精品解析：2025年重庆市南岸区八年级下学期期末数学试题

2024—2025学年度下期期末质量监测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列英文大写正体字母中，是中心对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 36 4. 下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A B. C D. 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. B. C. D. 7. 下面是某同学计算的解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 8. 如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 9. 对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（ ） A. B. C. 1 D. 3 10. 如图，在中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在边上，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，在中，，，， _________． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 13. 如图，在平面直角坐标系内，直线：与直线：相交，交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解集为______． 14. 如图，在中，D是的中点，，交于点E，连接AE．BF平分，交于点F．若，，则的长为______． 15. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 16. 如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 三、解答题：（本大题9个小题，第17至18题，每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 18. 如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中，画出向左平移9个单位得到的； （2）在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的； （3）在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 20. 先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． 21. 如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． （1）甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ （2）为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 23. 观察下列等式，归纳结论，并解决问题． （1）观察下列各式：，，，，……，归纳结论： ； （2）求证：任意两个奇数的平方差是8的倍数； （3）正整数a，b满足等式，且，求a，b的值． 24. 为推动蔬菜产业稳产保供与提质增效，发展蔬菜助农增收，同时让老百姓吃上放心、健康、新鲜的绿色蔬菜，某超市决定每天定量从金山坡村采购甲、乙两种蔬菜，经调查、协商，超市决定：甲种蔬菜进价为m元，售价为10元；乙种蔬菜进价为n元，售价为13元． （1）若采购甲种蔬菜120和乙种蔬菜80，共需要付款1360元；若采购甲种蔬菜150和乙种蔬菜75，共需要付款1500元．求m，n的值； （2）该超市决定每天采购甲、乙两种蔬菜共200，采购资金不多于1400元，且采购的甲种蔬菜不能超过102．如果采购的甲种蔬菜为（，且x为正整数），那么该超市每天有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，超市每天按甲、乙两种蔬菜获得最大利润的方案采购．超市为了与金山坡村开展持久的、双赢的合作机制，决定从售出甲、乙两种蔬菜的利润中抽取部分作为金山坡村蔬菜基地的基础建设．若从售出甲种蔬菜的利润中，每千克捐出元，从售出乙种蔬菜的利润中每千克捐出元，为保证每天捐款后甲、乙两种蔬菜总的利润率不低于，求a的最大值． 25. 在中，，M，N分别为，边上点（不与端点重合），且．若，将绕点M逆时针旋转，得到，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点A作，垂足为E，交于点F．猜想与存在的关系，并证明你的结论； （3）如图3，当，，D，M，N恰好在一条直线上时，若P是边上的一个动点，连接，，直接写出周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下期期末质量监测试题 八年级数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成； 4．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 下列英文大写正体字母中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，由此即可判断 【详解】解：A 、B、C中的图形不是中心对称图形， D中图形是中心对称图形，故D符合题意． 故选：D． 2. 在数轴上表示不等式的解集，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式解集在数轴上表示的方法是正确解答的前提．根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可． 【详解】解：不等式的解集，在数轴上表示为：     故选：B． 3. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，的中点E，并步测出的长约为18，由此估测A，B之间的距离约为（ ） A. 18 B. 24 C. 27 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果． 【详解】解：∵点D，E分别为的中点， ∴为的中位线， ∴； 故选：D． 4. 下列等式，由左边到右边的变形，是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查因式分解，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式，即可求解． 【详解】解：A. 左边为多项式，右边写成，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义，符合题意． B. 左边为乘积，右边展开为，属于整式乘法，而非因式分解，不合题意． C. 右边为，包含减法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． D. 右边为，包含加法运算，不是纯乘积形式，不符合因式分解，不合题意． 故选：A． 5. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 6. 解分式方程时，去分母后得到的整式方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的解法，去分母转化为整式方程的过程．解分式方程的关键是确定最简公分母并去分母，方程两边同乘公分母，即可转化为整式方程． 【详解】解：原方程为， 将分母变形为，原方程可改写为：， 确定最简公分母为，两边同乘，得：． 故答案选：C． 7. 下面是某同学计算解题过程． 解：① ② ③ ④ 上述解题过程，开始出现错误的一步是（ ） A ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简．该同学在分式加减运算过程中，第二步合并分子时符号处理错误，导致后续步骤均出现错误． 【详解】步骤①：将原式通分，正确， 原式中，，而可变形为， 通分后为，此处正确， 步骤②：合并分子时错误， 正确合并应为： 但该同学误将分子写为，导致错误， 步骤③、④：因步骤②错误，后续步骤均无效， 综上，错误首次出现在步骤②． 故选：B． 8. 如图，是某街心公园地面上的其中一个图案，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形．若这个正六边形的面积为9，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，平行四边形的判定与性质，正多边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，，再证明四边形是平行四边形，得出它们之间的面积关系，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 依题意，图案是由两种不同形状的三角形镶嵌而成的正六边形． ∴，， 即 ∴四边形是平行四边形， ∴ 数出整个正六边形共有8个阴影三角形，10个白色的三角形， 即 ∵这个正六边形的面积为9， ∴图中阴影部分的面积是， 故选：B 9. 对于实数a，b定义运算“※”，规定：，例如：．若关于x的不等式，有且只有两个正整数解，且m为整数，则所有满足条件的m的和为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查新定义运算，求一元一次不等式组的整数解．根据新定义运算将转化为，结合解的条件列关于m的不等式组，求出不等式组的解集，筛选符合条件的整数并求和即可． 【详解】解：根据“※”定义，不等式为 ， 解得 ， 有且只有两个正整数解， 正整数解为1，2， ， 解得， m为整数， ， 所有满足条件的m的和为， 故选：A． 10. 如图，在中，，．将绕点A顺时针旋转得到，点与点B是对应点，点与点C是对应点．若点恰好落在边上，连接，下列结论：①；②；③；④四边形是平行四边形．其中正确的结论是（ ） A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形性质与判定，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，先由等边对等角得到，再由三角形内角和定理得到；由旋转的性质可得，，，则可得到，则可证明，据此可得，进而可证明四边形是平行四边形，得到；再证明，可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∴四边形是平行四边形，故④正确； ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故③正确； 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，在中，，，， _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得出的长，再根据勾股定理即可求出． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理及含角的直角三角形的性质，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，30度角所对的直角边等于斜边的一半是解答此题的关键． 12. 一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少，则这个多边形的边数是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是，与边数无关．设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式与外角和定理列出方程，求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 根据题意，得， 解得． 故答案为：7． 13. 如图，在平面直角坐标系内，直线：与直线：相交，交点的横坐标为3，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到一次函数的图象在一次函数的图象下方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，直线：与直线：的交点的横坐标为3， ∴关于x的不等式的解集为， 故答案为：． 14. 如图，在中，D是的中点，，交于点E，连接AE．BF平分，交于点F．若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，中位线的性质，掌握中位线的性质是关键； 先得出，再利用中位线的性质求解即可 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵D是中点， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：2 15. 如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，勾股定理，设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b，根据正方形面积计算公式可得，则可得到，，进而得到，再根据正方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：设四个全等的直角三角形的短直角边的长为a，长直角边的长为b， ∵图1中大正方形的面积为20，小正方形的面积为4， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，对角线相交于点O，的平分线与交于点E，的平分线与交于点F．若，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，延长交于T，连接，由平行四边形的性质得到，，则，再由角平分线的定义可推出，证明，得到，导角证明；再由等边对等角得到，则，即可得到；由三线合一定理可得，，则可证明都是等腰直角三角形，进而可得，即，则，据此利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，延长交于T，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线与交于点E，的平分线与交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵平分， ∴，， ∴，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为；． 三、解答题：（本大题9个小题，第17至18题，每小题8分，其余每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握不等式的基本性质，去分母； 先分别求出每个不等式的解，然后求出不等式组的解，最后写出整数解 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解为：，整数解为： 18. 如图，在中，，垂足为D．请按要求完成以下作图与填空： （1）尺规作图：过点C作，垂足为E（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若，求证：是等腰三角形． 证明：∵，， ∴． 在和中， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】题考查尺规作图---作垂线，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定定理；掌握判断全等三角形是关键； （1）以点C为圆心，以任意长度为半径作弧，交线段于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长度为半径作弧，交于点K，连接并交线段于点E，即可完成作图； （2）先证明，从而得到，进而即可得到结论 【小问1详解】 【小问2详解】 证明：∵，， ∴． 在和中， ∵， ∴（）． ∴． ∴（等角对等边）． ∴ 是等腰三角形． 19. 如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为． （1）在图中，画出向左平移9个单位得到的； （2）在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的； （3）在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）见详解； （2）见详解； （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查图形与坐标，图形的平移与旋转， （1）把向左平移9个单位即可； （2）以点O为对称中心，画出各个顶点的对称点，顺次连线即可； （3）根据平行四边形的性质，画出图形，即可得到P的坐标 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图所示， 【小问3详解】 解：如图所示， 点P的坐标分别是 20. 先化简：，然后从中选择一个你认为合适的整数作为x的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式混合运算法则，先化简分式，再选择合适的x的值代入求解即可 【详解】解：原式 ， ∵，， ∴，， 当时， 21. 如图，在中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用AASAAS证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，进而即可得到结论； （2）连接，利用勾股定理先求出，进而即可求解． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 22. 打造美丽家园，治理污水是其中一项重要工作．某市为治理污水，需要铺设一段污水排放管道．甲施工队单独完成此项任务需要600天，乙施工队单独完成此项任务需要400天．乙施工队每天铺设污水排放管道的长度，比甲施工队每天铺设污水排放管道的长度多． （1）甲、乙两个施工队每天铺设污水排放管道的长度分别是多少米？ （2）为了尽早完成此项铺设污水排放管道的任务，该市最终选定了甲、乙、丙三个施工队同时完成此项任务．在实际施工时，每天铺设的污水排放管道的长度比原计划多，结果比原计划提前25天完成此项任务．实际每天铺设的污水排放管道的长度是多少米？ 【答案】（1）甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米 （2）48米 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，分式方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键． （1）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据两个工程队的总任务量相同建立方程求解即可； （2）设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米，根据实际比原计划提前25天完成此项任务建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：设甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为x米，则乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为米， 由题意得，， 解得， ∴， 答：甲施工队每天铺设污水排放管道的长度为10米，乙施工队每天铺设污水排放管道的长度为15米； 【小问2详解】 解：原计划每天铺设的污水排放管道的长度是y米，则实际每天铺设的污水排放管道的长度是米， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：实际每天铺设的污水排放管道的长度是48米． 23. 观察下列等式，归纳结论，并解决问题． （1）观察下列各式：，，，，……，归纳结论： ； （2）求证：任意两个奇数的平方差是8的倍数； （3）正整数a，b满足等式，且，求a，b的值． 【答案】（1）（）； （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，数字规律探索， （1）根据等式中数字规律，即可得到答案； （2）设两个奇数分别为，把他们的平方差写成因式分解形式即可得到答案案； （3）根据第（1）小题的结论，进行计算，可得，进而即可得到答案 【小问1详解】 解：，，，，……， （）； 【小问2详解】 证明：设两个奇数分别为， ∵ 当为奇数时，则为偶数，则是8的倍数， 当为偶数时，则为奇数，则是8的倍数， ∴任意两个奇数的平方差是8的倍数； 【小问3详解】 解：∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 24. 为推动蔬菜产业稳产保供与提质增效，发展蔬菜助农增收，同时让老百姓吃上放心、健康、新鲜的绿色蔬菜，某超市决定每天定量从金山坡村采购甲、乙两种蔬菜，经调查、协商，超市决定：甲种蔬菜进价为m元，售价为10元；乙种蔬菜进价为n元，售价为13元． （1）若采购甲种蔬菜120和乙种蔬菜80，共需要付款1360元；若采购甲种蔬菜150和乙种蔬菜75，共需要付款1500元．求m，n的值； （2）该超市决定每天采购甲、乙两种蔬菜共200，采购资金不多于1400元，且采购的甲种蔬菜不能超过102．如果采购的甲种蔬菜为（，且x为正整数），那么该超市每天有哪几种采购方案？ （3）在（2）的条件下，超市每天按甲、乙两种蔬菜获得最大利润的方案采购．超市为了与金山坡村开展持久的、双赢的合作机制，决定从售出甲、乙两种蔬菜的利润中抽取部分作为金山坡村蔬菜基地的基础建设．若从售出甲种蔬菜的利润中，每千克捐出元，从售出乙种蔬菜的利润中每千克捐出元，为保证每天捐款后甲、乙两种蔬菜总的利润率不低于，求a的最大值． 【答案】（1） （2）有3种采购方案，详见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组的实际应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）根据题意列二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列一元一次不等式组，求出x的整数解即可； （3）先计算出不同方案的利润，再根据总的利润率不低于列不等式，求出不等式的最大解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 化简得， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， x为正整数， 取100，101，或102， 有3种采购方案，分别为： 采购甲种蔬菜，乙种蔬菜； 采购甲种蔬菜，乙种蔬菜； 采购甲种蔬菜，乙种蔬菜； 【小问3详解】 解：方案利润为：（元）， 方案利润为：（元）， 方案利润为：（元）， ， 方案利润最大，即采购甲种蔬菜，乙种蔬菜， 由题意得， 解得， a的最大值为． 25. 在中，，M，N分别为，边上的点（不与端点重合），且．若，将绕点M逆时针旋转，得到，连接，． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点A作，垂足为E，交于点F．猜想与存在的关系，并证明你的结论； （3）如图3，当，，D，M，N恰好在一条直线上时，若P是边上的一个动点，连接，，直接写出周长的最小值． 【答案】（1）见详解 （2），证明见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）结合旋转的性质以及邻补角性质得，结合，证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，结合等腰直角三角形的判定与性质以及进行角的等量代换得，证明，再根据内错角相等两直线平行得，然后证明四边形是平行四边形，即可作答． （3）与（1）同理证明，在取点，连接，使得，作点M关于的对称点，连接， ，整理得出，故，运用勾股定理算出，再证明三点共线，则当点运动点处，得周长的最小值，再列式进行计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵将绕点M逆时针旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点M逆时针旋转，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． 小问3详解】 解：∵，将绕点M逆时针旋转， ∴， ∴， ∵D，M，N恰好在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在取点，连接，使得，作点M关于的对称点，连接， ，如图所示： ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 则 ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴ 即三点共线， ∴当点运动点处，得周长的最小值 则 ∴ 故周长的最小值 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$