精品解析：江苏省苏州吴中、吴江、相城区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上， 2、答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签宇笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用铅笔画出图形、再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”，根据轴对称图形的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； B．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； C．绕某一点旋转后，能够与原图形重合，故此图形是中心对称图形，符合题意； D．绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，故此图形不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C． 2. 小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查概率的计算，根据概率公式，所求概率等于数学试卷数量与总试卷数量的比值． 【详解】解：共有12张试卷，随机抽取1张，总共有12种等可能结果， ∵数学试卷有4张，恰好抽到数学试卷的结果有4种， ∴抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为， 故选：B． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义； 含有一个未知数且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此判断即可． 【详解】解：A、含有两个未知数，不是一元二次方程； B、不是整式方程，不是一元二次方程； C、是一元二次方程； D、整理后为，不是一元二次方程； 故选：C． 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据平行四边形的判定方法求解即可． 【详解】解：已知， A、添加，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； B、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴， 又，不能用“边边角”证明三角形全等， ∴不能确定的数量关系，不能确定的位置关系， ∴不能判定四边形一定是平行四边形； 同理连接亦是如此，故B选项符合题意； C、添加，根据两组对边平行的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； D、添加， 如图所示，连接， ∵， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可判定四边形一定是平行四边形，故不符合题意； 故选：B ． 6. 反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据函数图像上点的坐标求代数式的值，解题的关键是熟练掌握整体代入法．根据反比例函数和一次函数交点坐标的性质，得到，，利用整体代入法求代数式的值即可． 【详解】解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∴代数式的值是， 故选：． 7. 如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（ ） A. 2 B. C. 1 D. 没法求出 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 作交的延长线于，由平行四边形的性质可得，，证明，得出，表示出，，由勾股定理得出，即可得解． 【详解】解：如图，作交的延长线于， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值是2， 故选：A． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是边上的一个点（不与、重合），过点的反比例函数图像交于点，连接并延长交轴于，连接，则的值为（　　） A. 7 B. 4 C. 3.5 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比函数与矩形，三角形面积的计算，掌握反比函数图形的性质，几何图形面积的计算是关键． 设，则，，，，运用待定系数法得到直线的解析式为，则，，由三角形面积的计算即可求解． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点的纵坐标为，则横坐标为，即，点的横坐标为，则纵坐标为，即， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，，即， ∴， ∴， 故选：C ． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的有意义的条件，直接利用二次根式的定义，得出，进而得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， 则， 解得：． 故答案为：． 10. 计算：___________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先通分，然后相加减求解即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 11. 若代数式的值与的值相等，则________． 【答案】， 【解析】 【分析】由代数式x2+4的值与-5x的值相等，可得x2+4=-5x，然后利用十字相乘法求解即可求得答案． 【详解】∵代数式+4的值与−5x的值相等， ∴+4=−5x， ∴+5x+4=0， 即(x+1)(x+4)=0， ∴x+1=0或x+4=0， 解得： =−1，=−4. 故答案为−1，−4. 【点睛】此题考查了因式分解法解一元二次方程.此题比较简单,注意掌握十字相乘法分解因式的知识是关键. 12. 某商店6月份的利润是元，要使8月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为________． 【答案】2500（1+x）2=3600 【解析】 【分析】如果设平均每月利润增长的百分率是x，那么7月份的利润是2500（1+x）元，8月份的利润是2500（1+x）2元，而此时利润是3600元，列出方程即可． 【详解】解：设平均每月利润增长的百分率是x，依题意，得 2500（1+x）2=3600． 故填：2500（1+x）2=3600． 【点睛】本题考查的是由实际问题抽象出一元二次方程-平均增长率问题．解决这类问题所用的等量关系一般是：增长前的量×（1+平均增长率）增长的次数=增长后的量． 13. 如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，，分别取，的中点，．测得，则A、B两地的距离为______m． 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．根据三角形中位线定理，计算即可． 【详解】解：∵点，分别为，的中点， ∴是的中位线 ∵， ∴， 故答案为：72． 14. 如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，根据菱形的性质得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵菱形的对角线、相交于， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，运用完全平方公式变形求值． 由题意可设，根据三角形面积公式得到，将代入一次函数解析式得到，求出，再求出，继而得到，最后再根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】解：由题意可设， ∵过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于， ∴， ∵在一次函数上， ∴， 上式减下式得：， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ∴， ∴，（舍）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴由得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 16. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，若，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作交于点，证明可求得，再证明可求出，再由证明，由相似三角形的性质即可获得答案． 【详解】解：过点作交于点，如下图， ∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴．∴． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了旋转的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本题的关键． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则，结合二次根式性质进行计算即可； （2）根据完全平方公式和二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程和分式方程的解法，熟练掌握方程的解法是关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【小问1详解】 解： ∴ ∴ 则， 解得， ∴． 【小问2详解】 去分母得到，， 解得 经检验是分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解； ， 当时，原式． 20. 方寸之间，一览千年．博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂．为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信．苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．．讲述博物馆馆藏文物的故事；．制作博物馆专题手抄报；．制作博物馆系列文创产品；．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是___________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，扇形对应的圆心角度数是___________； （3）若该校初二年级共有学生1500人，试估计参与和项目的学生共有多少人？ 【答案】（1）100，见详解 （2）54 （3）900 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、求扇形统计图的圆心角、利用样本估计总体等知识，通过扇形统计图和条形统计图获得所需信息是解题关键． （1）利用“参与项目学生人数所占百分比”，即可求得参与此次抽样调查的学生人数，再确定参与项目的学生人数，即可补画条形统计图； （2）利用“参与项目学生人数占比”，即可获得答案； （3）利用“该校初二年级学生总数参与和项目的学生人数占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：参与此次抽样调查的学生人数是（人）， 则参与项目的学生人数为（人）， 故可补画条形统计图，如下图所示： 故答案为：100； 【小问2详解】 在扇形统计图中，扇形对应的圆心角度数是． 故答案为：54； 【小问3详解】 （人）， ∴估计参与和项目的学生共有多少人． 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出的位似图形和，使得画出的图形与的相似比为． （2）在（1）的作图下，连接． ①直接写出四边形的形状． ②求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）①出四边形是菱形，理由见解析；② 【解析】 【分析】本题考查了作图—位似变换，，勾股定理的逆定理，菱形的判定与性质． （1）根据题意可得，分别求出点、的坐标和点、的坐标，然后描点即可； （2）①先证明是直角三角形，结合（1）中，即可得出结论；②利用菱形的面积公式即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意得， ∴， ∵点、在第一象限， ∴是的中点，是的中点， ∴、， ∵点、在第四象限， ∴点是的中点，是的中点， ∴、， 如图所示：和，为所求： 【小问2详解】 解：①如图所示：四边形是菱形，理由如下： 由（1）知， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴四边形是菱形； ②∵， ∴， ∴四边形的面积为． 22. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： （1）当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； （2）如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据图像经过点，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）当，根据图像经过的两点利用待定系数法确定函数的解析式，依题意列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：当睡眠时间少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数． 设这个反比例函数表达式为， 因为图像经过点，所以． 解得． 所以眼眼疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式为． 【小问2详解】 当时，设眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达方式为， 因为图像经过点和， 所以解得， 所以眼睛疲劳系数与睡眠时间之间的函数表达式是． 某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，，, 依题意：, 解得：或（舍去）． ∴． 【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，解题的关键是仔细读题，求出函数解析式． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 【答案】（1）见解析 （2）正整数或 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的判别式和解一元二次方程，记住一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立． （1）利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况即可； （2）首先利用因式分解法求出方程的两个解，然后根据题意求解即可． 【小问1详解】 证明：∵关于x的一元二次方程． ∴， ∴方程总有两个实数根； 【小问2详解】 解：， ， 或 ∴或， ∵方程的两个根均为整数， ∴是整数， ∴或， 则正整数或. 24. 已知：如图，矩形的对角线相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，．求矩形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的判定，等边三角形的性质与判定，勾股定理，熟知相关知识是解题的关键． （1）由矩形的性质可得，则可证明四边形是平行四边形，得到，据此可证明； （2）由矩形的性质得到，求出，则可证明是等边三角形，得到，，再由勾股定理得到，则． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 25. 直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B． （1）直接写出b＝　 　，m＝　 　； （2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为　 　； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）-4，5；（2） x＜﹣1或0＜x＜5；（3）存在，D的坐标是（6，0）或（20，0）． 【解析】 【分析】（1）把A的坐标分别代入一次函数与反比例函数的解析式，即可求得b和m的值； （2）根据图象即可直接写出，即反比例函数的图象在一次函数的图象上部的部分x的取值； （3）求得△OAB的边长，点D在x轴的正半轴上，可以分D在线段OC上（不在O点）或线段OC的延长线上两种情况讨论，依据相似三角形的对应边的比相等即可求得． 【详解】解：（1）把A（﹣1，﹣5）代入y＝x+b得：﹣5＝﹣1+b，解得：b＝﹣4． 把A（﹣1，﹣5）代入y＝，得：m＝（﹣1）（﹣5）＝5． 故答案是：﹣4，5； （2）解集为：x＜﹣1或0＜x＜5， 故答案是：x＜﹣1或0＜x＜5； （3）OA＝＝， 在y＝x﹣4中，令x＝0，解得y＝﹣4，则B的坐标是（0，﹣4）． 令y＝0，解得：x＝4，则C的坐标是（4，0）． 故OB＝4，AB＝＝，BC＝4，OC＝4． ∴OB＝OC，即△OBC是等腰直角三角形， ∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∠BCE＝135°． 过A作AF⊥y轴于点F．则△ABF是等腰直角△，∠ABF＝45°，∠ABO＝135°． 1）当D在线段OC（不与O重合）上时，两个三角形一定不能相似； 2）当D在线段OC的延长线上时，设D的坐标是（x，0），则CD＝x﹣4， ∠ABO＝∠BCD＝135°， 当△AOB∽△DBC时，＝，即＝， 解得：x＝6， 则D的坐标是（6，0）； 当△AOB∽△BDC时，，即＝， 解得：x＝20， 则D的坐标是（20，0）． 则D的坐标是（6，0）或（20，0）． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与相似三角形的判定与性质的综合应用，注意到∠ABO＝∠BCD＝135°是解本题的关键． 26. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则___________； （2）化简：___________；___________； （3）计算： 【答案】（1） （2）； （3） 【解析】 【分析】（）根据阅读材料的方法进行求解即可； （）分母有理化即可得答案； （）将每个加数分母有理化后相加，再进行乘法运算即可； 本题考查分母有理化及二次根式的混合运算，解题的关键是读懂阅读材料，运用“对偶式”进行分母有理化． 【小问1详解】 解：因为， 所以， 故答案为：； 【小问2详解】 解：； ； 故答案为：；； 【小问3详解】 解：原式 ． 27. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． （1）求、的长（用的代数式表示）； （2）如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； （3）若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）首先结合矩形的性质确定的长度，根据题意可知，，证明，结合相似三角形的性质即可获得答案； （2）过点作于点，易知，再证明，结合相似三角形的性质可得，进一步确定，根据点和点均在反比例函数的图像上，可得，整理可得，结合无论为何值时，反比例函数的图像始终同时经过点和点，可确定的值； （3）分点在线段上和当点在线段上两种情况讨论，结合菱形的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形，， ∴，， ∴， ∵动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 【小问2详解】 如下图，过点作于点， ∵动点的运动速度是每秒个单位长度， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵点和点均在反比例函数的图像上， ∴， 整理可得， ∵无论为何值时，反比例函数的图像始终同时经过点和点， ∴对于任意，均有成立， ∴，解得， 此时等号两边二次项系数，符合题意， ∴的值为； 【小问3详解】 根据题意，，由（1）（2）可知，，，，， ∴， 分情况讨论， 当点在线段上时， ①如下图，若， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴； ②若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； ③若，如下图，连接交于点， ∵四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴，， ∴； 当点在线段上时，如下图，只能是钝角三角形， 若使为顶点的四边形为菱形， 只能有， 此时， ∵， ∴，解得， ∴，，， 设， 则有，， 解得， ∴． 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、反比例函数的应用、相似三角形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 本卷由选择题、填空题和解答题组成，共27题，满分130分，调研时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、调研号等信息填写在答题卡相应的位置上， 2、答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签宇笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效；如需作图，先用铅笔画出图形、再用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑，不得用其他笔答题． 3．考生答题必须答在答题卡相应的位置上，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卡相应位置上） 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明的讲义袋里放了大小相同的试卷共12张，其中语文6张、数学4张、英语2张，他随机地从讲义袋中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四边形中，，添加下列条件后，不能判定四边形一定是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 6. 反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．求的值（ ） A. 2 B. C. 1 D. 没法求出 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，点是边上的一个点（不与、重合），过点的反比例函数图像交于点，连接并延长交轴于，连接，则的值为（　　） A. 7 B. 4 C. 3.5 D. 3 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 已知二次根式有意义，则x的取值范围是_________． 10. 计算：___________． 11. 若代数式的值与的值相等，则________． 12. 某商店6月份的利润是元，要使8月份的利润达到元，设平均每月利润增长的百分率为，则可列方程为________． 13. 如图，A、B两处被池塘阻隔，为测量A、B两地的距离，在地面上选一点C，连接，，分别取，的中点，．测得，则A、B两地的距离为______m． 14. 如图，菱形的对角线、相交于，点是的中点，连接，，则的长为___________． 15. 如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于、两点，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两条平行线相交于，且，则___________． 16. 如图，将绕点逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点，若，则的长为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共82分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 方寸之间，一览千年．博物馆不仅是展示一个国家和民族文化的重要窗口，更是进行国民教育、历史文化和艺术熏陶的重要课堂．为了让孩子们更好地触摸传统文脉，涵养文化自信．苏州某中学初二历史组开展了“与历史对话，与文化共鸣”的博物馆专题活动，共开展四个项目．．讲述博物馆馆藏文物的故事；．制作博物馆专题手抄报；．制作博物馆系列文创产品；．挑战知识问答游戏，要求学生每人只能参与一项．为了解学生参与情况，现随机抽取若干名学生进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：根据以上信息，解答下列问题： （1）参与此次抽样调查的学生人数是___________人，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，扇形对应的圆心角度数是___________； （3）若该校初二年级共有学生1500人，试估计参与和项目的学生共有多少人？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为（网格中每个小正方形的边长为1）． （1）以点为位似中心，分别在第一象限和第四象限画出的位似图形和，使得画出的图形与的相似比为． （2）在（1）的作图下，连接． ①直接写出四边形的形状． ②求四边形的面积． 22. 某项研究表明：人的眼睛疲劳系数与睡眠时间之间成函数关系，它们之间的关系如图所示．其中，当睡眠时间不超过4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的反比例函数；当睡眠时间不少于4小时（）时，眼睛疲劳系数是睡眠时间的一次函数，且当睡眠时间达到6小时后，眼睛疲劳系数为0．根据图像，回答下列问题： （1）当时，求眼睛疲劳系数关于睡眠时间之间的函数关系式； （2）如果某人睡眠了小时后，再连续睡眠了3小时，此时他的眼睛疲劳系数恰好减少了3，求的值． 23. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根均为整数，求正整数的值． 24. 已知：如图，矩形的对角线相交于点，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，．求矩形的面积． 25. 直线y＝x+b与双曲线y＝交于点A（﹣1，﹣5）．并分别与x轴、y轴交于点C、B． （1）直接写出b＝　 　，m＝　 　； （2）根据图象直接写出不等式x+b＜的解集为　 　； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D、C、B构成的三角形与△OAB相似？若存在，请求出D的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 定义：我们将与称为一对“对偶式”． 因为，可以有效的去掉根号，所以有一些题可以通过构造“对偶式”来解决． 例如：已知，求的值，可以这样解答： 因为， 所以． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答下列问题： （1）已知：，则___________； （2）化简：___________；___________； （3）计算： 27. 如图1，在平面直角坐标系中，矩形中，，动点从点出发沿向终点运动，同时动点从点出发沿对角线向终点运动．过点作，交于点，动点的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为秒，当点运动到点时，两点同时停止运动． （1）求、的长（用的代数式表示）； （2）如图2，当在的左侧时，若动点的运动速度是每秒个单位长度，无论为何值时反比例函数的图像始终同时经过点和点，求的值； （3）若动点的运动速度是每秒1个单位长度，在运动过程中，平面内是否存在这样一点，使为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出所有满足要求的的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $