专题2.3 直线与圆的位置关系（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册

专题2.3 直线与圆的位置关系 教学目标 1．能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 3．掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 4．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 教学重难点 1.重点 (1) 判断直线与圆的位置关系； (2) 圆的切线问题及弦长问题． 2.难点 (1)解决一些简单的数学问题与实际问题; (2)区分过一点与在一点处的切线方程． 知识点01 直线与圆的位置关系（重点） 1.直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关 系的图形 表示 直线与圆的 位置关系 2.直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相交. ； . 圆心到直线的距离：. ； . 圆心到直线的距离：. （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交； ② ； ③ . 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即学即练】 1．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 知识点02 直线与圆相交的弦长问题（拓展） 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，圆C的半径为r，圆心到直线的距离为d，弦长为l，则可得圆的弦长公式为 . (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式， 则可得弦长公式： ，或 . 【即学即练】 1．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 知识点03 圆的切线问题（拓展） 1．自一点引线圆的切线条数 ⑴若点在圆外，则过此点可以作圆的 切线; ⑵若点在圆上，则过此点可以作圆的 切线; ⑶若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； . 3.切线方程的几个重要结论 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: ⑴经过圆上一点的切线方程为 ; ⑵经过圆上一点的切线方程为 ； ⑶经过圆上一点的切线方程为 . (4) 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) 【即学即练】 1．（24-25高二上·云南临沧·月考）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 知识点04 解与圆有关的最值问题（拓展） 1.用圆的几何性质求最值 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (1)如图①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为|AD|= 其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； (2)如图②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为|AD|= ； (3)如图③，当直线l与圆C相离时，最小距离为|BD|= ，最大距离为|AD|= . r. 2.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. (1)形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 题型01 直线与圆的位置关系的判断 【典例】（24-25高二上·湖南·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. (2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【变式1-1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【变式1-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 题型02 由直线与圆的位置关系求参 【典例】（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解方程或不等式破解直线与圆的位置关系中的含参问题 由直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围时，常利用几何法构造关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式得到所得的结果. 【变式2-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 题型03 圆的切线问题 【典例3-1】（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【典例3-2】（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 圆的切线问题求解策略 (1)当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径). (2)当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC. (3)过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到. 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 题型04 圆的切线长、切点弦问题 【典例4-1】（2024高二·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【典例4-2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 圆的切线长、切点弦问题求解策略 （1）切线长公式：过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) （2）切点弦所在直线方程：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【变式4-1】（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【变式4-4】（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 题型05 求圆的弦长 【典例】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 圆的弦长问题求解策略 当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法. 用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：代入公式求解弦长. 【变式5.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）求直线被圆截得的弦的长为（    ） A． B． C． D． 【变式5.2】（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 【变式5-3】（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 题型06 由圆的弦长求参 【典例】（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 由圆的弦长求参问题求解策略 利用几何法得到圆的弦长、弦心距、半径三者之间的关系，从而构造关于参数的方程并解之. 【变式6-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【变式6-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式6.3】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型07 圆的中点弦问题 【典例】已知圆内一点，求以为中点的弦所在的直线方程． 解决圆的中点弦问题的三种策略 (1)利用一元二次方程根与系数的关系求出中点坐标； (2)设出弦的两个端点的两个坐标，代入圆的方程利用作差法求出斜率，此即为点差法； (3)利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点所连直线与弦垂直求出斜率. 【变式7-1】（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【变式7-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知EF是圆的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 题型08 直线与部分圆的交点问题 【典例】（24-25高二上·山东济南·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 破解直线与部分圆的交点问题的具体策略 一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端点的直线. 【变式8-1】（24-25高二上·江西吉安·月考）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【变式8-2】（24-25高二上·山东济南·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型09 与圆有关的最值问题 【典例9-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【典例9-2】已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值. 解直线与圆的最值问题的两大绝技 (1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法. (2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点. 【变式9-1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（24-25高二下·河南周口·月考）已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】(多选)实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是 ( CD ) A. 的最大值为 B. 的最小值为－ C. 的最大值为 D. 的最小值为－ 题型10 圆与光反射问题的综合 【典例】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）从点射出的一束光线在轴上反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 光反射问题实质是对称问题的一种，一般考虑点关于某直线对称. 【变式10-1】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 题型11 直线与圆相交时，求过交点的圆的方程 【典例】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 两招搞定过直线与圆的交点的圆的方程 第一招：解方程组法，即联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标，再根据交点坐标求圆的方程； 第二招：圆系方程法，即设出圆系方程，再借助已知条件求出圆系方程中的参数.一般地，过直线与圆与交点的圆系方程为(为参数). 【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·联考）经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程为 . 【变式11-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程． 题型12 直线与圆的实际应用 【典例】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 坐标法解决圆的实际应用问题 用坐标法解决圆的实际问题时应注意以下几点： (1)应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立； (2)在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围； (3)灵活运用圆的方程和性质、直线与圆的位置关系等知识解决数学问题； (4)最后一定要将代数结果转化成几何结论. 【变式12-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【变式12-2】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 题型13 利用设而不求思想解决直线与圆相交问题 【典例】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最大值. 代数法破解直线与圆的综合问题 直线与圆的综合问题一直是高考热点，常常考查直线与圆的位置关系，定点、定值问题，解决这类问题首先考虑几何法，当不能用几何法求解时，通常将直线方程代入圆的方程消去y（也可以消去x），得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程，再利用根与系数的关系或弦长公式进行求解. 【变式13-1】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 一、单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（23-24高二上·北京·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 4．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 5．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二·全国·专题练习）若直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3    8．（24-25高二下·安徽安庆·月考）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（   ） A．6 B．3 C．9 D．11 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 三、填空题 12．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 13．（2025高二下·全国·专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 ． 14．（24-25高二下·安徽·月考）已知线段的长度为3，动点满足，则的最大值为 ． 三、解答题 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 16．（24-25高二下·云南·月考）已知直线与圆交于，两点. (1)写出直线恒过的定点，并求出过点且与圆相切的直线方程； (2)求出满足“的面积为”的的所有值. 17．（24-25高二下·上海·月考）已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 18．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 直线与圆的位置关系 教学目标 1．能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的位置关系 2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题 3．掌握圆与圆的位置关系及判定方法. 4．能综合应用圆与圆的位置关系解决问题. 教学重难点 1.重点 (1) 判断直线与圆的位置关系； (2) 圆的切线问题及弦长问题． 2.难点 (1)解决一些简单的数学问题与实际问题; (2)区分过一点与在一点处的切线方程． 知识点01 直线与圆的位置关系（重点） 1.直线与圆的位置关系 直线与圆 的位置关 系的图形 表示 直线与圆的 位置关系 相交 相切 相离 2.直线与圆的位置关系的判断方法 （1）几何法（优先推荐） 图象 位置关系 相交 相切 相离 判定方法 ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相交. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相切. ； . 圆心到直线的距离：. 直线与圆相离. （2）代数法 直线：；圆 联立消去“”得到关于“”的一元二次函数 ①直线与圆相交； ②直线与圆相切； ③直线与圆相离. 【知识剖析】 比较两种方法，几何法避免了繁琐的计算，并与初中学过的平面几何知识有机地联系起来，是更常用的方法. 【即学即练】 1．（2025·北京大兴·三模）已知直线：与圆：，则（    ） A．与相离 B．与相切 C．平分 D．与相交但不平分 【答案】C 【分析】根据圆心到直线的距离与半径之间的大小关系，判断直线和圆的位置关系. 【解析】已知圆：，则圆心为，半径为， 圆心到直线的距离，即直线经过圆心. 故选：C. 2．（23-24高二上·陕西西安·期中）如果，那么直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切 【答案】C 【分析】由点到直线的距离公式代入计算，即可判断. 【解析】因为圆的圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 即直线与圆相离. 故选：C 知识点02 直线与圆相交的弦长问题（拓展） 设直线l的方程为y=kx+b，圆C的方程为，求弦长的方法有以下几种： (1)几何法 如图所示，圆C的半径为r，圆心到直线的距离为d，弦长为l，则可得圆的弦长公式为 . (2)代数法 将直线方程与圆的方程组成方程组，设交点坐标分别为A,B. ①若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解. ②若交点坐标无法简单求出，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元 二次方程中根与系数的关系可得或的关系式， 则可得弦长公式： ，或. 【即学即练】 1．（24-25高二上·河南新乡·期末）已知直线与圆相交于两点，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， 则. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海奉贤·期末）已知直线与圆相交于、两点，则 . 【答案】 【解析】圆的圆心为，半径，则圆心到直线的距离， 所以. 知识点03 圆的切线问题（拓展） 1．自一点引线圆的切线条数 ⑴若点在圆外，则过此点可以作圆的两条切线; ⑵若点在圆上，则过此点可以作圆的一条切线; ⑶若点在圆内，则过此点不能作圆的切线. 2.切线长公式 记圆:；过圆外一点做圆的切线，切点为,利用勾股定理求； . 3.切线方程的几个重要结论 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: ⑴经过圆上一点的切线方程为; ⑵经过圆上一点的切线方程为； ⑶经过圆上一点的切线方程为 (4) 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) 【即学即练】 1．（24-25高二上·云南临沧·月考）过点作圆的切线，则的斜率为（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】设出直线方程，借助切线的性质计算即可得. 【解析】当直线斜率不存在时，直线为，此时圆心到的距离，故不符； 当直线斜率存在时，设切线的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 解得或. 故选：C. 2．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在圆上，则过点M的圆C的切线方程为 ． 【答案】 【分析】先求得半径，然后根据点斜式求得切线方程. 【解析】由于点在圆上， 所以，所以圆， 所以圆心，， 所以过点M的圆C的切线的斜率为， 所以过点M的圆C的切线方程为， 化简得. 知识点04 解与圆有关的最值问题（拓展） 1.用圆的几何性质求最值 求圆上点到直线的最大值、最小值，需过圆心向直线作垂线. (1)如图①，当直线l与圆C相交时，最小距离为0，最大距离为|AD|=r+d.其中r为圆的半径，d 为圆心到直线的距离； (2)如图②，当直线l与圆C相切时，最小距离为0，最大距离为|AD|=2r； (3)如图③，当直线l与圆C相离时，最小距离为|BD|=d-r，最大距离为|AD|=d+r. 2.利用直线与圆的位置关系解决最值(取值范围) 问题 解析几何中的最值问题一般是根据条件列出所求目标——函数关系式，然后根据函数关系式的特征选 用参数法、配方法、判别式法等，应用不等式求出其最值(取值范围).对于圆的最值问题，要利用圆的特殊几何性质，根据式子的几何意义求解，这常常是简化运算的最佳途径. (1)形如u=的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题. (3)形如的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)经过圆内一点的最长弦就是经过这点的直径，过这点和最长弦垂直的弦就是最短弦. 题型01 直线与圆的位置关系的判断 【典例】（24-25高二上·湖南·期末）直线与圆的位置关系为（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【答案】A 【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【解析】由题意知，圆心，半径， 所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离. 故选：A. 直线与圆的位置关系的判断方法 (1)代数法：通过联立直线方程与圆的方程组成方程组，根据方程组解的个数来研究，若有两组不同的实数解，即>0，则直线与圆相交；若有两组相同的实数解，即=0，则直线与圆相切；若无实数解，即<0，则直线与圆相离. (2)几何法：由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断，当d<r时，直线与圆相交；当d=r时，直线与圆相切；当d>r时，直线与圆相离. 【变式1-1】（24-25高二下·湖南娄底·期中）已知直线和圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相切 【答案】D 【分析】由题意可求出直线所过定点，代入圆中即可判断出答案. 【解析】由题意，直线可化为：， 直线过定点，代入圆中， 易知该点为圆上一点，所以直线1与圆相交或相切. 故选：D. 【变式1-2】（2025高二·全国·专题练习）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（    ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】C 【分析】求出圆心到直线的距离，根据点与圆的位置列关系式，求出圆心到直线的距离求解. 【解析】圆心到直线的距离, 若点在圆上，则， 所以，则直线与圆相切，故A正确； 若点在圆内，则， 所以，则直线与圆相离，故B正确； 若点在圆外，则， 所以，则直线与圆相交，故C错误； 若点在直线上，则， 即，所以， 直线与圆相切，故D正确． 故选：C. 【变式1-3】（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）已知圆，直线，则直线与圆的公共点个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．与有关，不能确定 【答案】C 【分析】根据直线过定点，且点在圆内，可得直线与圆相交，即可得解. 【解析】直线， 即， 令，解得， 即直线过点， 又， 则点在圆内， 所以直线与圆相交，有个公共点， 故选：C. 题型02 由直线与圆的位置关系求参 【典例】（2025·浙江·模拟预测）已知圆，则“点在圆外”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】首先判断点在圆外的条件，然后判断直线与圆O相交的条件，最后对这两个条件进行对比，即可得到答案. 【解析】因为点在圆外，说明点与圆心距离大于半径， 即. 直线与圆O相交，说明圆心到直线的距离小于半径，即 ，化简得. 所以，但是后者不能推出前者. 也就是说，点在圆外，那么直线与圆O相交， 但是直线与圆O相交，点不一定在圆外. 所以“点在圆外”是“直线与圆O相交”的充分不必要条件. 故选：A. 解方程或不等式破解直线与圆的位置关系中的含参问题 由直线与圆的位置关系求参数的值或取值范围时，常利用几何法构造关于参数的方程或不等式，通过解方程或不等式得到所得的结果. 【变式2-1】（24-25高三下·重庆·阶段练习）设集合，，若只含一个元素，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两集合中，点的属性即可判断. 【解析】集合表示直线上及上侧所有点， 集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点， 又与相切， 所以若只含一个元素，则， 故选：C． 【变式2-2】（2025·北京·模拟预测）“”是“直线与圆相交”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据直线与圆的位置关系求出a的取值范围，再集合的包含关系得条件关系.. 【解析】由题知，圆的圆心为，半径为1， 设圆心到直线的距离为 则，解得：. 而为的真子集， 故“”是“”的必要不充分条件， 即“”是“直线与圆相交”的必要不充分条件， 故选：B 题型03 圆的切线问题 【典例3-1】（23-24高二下·全国·课后作业）从圆外一点向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为（ ） A． B． C． D．6 【答案】B 【分析】根据锐角三角函数，结合二倍角公式即可求解. 【解析】由得， 所以圆心为，半径为， 设切点分别为，连接，则为两切线的夹角， 由于， 所以， 由二倍角公式可得， 故选：B. 【典例3-2】（24-25高二上·天津·期末）已知圆C 直线l过点，若直线l与圆C相切，则直线l的方程为 . 【答案】或 【分析】利用圆心到直线的距离等于半径求解. 【解析】当切线的斜率存在时，可设直线：， 即， 圆心到直线的距离为，解得， 故直线的方程为； 当直线的斜率不存在时，直线：，圆心到直线的距离为1，符合题意； 所以直线l的方程为或. 【易错警示】过圆外一点可以作圆的两条切线，若通过计算只求得一条切线，往往是遗漏了斜率不存在的这条切线. 圆的切线问题求解策略 (1)当一条直线l与圆C相切时，毫无疑问地要用到圆心C到直线l的距离d=r(r为圆C的半径). (2)当一条直线l与圆C相切于点P时，则lPC. (3)过圆外一点P向圆C作切线，切点为Q，则必定会用到. 【变式3-1】（24-25高二上·辽宁沈阳·月考）过点作圆的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，点在圆上，且，由此可得出所求切线的方程. 【解析】圆的标准方程为，圆心为， 因为，所以，点在圆上，则， 所以，所求切线与轴垂直，故所求切线的方程为. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高三下·上海·阶段练习）已知为圆上一点，过点的圆的切线的方程为 . 【答案】 【分析】根据题意，求得则，得到切线的斜率为，且，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【解析】由圆，可得圆心坐标为，则， 则过点的圆的切线的斜率为，且 所以过点的圆的切线的切线方程为， 即，即. 【变式3-3】（24-25高二下·上海·期中）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则 ． 【答案】/0.96 【分析】根据圆的切线的求解方法可求得切线斜率，利用直线夹角公式可求得，再结合同角三角函数关系可求得结果. 【解析】由得：，则圆心为，半径； 则过点作圆的切线，切线斜率必存在，可设切线方程为：，即， 圆心到切线的距离，解得：，， ，又，. 题型04 圆的切线长、切点弦问题 【典例4-1】（2024高二·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 【典例4-2】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】可知圆的圆心为原点，可求出的最小值，再利用勾股定理可求得的最小值. 【解析】设点的坐标为，由圆的圆心坐标为，有， 由圆的几何性质可得， 又由， 所以当时，取得最小值． 故选：C. 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 圆的切线长、切点弦问题求解策略 （1）切线长公式：过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长为 一般方程(标准方程) （2）切点弦所在直线方程：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【变式4-1】（2025·重庆·三模）过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求. 【解析】由题意有，即. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高二上·江苏南京·期中）已知圆，是x轴上动点，分别是圆的切线，切点分别为两点，则直线恒过定点 ． 【答案】 【分析】先设，然后求出直线的方程，计算定点即可. 【解析】设,，易知 由平面向量数量积的几何意义可知， 所以有 所以点在直线上 故直线的方程为，过定点 【变式4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知圆，直线过点. (1)若直线与圆相切，求直线的方程； (2)当直线的斜率存在且与圆相切于点时，求. 【分析】（1）分斜率存在或不存在两种情况，若不存在，设直线的方程，利用即可； （2）在中勾股定理即可. 【解析】（1）圆的方程可化为， 则圆的圆心为，半径， ①当直线的斜率不存在，则直线方程为，满足题意； ②当直线的斜率存在时，可设直线的方程是，即， 由圆心到直线l的距离，解得， 此时直线的方程是， 综上，直线的方程是或. （2）由（1）得直线的方程是， 则, 所以. 【变式4-4】（24-25高二上·广东广州·期中）已知的三个顶点分别为，，，直线经过点. (1)求外接圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程； (3)若是圆上的两个动点，当最大时，求直线的方程. 【分析】（1）设出圆的一般式方程，代入三点坐标解方程组可得一般式方程，再配方得标准方程； （2）由弦长求法求得圆心到直线的距离，按直线斜率存在与不存在分类讨论求直线方程，斜率存在时，设直线方程，由点到直线距离公式求参数值． （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 求出以为直径的圆方程，与圆方程相减可得切点弦所在直线方程． 【解析】（1）设圆的方程为，， 则，解得， 则圆的方程为， 即圆的标准方程为； （2）由（1）得圆心，半径， 又，可知圆心到直线的距离， 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为，成立； 当直线斜率存在时，设直线方程为，即， 圆心到直线的距离， 解得，则直线方程为，即； 综上，直线方程为或. （3）由在圆M外，当与圆相切时（E，F不重合），取的最大值, 此时的中点为，, 所以以为直径的圆的方程为, 即①, 又圆M的方程为②, ①②：, 所以直线的方程为. 题型05 求圆的弦长 【典例】（24-25高二上·江苏扬州·期末）已知直线，与圆交于，两点，则长的最小值为（   ） A． B．2 C． D．4 【分析】由圆的方程求得圆心和半径，由直线过定点，易得弦心距的最大值，可得的最小值. 【解析】由圆，可得圆心、半径为， 直线过定点，要使弦长最小，只有弦心距最大， 弦心距的最大值为， 所以弦的的最小值为. 故选：C. 圆的弦长问题求解策略 当直线与圆相交时，因几何法求弦长较方便，一般不用代数法. 用几何法求解圆的弦长的一般步骤：第一步：确定圆的半径r；第二步：求解圆心到直线的距离d；第三步：代入公式求解弦长. 【变式5.1】（24-25高二上·贵州黔西·期末）求直线被圆截得的弦的长为（    ） A． B． C． D． 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【解析】将圆的方程化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以根据几何法得弦长为． 故选：A. 【变式5.2】（24-25高三上·河北·期末）已知圆被直线所截，则截得的弦长为（   ） A．2 B． C． D．4 【分析】由已知圆方程求出圆心和半径，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出弦长. 【解析】根据题意，圆，可变形为， 所以圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以弦长为. 故选：D． 【变式5-3】（24-25高二下·上海虹口·期末）已知圆经过点，且圆心为． (1)求圆的标准方程； (2)若直线经过两点，且与圆相交于点，求线段的长． 【分析】（1）由两点距离求半径，再结合圆心写出圆的标准方程； （2）根据已知及点斜式写出直线方程，应用几何法求相交弦的长度. 【解析】（1）由题设，所以圆的标准方程为． （2）由题意，，故，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以的长等于． 题型06 由圆的弦长求参 【典例】（24-25高二下·云南·期中）已知直线与圆交于A、B两点，若，则a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程可得圆的半径，利用三角形面积计算，求得圆心到直线的距离，可得答案. 【解析】由圆可知圆心，半径， 由，解得， 则圆心到直线的距离为，则，解得. 故选：C． 由圆的弦长求参问题求解策略 利用几何法得到圆的弦长、弦心距、半径三者之间的关系，从而构造关于参数的方程并解之. 【变式6-1】（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【分析】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解析】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C. 【变式6-2】（24-25高二上·山东·阶段练习）直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（   ） A． B． C． D． 【分析】利用点到直线的距离公式及圆的弦长公式的逆运用计算半径即可. 【解析】点到直线的距离为， 所以圆C的半径为， 则圆C的方程为. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高二上·河南濮阳·期中）已知直线经过点，且与圆：相交于，两点，若，则直线的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【分析】根据弦长，利用垂径定理求出圆心到直线的距离.然后分直线斜率存在与不存在两种情况来求直线的方程. 【解析】已知弦长，半径.根据垂径定理知圆心到直线的距离为. 把，代入可得.   当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为， 所以直线斜率不存在时不满足条件.   当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 根据点到直线距离公式，由圆心到直线的距离， 可得.对进行求解. 两边平方得，展开得. 解得或.   当时，直线的方程为，即. 当时，直线的方程为，即.   故选：A. 题型07 圆的中点弦问题 【典例】已知圆内一点，求以为中点的弦所在的直线方程． 【解析】（方法一）当斜率存在时，设直线的斜率为 ，过点 的直线方程为 ，即 ． 代人圆的方程，得 ． ∵可设两个交点坐标分别为 ， ， 则 ，即，解得 ． 故所求直线的方程是 ． （方法二）设以点为中点的弦的两个端点坐标为 ，则 ． 当时，，故， 则直线的斜率． 把两点坐标代人圆的方程，得 两式相减并整理，得 ， 即，解得． 故所求直线的方程是． （方法三）由几何性质知，圆心与点所连直线与弦所在直线垂直，由此可知弦所在直线的斜率． ∵圆心弦所在直线的斜率． 故所求直线的方程是． 【解后反思】方法一、方法二是中点弦问题的常规解法，其中方法二采用设而不求、整体代换的策略．方法三利用圆的性质，计算比较简单． 解决圆的中点弦问题的三种策略 (1)利用一元二次方程根与系数的关系求出中点坐标； (2)设出弦的两个端点的两个坐标，代入圆的方程利用作差法求出斜率，此即为点差法； (3)利用圆本身的几何性质，即圆心与弦中点所连直线与弦垂直求出斜率. 【变式7-1】（2024·广西·模拟预测）已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出点坐标，根据中点坐标公式得到、两点的坐标，结合已知条件利用垂直关系，分直线斜率不存在，和直线斜率存在两种情况求解即可. 【解析】设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， 由圆的性质可知， 当时，直线斜率不存在， 此时直线斜率为，所以，，， 当时，有，即， 整理得：， 经检验在直线上， 所以的轨迹方程为：. 故选：B. 【变式7-2】（2023·四川绵阳·模拟预测）已知EF是圆的一条弦，且，P是EF的中点，当弦EF在圆C上运动时，直线上存在两点A，B，使得恒成立，则线段AB长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件先确定出点的轨迹方程，然后将问题转化为“以为直径的圆要包括圆”，由此利用圆心到直线的距离结合点的轨迹所表示圆的半径可求解出的最小值. 【解析】由题可知：，圆心，半径， 又，是的中点，所以， 所以点的轨迹方程，圆心为点，半径为， 若直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆要包括圆， 点到直线的距离为， 所以长度的最小值为， 故选：B． 【变式7-3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知圆． (1)若一直线被圆C所截得的弦的中点为，求该直线的方程； (2)设不过圆心的直线与圆C交于A，B两点，把的面积S表示为m的函数，并求S的最大值． 【分析】（1）根据给定条件，求出圆心坐标，再利用圆的性质求解作答. （2）利用点到直线的距离公式，求出边AB上的高，再求出弦AB长即可求解作答. 【解析】（1）圆圆心，半径，显然点在圆C内， 由圆的性质知，当为圆C弦的中点时，该弦所在直线垂直于直线， 直线的斜率，则有所求直线斜率为1，方程为：，即， 所以该直线的方程为. （2）直线与圆相交时，圆心C到直线l的距离，解得， 又直线l不过圆心，即，因此且， ， 的面积， 因为且，则，当，即或时，， 所以，，当或时，. 题型08 直线与部分圆的交点问题 【典例】（24-25高二上·山东济南·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可. 【解析】直线l恒过定点， 曲线C的方程可整理为， 所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线l的距离，解得，则， 所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点. 故选：D. 破解直线与部分圆的交点问题的具体策略 一条直线和一个圆的一部分有交点时，如果用代数法去研究，则要转化为一元二次方程根的取值情况，过程比较繁琐，因此这类问题一般采用数形结合的方法去研究，研究应抓住两类直线：一是切线；二是过端点的直线. 【变式8-1】（24-25高二上·江西吉安·月考）直线与曲线恰有1个交点，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由曲线，表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分），然后根据直线与半圆的位置关系，利用数形结合法求解. 【解析】曲线，即， 表示一个半圆（单位圆位于轴及轴右侧的部分）， 如图， 设、、， 当直线经过点A时，， 当直线经过点、点时，，此时有2个公共点，不符合题意； 所以当时，直线与曲线有一个公共点； 当直线和半圆相切时， 则圆心到直线的距离等于半径， 即，求得或（舍去）， 即时，只有一个公共点，符合题意， 综上得，实数的取值范围为或， 故选：D． 【变式8-2】（24-25高二上·山东济南·期中）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线l的方程得到直线l恒过定点，根据曲线C的方程曲线C表示半圆，然后结合图形求k的范围即可. 【解析】直线l恒过定点， 曲线C的方程可整理为， 所以曲线C表示以为圆心，半径为2的半圆，图象如下所示： ，为两种临界情况，由题意得，则， 令圆心到直线l的距离，解得，则， 所以当时，直线l与曲线C有两个不同的交点. 故选：D. 【变式8-3】（24-25高二上·福建泉州·期中）若直线与曲线至少有一个公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出曲线的图象，数形结合可得解. 【解析】直线恒过定点， 由，得到（）， 所以曲线表示以点为圆心，半径为，且位于直线右侧的半圆（包括点，）， 如下图所示：    当直线经过点时，与曲线有一个交点，此时， 当与半圆相切时，由，得， 由图可知，当时，与曲线至少有一个公共点， 故选：B. 题型09 与圆有关的最值问题 【典例9-1】（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，直线，点在直线上运动，直线分别与圆相切于点，则四边形的面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据切线长与圆心到定点距离和半径之间关系，即切线长可知当时，最小，可确定四边形面积最小值. 【解析】由圆的方程知：圆心，半径， 四边形的面积， 则当最小时，四边形的面积最小， 点到直线的距离， ， 此时. 故选：A 【典例9-2】已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上. (1)求的最大值和最小值； (2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值. 【解析】圆方程化为(x－3)2＋(y－3)2＝4， 圆心C(3，3)，半径r＝2. (1)表示圆上点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率； 设＝k，显然当直线y＝kx与圆C相切时， k取到最大值与最小值， 由＝2，得k＝. 所以的最大值为， 最小值为. (2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2表示圆上点P(x，y)与定点A(－1，0)的连线的长度d的平方加上2. 因为|AC|＝5，所以3≤d≤7， 所以所求最小值为11，最大值为51. 解直线与圆的最值问题的两大绝技 (1)代数法：利用平面几何中的有关公式，构造函数，把问题转化为函数的最值，然后根据函数最值的求法进行求解.在转化过程中常用到向量的数量积、一元二次方程根与系数的关系、换元等知识和方法. (2)几何法：找到所求式的几何意义，在坐标系中与圆建立联系，分析其与圆的位置变化情况，找到最大、最小取值点. 【变式9-1】（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【解析】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 【变式9-2】（24-25高二下·河南周口·月考）已知直线与圆交于两点，设弦的中点为，为坐标原点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，由圆的几何性质得点的轨迹是以为直径的圆，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【解析】 圆的标准方程为，则圆心为，半径， 直线恒过定点，记为，且点在圆内，轴， 又直线的斜率不为0，所以点的轨迹是以为直径的圆，且不为点，所以点轨迹方程为，. 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D. 【变式9-3】(多选)实数x，y满足x2＋y2＋2x＝0，则下列关于的判断正确的是 ( CD ) A. 的最大值为 B. 的最小值为－ C. 的最大值为 D. 的最小值为－ 【答案】CD 【解析】由题意可得方程x2＋y2＋2x＝0是圆心为C(－1，0)，半径为1的圆，则为圆上的点与定点P(1，0)连线的斜率的值，设过P(1，0)点不垂直于x轴的直线为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0，则圆心到直线kx－y＋k＝0的距离d＝r，即＝1，整理可得3k2＝1，解得k＝±，所以，即的最大值为，最小值为－. 故选CD. 题型10 圆与光反射问题的综合 【典例】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）从点射出的一束光线在轴上反射后与圆相切，则反射光线所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设反射光线与轴的交点为，因为反射光线与直线关于直线对称，则反射光线的斜率与直线的斜率互为相反数，表示出反射光线的方程，由反射光线与已知圆相切，可得出圆心到反射光线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出方程，求出方程的解得到a的值，即可确定出反射光线所在直线的方程． 【解析】 由圆的方程化为, 则圆心为，半径为， 设反射光线与轴的交点为，则直线的斜率为， 因为反射光线与直线关于直线对称， 所以反射光线的斜率为， 则反射光线所在的直线方程为，即． 因为反射光线与圆相切，所以， 化简可得，解得经检验，不满足条件，舍去或， 所以反射光线方程为． 故选:B. 光反射问题实质是对称问题的一种，一般考虑点关于某直线对称. 【变式10-1】（2025·北京西城·一模）在平面直角坐标系中，若从点发出的光线经过点，且被轴反射后将圆平分，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】点关于轴的对称点为，分析可知，点、、圆心三点共线，结合可求得的值. 【解析】如下图所示： 点关于轴的对称点为， 由对称性可知，点、、圆心三点共线，则，即，解得. 故选：A. 【变式10-2】（24-25高二上·吉林·期中）一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，则反射后光线所在直线的斜率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】求出圆心坐标与半径，点关于轴对称点的坐标，设过对称点与圆相切的反射光线所在直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可求出答案. 【解析】圆的圆心坐标为，半径为1， 点关于轴对称点的坐标为， 根据题意可得，点在反射光线所在的直线上， 设反射光线所在的直线方程为，即， 因为反射光线所在直线与圆相切， 所以，解得或， 故选：A. 【变式10-3】（24-25高二上·新疆博尔塔拉·期末）已知圆C的圆心在直线上，且经过点和点． (1)求圆C的标准方程； (2)一条光线从点射出，经x轴反射后，与圆C相切，求反射后的光线所在直线的方程． 【分析】（1）设圆心坐标，由圆的半径建立方程，解出圆心坐标即圆的半径，写出圆C的标准方程； （2）求出点关于的对称点坐标，设对称后的直线方程，因为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径建立方程，解得斜率，从而得到直线方程. 【解析】（1）设圆心为， 则， 即，解得， ∴， ∴圆C的标准方程：. （2）如图：是点关于的对称点. 显然，当反射后的直线斜率不存在时，反射后的直线与圆不相切， 所以反射后的直线的斜率一定存在， ∴设，即， ∵反射后的直线与圆相切，∴圆心到直线的距离， ∴，整理得， ∴，即，， ∴反射后的光线所在直线的方程：或. 题型11 直线与圆相交时，求过交点的圆的方程 【典例】（24-25高二上·浙江杭州·期中）已知圆. (1)求过点且与圆相切的直线方程; (2)求经过直线与圆的交点, 且面积最小的圆的方程. 【分析】（1）由已知可得点在圆外，即有两条切线，当切线斜率存在时，设出切线方程，根据点到直线距离公式可得斜率与方程，当切线斜率不存在时，可判断直线与圆相切； （2）由已知可设圆的方程为，可得圆的半径，可知当时，取最小值为，此时面积最小为. 【解析】（1）由得， 圆心，半径， 又到圆心的距离为， 所以点在圆外， 所以过点的切线共有两条， 当切线斜率存在时，设切线方程为， 即， 所以圆心到直线的距离， 解得，所以直线方程为， 即， 当直线斜率不存在时，直线方程为，与圆相切， 综上所述，切线方程为或. （2）已知可设圆的方程为， 即， 则圆的半径， 可知当时，取最小值为，此时面积最小为. 两招搞定过直线与圆的交点的圆的方程 第一招：解方程组法，即联立直线与圆的方程，通过解方程组求出交点坐标，再根据交点坐标求圆的方程； 第二招：圆系方程法，即设出圆系方程，再借助已知条件求出圆系方程中的参数.一般地，过直线与圆与交点的圆系方程为(为参数). 【变式11-1】（24-25高一上·陕西西安·联考）经过直线与圆的交点，且经过点的圆的方程为 . 【答案】 【解析】解方程组， 得直线与圆的交点坐标为、. 设圆的方程为，将A、B、P坐标代入，得 ， 解得D=3，E=-3，F=-8，且满足， 所以所求方程为： 【变式11-2】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知一个圆经过直线与圆的两个交点，并且面积有最小值，求此圆的方程． 【答案】 【分析】设所求圆的方程为，即，可得出圆的半径为，利用二次函数求出圆的半径的最小值，并求出对应的的值，即可得出所求圆的方程. 【解析】设所求圆的方程为， 即， 则圆的半径为， 当时，圆的半径取最小值， 因此，所求圆的方程为，即. 题型12 直线与圆的实际应用 【典例】（24-25高二上·广东梅州·期中）某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心的东北方向米的点处，有一全景摄像头，其安装高度低于建筑物的高度. (1)在西辅道上距离建筑物地面中心0距离5米处的游客，是否在该摄像头的监控范围内? (2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度. 【分析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，求出直线方程，判断直线与圆的位置关系即可； （2）摄像头监控不会被建筑物遮挡，只需求出过点的直线与圆相切时的直线方程即可. 【解析】（1）以为原点，正东方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系 则，观景直道所在直线的方程为， 依题意得：游客所在点为， 则直线的方程为，化简得， 所以圆心到直线的距离，故直线与圆相交， 所以游客不在该摄像头监控范围内. （2）由图易知：过点的直线与圆相切或相离时，摄像头监控不会被建筑物遮挡， 所以设直线过且恰与圆相切， ①若直线垂直于轴，则不可能与圆相切； ②若直线不垂直于轴，设，整理得， 所以圆心到直线的距离为，解得或， 所以直线的方程为或， 即或， 设这两条直线与交于， 由，解得，由，解得， 所以，观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为米. 坐标法解决圆的实际应用问题 用坐标法解决圆的实际问题时应注意以下几点： (1)应在利于解题的原则下建立适当的平面直角坐标系，不可随便建立； (2)在实际问题中，有些量具有一定的限制条件，转化成代数问题时要注意取值范围； (3)灵活运用圆的方程和性质、直线与圆的位置关系等知识解决数学问题； (4)最后一定要将代数结果转化成几何结论. 【变式12-1】（24-25高二上·四川眉山·期中）如图，已知一艘停在海面上的海监船上配有雷达，其监测范围是半径为的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东的处出发，径直驶向位于海监船正北的处岛屿，速度为．这艘轮船能被海监船监测到的时长为（    ） A．1小时 B．0.75小时 C．0.5小时 D．0.25小时 【答案】C 【分析】以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系，求出直线与圆的方程，计算圆心到直线的距离和半径比较，可知这艘轮船能否被海监船监测到；计算弦长，可求得持续时间为多长． 【解析】如图，以为原点，东西方向为轴建立直角坐标系， 由题意可知，，圆方程，半径， 直线方程：，即， 设到距离为， 则，故直线与圆相交， 所以外籍轮船能被海监船检测到， 如图，设直线与圆交点为，取中点，连接，则， 所以， 设监测时间为，则（小时）， 故轮船能被海监船检测到的时间是0.5小时． 故选：C． 【变式12-2】如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点． (1)求圆C的方程； (2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险? 【分析】（1）根据给定条件，求出点A，B的坐标，设出圆C的一般方程，利用待定系数法求解作答. （2）求出船D的航线所在直线的方程，再利用点到直线距离公式计算判断作答. 【解析】（1）依题意，因A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛千米处，则点， 又B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处，则， 设过O，A，B三点的圆C的方程为， 则，解得， 所以圆C的方程为． （2）因船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，则， 而船D沿着北偏东45°方向行驶，则船D的航线所在直线l的斜率为1，直线l的方程为， 由（1）知，圆C的圆心为，半径， 则圆心C到直线l的距离，则， 所以该船有触礁的危险. 题型13 利用设而不求思想解决直线与圆相交问题 【典例】（24-25高二上·安徽·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且经过，两点.过定点的动直线与圆交于，两点，为坐标原点. (1)求圆的标准方程； (2)求的最大值. 【分析】（1）先求出中垂线方程，与联立，求出圆心点坐标，再求出圆的半径，即可得出答案. （2）法一：设中点坐标为，则可知点在为直径的圆上，求出以为直径的圆的方程，由，即可求出的最大值；法二：讨论直线的斜率存不存在，联立直线与圆的方程，设，由韦达定理求出，由此表示出，再由换元法和基本不等式求出的最大值. 【解析】（1）中点坐标为，， 故中垂线为，即， 与联立，解得圆心点坐标为， 圆的半径，故圆 （2）法一：设中点坐标为，，故点在为直径的圆上， 设中点，，，则 ，所以， 以为直径的圆的方程：， 故， 当且仅当三点共线时取等号，故. 法二：①当直线的斜率不存在时，中点坐标， ； ②当直线的斜率存在时，设直线：代入整理得： ， 设，则，， ， ， 因为求的最大值，可令，代入上式可得： ， 当且仅当，即时取等号. 易求，故. 代数法破解直线与圆的综合问题 直线与圆的综合问题一直是高考热点，常常考查直线与圆的位置关系，定点、定值问题，解决这类问题首先考虑几何法，当不能用几何法求解时，通常将直线方程代入圆的方程消去y（也可以消去x），得到一个关于变量x(或变量y)的一元二次方程，再利用根与系数的关系或弦长公式进行求解. 【变式13-1】（2025·山东·二模）直线与圆交于两点，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，联立方程组得出，由平面向量数量积的坐标运算列出方程求解即可． 【解析】设， 由得，，则， ， 由得，， 故选：B． 【变式13-2】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆. (1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状； (2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”. （i）求直线的方程； （ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【分析】（1）根据题设定义得到，再利用两点间的距离公式，即可求解； （2）（i）根据条件可得直线为圆和的公共弦所在直线，即可求解；（ii）根据题设得到圆的方程为，再根据题设有，联立，消可得，结合条件，利用根与系数的关系，即可求解. 【解析】（1）设，因为点为圆的“上进点”， 所以，即，又，得到， 所以的轨迹方程为，点的轨迹是以为圆心､为半径的圆. （2）（i）因为为圆“”的“牵连点”，所以同时为圆与圆的“上进点”， 由为圆的“上进点”，得，所以， 即点在圆上， 由为圆的“上进点”，由（1）知点在圆上， 所以点是圆和的交点. 因为均为圆“”的“牵连点”， 所以直线为圆和的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得，故直线的方程为. （ii）因为的圆心为，半径为， 又的圆心为，半径为， 所以直线的方程为，与联立得的中点坐标为， 点S到直线的距离为，则， 所以圆的方程为， 假设轴上存在点满足题意，设. 则，即，整理得. 将，代入上式可得， 整理得①， 联立，消可得，， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以， 故轴上存在点，满足题意恒成立. 一、单选题 1．（2025·陕西西安·模拟预测）直线与圆的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】C 【分析】先求出直线经过的定点，求出圆的圆心和半径，由即可判断. 【解析】因直线过定点， 由配方得：，可得圆心为，半径为， 因为，所以点在圆内，故直线与圆相交. 故选：C. 2．（23-24高二上·北京·期中）以点为圆心，且与直线相切的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用点到直线的距离公式求出圆的半径即可得解. 【解析】由直线为圆的切线，得圆的半径， 所以所求圆的方程为. 故选：A 3．（24-25高二上·贵州六盘水·期末）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A．或3 B．2 C．或5 D．4 【答案】C 【分析】由题可得到圆心距离，由点到直线距离公式可得答案. 【解析】， 则圆心坐标为：，半径为4.又因弦长为， 则圆心到弦距离满足. 则由点到直线距离公式可得：或. 故选：C 4．（24-25高二下·河南新乡·阶段练习）设一个圆心在直线上的圆与两条坐标轴均相切，则这个圆的半径为（   ） A．1 B．2 C．1或2 D．2或 【答案】C 【分析】根据给定条件，设出圆心坐标，结合圆的切线列式求解. 【解析】由圆心在直线上，设圆心坐标为， 由该圆与两条坐标轴均相切，得该圆半径，整理得， 解得或，所以这个圆的半径或2. 故选：C 5．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知圆，过原点作圆的弦，则的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点，其中，则点，将点的坐标代入圆的方程，化简可得点的轨迹方程. 【解析】设点，其中，则点， 将点的坐标代入圆的方程可得，即， 所以，点的轨迹方程为. 故选：C. 6．（2024高二·全国·专题练习）若直线与交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出直线过的定点以及圆的圆心和半径，根据弦长问题可求得最值. 【解析】第1步：求解直线恒过的定点及圆的圆心、半径， 直线的方程可化为，故恒过定点， 又的圆心，半径为4．   ， 第2步：求解直线与圆相交的弦长， 点到圆心的距离为， 故在的内部，如图，设到的距离为，则， 第3步：判断弦长最小时的位置，并求解 要使最小，只需最大， 当时，有最大值，且， 故的最小值为． 故选：C. 7．（24-25高二下·江西景德镇·期中）已知是曲线上一动点，若满足的点恰有2个，则实数的取值可能是（ ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】作出图形，利用代数式的几何意义可求答案. 【解析】由曲线，得，则， 所以曲线表示以为圆心，半径的半圆（轴及以上部分）.    设直线：，因为，所以， 所以表示点到直线的距离为， 即只有2个点到直线的距离为， 所以圆心到直线的距离，解得， 结合选项发现只有B选项符合题意. 故选：B 8．（24-25高二下·安徽安庆·月考）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，将四边形的面积用表示出来，从而将求面积最小值转化成求的最小值，易得此最小值即点到直线的距离. 【解析】 如图，由可得，则其圆心为，半径. 因为直线与圆相切，所以，且， 则四边形面积， 又，则. 故当取最小值时，四边形面积取最小值， 由图象可得，取得的最小值即为点到直线的距离， 即， 故四边形面积的最小值为. 故选：B. 二、多选题 9．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知直线，圆，则下列说法正确的有（    ） A．若，则l与圆C相切 B．若l与圆C相交，则 C．圆C可能关于l对称 D．若，则l被圆C截得的弦长为4 【分析】利用点到直线距离公式计算判断直线与圆的位置关系判断A，B，结合圆心能否在直线上判断C，应用几何法求弦长判断D选项． 【解析】直线l过定点，圆C：，所以圆心为，半径为 对于A，若，则圆心到直线的距离，所以l与圆C相切，故A正确； 对于B，依题意，由圆心到直线的距离，解得或，故B错误； 对于C，将到代入l的方程，得不成立，故l不能经过圆心C，则圆C不可能关于l对称，故C 错误； 对于D，若，圆心到直线的距离为，则弦长为，故D正确． 故选：AD. 10．（24-25高二上·安徽阜阳·期末）已知圆的方程为，过点的直线交该圆于，两点，则弦长的值可能为（   ） A．6 B．3 C．9 D．11 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，判断点在圆内，即可求出，，即可判断. 【解析】圆，即， 则圆心为，半径，又， 所以点在圆内，所以，，即， 又，即， 所以符合题意的有A、C. 故选：AC. 11．（24-25高二上·湖北武汉·期末）已知，圆，直线，，且与相交于点，则（    ） A． B．直线与圆相切 C．被圆截得的弦长为 D．若，则 【分析】利用斜率之积即可判断选项A，根据圆心到直线的距离和半径的大小关系即可判断选项B，利用几何法直接求出弦长，即可判断选项C，联立两直线方程，求出点坐标，根据两点之间距离公式，即可求出的值. 【解析】由题知，令直线的斜率为， 则，，，A正确； 圆圆心为，半径， 则到直线的距离， 所以直线与圆相切，B正确； 又到直线的距离， 所以被圆截得的弦长为，C错； 联立方程，解得， 即， 则，解得，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·北京顺义·一模）已知直线：与圆：有两个交点，则可以是 .（写出满足条件的一个值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据点到直线距离公式和题意列出关于的不等式，求解即可. 【解析】由圆：，可知：圆心，半径. 直线方程的一般式为. 由点到直线距离公式和题意可得： ，解得：. 所以可以是. 13．（2025高二下·全国·专题练习）已知圆及点，点P、Q分别是直线和圆C上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先找到点关于直线的对称点，然后结合两点之间线段最短即可求解. 【解析】如图所示：    设点A于直线的对称点为， 则解得则，因为， 所以的最小值为． 14．（24-25高二下·安徽·月考）已知线段的长度为3，动点满足，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出的轨迹圆后可求的最大值. 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系， 则，设，则， 故，即， 故的轨迹为圆，且圆心为，半径为， 当与圆相切时，最大且此时， 而为锐角，故最大为， 三、解答题 15．（24-25高二上·广东深圳·期末）已知圆的圆心在直线上，且经过点，. (1)求圆的标准方程； (2)求过原点且与圆相切的直线方程. 【分析】（1）根据题意，求出线段的中垂线与圆心所在直线的交点即为圆心，即可得解； （2）判断直线斜率不存在时符合题意，当切线斜率存在时，设出切线的方程，利用点到直线的距离公式来求得正确答案. 【解析】（1）线段的中点，直线的斜率， 则线段的中垂线斜率为，方程为，即， 由，解得，，因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. （2）过原点且斜率不存在的直线为，点到直线的距离为， 即直线与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即，点到该直线距离为， 解得，因此切线方程为， 所以经过原点且与圆相切的直线方程为或. 16．（24-25高二下·云南·月考）已知直线与圆交于，两点. (1)写出直线恒过的定点，并求出过点且与圆相切的直线方程； (2)求出满足“的面积为”的的所有值. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出直线恒过的定点，判断该定点与圆的位置关系求出切线方程. （2）利用点到直线距离公式求出弦长，表示出三角形面积求出值. 【解析】（1）直线，对任意实数，当时，恒成立， 所以直线恒过定点； 而定点在圆上， 所以过点且与圆相切的直线只有一条，方程为. （2）圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， ， ，解得或或或， 所以所求的所有值为. 17．（24-25高二下·上海·月考）已知的三个顶点坐标为 、 、 (1)求边 上的高所在的直线方程； (2)若圆 是 的外接圆，且经过点的直线 被圆 所截得的弦长为 ，求直线的方程. 【分析】（1）先求两点的斜率，再利用垂直关系求出高线的斜率，最后由点斜式求出直线方程； （2）设利用待定系数法求出圆的一般方程，进一步化为标准方程，讨论当直线的斜率不存在时，直线方程为，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线方程为，由点到直线的距离公式结合垂径定理列式求得，即答案可求． 【解析】（1）由可得，直线斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为：， 则边上的高所在直线方程为：，整理得； （2）设圆的方程为，代入三点坐标可得： 则，解得，，． 圆的方程为，化为标准方程：； 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 代入圆的方程得：， 此时直线被圆所截得的弦长为，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为，即． 由垂径定理可得，当弦长为时，可知圆心到直线的距离 再由圆心到直线的距离公式得：，解得． 直线方程为． 即直线的方程为或． 18．（24-25高二上·北京大兴·期末）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【解析】（1） （2）以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 19．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知圆：，过点的直线交圆于，两点． (1)若，求此时直线的方程； (2)过，分别作圆的切线，，设直线和的交点为，求证：点在定直线上． 【分析】（1）当直线的斜率不存在时直接根据交点纵坐标分析，当直线的斜率存在时，将已知条件转化为坐标关系并结合韦达定理求解出结果； （2）先根据相交圆的公共弦所在直线的方程的求法求解出的方程关于坐标的表示，然后根据在直线上得到的坐标关系，由此可完成证明. 【解析】（1）设，， 当直线的斜率不存在时，：， 联立，解得，，则，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设：， 由，得，则， 联立，可得， 则，解得， 所以，解得， 故直线的方程为或． （2）设，圆为，圆心为， 则以线段为直径的圆的方程为， 化简可得， 上述方程与圆的方程相减得， 因为直线过点，则，所以， 所以点在直线上． 27 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$