精品解析：重庆市江津区2024-2025学年下学期期末监测八年级数学试卷B卷

2024—2025学年下期期末监测 八年级数学试卷（B） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 友情提示：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时，请你认真审题，做到先易后难；作答后，要注意检查，祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分满分均为100分，然后把笔试成绩和面试成绩按照的比例计算后折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．张三参加该公司的招聘考试，他的笔试成绩是90分，面试成绩是80分，那么他的综合成绩是（ ）分． A. 85 B. 86 C. 87 D. 170 4. 估算的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 6. 五一黄金周期间，小明和父母自驾游外出游玩．下面是汽车行驶速度（千米/时）随时间（分）变化的函数图象，下列说法中正确的是（ ） A. 汽车以千米/时的速度行驶了分钟 B. 和表示汽车停止运动 C. 在第分钟时，汽车的速度是千米/时 D. 第分钟开始，汽车返程行驶 7. 如图是一组有规律的图案，它们是由全等的平行四边形组合而成，第①个图案有个平行四边形，第②个图案有个平行四边形，第③个图案有个平行四边形，，按此规律摆下去，第⑧个图案中的平行四边形个数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，菱形中，对角线交于点，点是边上一点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 10. 由个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（ ） ①当时，若，，，为四个连续整数，则一定为偶数； ②若为偶数，则一定为奇数； ③若奇数，则一定为偶数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 12. 已知一组数据1，1，x，3，3它们的平均数是2，则这组数据的方差______． 13. 若直线经过点，，则______（填“>”或“<”）． 14. 如图，中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则______． 15. 在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点．若为中点，，则______；______． 16. 若一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，并且千位和个位数字之和为8，百位和十位数字之和为6，则称这个四位数为“大吉大利数”．例如：四位数2336，，∴2336是“大吉大利数”；四位数3545，，∴3545不是“大吉大利数”．按这个规定，最小的“大吉大利数”是______；将一个“大吉大利数”M去掉十位和个位数，剩下的两位数记为G（M）：去掉千位和百位数，剩下的两位数记为，令，若是整数，满足条件的M的最大值为______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题，每题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 爱学习的小李在学习完正方形后，在课后习题中发现了新的研究方向（十字模型）：从正方形一对相邻顶点出发，作互相垂直的两条线段，就会出现全等的三角形，从而得到这两条线段也相等．请根据小李的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：在正方形中，过点B作的垂线，垂足为H，与交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在正方形中，，垂足为H，求证：． 证明：∵四边形是正方形 ，①______ ∴②______ 在与中 ． 通过上面的操作，小李进一步探究得到这样的结论：在正方形中，若两条线段的端点分别位于两组对边上，且这两条线段④______，则这两条线段长度相等． 20. 为避免出现学生意外落水事故，保障学生的生命安全．某学校安全科举行了以“珍爱生命：防溺水，七不三要！”为主题的知识竞赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用x表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是：83，84，85，86，87，89，90，90，91，92，92，93，94，96，96，96，98，99，99，100； 八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是：90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 b 35% 八年级 92 a 98 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有800人、八年级有1000人参加了这次知识竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 21. 暮色初临，饥肠辘辘小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） （1）求C、D两地的距离；（结果保留根号） （2）如果外卖员小津的速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 22. 暑假来临之际，某班准备组织学生研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识．参加活动的人数预计为20至40人（包含20人和40人），A、B两家机构服务质量相近，报价均为每人1200元． 经协商：A机构表示可给每人九折优惠，且导游讲解免费； B机构表示可给每人八五折优惠，但需额外支付导游讲解费用共1500元． 设该班有x人参加这次活动，选择A机构所需费用为元，选择B机构所需费用为元． （1）求出与x、与x之间的函数解析式； （2）请通过计算说明参加活动人数在什么范围内，选B机构更划算． 23. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿着折线C→B→A匀速运动，到达A点时停止（点P不与A、C重合），设点P运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）已知一次函数的部分图像如图所示，根据图像，请直接写出时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 24. 如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 25. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求平行四边形的面积； （2）如图2，若，连接，求证：； （3）如图3，线段上另有一点，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年下期期末监测 八年级数学试卷（B） （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 友情提示：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试卷上直接作答． 2．作答前请你先通览全卷且认真阅读答题卡上的注意事项． 3．作答时，请你认真审题，做到先易后难；作答后，要注意检查，祝你成功！ 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题中，都给出了代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑． 1. 下列各数中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，不含分母，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】A、是最简二次根式，符合题意； B、，8可分解为，其中4为完全平方数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，即，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2. 在中，的对边分别是，不能构成直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题所考察的知识点是勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两边平方和等于第三边平方，则该三角形为直角三角形，逐一验证各选项即可． 【详解】A. 三边为，，，最大边为，计算得：，不满足勾股定理，不能构成直角三角形； B. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； C. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形； D. 三边为，，，最大边为，计算得：，满足勾股定理，能构成直角三角形． 故答案选：A． 3. 某公司招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分满分均为100分，然后把笔试成绩和面试成绩按照的比例计算后折合成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）．张三参加该公司的招聘考试，他的笔试成绩是90分，面试成绩是80分，那么他的综合成绩是（ ）分． A. 85 B. 86 C. 87 D. 170 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查加权平均数；根据加权平均数的计算方法，将笔试和面试成绩按的比例计算综合成绩即可． 【详解】解：∵笔试与面试的比例为，即笔试占，面试占， 笔试部分：（分） 面试部分：（分） 综合成绩：（分）． 因此，张三的综合成绩为86分， 故选：B． 4. 估算的值应在（ ） A. 4和5之间 B. 3和4之间 C. 2和3之间 D. 1和2之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握估算无理数大小的方法是解题的关键．将原式计算后估算其大小即可．。 【详解】解：原式， , , , ，, , , ． 故选：B． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是正方形 D. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定和矩形的判定，根据平行四边形、矩形、菱形的判定方法逐一判断即可求解． 【详解】解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，该选项说法错误，不合题意； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 四条边相等的四边形是菱形，该选项说法错误，不合题意； 有一个角是直角的平行四边形是矩形，该选项说法正确，符合题意； 故选：． 6. 五一黄金周期间，小明和父母自驾游外出游玩．下面是汽车行驶速度（千米/时）随时间（分）变化的函数图象，下列说法中正确的是（ ） A. 汽车以千米/时的速度行驶了分钟 B. 和表示汽车停止运动 C. 在第分钟时，汽车的速度是千米/时 D. 第分钟开始，汽车返程行驶 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获得信息解决实际问题，根据横轴和纵轴的意义依次分析即可求解． 【详解】解：A.读图可知，段的速度为千米/时，行驶时间为（分钟），故选项说法错误； B. 段的速度一直是千米/时，段的速度一直是千米/时，故选项说法错误； C. 由图可得，在第分钟时，汽车的速度是千米/时，故选项说法正确； D. 第分钟开始，汽车开始减速行驶，故选项说法错误； 故选：C． 7. 如图是一组有规律的图案，它们是由全等的平行四边形组合而成，第①个图案有个平行四边形，第②个图案有个平行四边形，第③个图案有个平行四边形，，按此规律摆下去，第⑧个图案中的平行四边形个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律变化问题，根据已知图案得第个图案有个平行四边形，据此解答即可求解，由已知图案找到变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵第①个图案有个平行四边形， 第②个图案有个平行四边形， 第③个图案有个平行四边形， ， ∴第个图案有个平行四边形， ∴第⑧个图案中的平行四边形个数为， 故选：． 8. 已知实数满足，那么函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象和性质逐项判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，不合题意； 、由图象可得，，，则，符合题意； 故选：． 9. 如图，菱形中，对角线交于点，点是边上一点，连接，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，再根据三角形外角性质解答即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可得，，，进而得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 10. 由个正整数组成的一列数，记为，，…，任意改变它们的顺序后记作，，…，若，下列说法中正确的个数是（ ） ①当时，若，，，为四个连续整数，则一定为偶数； ②若偶数，则一定为奇数； ③若为奇数，则一定为偶数． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，理解题意，根据奇数与偶数的性质进行推断是解题的关键．根据偶数+偶数偶数，偶数+奇数奇数，奇数+奇数偶数，偶数偶数偶数，偶数奇数偶数，对每一个结论分别进行推断即可． 【详解】①当时，四个连续整数中有两偶两奇．若将原数列中的偶数与排列后的奇数对应，奇数与排列后的偶数对应，则每个均为奇数，乘积为奇数。因此，存在为奇数的情况，故①错误． ②若所有数均为偶数，无论奇偶，均为偶数。例如（偶数）时，仍为偶数，故②错误． ③若为奇数，则所有均为奇数，要求原数列中偶数与奇数的数量相等，即（为整数），故必为偶数，③正确． 综上，正确的个数为1． 故答案选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 已知一组数据1，1，x，3，3它们的平均数是2，则这组数据的方差______． 【答案】0.8 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义． 先由平均数的公式计算出的值，再根据方差的公式计算即可． 【详解】解：数据1，1，，3，3的平均数为2， 解得：， 则这组数据的方差是． 故答案为：0.8． 13. 若直线经过点，，则______（填“>”或“<”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 根据一次函数的性质，可知中的随的增大而增大，然后即可判断和的大小关系． 【详解】∵， ∴该直线上随的增大而增大， ∵直线经过点， ∴， 故答案为：． 14. 如图，中，，点D是的中点，，垂足为D，交于E，连接、，如果，，则______． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是利用直角三角形斜边中线性质及勾股定理求解． 由直角三角形斜边上的中线可求，在中，根据勾股定理，由和的长度求出． 【详解】解：∵是的中点，， 在中，， ． 故答案为：． 15. 在正方形中，点为对角线上一点，连接，过点作交的延长线于点，交于点．若为中点，，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，过作交于，交于，证明，求解，证明四边形，四边形是矩形，，是等腰直角三角形；证明，，可得，，证明，可得，求解，，进一步根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图，过作交于，交于， ∵正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， ， ∴四边形，四边形矩形， ， ，是等腰直角三角形； ∴，，，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：， 【点睛】本题考查的是正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 若一个四位自然数M各个数位上的数字均不为0，并且千位和个位数字之和为8，百位和十位数字之和为6，则称这个四位数为“大吉大利数”．例如：四位数2336，，∴2336是“大吉大利数”；四位数3545，，∴3545不是“大吉大利数”．按这个规定，最小的“大吉大利数”是______；将一个“大吉大利数”M去掉十位和个位数，剩下的两位数记为G（M）：去掉千位和百位数，剩下的两位数记为，令，若是整数，满足条件的M的最大值为______． 【答案】 ①. 1157 ②. 7331 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的数字问题，解题的关键是理解“大吉大利数”的定义，根据定义逐步分析求解． 要得到最小的“大吉大利数”需让高位上的数字尽可能小，根据“大吉大利数”的定义确定各个数位上的数字． 【详解】①因为四位数各个数位上的数字均不为0，要使这个四位数最小，应让千位数字尽可能小． 千位和个位数字之和为8，千位最小取1，则个位数字为； 百位和十位数字之和为6，百位最小取1，则十位数字为． 所以最小的”大吉大利数”是1157； ②设”大吉大利数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为均为不为0的整数）， 由定义可知，则， 是去掉十位和个位数剩下的两位数，即 是去掉千位和百位数剩下的两位数，即． 则 因为是整数，所以是完全平方数，又因为11是质数，所以，即， 要使最大，千位数字要尽可能大， 因为是千位数字且，即，最大取7， 当时，， ， 所以 ，满足条件的的最大值为7331． 故答案：1157；7331． 三、解答题：（本大题9个小题，第17、18题，每题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括作辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键． （1）先计算乘法，并化简各二次根式，再计算加法即可； （2）先用完全平方公式和平方差公式计算，再计算加减即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题了分式的化简求值，分母有理化，熟练掌握分式的混合运算法则和分母有理化方法是解题的关键． 先把括号内通分，再进行同分母的减法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分即可化简，然后把的值代入化简式计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 19. 爱学习的小李在学习完正方形后，在课后习题中发现了新的研究方向（十字模型）：从正方形一对相邻顶点出发，作互相垂直的两条线段，就会出现全等的三角形，从而得到这两条线段也相等．请根据小李的思路完成以下作图与填空： （1）尺规作图：在正方形中，过点B作的垂线，垂足为H，与交于点F；（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：在正方形中，，垂足为H，求证：． 证明：∵四边形是正方形 ，①______ ∴②______ 在与中 ． 通过上面的操作，小李进一步探究得到这样的结论：在正方形中，若两条线段的端点分别位于两组对边上，且这两条线段④______，则这两条线段长度相等． 【答案】（1）图见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作垂线，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）以为圆心，任意长为半径画弧，交于两点，再以这两点为圆心，以大于两点形成的线段的长为半径画弧，交于一点，连接点和该点所形成的线段交于点，交于点即可； （2）根据正方形的性质，同角的余角相等，全等三角形的判定方法，进行作答即可． 【小问1详解】 解：由题意，作图如下： 【小问2详解】 证明：∵四边形是正方形 ， 在与中 ． 通过上面的操作，小李进一步探究得到这样的结论：在正方形中，若两条线段的端点分别位于两组对边上，且这两条线段垂直，则这两条线段长度相等． 20. 为避免出现学生意外落水的事故，保障学生的生命安全．某学校安全科举行了以“珍爱生命：防溺水，七不三要！”为主题的知识竞赛．现从七年级和八年级参加比赛的学生中各随机抽取20名同学的成绩（百分制）进行分析（单位：分，成绩得分用x表示，成绩均为整数，满分为100分，95分及95分以上为优秀），将学生的比赛成绩分为A，B，C，D四个等级，分别是：A．，B．，C．，D．．下面给出了部分信息： 七年级被抽取的20名学生的比赛成绩分别是：83，84，85，86，87，89，90，90，91，92，92，93，94，96，96，96，98，99，99，100； 八年级被抽取的20名学生的比赛成绩在C等级中的数据分别是：90，91，92，92，93，94； 七、八年级抽取的学生比赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 七年级 92 92 b 35% 八年级 92 a 98 m% 根据以上信息，解答下列问题： （1）请填空：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次知识竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有800人、八年级有1000人参加了这次知识竞赛活动，请估计七年级、八年级学生参加此次知识竞赛成绩为优秀的共有多少人？ 【答案】（1），， （2）八年级的成绩更好，见解析 （3）680人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数以及用样本估计总体等知识，掌握中位数，众数等概念是关键． （1）根据中位数，众数定义可得的值，根据优秀率的定义可得的值； （2）根据平均数，众数、中位数以及优秀率的意义解答即可； （3）用总人数乘样本中成绩为优秀的人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生的比赛成绩中，96出现的次数最多，故众数， 八年级抽取20名学生，根据扇形统计图，等级人数为人，等级人数为人，等级有6人（已知等级数据：），则等级人数为人， 把八年级20名学生的比赛成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是、，故中位数， ， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：八年级的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数相同，但八年级的中位数、众数均和优秀率高于七年级，所以八年级的成绩更好； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计七年级、八年级学生参加此次征文比赛成绩为优秀的共大约有680人． 21. 暮色初临，饥肠辘辘的小江在手机上点了晚餐订单．如图所示，小江家位于点A处，此时，外卖员小津正在位于点A处南偏东方向的饭店D处取餐，取餐后即刻前往A地送餐．然而，连接A与D的道路因施工被封锁，小津面临两条截然不同的送餐路线：和．已知，点B在点D的正西方，且处于点A的正南方，米；点C位于点D的正东方，且处于点A的东南方．（参考数据：，） （1）求C、D两地的距离；（结果保留根号） （2）如果外卖员小津速度为5米/秒，请你帮小津算一算，哪条路最快到达目的地？（结果精确到0.1米） 【答案】（1）米 （2）最快到达目的地 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形应用-方向角问题，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． （1）解，得到(米)，在中，根据等腰三角形的判定得到(米)，然后由求解； （2）解，得米，又因为米，从而求出送餐路线：的距离为(米)，送餐路线：的距离为(米)，根据速度一样，比较两种路线的长度即可求解． 【小问1详解】 解：由题意，得，，， ∴在中，(米)， 在中， ∴， ∴(米)， ∴ (米)， 答：C、D两地的距离为米． 【小问2详解】 解：在中，∵(米) ∴(米) ∵(米) ∴送餐路线：的距离为(米)， 送餐路线：的距离为(米)， ∵外卖员小津的速度为5米/秒，， ∴最快到达目的地． 22. 暑假来临之际，某班准备组织学生研学旅行，全程导游讲解使学生增长见识．参加活动的人数预计为20至40人（包含20人和40人），A、B两家机构服务质量相近，报价均为每人1200元． 经协商：A机构表示可给每人九折优惠，且导游讲解免费； B机构表示可给每人八五折优惠，但需额外支付导游讲解费用共1500元． 设该班有x人参加这次活动，选择A机构所需费用为元，选择B机构所需费用为元． （1）求出与x、与x之间的函数解析式； （2）请通过计算说明参加活动的人数在什么范围内，选B机构更划算． 【答案】（1）， （2）人数在25到40（包括40不包括25）范围内，选B机构合算 【解析】 【分析】（1）本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，得出相应的函数解析式． （1）根据A、B两家机构的优惠方案，分别找出费用与人数的关系； （2）令，解不等式即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：； ∴与之间的函数关系式为， 与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，即， 解得， ∴人数在25到40（包括40不包括25）范围内，选B机构合算． 23. 如图，在中，，，，动点P从点C出发，沿着折线C→B→A匀速运动，到达A点时停止（点P不与A、C重合），设点P运动路程为x，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； （2）在平面直角坐标系中画出y与x的函数图象，并写出它的一条性质； （3）已知一次函数的部分图像如图所示，根据图像，请直接写出时x的取值范围．（保留一位小数，误差不超过0.2） 【答案】（1） （2）图见解析，性质：当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数在动点面积问题中的应用，一次函数的性质，利用图象解一元一次不等式等；能画出图象，根据图象写出性质，会利用图象解不等式，能根据的不同位置进行分类讨论是解题的关键． （1）分类讨论：①当在边上时，此时；②当在边上时，此时，由三角形的面积即可求解； （2）画出图象，根据图象写出性质即可求解； （3）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：如图，当在边上时， 此时， 如图，当在边上时， 此时， ， 综上所述：； 【小问2详解】 性质：当时，随着的增大而增大， 当时，随着的增大而减小； 【小问3详解】 由图象得时． 24. 如图1，直线分别交x轴和y轴交于点且． （1）求直线的解析式； （2）若点P为x轴上一动点，且，求此时的P点坐标； （3）如图2，将直线向上平移4个单位得到直线，平移后的直线经过点，若点M为平面内一点，且以A，B，C，M四点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或或 【解析】 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b值，从而求得A、B的坐标，再用待定系数法求解好戏可； （2）根据，得，即，求出即可求解； （3）先根据一次函数平移规律求得直线的解析式为，从而可求出点，再根据平行四边形的性质，根据平移的坐标变换规律求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴，， ∴，， ∴，， 把，代入，得 ，解得：， ∴直线的解析式． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵ ∴ 解得：，， ∴点P的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵直线的解析式，将直线向上平移4个单位得到直线， ∴直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴， 当以为对角线的平行四边形时， ∵， ∴向左平移4个单位，向上平移1个单位，可以得到， ∵ ∴点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 当以为对角线的平行四边形时， 同理可得点M的坐标为； 综上，点M的坐标为或或． 【点睛】本师考查非负数的性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，一次函数图象的平移，平行四边形的性质，平移坐标变换，熟练掌握算术平方根的非负性、待定系数法求一次函数解析式、平移坐标变换规律是解题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，点是边上一点，连接，，，，点是线段上一动点，连接． （1）如图1，若，，求平行四边形的面积； （2）如图2，若，连接，求证：； （3）如图3，线段上另有一点，满足，连接．若，，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）见解析 （3）的最小值为． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）设，则，，根据勾股定理求得，进而根据，即可求解； （2）延长、交于点，通过证明及即可证明； （3）过点作延长交于点，过点作交于点，连接，得出四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据，作于点，根据勾股定理求得，即可得的最小值． 【小问1详解】 解：设， ∵，则， ∵， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积． 【小问2详解】 证明：如图，延长交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：如图3-1，过点作延长交于点，过点作交于点，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴，， 如图，当点、、共线时，取得最小值，最小值为， 又∵中，，， ∴， ∵， ∴， 作于点，则， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$