四边形不存在）， 所以 ， 综上：四边形面积的取值范围为． 【点睛】结论点睛：（1）圆中的弦长要用几何法计算，较代数法简单；（2）对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线长度相乘的一半. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 直线与圆全章复习 教学目标 1. 通过复习理顺本章重点知识，如直线方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系. 2. 能综合应用本章知识解决综合性强的问题. 教学重难点 1.重点 (1) 直线方程的综合； (2)圆的相关知识的综合. 2.难点 (1)直线中的对称问题 (2)利用韦达定理解决直线与圆的相交问题. 一、构建知识网络 二、回顾重点知识 1．直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k＝ (3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标． 2．两条直线平行与垂直的判定——斜率法 两条直 线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2. 当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2 两条直 线垂直 如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1. 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2 3.直线方程的五种形式 形式 几何条件 方程 适用范围 点斜式 过一点(x0，y0)，斜率k y－y0＝k(x－x0) 与x轴不垂直的直线 斜截式 纵截距b，斜率k y＝kx＋b 与x轴不垂直的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) ＝ 与x轴、y轴均不垂直的直线 截距式 横截距a，纵截距b ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0 平面直角坐标系内所有直线 4.利用系数判断两条直线的位置关系 设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则 (1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0. (2)相交⇔A1B2－A2B1≠0. (3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或＝＝(A2B2C2≠0)． 5．两条直线的交点 6．三种距离公式 (1)两点间的距离公式：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝. (2)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝； ⑶两平行直线l1：Ax＋By＋C＝0与l2：Ax＋By＋D＝0的距离d＝ . 【易错警示】 (1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|； (2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等． 7．直线中的对称问题 ⑴中心对称问题的两种类型及求解方法 点关于 点对称 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得进而求解 直线关于 点对称 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程； ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 ⑵轴对称问题的两种类型及求解方法 点关于直线对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2) 直线关于直线对称 ①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解． ②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解 8．圆的定义及方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 标准方程 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心：(a，b) 半径：r 一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0) 圆心： 半径：r＝ 9．点和圆的位置关系 设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2. (1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外． (2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内． (3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上． 10.判断直线与圆位置关系的方法 几何法 (1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式； (2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d； (3)比较d与半径的大小，然后写出结论 代数法 (1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量； (2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)； (3)得出结论 11．圆与圆的位置关系 设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 d与r1、r2的关系 d>r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|<d<r1＋r2 d＝|r1－r2| d<|r1－r2| 12.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式 |AB|＝|xA－xB|＝. 注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 三、熟记重要结论 1．识记几种特殊位置的直线方程 (1)x轴：y＝0； (2)y轴：x＝0； (3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)； (4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)； (5)过原点的直线：y＝kx或x＝0. 2．倾斜角与斜率的关系 (1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系． (2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大． (3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率． 3.6种常见对称 (1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)； (2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)； (3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)； (4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)； (5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)； (6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)． 4.圆中的相关结论 (1)若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有： ①当F＝0时，圆过原点． ②当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上． ③当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点． ④当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切． (2)圆的几何性质 ①圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2. ②圆的弦的垂直平分线过圆心． ③一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点． ④已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心． (3)不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆． 5．与圆的切线有关的3个结论 (1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2. (2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2. 6．两圆公切线的条数 (1)外离时4条；(2)外切时3条；(3)相交时2条； (4)内切时1条；(5)内含时0条． 7．两圆相交时公共弦的性质 圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时： (1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； (2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦； (3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)． 8．切线长公式 (1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝. (2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝. 10．圆系方程 (1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数； (2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)； (3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)． 题型01 直线的倾斜角或斜率的综合问题 【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 直线的倾斜角与斜率的取值范围 直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　　 【变式1-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线 的斜率分别为，则（    ） A． B． C． D． 题型02 两直线的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 判断两直线位置关系的注意点 判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件． 【变式2-1】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（    ） A．直线的斜截式方程是：. B．与直线平行 C．与直线垂直 D．直线恒过定点 【变式2-2】（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知直线，，下列说法正确的有（    ） A．过定点 B．当时， C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为 题型03 直线方程的综合应用 【典例】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点. (1)求BC边所在直线的一般式方程； (2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标. 求直线方程时的注意事项 (1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件． (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)． 【变式3-1】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（    ） A．是直角三角形 B．边上的高所在直线的方程是 C．的面积是1 D．边上的中线所在直线的方程是 【变式3-2】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为 ，边上的高所在直线的斜截式为 . 【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 题型04 距离公式的综合应用 【典例】（多选）（24-25高二上·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（   ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的充要条件是“” C．点的坐标为 D．点到直线的距离的最大值为1 距离公式的综合应用 距离公式是高考考查的重点内容之一，常与两条直线的位置关系、直线的方程形式、直线的斜率、直线的倾斜角等内容综合考查，判断直线与圆、圆与圆的位置关系时也往往要用到距离公式，故距离公式更多的是以解题工具形式出现. 【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为 ，最大值为 . 【变式4-2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与，则（   ） A．若，则两直线垂直 B．直线恒过定点 C．直线在两坐标轴上的截距相等 D．若两直线平行，则与的距离是 【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为. (1)求直线AC的方程； (2)求的面积. 题型05 对称问题 【典例】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（    ） A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则 B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到 C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到 D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到 解决两类对称问题的关键 解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．　　 【变式4-1】（多选）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为 . 【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直. (1)求直线的方程； (2)求直线关于直线的对称直线的方程. 题型05 圆的方程的综合应用 【典例】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的外接圆（为圆心）的标准方程. 1．确定圆的方程必须有三个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用 在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．　　 【变式5-1】在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答． 问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】求满足下列条件的圆的方程． (1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆； (2)经过点，且与直线l：相切于点的圆． 题型06 圆的对称性的综合应用 【典例】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切. (1)求圆的方程； (2)求反射后光线所在直线的方程. 圆中与对称有关的几个结论 (1)圆关于直径所在直线对称； (2)任意两圆关于连心线所在直线对称； (3)若两圆关于某点对称，则两圆圆心关于该点对称，且两圆半径相等; (4)若两圆关于某直线对称，则两圆圆心关于该直线对称，且两圆半径相等. 【变式6-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是(　　) A. B. C. D. 【变式6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称． (1)圆与圆的方程； (2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 题型07 与圆有关的轨迹问题 【典例】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为． (1)求圆的方程； (2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程； 与圆有关的轨迹问题 主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程. 【变式7-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式7-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是 ． 【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 题型08 圆中的最值问题 【典例】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为 (1)求圆C的方程； (2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值． 四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题 两法搞定圆中的最值问题 圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值. 【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为 . 【变式8-2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为 ． 【变式8-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2 C．的最大值为 D．的最大值为 题型09 直线与圆的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点． (1)求点的轨迹方程； (2)若的面积为2，求． 直线与圆位置关系问题的求解策略 (1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法． (2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．　　 【变式9-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（   ） A．5 B．8 C．9 D．10 【变式9-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线：及圆：. (1)若直线与圆相切，求的值； (2)若直线与圆相交于，两点，且弦的长为，求的值. 题型10圆与圆的位置关系的综合应用 【典例】（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切. (1)求圆的方程及的值； (2)若直线与圆相交于两点且，求的值； (3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 圆与圆的位置关系的综合应用 圆与圆的位置关系的综合应用类型有判断位置、求参数、求公切线、求公共弦长等，常利用圆的性质、相应结论、联立方程等策略求解. 【变式10-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为 ． 【变式10-2】（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 题型11 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 【典例】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，回答下列问题. (1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长； (2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求. 利用韦达定理解决直线与圆相交问题 直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题, 【变式】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为. (1)求圆的标准方程； (2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率. （ⅰ）若，求面积的最大值； （ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 题型12 与圆有关的新定义题 【典例】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”. (1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值. (2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围. 与圆有关的新定义题求解策略 对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解. 【变式】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 1、 单选题 1．（2024-2025河南高二上学期12月阶段性联合考试数学试题）已知直线与直线平行，则（   ） A．4 B． C．或5 D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（    ）是“”的充要条件. A． B． C．或 D．以上均不对 3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）两条平行线：与：间的距离为（    ） A． B． C． D．1 4．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5. （24-25高二下·云南昆明·阶段练习）与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有（    ） A．2条 B．3条 C．4条 D．6条 6.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知动点在曲线上，原点在直线上的射影为点的轨迹称为“圆方曲线”，则（    ） A．曲线所围成区域的面积为4 B．直线与圆相切 C．“圆方曲线”与曲线无交点 D．“圆方曲线”的周长为 8．（25-26高三上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，设线段的中点为Q，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2、 多选题 9．（24-25高二上·河北衡水·期中）下列叙述正确的是（    ） A．直线倾斜角的取值范围是 B．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率 C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 D．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 10．（24-25高三上·贵州六盘水·阶段练习）图（1）是某条公共汽车线路收支差额y关于乘客量x的图象．由于目前本条线路亏损，公司管理者提出两种扭亏为赢的建议，具体方案分别用图（2）和图（3）表示，则（   ）． A．图（1）中乘客量为1.5单位时，收支持平 B．图（1）中当乘客量为0时，亏损1单位 C．图（2）的建议可能为：提高票价并降低成本 D．图（3）的建议可能为：降低成本而保持票价不变 11．（24-25高三上·湖北·阶段练习）已知点，直线，其中是的等差中项，过点作直线的垂线，垂足为，则（    ） A．直线过定点 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 3、 填空题 12．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 13．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期中）赵州桥又名安济桥，是一座位于河北省石家庄市赵县城南洨河之上的石拱桥，因赵县古称赵州而得名.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥.小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间段这座桥的水面跨度是40米，拱顶离水面5米;当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为 米； 14．（24-25高一下·上海·期末）已知复数满足，若复数，（是虚数单位），记 ，则的最小值的取值范围是 ． 4、 解答题 15. （2025高三·全国·专题练习）已知坐标平面内三点、、. (1)求直线、、的斜率和倾斜角； (2)若为的边上一动点，求直线的倾斜角的取值范围. 16. (15分) （24-25高二上·山东·阶段练习）已知点，，点C在x轴上，且是直角三角形，． (1)求点C的坐标； (2)求的面积； (3)求斜边上的中线所在直线的方程． 17．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知线段AB的端点B的坐标是，端点A在圆上运动． (1)求线段AB的中点P的轨迹的方程； (2)设圆与曲线的交点为M、N，求线段MN的长． 18．（2024-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 19.（24-25高三上·江苏·阶段练习）如图，过点的直线与圆相交于，两点，过点且与垂直的直线与圆的另一交点为. （1）当点坐标为(0，-2)时，求直线的方程； （2）记点关于轴的对称点为（异于点，），求证：直线 恒过定点； （3）求四边形面积的取值范围. 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$