第11讲 角（3知识点+15题型+达标检测）-2025年小升初数学无忧衔接（沪教版五四制2024）

第11讲 角 1.理解角的定义，能识别角的顶点、边等要素。 2.能够进行角的度数的加、减、乘、除运算，准确计算角的和、差、倍、分。 3.能够依据角的度数大小，准确区分角，并能在实际图形中快速辨别各类角。 知识点1 角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2 钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3 方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 题型一、角的有关概念 例1 下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 1-1 如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 1-2 （1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 题型二、角的表示方法 例2（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 2-1下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2-2 下图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 题型三、角的分类 例3 下列说法不正确的是（　　） A．1周角 B．的余角是 C．1平角 D．的补角是 3-1如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 3-2 下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 3-3 周角= 平角= 直角． 题型四、角的单位与角度制 例4（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： 度 分． 4-1（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 4-2（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 4-3（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 题型五、角度的四则运算 例5（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 5-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 5-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 5-3（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 题型六、角度的大小比较 例6 已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 6-1 已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 6-2 若，则（    ） A． B． C． D． 6-3 如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 题型七、钟面角 例7 在点分钟时，钟面上的时针和分针的夹角是 度． 7-1（刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 7-2 小敏在商场买了一块机械手表，爱钻研的小敏发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上)． (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，小敏一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 题型八、方向角的表示 例8（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 8-1（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 8-2 （24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 8-3 （24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 题型九、与方向角有关的计算 例9 在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 9-1（24-25六年级上·上海·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 9-2 如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 9-3 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 题型十、几何图形中角度计算问题 例10 （24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，，平分，平分，则的度数是 ． 10-1（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 10-2 （24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 10-3 （24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 题型十一、三角板中角度计算问题 例11 如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 11-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 11-2 （24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 11-3 （24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 题型十二、角平分线的有关计算 例12 （24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 12-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 12-2 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 题型十三、求一个角的余角 例13 （24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 13-1 （24-25六年级上·上海·期末）若，则的余角为 ． 13-2 （24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 题型十四、求一个角的补角 例14 （24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 14-1 已知，则的补角表示为 ． 14-2 与互余，与互补，，那么 ． 14-3 若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 题型十五、与余角、补角有关的计算 例15 （24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 15-1（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 15-2 （24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 15-3 （24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． A组 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 2．比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算： ． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 6. 如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)射线在内部，若与互余，求的度数． B组 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 角 1.理解角的定义，能识别角的顶点、边等要素。 2.能够进行角的度数的加、减、乘、除运算，准确计算角的和、差、倍、分。 3.能够依据角的度数大小，准确区分角，并能在实际图形中快速辨别各类角。 知识点1 角的概念 （1）角的定义：有公共端点是两条射线组成的图形叫做角，其中这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． （2）角的表示方法：角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如∠α，∠β，∠γ、…）表示，或用阿拉伯数字（∠1，∠2…）表示． （3）平角、周角：角也可以看作是由一条射线绕它的端点旋转而形成的图形，当始边与终边成一条直线时形成平角，当始 边与终边旋转重合时，形成周角． （4）角的度量：度、分、秒是常用的角的度量单位．1度＝60分，即1°＝60′，1分＝60秒，即1′＝60″． 知识点2 钟面角 （1）钟面一周平均分60格，相邻两格刻度之间的时间间隔是1分钟，时针1分钟走格，分针1分钟走1格．钟面上每一格的度数为360°÷12＝30°． （2）计算钟面上时针与分针所成角的度数，一般先从钟面上找出某一时刻分针与时针所处的位置，确定其夹角，再根据表面上每一格30°的规律，计算出分针与时针的夹角的度数． （3）钟面上的路程问题 分针：60分钟转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷60＝6° 时针：12小时转一圈，每分钟转动的角度为：360°÷12÷60＝0.5°． 知识点3 方向角 方向角是从正北或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角 （1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向为基准，来描述物体所处的方向． （2）用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．（注意几个方向的角平分线按日常习惯，即东北，东南，西北，西南．） （3）画方向角 以正南或正北方向作方向角的始边，另一边则表示对象所处的方向的射线． 题型一、角的有关概念 例1 下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 1-1 如果一个角为，用10倍的放大镜观察这个角应是（           ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个10倍的放大镜看一个30度的角，仍然是30度，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个10倍的放大镜看一个30度的角，那么看到的仍然是30度的角， 故选：A． 1-2 （1）图中可以用一个大写字母表示的角有 ； （2）以A为顶点的角有 ； （3）图中一共 个角（不包括平角）． 【答案】 7 【分析】本题主要考查了角的表示方法，角的个数问题： （1）顶点处只有一个角的可以用一个大写字母表示即可； （2）以为顶点的角有三个，逐一写出即可； （3）把图中所有角（不包括平角）写出数一数即可． 【详解】解：（1）图中可以用一个大写字母表示的角有 故答案为：． （2）以A为顶点的角有； 故答案为：． （3）图中的角为：，，共7个． 故答案为：． 题型二、角的表示方法 例2（2024六年级上·上海·专题练习）下列图中，能用、、三种方法表示同一角的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角的表示方法．根据角的表示方法对四个选项逐个进行分析即可． 【详解】解：A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； B、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； C、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； D、图中的，不能用表示，故本选项不符合题意； 故选：C． 2-1下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 2-2 下图中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角的表示，根据角的表示方法逐项判断即可得出答案，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、顶点处有四个角，不能用表示，错误； B、顶点处有二个角，不能用表示，错误； C、顶点处有三个角，不能用表示，错误； D、顶点处有一个角，且能同时用，，表示，正确． 故选：D． 题型三、角的分类 例3 下列说法不正确的是（　　） A．1周角 B．的余角是 C．1平角 D．的补角是 【答案】B 【分析】根据周角，平角的定义，互余互补的含义逐一分析即可； 【详解】解：A选项中，1周角为，选项不符合题意； B选项中，，选项符合题意； C选项中，1平角，选项不符合题意； D选项中，，选项不符合题意‘ 故选：B 【点睛】本题考查的是周角，平角的含义，互余互补的含义，掌握基础概念是解本题的关键. 3-1如图所示，点在直线上，射线平分，下列说法中不正确的是（　　） A．是钝角 B．是锐角 C．是直角 D．是平角 【答案】D 【分析】本题考查的是角平分线的定义，平角的定义，角的分类，熟记定义是解本题的关键． 【详解】解：∵点在直线上，射线平分， ∴， ∴是钝角，是锐角，是直角，不是平角； 故选：D． 3-2 下列各角中，是钝角的是（    ） A．周角 B．平角 C．2锐角 D．直角 【答案】B 【分析】根据周角、平角、直角的度数计算出各角，再根据钝角定义判定即可． 【详解】解：A、周角是直角，故此选项不符合题意； B、平角是钝角，故此选项符合题意； C、∵锐角，当锐角时，2锐角，2锐角是锐角；当锐角时，2锐角，2锐角是直角；当锐角时，2锐角，2锐角是钝角；故此选项不符合题意； D、∵直角是锐角，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查角的分类，熟练掌握大于90度且小于180度的角叫钝角是解题的关键． 3-3 周角= 平角= 直角． 【答案】 /0.5 1 【分析】根据周角、平角、直角的定义可知，1周角=360度，1平角=180度，1直角=90度，据此即可求解． 【详解】解：1周角度，1平角度，1直角度， ∴周角平角直角， 故答案为：，1． 【点睛】本题主要考查周角和平角．直角的定义，是需要熟记的内容 题型四、角的单位与角度制 例4（24-25六年级上·上海宝山·期末）计算： 度 分． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，度分秒的换算，根据度分秒的加法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：，． 4-1（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了度分秒的换算，关键是掌握，． 根据度分秒的减法，可得答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 4-2（24-25六年级上·上海黄浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的计算，根据换算，即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 4-3（24-25六年级上·上海·期末）如果，那么这两个角中较大的一个是 ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的换算与比较，掌握角度的换算方法是解题的关键． 根据，将换算成以度为单位的角，再与比较即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为： ． 题型五、角度的四则运算 例5（24-25六年级上·上海宝山·期末）若，则的余角大小为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角、度分秒的换算，解题关键是明确和为的两个角互为余角．根据和为的两个角互为余角计算即可． 【详解】解：∵， ∴的余角是， 故答案为：． 5-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5-2（24-25六年级上·上海闵行·期末）计算： （结果用度、分、秒表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的四则运算，直接根据角的四则运算法则求解即可 【详解】解：， 故答案为：． 5-3（24-25六年级上·上海·期末）若，则的补角的度数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一个角的补角，解题的关键是熟练掌握互为补角的两个角和为． 【详解】解：， 即的补角的度数为． 故答案为：． 题型六、角度的大小比较 例6 已知，，，下列比较正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了角的大小的比较，掌握度分秒的换算是解题的关键．依据，，，即可得到三个角的大小关系． 【详解】解：∵，，， ∴． 故选：A． 6-1 已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 6-2 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将统一化成“度、分、秒”的形式，即可比较大小． 【详解】 ∵． ∴ 故选：A． 【点睛】本题考查了角度的比较大小，解题的关键是将角度的度量单位化成统一的形式． 6-3 如图，利用一副三角板比较与的大小，两角顶点均与三角板某一顶点重合．已知图1中射线经过角的一边，图2中射线经过角的一边，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据两个图得到角在内，角在外，即可比较大小． 【详解】解：由图1可知： 角在内， 由图2可知： 角在外， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题的关键是结合图形，利用已知角作为中间量． 题型七、钟面角 例7 在点分钟时，钟面上的时针和分针的夹角是 度． 【答案】 【分析】本题考查钟面角，理解钟面角的定义是正确解答的关键． 根据钟面角的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，由钟面角的定义可知，， ， ， 故答案为： 7-1（刚上初中的小明为了更加高效的完成作业，进行限时训练，特意去商店买了一块机械手表，爱钻研的小明发现了手表上的数学问题，当小明看时间是时， (1)时分针和时针的夹角为多少度？ (2)经过多长时间，时针与分针第一次相遇？ 【答案】(1)时分针和时针的夹角为75度； (2)经过分钟，时针与分针第一次相遇． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据手表上的数字之间的角度和时针运动的速度求解； （2）根据“分钟与时针的角度差为75”列方程求解． 【详解】（1）解：时针每分钟转， 时分针和时针的夹角为：， （2）解：设经过分钟，时针与分针第一次相遇， 则：， 解得：， 答：经过分钟，时针与分针第一次相遇． 7-2 小敏在商场买了一块机械手表，爱钻研的小敏发现了手表上的数学问题，如图1所示是一块手表，可以看成如图2的数学模型(点A和点D是表带的两端，点A，B，C，D在同一条线段上)． X (1)已知表盘直径为，，若B是中点，求的长度； (2)在某个时刻，分针指向表盘上的数字“6”(此时与重合)．时针为，小敏一看现在正好是，如图3所示． ①求时分针和时针夹角的度数； ②作射线，使，求此时的度数． (3)如图4所示，自之后，始终是的角平分线(分针还是)，在一小时以内，直接写出经过多少分钟后，的度数是． 【答案】(1) (2)①；②的度数为或 (3)经过分钟或分钟后，的度数是 【分析】本题考查了钟面角，线段的和差，一元一次方程的应用， 理解题意并正确进行分类讨论是解题的关键． （1）根据B是中点，得到，再根据，由计算即可； （2）①表盘为圆，分小时，每分钟时针走过的度数为，点整，时针刚好落在时上，分钟后时针转动了，则时，分针在时处，时针在时过的地方，据此即可得出的度数；②分情况讨论，当射线在内部和外部两种情况，分别求解即可； （3）根据题意可得，由平分可得，解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：∵B是中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵分针的速度为：（度/分）， 时针的速度为：（度/分）， ∴分钟时针走的角度为：，即时针从点到走的角度为， ∴， 即：时分针和时针夹角的度数为； ②∵， 当在内部时， ， ∴； 当在外部时， ∴； 综上，的度数为或； （3）解：设经过时间为分钟， 由（2）可知：时针与分针的速度差为（度/分）， ∴， ∵平分， ∴， ∴或， 解得：或， ∴经过分钟或分钟后，的度数是． 题型八、方向角的表示 例8（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，点表示人民广场，点表示真如镇，那么射线表示的方向是（   ） A．北偏西 B．北偏西 C．西偏北 D．西偏北 【答案】D 【分析】本题考查了方向角的应用，运用数形结合思想，读取图形的信息，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∴射线表示的方向是西偏北，或北偏西， 故选：D． 8-1（24-25六年级上·上海宝山·期末）如图，周末小明打算从位于A处的宝山青少年活动中心出发，前往位于B处的上海大学校区参加活动．那么从A观测B处的方向为（　　） A．北偏西 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查了方位角，根据方位角的概念即可得答案． 【详解】解：从A观测B处的方向为南偏东， 故选：． 8-2 （24-25六年级上·上海嘉定·期末）如图，两座灯塔和与海洋观察站的距离相等，灯塔在观察站的北偏东，灯塔在观察站的南偏东，则灯塔在灯塔的（   ） A．北偏东 B．北偏西 C．南偏东 D．南偏西 【答案】B 【分析】本题考查方位角，根据方位角的概念，画图正确表示出方位角，即可求解． 【详解】解：过点作的平行线，交延长线于点 观察可知， ， ， 与平行 ， ， 灯塔在灯塔北偏西． 故选：B． 8-3 （24-25六年级上·上海徐汇·期末）已知、两个城市的位置如图所示．那么城在城的 方向． 【答案】北偏东 【分析】此题主要考查了方向角，正确把握方向角的定义是解题关键． 【详解】解：， 城在城的北偏东 方向， 故答案为：北偏东． 题型九、与方向角有关的计算 例9 在灯塔处测到轮船位于北偏西的方向，轮船位于南偏东的方向，轮船A在的角平分线上，则在灯塔处观测轮船A的方向为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【答案】A 【分析】本题主要考查了方向角及角平分线的定义，解题的关键是正确理解方向角． 利用方向角的定义及角平分线的定义求解即可． 【详解】解∶如图， 在灯塔处测到轮船位于北偏西20°的方向， ， 轮船位于南偏东50°的方向， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 则在灯塔处观测轮船A的方向为北偏东， 故选∶A． 9-1（24-25六年级上·上海·期末）地图上有一点，如果点在点的北偏西方向上，点在点的南偏东方向上，那么 【答案】/110度 【分析】本题考查方向角，理解方向角的定义以及角的和差关系是正确解答的关键． 根据方向角的定义与角的和差关系进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，． 故答案为：．    9-2 如图，某海域有三个小岛A，B，O，在小岛O处观测到小岛A在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，明确方向角中角之间的关系，以及角的和差计算是解题的关键． 根据已知条件可直接确定的度数． 【详解】解：∵是表示北偏东方向的一条射线，是表示南偏东方向的一条射线， ∴， 故答案为：． 9-3 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，射线、、、分别表示东、南、西、北方向，已知． (1)图中与互余的角是______； (2)图中与互补的角是______； (3)如果，那么点在点的______方向． 【答案】(1)， (2)， (3)北偏东 【分析】本题考查了余角和补角，方向角，角的计算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据已知易得∶ ，从而可得，，再根据余角定义即可解答； （2）根据已知易得∶ ，再根据等式的性质可得．然后利用平角定义可得．从而可得，再根据平角定义可得，最后根据补角定义即可解答； （3）利用角的和差关系可得∶ ，然后根据方向角的定义，即可解答． 【详解】（1）解∶ ， ，， 图中与互余的角是，， 故答案为∶ ，； （2）解∶ ， ， ， ， ， ， 图中与互补的角是，， 故答案为∶ ，； （3）解：，， ， 点在点的北偏东方向． 故答案为∶北偏东． 题型十、几何图形中角度计算问题 例10 （24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，，平分，平分，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，根据题意画出满足条件的两种情况结合角平分线的定义和角的和差即可求解． 【详解】解：如图所示：第一种情况如下图 ∵， ∴ ∵平分平分， ∴ ∴ 第二种情况如图 此时， 故答案为：或． 10-1（24-25六年级上·上海普陀·期末）已知，，，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，分和两种情况考虑是解题的关键． 分在中和在中两种情况考虑，当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数；当在中时，由可求出的度数，结合即可求出的度数． 【详解】解：当在中时，如图1所示， ∵， ∴； 当在中时，如图2所示， ∵， ∴． 故答案为：或． 10-2 （24-25六年级上·上海·期末）如图，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是角的和差运算，根据可得答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为： 10-3 （24-25六年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线． (1)已知，，，那么________． (2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分． ①如果，，求的度数． ②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案） 【答案】(1) (2)①；②， 【分析】本题考查角的计算，角平分线性质，熟练掌握基本知识点是解题关键； （1）先算出的度数，即可求解； （2）①先算出的度数，再通过角平分线算出，进而可求解；②同①的方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， ∴； ②∵的度数是，的度数是， ∴， ∵平分，平分． ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴， ∴， 同理，， ∴， ∴． 题型十一、三角板中角度计算问题 例11 如图，将一副直角三角尺按不同方式摆放，其中“甲”尺是含30°角的直角三角尺，乙尺是含45度角的直角三角形，则如图中α与β一定相等的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查了同角或等角的余角（补角）相等，互余和互补的概念等知识，掌握这些知识是解题的关键．利用两块三角板的三个已知角，再根据摆放方式，利用同角或等角的余角（补角）相等、三角形内角和定理即可确定答案． 【详解】解：由图①知，，则，故与不一定相等； 由图②知，根据同角的余角相等得：； 由图③知，根据等角的补角相等得：； 由图④知，，，故与不相等； 综上所述，与一定相等的是②③． 故选：B． 11-1（24-25六年级上·上海黄浦·期末）用一副三角板（一把含有角，一把含有角）不可能画出的角度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的计算．可以画两角之和，也可以画出两个角的差． 【详解】解：因为三角板的度数：，，，， 可以画出的角度是：，，， ∴不可能画出的角度是； 故选：B． 11-2 （24-25六年级上·上海普陀·期末）利用角的和、差意义，一副三角尺不可以画出的角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角的运算，根据一副三角板中的角度有、、、，进行角度运算即可求解． 【详解】解：依题意，一副三角板中的角度有、、、， A、，故选项A不符合题意； B、，故选项B不符合题意； C、不能画出的角度，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意； 故选：C． 11-3 （24-25六年级上·上海·期末）在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究． 【实验操作】 （1）若边和边重合摆成图①的形状，则_________； （2）保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由； 【拓展延伸】 （3）试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得是的两倍，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）或时，；（3）或 【分析】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键． （1）根据，解答即可； （2）利用分类思想解答即可； （3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可． 【详解】解：（1）根据题意，得：， 故答案为：． （2）或． 理由：如答图① ， ∵， ∴； 如答图②，∵， ∴； （3）当边在边右侧时， 如答图③，设， 则有， 解得， 即此时， 当边在边左侧时，如答图④， 设， 则有， 解得， 即此时； 综上所述，的度数为或． 题型十二、角平分线的有关计算 例12 （24-25六年级上·上海闵行·期末）下列说法错误的是（   ） A．将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点； B．如果一个角等于它的余角，那么这个角和它的补角也相等； C．如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等； D．经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线． 【答案】B 【分析】本题考查了线段中点、余角、补角、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据线段中点、余角、补角、角平分线的定义，对选项逐个分析判断即可． 【详解】解：A、将一条线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点，故此选项说法正确，不符合题意； B、如果一个角等于它的余角，那么这个角是，它的补角是，所以这个角和它的补角不相等，故此选项说法错误，符合题意； C、如果两个角的余角相等，那么这两个角的补角也相等，故此选项说法正确，不符合题意； D、经过一个角的顶点且把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线，故此选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 12-1（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知锐角，平面内有一射线，且，如果射线平分，那么 （用含的式子表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，分射线在内部和射线在外部两种情况，分别求出的度数，进而根据角的和差关系求出的度数即可得到答案． 【详解】解：如图所示，当射线在内部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 如图所示，当射线在外部时， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 12-2 （24-25六年级上·上海杨浦·期末）如图，已知射线、是钝角内的两条射线，，平分． (1)如果，，求的度数； (2)如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数吗？为什么； (3)作的角平分线，如果现在只给出的度数，是否能确定的度数？请说明理由． 【答案】(1) (2)还能求出的度数，理由见详解； (3)能确定的度数，理由见详解． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，正确认识图形，找准角的和差关系是正确解答此题的关键． 能确定的度数？请说明理由． （1）由，先求出，再利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数； （2）利用角平分线的定义及角的和差关系即可求出的度数是的度数的； （3）利用角平分线的定义及角的和差关系求出的度数是的度数的即可说明理由． 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ； （2）解：如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数， 理由如下： 射线平分， ， ， ， ； 即的度数是的度数的； 所以如果的度数不确定，只给出的度数，还能求出的度数； （3）解：只给出的度数，能确定的度数，理由如下： ， ， 射线平分， ， 平分， ， 的度数已知， 和已知， 由和得 ， ， ， 已知， 即已知， ， ，， ， ， ， 即已知可以确定． 题型十三、求一个角的余角 例13 （24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图所示，，，那么图中互余的角共有（    ） A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【答案】C 【分析】本题考查了求一个角的余角，熟练掌握余角的定义是解题的关键． 根据余角的定义进行判断即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴，，， ∴，， ∴， 综上，图中互余的角共有4对， 故选：C． 13-1 （24-25六年级上·上海·期末）若，则的余角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角的定义，根据互余两角之和为求解即可． 【详解】解：， 的余角为， 故答案为：． 13-2 （24-25六年级上·上海·期末）已知，那么的余角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个角的余角，解题的关键是熟练掌握余角的定义：和为的两个角互为余角．根据余角的定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的余角为． 故答案为：． 题型十四、求一个角的补角 例14 （24-25六年级上·上海宝山·期末）已知，则的补角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是补角，掌握互为补角的两角之和为度是关键． 【详解】解：的补角为：， 故选：B． 14-1 已知，则的补角表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求补角，角度值的转化，正确的计算是解题的关键．先统一单位为度，然后根据补角的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的补角表示为， 故答案为：． 14-2 与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 14-3 若一个角的度数为，则它的补角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角的运算，求一个角的补角，先根据，结合补角为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵一个角的度数为， ∴， ∴它的补角的度数为， 故答案为：． 题型十五、与余角、补角有关的计算 例15 （24-25六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的有（   ） ①角的平分线是一条直线        ②连接两点的线段叫做两点之间的距离 ③两点之间，直线最短        ④如果，那么补角的度数为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线定义，两点之间的距离，线段的性质，互为补角， 根据角平分线的定义判断①，再根据两点之间的距离判断②，然后根据线段的性质判断③，最后根据补角的定义得，再计算判断④． 【详解】解：因为角的平分线是一条射线，所以①不正确； 因为连接两点之间线段的长度叫做两点之间的距离，所以②不正确； 因为两点之间，线段最短，所以③不正确； 因为如果，那么它的补角是，所以④正确． 所以正确的有1个． 故选：A． 15-1（24-25六年级上·上海嘉定·期末）若与互补，，则 ． 【答案】45 【分析】本题考查了余角和补角，根据补角的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵与互补， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：45． 15-2 （24-25六年级上·上海·期末）如图，若，则 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了角的计算及余角的知识，属于基础题，关键是利用角的和差关系进行计算．根据已知角的度数求出，再利用计算即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 15-3 （24-25六年级上·上海·期末）如果一个角的余角是，那么它的补角是 ． 【答案】/146度 【分析】本题考查了余角和补角的定义．先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可． 【详解】解：∵一个角的余角是， ∴这个角为， ∴这个角的补角的度数是． 故答案为：． A组 1．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如果，那么的补角为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了补角的定义，角度的运算，掌握互补两角和等于是关键． 【详解】解：， 则的补角为 故答案为：． 2．比较大小： （填、或） 比较大小： ．（填、或） 【答案】 【分析】此题考查了度分秒之间的转换和比较度数大小，单位统一后进行比较即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴ 故答案为： ，， ∴， 故答案为： 3．（24-25六年级上·上海松江·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了度分秒的运算， 先将化为，再根据度分秒的运算求出解即可． 【详解】原式． 故答案为：． 4．（24-25六年级上·上海徐汇·期末）如图，，以点为顶点，射线为一边，利用含30°角的三角板画．则的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了角的计算，属于基础题，关键要根据射线的位置不同，分类讨论，分别求出的度数． 【详解】解：如图， 如果射线在下方，， 如果射线在射线的上方，． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 5．（24-25六年级上·上海普陀·期末）如图，已知，是内的一条射线，比大．如果画与互余，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查几何图形角度的计算，余角的定义，分两种情况：当在内部时，当在外部时，画出示意图，进而可得出答案． 【详解】解：∵，比大， ∴， ∴， ∴，则， ∵与互余， ∴， ∴， 如图，当在内部时， 则； 如图，当在外部时， 则； 综上，的度数是或， 故答案为：或． 6. 如图，已知点为直线上一点，，，平分． (1)求的度数； (2)射线在内部，若与互余，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的度数是解题的关键． （1）由已知角度结合平角的定义可求解，的度数，再利用角平分线的定义可求解； （2）根据余角的定义，平角的定义可求解的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可求解． 【详解】（1）解： ，， ， ， ； （2）解：∵， ∴， 与互余， ， ， ， 平分， ， ． B组 1．（24-25六年级上·上海松江·期末）如图，已知，是内部的一条射线，是的平分线． (1)若与互补，那么________°； (2)若是的平分线，求的度数； (3)若，是内部的一条射线，使得与互余，那么________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查的是角的计算，根据的位置进行分类讨论是解题的关键． （1）设，可得，根据与互补列出方程求出的值即可； （2）根据角平分线的意义求出，即可得出绪论； （3）根据求出，由是的平分线可得出，再分在的内部和外部两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵平分， ∴， ∵与互补， ∴ ∵ ∴ 解得，， ∴ 故答案为：30； （2）解：∵平分， ∴ ∵是的平分线， ∴ 又 ∵ ∴； （3）解：∵且 ∴ ∴ ∴ ∵平分， ∴ ∵与互余， ∴ ∴ ①若在内部时，如图， 则； ②若在外部时，如图， 则； 综上，或． 2．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）如图，已知是直角，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将题中是直角的条件改成，其他条件不变，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图中角度的计算、与角平分线有关的计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解； （2）先求出，再由角平分线的定义可得，，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵是直角，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$