2025年河北省中考数学试卷

2025年河北省中考数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.） 1．（3分）从﹣5℃上升了5℃后的温度，在温度计上显示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式．如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC＝70°，则∠BAD＝（　　） A．70° B．100° C．110° D．130° 3．（3分）计算：（）（）＝（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 5．（3分）一个几何体由圆柱和正方体组成，其主视图、俯视图如图所示，则其左视图为（　　） A． B． C． D． 6．（3分）若一元二次方程x（x+2）﹣3＝0的两根之和与两根之积分别为m，n，则点（m，n）在平面直角坐标系中位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有1，2，3中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（　　） A． B． C． D． 8．（3分）若a＝﹣3，则（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．6 9．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N．若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是（　　） A．∠B+∠4＝180° B．CD∥AB C．∠1＝∠4 D．∠2＝∠3 10．（3分）在反比例函数y中，若2＜y＜4，则（　　） A．x＜1 B．1＜x＜2 C．2＜x＜4 D．4＜x＜8 11．（3分）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在A′处，A′D交BC于点E．将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的C′处，下列结论一定正确的是（　　） A．∠1＝45°﹣α B．∠1＝α C．∠2＝90°﹣α D．∠2＝2α 12．（3分）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形EFGH与正方形OABC的顶点均为整点．若只将正方形EFGH平移，使其内部（不含边界）有且只有A，B，C三个整点，则平移后点E的对应点坐标为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．（3分）计算：2a2+4a2＝　 　 ． 14．（3分）平行四边形的一组邻边长分别为3，4，一条对角线长为n．若n为整数，则n的值可以为 　 　 ．（写出一个即可） 15．（3分）甲、乙两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将甲纸条的与乙纸条的叠合在一起，形成长为81的纸条，则a+b＝ 　 　 ． 16．（3分）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字0～12对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 　 　 ． （参考数据：sin15°，sin75°） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（7分）（1）解不等式2x≤6，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式3﹣x＜5，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 18．（8分）（1）一道习题及其错误的解答过程如下： 计算：（﹣6）×（）． 解：（﹣6）×（） ＝﹣6第一步 ＝﹣3+4﹣5……第二步 ＝﹣4……第三步 请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出正确的解答过程． （2）计算：|2|﹣（﹣2）2×（）． 19．（8分）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点E，AC＝AD，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上，∠BAF＝∠EAD． （1）求证：△ABC≌△AFD； （2）若BE＝FE，求证：AC⊥BD． 20．（8分）某工厂生产A，B，C，D四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增加研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响． 下面是该工厂这四种产品的部分信息： a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）． b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明． 类别数据产品 A B C D 调整前单件成本/（元/件） 18 26 20 36 调整后单件成本/（元/件） 方案甲 13 22 m 40 方案乙 16 n 18 32 说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同． 根据以上信息，解答下列问题： （1）求调整前A产品的年产量； （2）直接写出m，n的值； （3）若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低． 21．（9分）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为． （1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数； （2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长； （3）当∠EOF＝150°时，求的长． 22．（9分）一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在0﹣100℃（本题涉及的温度均在此范围内），原长为l m的铜棒、铁棒受热后，伸长量y（m）与温度的增加量x（℃）之间的关系均为y＝alx，其中a为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数aCu＝1.7×10﹣5（单位：/℃）；原长为2.5m的铁棒从20℃加热到80℃伸长了1.8×10﹣3m． （1）原长为0.6m的铜棒受热后升高50℃，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）． （2）求铁的线膨胀系数aFe；若原长为1m的铁棒受热后伸长4.8×10﹣4m，求该铁棒温度的增加量． （3）将原长相等的铜棒和铁棒从0℃开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高20℃，求该铁棒温度的增加量． 23．（11分）综合与实践 [情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线． [模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）．作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分． [操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题． 如图3，嘉嘉的思路如下： ①连接AC，BD交于点O； ②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F； …… 如图4，淇淇的方法如下： ①在边BC上截取BG＝AB，连接AG； ②作线段GC的垂直平分线l，交BC于点M； ③在边AD上截取AN＝GM，作直线MN． [探究]根据以上描述，解决下列问题． （1）图2中，矩形ABCD的周长为 　 　 ； （2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）； （3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求． [拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题． （4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH． ①当∠PQC＝45°时，求tan∠BCH的值； ②当∠BCH最大时，直接写出CH的长． 24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P．抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点C（，2）．两条抛物线在第一象限内的部分分别记为L1，L2． （1）求b，c的值及点P的坐标． （2）点D在L1上，到x轴的距离为．判断L2能否经过点D，若能，求a的值；若不能，请说明理由． （3）直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，点M在线段AE上，且点M的横坐标是点E横坐标的一半． ①若点E与点P重合，点M恰好落在L2上，求a的值； ②若点M为直线AE与L2的唯一公共点，请直接写出k的值． 2025年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共11小题） 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A C A B． D B D A 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.） 1．【解析】解：根据题意得﹣5+5＝0（℃）， 即温度计上显示0℃， 故选：B． 2．【解析】解：∵AD∥BC， ∴∠BAD+∠ABC＝180°， ∵∠ABC＝70°， ∴∠BCD＝110°． 故选：C． 3．【解析】解：（）（） ＝10﹣6 ＝4， 故选：B． 5．【解析】解：由俯视图中的正方形位于横向的对称轴的位置上，故选项A的左视图符合题意． 故选：A． 6．【解析】解：由方程x（x+2）﹣3＝0， 得到x2+2x﹣3＝0． 两根之和：， 两根之积：3． ∴m，n都为负数， ∴点（m，n）在第三象限． 故选：C． 7．【解析】解：∵向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴6个面中要有3个面标有“1”，有2个面标有“2”， ∴只能有一个面标有“3”， ∴该木块不可能是选项A． 故选：A． 8．【解析】解：当a＝﹣3时，原式1． 故选：B． 9．【解析】解：∵AE∥BC， ∴∠AEM＝∠CND，∠MAE＝∠B， 当添加∠B+∠4＝180°时， ∵∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以A选项不符合题意； 当添加CD∥AB时， ∴∠DCN＝∠B， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以B选项不符合题意； 当添加∠1+∠4＝180°时， ∵∠MAE+∠1＝180°，∠DCN+∠4＝180°， ∴∠DCN＝∠MAE， ∴△MAE∽△DCN，所以C选项不符合题意； 当添加∠2＝∠3时， ∵∠AEM+∠2＝180°，∠CDN+∠3＝180°， ∴∠AEM＝∠CDN＝∠CND ∴不能判断△MAE∽△DCN，所以D选项符合题意． 故选：D． 10．【解析】解：∵反比例函数y，k＝4＞0， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∴当2＜y＜4时，x， ∴1＜x＜2． 故选：B． 11．【解析】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠C＝90°， ∴∠ADB＝∠1， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠ADB＝∠A'DB， ∴∠1＝∠A'DB， ∵∠DEC＝90°﹣α， 即2∠1＝90°﹣α， ∴，故A不正确， ∵∠BDE≠∠CDE， ∴∠1≠α，故B不正确， ∵将矩形ABCD沿对角线BD折叠， ∴∠C'ED＝∠CED ∠2＝180°﹣2∠CED＝180°﹣2（90°﹣α）＝2α，故C不正确，D选项正确， 故选：D． 12．【解析】解：设直线 FG的解析式为 y＝kx+b，代入（﹣1，1），（0，﹣1）， ∴，解得， ∴直线FG的解析式为 y＝﹣2x﹣1， ∵E（1，2），A．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时经过原点，对应的EH经过整点（2，1），符合题意， B．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时原点在FG下方，对应的EH在整点（2，1）上方，不符合题意， C．当E为时，平移方式为向右平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为，此时点E在正方形内部，不符合题意， D．当E为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线FG平移后的解析式为此时点E和（2，1）在正方形内部，不符合题意， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．【解析】解：2a2+4a2＝（2+4）a2＝6a2． 故答案为：6a2． 14．【解析】解：如图， ∵平行四边形两个邻边长分别为3和4， ∴它的一条对角线长n的取值范围是：4﹣3＜n＜4+3， 即它的一条对角线长L的取值范围是：1＜n＜7． ∴n＝2或3或4或5或6． 故答案为：2或3或4或5或6． 15．【解析】解：根据题意得，， 解得， ∴a+b＝99， 故答案为：99． 16．【解析】解：如图所示，设数字0记为圆心O，数字6记为A，数字7记为B，过点O作OD⊥AB于点D， 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 由图可得，线段AB的长与其他的都不相等， ∵其中数字1﹣12对应的点均匀分布在一个圆上， ∴360°÷12＝30°， ∴相邻两个数字与圆心O组成的圆心角为30°， ∴∠AOB＝30°×5＝150°， ∴， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝75°， ∴， 即， ∴， ∵OA＝OB，OD⊥AB， ∴， ∴这条线段的长为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．【解析】解：（1）2x≤6， x≤3， 数轴表示如下： ． （2）3﹣x＜5， ﹣x＜2， x＞﹣2， 数轴表示如上图． （3）由（1）（2）知， 不等式组的解集为：﹣2＜x≤3． 18．【解析】解：（1）原解题步骤从第一步开始出现错误，正确步骤如下： 原式＝（﹣6）（﹣6）（﹣6） ＝﹣3﹣4+5 ＝﹣2； （2）原式＝24×（） ＝2（44） ＝2（2﹣1） ＝21 ＝1． 19．【解析】证明：（1）∵AC，BD相交于点E，∠ACB＝∠ADB，点F在ED上， ∴∠ACB＝∠ADF， ∵∠BAF＝∠EAD， ∴∠BAF﹣∠CAF＝∠EAD﹣∠CAF， ∴∠BAC＝∠FAD， 在△ABC和△AFD中， ， ∴△ABC≌△AFD（ASA）． （2）由（1）得△ABC≌△AFD， ∴AB＝AF， ∵BE＝FE， ∴AC⊥BF，即AC⊥BD． 20．【解析】解：（1）调整前，总产量为40÷20%＝200（万件）， 所以C产品的产量为200×15%＝30（万件）， 则A产品的年产量为200﹣（70+30+40）＝60（万件）； （2）由题意知，， 解得m＝25； ∵调整前年产量的中位数为23（万件）， ∴23， 解得n＝28； （3）方案甲总成本为60×13+70×22+30×25+40×40＝4670（万元）， 方案乙总成本为60×16+70×28+30×18+40×32＝4740（万元）， 4670＜4740， 所以方案甲总成本较低． 21．【解析】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°， ∵AE＝3， ∴DE＝2， ∵DE＝DF， ∴DE＝DF＝2． ∵OE＝OF＝2， ∴DE＝DF＝OE＝OF＝2， ∴四边形OEDF为正方形， ∴∠EOF＝90°， ∴∠EMFEOF＝45°； （2）连接EF，交BD于点H，如图， ∵四边形OEMF为菱形， ∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD， ∵OM＝OE＝OF＝2， ∴△OEM，△OFM为等边三角形， ∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°， ∴EH＝ME•sin60°＝2． ∵四边形ABCD为边长为5的正方形， ∴BD平分∠ADC， ∴∠ADB＝45°， ∴△EDH为等腰直角三角形， ∴DH＝EH， ∴DEDH； （3）当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长； 当∠EOF＝150°时，如图， ∴的长． 综上，当∠EOF＝150°时，的长为或． 22．【解析】解：（1）1.7×10﹣5×0.6×50＝5.1×10﹣4（m）， 即该铜棒的伸长量为5.1×10﹣4m； （2）aFe1.2×10﹣5， 4.8×10﹣4÷（1.2×10﹣5×1）＝40（℃）， 即该铁棒温度的增加量为40℃； （3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为（x+20）℃，设它们的长度均为l， 由题意得1.7×10﹣5lx＝1.2×10﹣5l（x+20）， 整理得：17x＝12x+240， 解得：x＝48， 则x+20＝48+20＝68， 即该铁棒温度的增加量为68℃． 23．【解析】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵AB＝1，AD＝4， ∴AB＝CD＝1，AD＝BC＝4， ∴矩形ABCD的周长为2（AB+CD）＝2×（1+4）＝10， 故答案为：10； （2）解：如图所示，以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求， ∵EF⊥BC， ∴∠BEF＝90°， ∵EM＝EO， ∴△EOM是等腰直角三角形， ∴∠OME＝45°， ∵矩形ABCD的对角线交于点O， ∴AO＝CO， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠AON＝∠COM， 在△AON和△COM中， ， ∴△AON≌△COM（ASA）， ∴AN＝CM， ∴DN＝BM， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分； （3）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AD∥BC， ∵BG＝AB， ∴∠AGB＝45°， ∵AN＝MG， ∴四边形AGMN是平行四边形， ∴MN∥AG， ∴∠NMG＝∠AGB＝45°， ∵直线l是GC的垂直平分线， ∴GM＝CM， ∴GM＝CM＝AN， ∴BM＝BC﹣CM，DN＝AD﹣AN， ∴BM＝DN， ∴AN+AB+BM＝CM+CD+DN， ∴MN把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴直线MN符合要求； （4）解：①如图所示，过点H作HG⊥BC，连接AC交PQ于点O，过点P作PK⊥BC于点K，过点O作OT⊥BC， ∵四边形ABCD是矩形，且直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，则点O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点， ∴点O是AC的中点， ∴， ∴AP＝CQ，PD＝BQ，AB＝DC＝PK＝1， ∵∠PQC＝45°， ∴△PQK是等腰直角三角形， ∴PK＝QK＝1， ∴， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠APQ＝∠CQP＝45°， 在△AOP和△COQ中， ， ∴△AOP≌△COQ（AAS）， ∴，OT＝QT， ∴CQ＝CT+QT＝2， ∴BQ＝BC﹣CQ＝4，∠BQH＝∠PQC＝45°， ∵BH⊥PQ于点H， ∴∠BHQ＝90°， ∴△BHQ是等腰直角三角形， ∴HG＝GQBQ，， ∴； ②如图所示，连接BD交PQ于点O， ∵PQ把矩形ABCD分成了周长相等的两部分， ∴点O为BD和PQ的中点， ∵BH⊥PQ， ∴点H在以BO为直径的⊙L上，当CH与⊙L相切时，∠BCH最大， ∵AB＝1，AD＝4， ∴， ∴， ∴， 过点L作LT⊥BC， ∴∠BTL＝90°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∴TL∥CD， 则△BLT∽△BDC， ∴， ∴， ∴BT＝1， ∴CT＝BC﹣BT＝4﹣1＝3， ∴， ∵CH是⊙L的切线， ∴∠CHL＝90°， ∴． 24．【解析】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（6，3），顶点为P， ∴， 解得：b＝6，c＝3， ∴y＝﹣x2+6x+3＝﹣（x﹣3）2+12， ∴P（3，12）； （2）∵点D在L1（第一象限）上，到x轴的距离为， 则， ∴当时，， 解得：或， ∴或， ∵抛物线y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点，对称轴为直线x＝3， ∴L2经过点和， ∴L2不能经过点D， （3）①∵A（0，3），P（3，12）， 当E，P重合时，则E（3，12）， ∵M是AE的中点， ∴， ∵点恰好落在L2上，L2经过点， ∴， 解得：； ②直线AE：y＝kx+n（k＞0）交L1于点E，A（0，3）， ∴n＝3， ∴直线AE的解析式为y＝kx+3， ∵y＝a（x﹣3）2+d（a＜0）经过点， ∴， ∴， ∴， 联立， 消去y得，， ∴，则， ∵点M的横坐标是点E横坐标的一半， ∴，即， 将E代入y＝﹣x2+6x+3， ∴ ∵点M为直线AE与L2的唯一公共点， ∴②， 联立①②得：或， 当时，唯一公共点不在第一象限，不符合题意， ∴． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$