专题05 有理数的减法-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题05 有理数的减法 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数的减法运算 1.有理数减法运算法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。 2.有理数的减法运算步骤： (1)变：减号变加号，减号后面的数变成它的相反数； (2)算：按加法运算的步骤计算。 【典例分析01】计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【变式训练01】计算的结果是（    ） A． B．1 C． D．5 【变式训练02】计算的结果为 ． 【变式训练03】下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练04】计算． (1)． (2)； (3)； (4)． (5)． 知识点二：有理数减法的实际应用 【典例分析02】一种面粉的质量标识为“千克”，则下列面粉中合格的（    ）． A．24.70千克 B．25.30千克 C．24.80千克 D．25.51千克 【变式训练01】北京与莫斯科的时差为5小时，例如，北京时间13：00，同一时刻的莫斯科时间是8：00，小丽和小红分别在北京和莫斯科，她们相约在各自当地时间9：00~17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（ ） A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00 【变式训练02】曲靖某一天的天气预报如图所示，则这一天的温差是（      ） A． B． C． D． 【变式训练03】同学们，你知道吗在历史课本中也有数学的影子．国际上通用的历法是以耶稣诞出生日期为界，耶稣诞生前称为公元前，耶稣诞生后称为公元后（是否像极了正负数的表示）．公元前202年汉高祖刘邦建立了西汉，公元8年王莽称帝改国号为新，西汉灭亡．请大家计算一下西汉王朝经历了（   ）年？ A．202 B．300 C．210 D．194 知识点三：有理数加减混合算及简算 有理数的加减混合运算步骤： (1)统一：加减混合运算统一成加法运算； (2)计算：按照有理数的加法运算法则运算。 【典例分析03】计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式训练01】计算： (1)； (2)． (3)； (4)． 【变式训练02】阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【变式训练03】（1）计算：； （2）计算． 【变式训练04】计算：． 知识点四：省略加号和括号的形式 1.在写和式时，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式； 2.一个算式中如果第一个数带有负号，通常可以不用括号把这个数括起来。 【典例分析04】将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【变式训练01】把写成省略加号的形式是（    ） A． B． C． D． 【变式训练02】把式子写成省略算式中的括号和加号的形式是 ． 【变式训练03】把写成省略括号的和的形式是(    ) A． B． C． D． 知识点五：分数加减法的实际应用 【典例分析05】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程（单位：）依先后次序记录如下：，，，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)出租车在行驶过程中，离鼓楼最远的距离是多少？ (3)出租车按物价部门规定，起步价（不超过3千米）为8元，超过3千米的部分每千米的价格为1.4元，司机一个下午的营业额是多少？ 【变式训练01】纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 【变式训练02】一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人． 【变式训练03】某校六年级（1）班学生在劳动课上采摘成熟的白萝卜，一共采摘了10筐，以每筐25千克为标准，超过的千克数记作正数，相等的千克数记作0，不足的千克数记作负数，称重后记录如下： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 0 1 2 回答下面问题： (1)这10筐白萝卜，第8筐白萝卜实际质量为多少千克． (2)以每筐25千克为标准，这10筐白萝卜总计超过或不足多少千克？ (3)若白萝卜每千克售价2元，则售出这10筐白萝卜可得多少元？ 【变式训练04】小明的妈妈在某玩具厂工作，厂里规定每个工人每周要生产某种玩具个，平均每天生产个，但由于种种原因，实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是小明妈妈某周的生产情况（超 产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产值 (1)根据记录的数据求出小明妈妈星期三生产玩具的个数； (2)根据记录的数据求小明妈妈本周实际生产玩具多少个； (3)该厂实行“每周计件工资制”，每生产一个玩具可得工资元，若超额完成任务，则超过部分每个另奖元；少生产一个则倒扣元，那么小明妈妈这一周的工资总额是多少元？ 三、课后巩固 1．（1）有理数加法法则： ①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值 ． ②异号两数相加绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较 的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值． ③一个数同 相加，仍得这个数 （2）有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的 ． 2．“玉兔号”是我国首辆月球车，它和着陆器共同组成“嫦娥三号”探测器．“玉兔号”月球车能够耐受月球表面的最低温度是、最高温度是，则它能够耐受的温差是（    ） A． B． C． D． 3．某市某天的最高气温为，最低气温为，则最高气温与最低气温的差为（  ） A． B． C． D． 4．下面算式与的值相等的是（    ） A． B． C． D． 5．与相等的是（    ） A． B． C． D． 6．计算的结果是（    ） A． B．12 C． D．2 7．下面计算结果等于6的是（    ） A． B． C． D． 8．（－20）＋（＋3）－（－5）－（＋7）转化为加法： 这个算式我们可以看作是 、 、 、 这四个数的和． 为书写简单，省略算式中的括号和加号写为 ． 我们可以读作负 的和，或读作 9．式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 10．把写成省略加号和的形式为（   ） A． B． C． D． 11．不改变原式的值，将中的减法改成加法并写成省略加号和的形式是（    ） A． B． C． D． 12．计算，最适当的方法是（    ） A． B． C． D． 13．已知，，且，则 ． 14．已知，，且，则的值等于（    ） A．7和 B．7 C． D．以上答案都不对 15．点A表示数轴上一个点，将点A向右移动7个单位长度，再向左移动2个单位长度，终点表示的数是﹣1，则点A所表示的数是 ． 16．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 二、解答题 17．某自行车厂一周计划生产辆自行车，平均每天生产辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，如下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行计件工资制，每辆车元，超额完成任务每辆奖元，少生产一辆扣元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 18．某公司6天内货品进出仓库的吨数如下：（“＋”表示进库，“－”表示出库） ，，，，，． (1)经过这6天，仓库里的货品________．（填“增多了”或“减少了”） (2)经过这6天，仓库管理员结算时发现仓库里还剩货品，那么6天前仓库里有货品多少吨？ (3)如果货品进出仓库的装卸费都是每吨5元，那么这6天共需付多少元装卸费？ 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】(1) (2)2 (3)21 (4) (5) (6)119 【分析】本题考查有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解题的关键． （1）根据有理数的减法法则进行计算即可； （2）根据有理数的减法法则进行计算即可； （3）根据有理数的减法法则进行计算即可； （4）根据有理数的减法法则进行计算即可 （5）根据有理数的减法法则进行计算即可； （6）根据有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【变式训练01】C 【分析】先把减法转化为加法，再按照有理数的加法法则运算即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】此题考查的是有理数的减法，掌握有理数的减法法则进行运算是解题的关键． 【变式训练02】 【分析】化简绝对值，根据有理数的运算法则进行计算即可． 【详解】， 故答案为：． 【点睛】本题考查有理数的加减法则，熟练掌握有理数的加减法则是解题的关键． 【变式训练03】D 【分析】本题考查有理数的加减混合运算、绝对值，利用有理数的减法法则，绝对值的意义对每个选项的运算进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：A、，故该项不正确，不符合题意； B、，故该项不正确，不符合题意； C、，故该项不正确，不符合题意； D、，故该项正确，符合题意； 故选：D． 【变式训练04】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题考查了有理数的减法，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）原式利用减法法则计算即可得到结果； （2）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （3）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； （5）原式利用减法法则变形，计算即可得到结果； 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【典例分析02】C 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的应用，理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量是解题的关键． 根据的意义，进而求出符合题意的答案． 【详解】解：一袋面粉的质量标识为“千克”， 一袋面粉质量合格的范围是：， 故在这个范围内， 故选：C． 【变式训练01】C 【分析】根据北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00，逐项判断出莫斯科时间，即可求解． 【详解】解：由北京与莫斯科的时差为5小时，二人通话时间是9：00~17：00， 所以A. 当北京时间是10：00时，莫斯科时间是5:00，不合题意； B. 当北京时间是12：00时，莫斯科时间是7:00，不合题意； C. 当北京时间是15：00时，莫斯科时间是10:00，符合题意； D. 当北京时间是18：00时，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了有理数减法的应用，根据北京时间推断出莫斯科时间是解题关键． 【变式训练02】B 【分析】本题考查有理数的减法的应用．求出两个数的差的绝对值即可． 【详解】解： 故选：B． 【变式训练03】C 【分析】本题主要考查了有理数减法的实际应用，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：（年）， 即西汉王朝经历了210年， 故选：C． 【典例分析03】(1) (2)1 (3) (4) 【分析】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （2）去掉括号，原式可化为，根据有理数的加减运算，即可求解本题； （3）去掉括号，然后将同分母分数结合，即可求解； （4）去掉括号，将同分母分数结合，结合有理数的加减混合运算，即可求解本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练01】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算； （1）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （3）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解； （4）根据有理数的加减混合运算进行计算，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式训练02】1 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解：原式 【变式训练03】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数加法的运算法则和运算律，熟练掌握运算法则和运算律是解题的关键． （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； （）先将各带分数拆分成一个整数与真分数的和，再利用有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ． 【变式训练04】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．根据有理数加法的交换律与结合律进行计算即可得． 【详解】解： ． 【典例分析04】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 【详解】解：原式 故选：A． 【变式训练01】B 【分析】观察所给的式子，要写成省略加号的形式，即是将式子中的括号去掉即可． 【详解】解：根据有理数的加减混合运算的符号省略法则化简，得， ． 故选：B． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握去括号的法则：括号前是正号，去括号时，括号里面的各项都不改变符号；括号前是负号，去括号时，括号里面的各项都要改变符号是解题的关键． 【变式训练02】 【分析】根据和式里可以把加号及加数的括号省略不写，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了有理数加法中的括号问题．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【变式训练03】A 【分析】根据相反数意义及有理数的加法法则处理． 【详解】解：， 故选：A 【点睛】本题考查相反数的意义，有理数的加法；理解有理数的加法法则是解题的关键． 【典例分析05】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼 (2) (3)119.2元 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量，比较简单． （1）把记录的数字加起来，看结果是正还是负，就可确定是向东还是西； （2）分步求出记录的数字的结果，比较绝对值的大小即可求解； （3）求出记录数字的绝对值的和，再减去，再用差乘以1.4，把它们的积加上10个8元即可求解． 【详解】（1）解：． 故出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼； （2）解： ，，， ， ， ， ， ． 故离鼓楼最远的距离是； （3）解： （元． 故司机一个下午的营业额是119.2元． 【变式训练01】A 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握题意是解题的关键．由统计表得出，悉尼比北京早小时，纽约比北京晚小时，计算即可． 【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时； 纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时． 故选A． 【变式训练02】10 【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所有上车下车人数的和，即可求解． 【详解】解： （人）， 故答案为：10． 【变式训练03】(1)千克 (2)不足千克 (3)元 【分析】本题考查了有理数在实际中的应用，有理数的混合运算．解题的关键在于熟练掌握负数的含义并正确的运算． （1）根据，计算求解即可； （2）根据，计算求解，然后作答即可； （3）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：千克， 答：第8筐白萝卜实际质量为千克． （2）解：千克， 答：10筐白萝卜总计不足千克． （3）元， 答：售出这筐白萝卜可得元． 【变式训练04】(1)小明妈妈星期三生产玩具的个数为个； (2)小明妈妈本周实际生产玩具为个； (3)小明妈妈这一周的工资总额是元． 【分析】此题考查了正负数的应用能力，有理数的加减混合运算，关键是能准确问题间的数量关系和该知识， 并能正确列式、计算． （1）用星期三的生产情况记录结果—4加上平均每天生产量20进行求解； （2）用厂里规定的每个工人每周的生产量加上实际每天生产量与计划量相比有出入之和即可； （3）用这周每生产一个玩具可得工资数加上超额完成量的奖励即可． 【详解】（1）解：小明妈妈星期三生产玩具的个数为： (个)， （2）解：小明妈妈本周实际生产玩具为： (个)． （3）解： (元)， ∴小明妈妈这一周的工资总额是元． 三、课后巩固 1． 相加 大 0 相反数 【解析】略 2．D 【分析】本题考查了温差的概念和有理数的运算，解决本题的关键是气温最高值与最低值之差，计算解决即可． 【详解】解：能够耐受的温差是， 故答案为：D． 3．A 【分析】本题主要考查的是有理数的减法．用最高气温减去最低气温进行计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 4．C 【分析】直接计算每个算式，对比答案即可． 【详解】解：； A、； B、； C、； D、， 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，熟记有理数的加减混合运算的法则是解题的关键． 5．A 【分析】根据，分别求出各选项的值，作出选择即可． 【详解】A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查有理数的加减混合运算，熟练掌握有理数的加减混合运算法则是解答本题的关键． 6．C 【分析】直接利用有理数的减法法则进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 【点睛】本题考查有理数的减法，熟练掌握减一个负数等于加上它的相反数，是解题的关键． 7．A 【分析】根据题意，先将绝对值化简，再进行有理数的混合运算，逐项计算即可． 【详解】A．，故该选项结果等于6，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意． 故选A． 【点睛】本题考查了绝对值的化简，有理数的加减混合运算，掌握有理数的加减以及绝对值的意义是解题的关键． 8． （-20）+（+3）+（+5）+（-7） -20 +3 +5 -7 -20+3+5-7 20、正3 、正5、负7 负20加3加5减7 【解析】略 9．D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 【详解】解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 10．B 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据有理数的加法和减法的法则解答本题即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：把写成省略加号和的形式为， 故选：B． 11．C 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算，根据减去一个数等于加上这个数的相反数进行化简即可． 【详解】解：， 故选：C． 12．D 【分析】本题主要考查了有理数加法的交换律和结合律，解题的关键是熟练掌握有理数的加法运算律． 【详解】解：． 故选：D． 13．或 【分析】本题考查了绝对值的意义，应用分类讨论思想解题是解题的关键；根据绝对值的意义可得a，b的值，再根据，即可确定a，b的值，再分类讨论求解即可． 【详解】解：， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，或， 故答案为：或． 14．D 【分析】此题主要考查了有理数的加减法以及绝对值正确掌握运算法则是解题关键；直接利用绝对值的性质以及有理数的加法分类讨论得出答案． 【详解】∵，，且， ∴或， ∴或 ， 故选：D． 15． 【分析】先根据数轴的定义列出运算式子，再计算有理数的加减运算即可得． 【详解】解：由题意得：点所表示的数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴、有理数加减运算的应用，熟练掌握数轴的定义是解题关键． 16．(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的加减混合计算， （1）根据有理数的加法运算法则求解即可； （2）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （3）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； （4）根据有理数的加减混合运算法则求解即可； 熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） 17．(1)599 (2)26 (3)该厂工人这一周的工资是元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算，理解正负数的意义，掌握有理数的运算法则是关键． （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）求出超产的最多数与减产的最少数的差即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解． 【详解】（1）解：前三天生产的辆数是辆． 答案是：； （2）解：辆， 故答案是， 故答案为：； （3）解：这一周多生产的总辆数是辆． 元． 答：该厂工人这一周的工资是元． 18．(1)减少了 (2)吨 (3)元 【分析】（1）根据题意把各个数据相加，若得数为负，说明减少了，若得数为正，说明增加了； （2）剩下货品加上出的货品即为所求； （3）分别把这6天装卸的货物求出，再乘以装卸费用即为所求． 【详解】（1）解：（吨）， ∴经过这6天，仓库里的货品减少了， 故答案为：减少了； （2）（吨）， 答：6天前仓库里有货品吨； （3）（元） 答：这6天要付元装卸费． 【点睛】本题考查了有理数加减的混合运算，相反意义的量、有理数加法及应用，熟练掌握有理数的运算法则，理解题意是解此题的关键． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$