专题06有理数的乘法-2025年小升初数学暑假自学课（人教版）

2025年小升初数学暑假自学课 专题06 有理数的乘法 一、思维导图 二、知识点梳理 知识点一：有理数的乘法运算 有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个有理数相乘时，只要有一个数为0，则乘积为零；几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定：当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。 【典例分析01】若（-3）×□的运算结果为正数，则□内的数字可以为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【变式训练01】计算： ． 【变式训练02】计算： 6×（－9）＝ （－6）×0＝ ×＝ （）×＝ （－2）×××＝ （－6）×5××＝ 【变式训练03】下列算式中，积为负数的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练04】下列各式中积为正的是（　　） A． B． C． D． 【变式训练05】有理数乘法符号法则：几个不为0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为 ；当负因数有偶数个时，积为 ． 知识点二：倒数的认识 (1)乘积为1的两个数互为倒数; 若互为倒数，则有=1。 (2)0没有倒数。 (3)求一个数的倒数，只要将这个数写成分数的形式，然后再将分子和分母交换位置。 【典例分析02】的倒数是（   ） A．2023 B． C． D． 【变式训练01】乘积是1的两个有理数互为 正数的倒数是 ；负数的倒数是 ； 没有倒数．     两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值相乘．任何数同0相乘，仍得 ． 【变式训练02】当 时，和互为倒数． 【变式训练03】的倒数是（    ） A． B． C． D． 【变式训练04】 的倒数是（   ） A． B．2024 C． D． 【变式训练05】一般地，如果 ，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的 ． 知识点三：乘法的运算律： 1.乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置积不变，即。 2.乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘积不变，即。 3.分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘再把积相加，即。 【典例分析03】用乘法运算律，将下列各式进行简便计算： (1) ； (2) (3)； (4)． (5) (6)． 【变式训练01】在中，用到的乘法运算律是（　　） A．乘法交换律 B．乘法结合律 C．乘法分配律 D．乘法分配律的逆运算． 【变式训练02】，应用了 律． 【变式训练03】在简便运算时，把变形成最合适的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练04】，这是运用了（    ）运算律． A．加法结合律 B．乘法交换律 C．乘法分配律 【变式训练05】运用运算律填空． (1)． (2)． (3)． 【变式训练06】对于算式，利用分配律写成积的形式是（   ） A． B． C． D． 【变式训练07】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 知识点四：有理数乘法的应用 【典例分析04】呈贡宝珠梨是一种全国闻名的特产水果，它是梨的一种，因为出产于昆明市呈贡区而得名．现有20筐宝珠梨，以每筐25千克的质量为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 1 2.5 筐数 1 4 2 3 2 8 (1)与标准质量比较，这20筐宝珠梨总计超过或不足多少千克？ (2)若宝珠梨每千克售价4元，则这20筐宝珠梨可卖多少元？ 【变式训练01】黑土地是世界上最肥沃的土壤，有“一两土二两油”的比喻.东北黑土地地处世界“黄金玉米带”.每年产生的玉米秸秆达上亿吨.某农户现有20袋玉米秸秆，以每袋为标准质量，超过的质量用正数表示，不足的质量用负数表示，称重后记录如下： 与标准质量的差值（单位：千克） 0 袋数 1 4 2 3 2 8 (1)这20袋玉米秸秆中，质量最大是 千克； (2)与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计多少千克？ 三、课后巩固 1．若互为倒数，且满足，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 2．下列说法中，正确的是（    ） A．2与互为倒数 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是 3．简化计算，应该运用（    ） A．加法交换律 B．加法结合律 C．乘法对加法的分配律 D．乘法结合律 4．下边是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ）             ①           ②            ③ A．解题运用了乘法交换律 B．从①步开始出错 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 5．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的是（    ） A．若，则， B．若，则， C．若，则且 D．若，则或 7．的值是（   ） A．12 B．7 C． D． 8．如图所示是计算机程序流程图，若开始输入，则最后输出的结果是（   ） A．11 B． C．13 D． 9．已知，，且，则的值是 ． 10．计算： (1)； (2)； (3)． 11．若定义一种新的运算“”，规定有理数，如． (1)求的值； (2)求的值． 12．有20筐苹果，以每筐25千克为标准，超过或不足的千克数分别用正、负数来表示，记录如下表： 与标准质量的差值 0 1 3 筐数 1 2 4 3 6 4 (1)最轻的一筐比最重的一筐少多少千克？ (2)求20筐苹果的总质量． (3)已知每千克苹果4元，求20筐苹果的总价格． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 【典例分析01】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，根据有理数的乘法计算法则，分别计算出与四个选项中的数的乘积即可得到答案． 【详解】解：，，，， 四个算式的运算结果中，只有3是正数， 故选：D． 【变式训练01】 【分析】本题考查了有理数的乘法，是基础题，熟记运算法则是解题的关键．利用乘法的结合律进行求解即可． 【详解】， ， 故答案为：． 【变式训练02】－54 0 10 【解析】略 【变式训练03】C 【分析】此题考查有理数的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据多个有理数相乘的法则：““几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正”，进行计算即可解答． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．中有4个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意； C．中有3个负数，因此积是负数，故本选项符合题意； D．中有2个负数，因此积是正数，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式训练04】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法法则的运用，任何数与零相乘，都得0．多个有理数相乘的法则∶①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正 根据有理数的乘法法则进行计算，再根据所得的结果的符号进行判断． 【详解】解：A、，故积为负，不符合题意； B、，故积为负，不符合题意； C、，积为0，不符合题意； D、，故积为正，符合题意； 故选∶D． 【变式训练05】负数 正数 【分析】根据有理数的乘法运算法则填空即可． 【详解】解：有理数乘法符号法则：几个不等于0的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负数；当负因数有偶数个时，积为正数． 故答案为：负数；正数． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算法则．有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0；任何数同1相乘仍得这个数，任何数同－1相乘得这个数的相反数．几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负数；当负因数有偶数个时，积为正数．熟记有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【典例分析02】D 【分析】本题考查了求一个数的倒数，掌握倒数的意义是解题的关键．根据倒数定义即可求解． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：D． 【变式训练01】倒数 正数 负数 0 正 负 0 【解析】略 【变式训练02】 【分析】根据倒数的定义求解即可． 【详解】解：∵和互为倒数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查倒数的定义，分子和分母互相颠倒的数即为倒数，理解基本定义是解题关键． 【变式训练03】D 【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，计算判断即可． 【详解】解：的倒数是：． 故选：D． 【点睛】本题考查了倒数的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式训练04】C 【分析】本题考查了倒数的定义，根据互为倒数的两数之积为1，求解即可． 【详解】解：的倒数是； 故选C． 【变式训练05】 倒数 【分析】本题考查倒数，根据积为1的两个数互为倒数，进行作答即可． 【详解】解：一般地，如果，那么a和b互为倒数关系，其中一个数叫作另一个数的倒数； 故答案为：，倒数 【典例分析03】(1)7 (2) (3)24 (4) (5) (6)3 【分析】（1）利用乘法的交换律计算； （2）利用乘法的交换律与结合律计算； （3）利用乘法的分配律计算即可； （4）逆用乘法的分配律运算即可． （5）利用乘法的分配律计算即可； （6）逆用乘法的分配律运算即可． 本题主要考查有理数的运算，能够熟练掌握运算律可使运算简便是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 【变式训练01】B 【分析】本题主要考查了乘法结合律，熟记运算律是解题的关键．根据乘法交换律和结合律进行分析即可． 【详解】解：可得是运用了乘法结合律． 故选：B． 【变式训练02】乘法结合 【分析】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．根据乘法结合律，作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律， 故答案为：乘法结合． 【变式训练03】A 【分析】本题考查了有理数的简便运算——乘法分配律，掌握有理数的乘法分配律是解题的关键．根据有理数的乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：， 把变形成最合适的形式是， 故选：A． 【变式训练04】C 【分析】此题考查了乘法分配律． 乘法分配律：，据此解答即可． 【详解】解：，这是运用了乘法分配律； 故选：C． 【变式训练05】(1)； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律是解题的关键． （1）根据乘法交换律计算即可； （2）根据乘法结合律计算即可； （3）根据乘法分配律计算即可； 【详解】（1）解：， （2）解：， （3）解：， ． 【变式训练06】C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，要熟练掌握，注意乘法分配律的应用．据乘法分配律，把算式写成积的形式即可． 【详解】 ， 故选：C． 【变式训练07】(1)11.5； (2)； (3)26； (4)． 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算． （1）先化简绝对值，再按照从左到右依次计算即可； （2）把分数化成小数，根据加法交换律和结合律计算即可求解； （3）根据乘法分配律计算即可求解； （4）根据乘法分配律计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 【典例分析04】(1)超过 (2)2032元 【分析】（1）把20箱多出或者不足的相加即可； （2）用总质量乘以单价即可． 本题主要考查利用有理数的加法解决实际问题，理解题意正确的列出算式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． 答：与标准质量比较，这20筐宝珠梨总计超过标准． （2）解：（元）． 答：这20筐宝珠梨可卖2032元． 【变式训练01】(1) (2)千克 【分析】本题主要考查了正负数的意义，有理数的混合运算等，理解正负数的意义是解题的关键． （1）根据正负数大小比较，可得答案； （2）计算超过或不足的总和，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：∵， ∴这20袋玉米秸秆中，质量最大是：（千克）， 故答案为：． （2）解：与标准质量相比，这20袋玉米秸秆总计为： （千克）． 三、课后巩固 1．B 【分析】本题主要考查了倒数的定义，根据互为倒数，则，把代入，即可得出m的值，进一步即可得出n的值． 【详解】解：∵互为倒数， ∴， ∵， ∴， 则， 故选：B． 2．C 【分析】根据相反数定义，倒数定义，绝对值定义对各选项进行一一判断即可． 【详解】解：A. 2与互为相反数，故选项A不正确     B. 2与互为倒数，故选项B不正确；     C. 0的相反数是0，故选项C正确；     D. 2的绝对值是2，故选项D不正确． 故选C． 【点睛】本题考查相反数定义，倒数定义，绝对值定义，掌握相关定义是解题关键． 3．C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法对加法的分配律是解题关键．因为24、12、4都是24的约数，所以本题利用乘法对加法的分配律进行计算． 【详解】解：利用乘法对加法的分配律得：， ， 故选：C 4．C 【分析】本题考查利用有理数乘法分配律进行简便运算，熟练掌握乘法分配律进行研究正确的计算是解的关键． 将化成，再运算乘法分配律计算，根据计算过程逐项判定即可． 【详解】解：A、解题运用了乘法分配律不是交换律，故说法错误，不符合题意； B、①步计算正确，故说法错误，不符合题意； C、②步应为，所以从②步开始出错，故说法正确，符合题意； D、从②步就开始开始出错，故说法错误，不符合题意； 故选：C． 5．A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据选项所给式子，逐个求解得到结果判定即可得到答案，熟练掌握有理数的乘法运算是解决问题的关键． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，错误，不符合题意； 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了命题与定理，有理数的乘法，解答本题的关键是熟练掌握有理数乘法运算法则． 根据两个有理数相乘，同号为正，异号为负求解即可． 【详解】解：若，则，或，，故A，B错误； 若，则或，故C错误，D正确． 故选：D． 7．A 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数的乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．C 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、求代数式的值等知识点，理解程序的要求是解题的关键． 利用程序图进行运算即可解答． 【详解】解：当时，， ∴当时，，符合要求， ∴最后输出的结果是：13． 故选：C． 9．3或 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法，有理数的乘法，先根据绝对值的意义得出，，再根据，得出a和b异号，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴a和b异号， 当，时，， 当，时，， 故答案为：3或． 10．(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法，熟练掌握有理数的乘法法则是解决本题的关键． 根据有理数乘法法则，先确定结果的正负，再绝对值相乘，即可得到结果．0乘任何数都等于0． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 11．(1) (2) 【分析】（）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； （）根据新运算展开，然后根据有理数的乘法和加法运算即可； 本题考查了新定义运算，有理数的有理数的乘法和加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得， ； （2）解：由题意得， ， 则 ， ∴． 12．(1)7千克． (2)千克． (3)元. 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用、有理数的加法与乘法、有理数四则混合运算的实际应用，理解题意、正确列出算式是解题的关键. （1）用表格中最重的一筐与最轻的一筐差值相减即可； （2）将表格中20筐苹果的记录数据相加，然后再加上筐数与标准的积即可； （3）将20筐苹果的总质量乘以每千克售价解答即可． 【详解】（1）解：∵（千克）. ∴最轻的一筐比最重的一筐少7千克． （2）解：（千克）   （千克） . 答：这筐苹果的总质量是千克． （3）解：（元）.                                          答：20筐苹果的总价格为元． 答案第1页，共2页 1 学科网（北京）股份有限公司 $$