2025年河南省中考数学试卷

2025年河南省中考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．（3分）在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作+4个，那么该队失3个球记作（　　） A．+3个 B．﹣3个 C．+4个 D．﹣4个 2．（3分）数学活动课上，小颖绘制的某立体图形展开图如图所示，则该立体图形是（　　） A．B． C． D． 3．（3分）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000074m/s，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“0.000074”用科学记数法表示为（　　） A．0.74×10﹣4 B．7.4×10﹣4 C．7.4×10﹣5 D．74×10﹣6 4．（3分）如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（　　） A．100° B．110° C．120° D．130° 5．（3分）一元二次方程x2﹣2x＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 6．（3分）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，点D，E分别是边BA，CA与网格线的交点，连接DE，则DE的长为（　　） A． B．1 C． D． 7．（3分）化简的结果是（　　） A．x+1 B．x C．x﹣1 D．x﹣2 8．（3分）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点F处，则CF的长为（　　） A．2 B．6﹣3 C．2 D．66 10．（3分）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v（km/h）之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（　　） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9 B．当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60km/h D．若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．（3分）请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：　 　 ． 12．（3分）为考察学校劳动实践基地甲、乙两种小麦的长势，数学兴趣小组从两种小麦中各随机抽取20株进行测量，测得两种小麦苗高的平均数相同，方差分别为s甲2＝3.6，s乙2＝5.8，则这两种小麦长势更整齐的是　 　 （填“甲”或“乙”）． 13．（3分）观察2x，4x2，6x3，8x4，⋯，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为　 　 ． 14．（3分）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与⊙O相切于点E，连接BE，∠ABE＝15°，连接OE交AB于点F．若AB＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 ． 15．（3分）定义：有两个内角的差为90°的三角形叫做“反直角三角形”．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P为边BC上一点，若△APC为“反直角三角形”，则BP的长为 　 　 ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．（10分）（1）计算：（π﹣1）0； （2）化简：（x+1）2﹣x（x+2）． 17．（9分）为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下． 得分统计表 统计量 年级 七年级 八年级 平均数 7.86 7.86 中位数 a 8 众数 7 b 优秀率 38% c 根据以上信息，回答下列问题． （1）表格中的a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ，c＝ 　 　 ． （2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由． 18．（9分）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中，其中含30°角的三角板OAB的直角边OA落在y轴上，含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数y（x＞0）的图象经过点C． （1）求反比例函数的表达式． （2）将三角板OAB绕点O顺时针旋转90°，AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点D的坐标． 19．（9分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以BC为直径的圆交AD于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心O（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点E是AD的中点，连接OA，CE．求证：四边形AOCE是平行四边形． 20．（9分）为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知2箱甲种苹果和3箱乙种苹果的售价之和为440元；4箱甲种苹果和5箱乙种苹果的售价之和为800元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共12箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 21．（9分）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上． 测量数据 DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m． 备注 点F，M，D，C在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． （1）由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD＝CA，请说明理由． （2）求纪念碑AB的高度． （3）小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约为18.5m．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 22．（10分）在二次函数y＝ax2+bx﹣2中，x与y的几组对应值如表所示． x … ﹣2 0 1 … y … ﹣2 ﹣2 1 … （1）求二次函数的表达式． （2）求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． （3）将二次函数的图象向右平移n个单位长度后，当0≤x≤3时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出n的值． 23．（10分）在∠AOB中，点C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为点D，过点D作DE⊥OA，垂足为点E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为点G． （1）观察猜想 如图1，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：　 　 ． （2）类比探究 如图2，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当0°＜∠AOB＜180°，且∠AOB≠90°时，若，请直接写出的值． 2025年河南省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C． C A B A B D C 一、选择题（每小题3分，共30分.下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．【解答】解：如果某班足球队进4个球记作+4个， 那么该队失3个球记作﹣3个， 故选：B． 2．【解答】解：由圆锥的展开图可知，这个几何体是圆锥． 故选：D． 3．【解答】解：0.000074＝7.4×10﹣5． 故选：C． 4．【解答】解：如图，延长BO， 由量角器可知，∠AOD＝120°， ∴∠BOC＝∠AOD＝120°， 即所量内角的度数为120°， 故选：C． 5．【解答】解：由条件可得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 6．【解答】解：如图，由题意可知，BC＝AF＝BG＝2，∠AFD＝∠BGD＝90°， 又∵∠ADF＝∠BDG， ∴△ADF≌△BDG（AAS）， ∴AD＝BD， 同理：AE＝CE， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DEBC＝1， 故选：B． 7．【解答】解：原式 ＝x+1， 故选：A． 8．【解答】解：列表如下： 美 丽 山 河 美 （美，丽） （美，山） （美，河） 丽 （丽，美） （丽，山） （丽，河） 山 （山，美） （山，丽） （山，河） 河 （河，美） （河，丽） （河，山） 共有12种等可能的结果，其中这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的结果有：（丽，山），（山，丽），共2种， ∴这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 9．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB＝6， ∴AB＝BC＝6， 根据折叠的性质得，AE⊥BF，BE＝EF， ∵∠B＝45°， ∴∠BAE＝90°﹣45°＝∠B， ∴AE＝BEAB＝3， ∴BF＝2BE＝6， ∴CF＝BF﹣BC＝66， 故选：D． 10．【解答】解：由图象可得， 汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9，故选项A说法正确，不符合题意； 当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，故选项B说法正确，不符合题意； 要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不超过60km/h，故选项C说法错误，符合题意； 若车速从25km/h增大到60km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04，故选项D说法正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11．【解答】解：若在实数范围内有意义， 则5﹣x≥0， 解得x≤5， 即x的值可以是0（答案不唯一）， 故答案为：0（答案不唯一）． 12．【解答】解：∵s甲2＝3.6，s乙2＝5.8， ∴s甲2＜s乙2， ∴这两种小麦长势更整齐的是甲， 故答案为：甲． 13．【解答】解：第1个式子：2x＝1×2•x1， 第2个式子：4x2＝2×2•x2， 第3个式子：6x3＝3×2•x3， 第4个式子：8x4＝4×2•x4， …， 观察发现，第n个式子为2nxn， 故答案为：2nxn． 14．【解答】解：∵边CD与⊙O相切于点E， ∴OE⊥CD， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB∥CD， ∴OE⊥AB， ∴AF＝FBAB4＝2， 由圆周角定理得：∠AOE＝2∠ABE＝30°， ∴OA＝2AF＝4， 由勾股定理得：OF2， 则S阴影部分＝S扇形AOE﹣S△AOF2×22， 故答案为：2． 15．【解答】解：∵AB＝AC＝5， ∴∠B＝∠C， ∵∠APC＝∠B+∠BAP， ∴∠APC＞∠B， ∴∠APC＞∠C， 若△APC为“反直角三角形”， ①当∠APC﹣∠C＝90°时，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB＝AC＝5，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠B＝∠C， ∴∠APC﹣∠B＝∠BAP＝90°， ∵∠B＝∠B，∠ADB＝∠PAB＝90°， ∴△ADB∽△PAB， ∴， ∴， ∴； ②当∠APC﹣∠CAP＝90°时，过点P作PM⊥BC交AC于点M， ∴∠APC﹣∠APM＝∠CPM＝90°， ∴∠CAP＝∠APM， ∴AM＝PM， ∵PM⊥BC，AD⊥BC， ∴PM∥AD， ∴△CMP∽△CAD， ∴， 设CP＝x，则BP＝8﹣x， ∴， ∴，CM， ∴AC＝AM+CM＝PM+CM， ∴x， ∴BP； ③当∠CAP＝∠C+90°时， ∵，，且2， ∴∠C＞30°， ∴∠BAC＜120°， 若∠CAP＝∠C+90°，则∠CAP＞120°，即∠CAP＞∠BAC， ∴此种情况不存在， ④当∠CAP＝∠APC+90°时， ∵当点P与点B重合时，∠APC最小，此时∠APC＝∠B＞30°， 同③理可证，此种情况不存在； 综上可知，BP的长为或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16．【解答】解：（1）原式＝2+1﹣3 ＝3﹣3 ＝0； （2）原式＝x2+2x+1﹣（x2+2x） ＝x2+2x+1﹣x2﹣2x ＝1． 17．【解答】解：（1）∵七年级测试成绩的第25、26个数据是7和8， 即八年级测试成绩的中位数a7.5， 八年级测试成绩8分出现的次数最多， ∴吧年级测试成绩的众数b＝8， 八年级测试成绩在9分或9分以上人数所占百分比为（6+5）÷50×100%＝22%， ∴c＝22%， 故答案为：7.5，8，22%； （2）七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好，理由如下： ∵八年级测试成绩的优秀率小于七年级， ∴七年级学生对宪法法治知识的掌握情况更好（答案不唯一）． 18．【解答】解：（1）∵含45°角的三角板OAC的直角顶点C的坐标为（2，2），反比例函数的图象经过点C， ∴k＝2×2＝4， ∴反比例函数的表达式为：； （2）∵C（2，2）， ∴CO2＝22+22＝8， ∵含45°角的三角板OAC为等腰直角三角形，∠ACO＝90°， ∴AC＝CO，， 如图，连接OD，△OAB旋转到△OEF的位置， ∴OE＝OA＝4， ∵D的对应点G在的图象上， ∴yG＝1， ∴EG＝1， 由旋转可得：AD＝GE＝1， ∴D（﹣1，4）． 19．【解答】（1）解：如图，点O即为所求； （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵E是AD的中点，O是BC的中点， ∵AE＝DE＝OC＝OB， ∵AE∥OC， ∴四边形AOCE是平行四边形． 20．【解答】解：（1）设甲种苹果每箱的售价为a元/千克，乙种苹果每箱的售价为b元/千克， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元； （2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（12﹣x）箱， 根据题意得：12﹣x≤x， 解得：x≥6， 设该公司需花费w元， 根据题意得：w＝100x+80（12﹣x）＝20x+960， ∵20＞0， ∴w随x的增大而增大， ∴当x＝6时，w有最小值＝20×6+960＝1080， 答：该公司最少需花费1080元． 21．【解答】解：（1）∵太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， ∴， ∵标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 即DE＝DF， ∴CD＝CA； （2）如图，令BN与DE的交点为H， 则四边形BCDH和MNHD是矩形， ∵DE＝2.1m，DF＝2.1m，DM＝1m，MN＝1.2m， ∴CD＝BH，BC＝DH＝MN＝1.2m，NH＝DM＝1m， ∴EH＝DE﹣DH＝0.9m， 设AB＝x m，则AC＝AB+BC＝（1.2+x）m， ∴BH＝CD＝（1.2+x）m， ∴NB＝BH+NH＝（2.2+x）， ∵EH|AB， ∴△NEH∽△NAB， ∴， ∴， 解得：x＝19.8， 答：纪念碑AB的高度为19.8m． （3）纪念碑的实际高度为19.64m，小红求出纪念碑AB的高度约为18.5m，（2）中纪念碑AB的高度为19.8m， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果． 22．【解答】解：（1）由题意，结合表格数据可得，二次函数的对称轴是直线x1． ∴可设二次函数为y＝a（x+1）2+k． 又∵图象过（0，﹣2），（1，1）， ∴﹣2＝a（0+1）2+k，且1＝a（1+1）2+k． ∴a＝1，k＝﹣3． ∴二次函数为y＝（x+1）2﹣3，即y＝x2+2x﹣2． （2）由题意，结合（1）y＝（x+1）2﹣3， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 作图如下． （3）由题意，∵二次函数的图象向右平移n个单位长度后， ∴新函数为y＝（x+1﹣n）2﹣3． ∴此时对称轴是直线x＝n﹣1，函数图象开口向上． ∴①当3≤n﹣1时，即n≥4， ∴当x＝0时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最小值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3﹣（4﹣n）2+3＝5． ∴n4，不合题意． ②当0＜n﹣1＜3时，即1＜n＜4， ∴当x＝0或x＝3时，y取最大值为（1﹣n）2﹣3或（4﹣n）2﹣3；当x＝n﹣1时，y取最小值为﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（1﹣n）2﹣3+3＝5或（4﹣n）2﹣3+3＝5． ∴n＝1或n＝1（不合题意，舍去）或n＝4（不合题意，舍去）或n＝4． ③当n﹣1≤0时，即n≤1， ∴当x＝0时，y取最小值为（1﹣n）2﹣3；当x＝3时，y取最大值为（4﹣n）2﹣3． 又∵最大值与最小值的差为5， ∴（4﹣n）2﹣3﹣（1﹣n）2﹣3＝5． ∴n1，不合题意． 综上，n＝1或n＝4． 23．【解答】解：（1）如图，过点C作CP⊥OA于点P， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CP⊥OA， ∴CP＝CD， 在Rt△POC和Rt△DOC中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△POC≌Rt△DOC（HL）， ∴OP＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CPE＝∠PEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CPEG是矩形， ∴PE＝CG， ∴OD＝OP＝PE+OE＝CG+OE， 故答案为：OD＝CG+OE； （2）不成立，OD＝CG﹣OE，证明如下： 如图，过点C作CQ⊥OA于点Q， ∵OC 平分∠AOB，CD⊥OB，CQ⊥OA， ∴CQ＝CD， 在Rt△QOC和Rt△DOC 中， ∵OC＝OC，CP＝CD， ∴Rt△QOC≌Rt△DOC， ∴OQ＝OD， ∵DE⊥OA，CG⊥DE，CP⊥OA， ∴∠CQE＝∠QEG＝∠CGE＝90°， ∴四边形CQEG是矩形， ∴QE＝CG， ∴OD＝OQ＝QE﹣OE＝CG﹣OE； （3）①如图：当0°＜∠AOB＜90°时， ∵CG⊥DE，DE⊥OA， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE，OD＝CG+OE＝3OE+OE＝4OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE， ∴； ②如图：当90°＜∠AOB＜180°时， ∵CG⊥GF，GF⊥OE， ∴CG∥OE， ∴△OEF∽△CGF， ∴， 即CG＝3OE， ∴OD＝CG﹣OE＝3OE﹣OE＝2OE， ∴， ∵∠DCG+∠CDG＝90°，∠ODE+∠CDG＝90°， ∴∠DCG＝∠ODE， ∴△CDG∽△DOE，， 综上，的值为或． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$