精品解析：河南省郑州市新郑市2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

新郑市2024—2025学年下学期学业质量评价试卷 七年级 数学 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在当今数字化、全球化时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 中国科学院近日宣布，我国科学家利用嫦娥六号采回的月球背面样品，首次获得了月球背面月幔的水含量：小于2微克/克．该结果为认识月幔水的时空演化提供了新认知．2微克克，把数0.000002用科学记数法表示，记为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 4. 下列运算正确是（ ） A. B. C. D. 5. 王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 6. 若，则代数式A等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，A，B，C，D在同一条直线上，，，在下列条件中，不能使与全等的是（ ） A. B. C. D. 8. 正方形网格中，网格线交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 9. 若 是正整数，且满足则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则__________． 12. 若将含有45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式叠放在一起，，则的度数为__________°． 13. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则______． 14. 有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ______． 15. 如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； （3）在直线上找一点P，使的周长值最小． 19. 图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． 如图， ，数学课上，老师请同学们根据图形的特征添加一个条件，使得 ，并给出说明过程． 小丽添加的条件：．请你帮小丽将下面的说明过程补充完整． 解：∵ （ 已知 ）， ∴① _______（② ）， ∴ ③ _______（ ④ ）， ∵（已知）， ∴⑤ _______（⑥ ）， ∴（等量代换 ）． 20. 为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： （1）小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； （2）请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 21. 王老师把两个同样大小的含角的三角尺如图那样放置，，与交于点M． （1）小宇通过观察、度量猜想，请你说明理由； （2）尺规作图是理论上接近完美的作图方式，爱思考的小宇进一步研究发现，利用尺规作图便能作出的高线，请你用无刻度的直尺和圆规作的高线 （要求：不写作法，保留作图痕迹）； （3）你发现此时与的数量关系是 ，并说明理由． 22. 实验证实：在弹簧的弹性限度内，弹簧的长度（厘米）随所挂物体质量（千克）的变化而变化．某兴趣小组为探究一弹簧的长度（厘米）与所挂物体质量（千克）之间的关系，进行了次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有同学发现一个数据有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第次 第次 第次 第次 第次 第次 所挂物体质量 / 千克 弹簧的长度/ 厘米 （1）此项实验中， 是自变量， 是因变量 ． （2）你认为表中第 次数据中的值是错误的？正确的值是 ． （3）写出与之间的关系式．并求出当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量． （4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为 ． 23. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新郑市2024—2025学年下学期学业质量评价试卷 七年级 数学 注意事项： 本试卷共6页，三个大题，23个小题，满分120分，考试时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 在当今数字化、全球化的时代，AI已成为各国竞争力的重要标志．下列AI大模型标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键．根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. 是轴对称图形，故该选项符合题意； B. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； C. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； D. 不是轴对称图形，故该选项不符合题意； 故选：A． 2. 中国科学院近日宣布，我国科学家利用嫦娥六号采回的月球背面样品，首次获得了月球背面月幔的水含量：小于2微克/克．该结果为认识月幔水的时空演化提供了新认知．2微克克，把数0.000002用科学记数法表示，记为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．用科学记数法表示绝对值小于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 【详解】解：把数0.000002用科学记数法表示为：， 故选：D． 3. 如图，三个含的直角三角尺拼成一个图形，下列条件能判定的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键； 根据平行线的判定定理，逐一判定选项即可求解 【详解】A、， ，不满足题意； B、， ，满足同意； C、， ，不满足题意； D、， ，不满足题意； 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、负整数指数幂、完全平方公式、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据合并同类项、负整数指数幂、完全平方公式、同底数幂的除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 5. 王师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，其中的常量是（ ） A. 金额 B. 数量 C. 单价 D. 金额和数量 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：C． 6. 若，则代数式A等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式将等号右边写成，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解题的关键． 7. 如图，A，B，C，D在同一条直线上，，，在下列条件中，不能使与全等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明，再结合与添加的条件逐一分析即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， A选项：添加，不能判定与全等，符合题意； B选项：添加， ∴， ∴利用能判定与全等，不符合题意； C选项：添加， ∴，可以用判定与全等，不符合题意； D选项：添加，可以用判定与全等，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了添加条件判断三角形全等，熟记全等三角形的判定方法，并灵活应用是解本题的关键． 8. 正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为等腰三角形的格点C的个数是（　） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 8个 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义及结合题意可进行求解． 【详解】解：由题意可知△ABC为等腰三角形的格点C的情况如图示： ∴满足情况的C点个数为6个； 故选C． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的定义，熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键． 9. 若 是正整数，且满足则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂相乘和幂的乘方，将题目中的加法与乘法表达式转化为指数形式后，通过底数相同指数相等的性质建立方程求解． 【详解】解：左边为个相加，即，右边为个相乘，即， 将左边变形：， 右边变形为：， ∴方程可化简为：， 由于底数相同，指数相等，得：， 故选：D． 10. 如图，正方形的边长为4，动点从点出发沿折线做匀速运动，设点运动的路程为，的面积为，下列图象能表示与之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段求出函数关系式，再观察图象可得答案． 【详解】解：当在上，即时，，当时，； 当在上，即时，， 当在上，即时，； 观察4个选项，符合题意的为D； 故选D 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是分段求出函数关系式． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若，则__________． 【答案】12 【解析】 【分析】本题主要考查了逆用同底数幂乘法法则、代数式求值等知识点，灵活逆用同底数幂乘法法则是解题的关键． 逆用同底数幂乘法法则可得，然后将代入求值即可． 【详解】解：． 故答案为：12． 12. 若将含有45°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式叠放在一起，，则的度数为__________°． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平行线的性质解答即可． 本题主要考查了平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 【详解】如图， ， ， ， ． 故答案为：15 13. 如图，在中，，的垂直平分线交边于点，交边于点．若与的周长分别是、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质得，，，进而由的周长是可得，再根据的周长是得到，进而即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵周长是， ∴， ∴， 即， 又∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 有四条线段，长度分别是，从中任取三条线段能组成三角形的概率是 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用列举法求概率，根据题意列举出所有的情况，找出能组成三角形的结果，进而根据概率公式计算即可求解． 【详解】解：所有情况有：；；；，共种， 其中能组成三角形的情况有种， ∴任取三条线段能组成三角形的概率是， 故答案为：． 15. 如图，中，，，，D为斜边上不与端点A、B重合的一动点，过点D作，垂足为E，将沿翻折，点A的对应点为点F，连接．若为等腰三角形，则的长为________． 【答案】或． 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一的性质是解题关键．由题意可知，是等腰直角三角形，则，由折叠的性质可知，，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，再根据点的分为分两种情况分别求解即可． 【详解】解：，为等腰三角形， 是等腰直角三角形， ， 由折叠的性质可知，， ， ， 如图1，当点在上时，，则； 如图2，当点在的延长线上时，，则； 综上可知，的长为或 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用负整数指数幂、零指数幂及乘方的定义运算，再相加减即可； （）先进行积的乘方运算，再根据单项式除以单项式的运算法则计算即可； 本题考查了实数的混合运算，单项式除以单项式，掌握实数和整式的运算法则是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算化简求值，先根据单项式乘以单项式的运算法则、平方差公式和完全平方公式展开，再合并同类项，然后把的值代入到化简后的结果中计算即可求解，掌握整式的运算法则和乘法公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 18. 如图，在正方形网格上有一个． （1）画关于直线的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则的面积为 ； （3）在直线上找一点P，使的周长值最小． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称变换、轴对称的性质、勾股定理、求三角形面积等知识，正确理解轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点的位置，然后顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接交于点，结合轴对称的性质可知此时的周长，取最小值，即可获得答案． 【小问1详解】 解：如下图，即为所求； 【小问2详解】 ． 故答案为：； 【小问3详解】 如下图，连接交于点， 由轴对称的性质，可得， ∴的周长， 此时的周长取最小值， ∵，， ∴， ∴的周长取最小值为． 19. 图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比． 如图， ，数学课上，老师请同学们根据图形的特征添加一个条件，使得 ，并给出说明过程． 小丽添加的条件：．请你帮小丽将下面的说明过程补充完整． 解：∵ （ 已知 ）， ∴① _______（② ）， ∴ ③ _______（ ④ ）， ∵（已知）， ∴⑤ _______（⑥ ）， ∴（等量代换 ）． 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质证明即可． 【详解】解：∵（已知 ）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∴（等量代换 ）， 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；两直线平行，同位角相等． 20. 为响应生态文明，增强居民环保意识，某社区举办“绿色生活”问答赛，答对道以上题目的居民可参与如图①的自由转盘抽奖（指针指向边界需重新转）．请根据以上信息，完成下列问题： （1）小远在此次问答赛中共答对道题目，他转到环保购物袋的概率是 ； （2）请你重新设计一种转盘抽奖方案，使得最后抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ，要求奖项包含内容同图①．你可以写出设计方案，也可以在图②中画出具体设计方法（标清楚具体奖项名称）． 【答案】（1） （2）设计方法见解析 【解析】 【分析】本题考查了几何概率，掌握概率计算方法是解题的关键． （）用环保购物袋所在扇形的圆心角度数除以即可求解； （）根据概率求出各奖项所在扇形圆心角的度数，进而画出设计方法即可； 【小问1详解】 解：环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴他转到环保购物袋的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵抽到环保卫士徽章、节能台灯和环保购物袋的概率分别为 ， ∴环保卫士徽章所在扇形圆心角的度数为， 节能台灯所在扇形圆心角的度数为， 环保购物袋所在扇形的圆心角度数为， ∴谢谢参与所在扇形的圆心角度数为， ∴设计方法如图所示： 21. 王老师把两个同样大小的含角的三角尺如图那样放置，，与交于点M． （1）小宇通过观察、度量猜想，请你说明理由； （2）尺规作图是理论上接近完美的作图方式，爱思考的小宇进一步研究发现，利用尺规作图便能作出的高线，请你用无刻度的直尺和圆规作的高线 （要求：不写作法，保留作图痕迹）； （3）你发现此时与数量关系是 ，并说明理由． 【答案】（1）利用见解析； （2）作图见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查尺规作图过直线外一点作高，等腰三角形的判定，角平分线的性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． （1）利用等角对等边即可得； （2）由，分别以、为圆心，大于作弧，在下方交于点，连接交于点，即为所求作； （3）先证明，再利用角平分线性质即可证． 【小问1详解】 解：∵， ∴利用等角对等边可得； 【小问2详解】 解：如图，即所求作： 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 22. 实验证实：在弹簧的弹性限度内，弹簧的长度（厘米）随所挂物体质量（千克）的变化而变化．某兴趣小组为探究一弹簧的长度（厘米）与所挂物体质量（千克）之间的关系，进行了次测量．如表为测量时所记录的一些数据．在数据分析中，有同学发现一个数据有错误，重新测量后，证明了他的猜想正确，并修改了表中这个数据． 第次 第次 第次 第次 第次 第次 所挂物体质量 / 千克 弹簧长度/ 厘米 （1）此项实验中， 是自变量， 是因变量 ． （2）你认为表中第 次数据中的值是错误的？正确的值是 ． （3）写出与之间的关系式．并求出当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量． （4）若某同学在测量时第一次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为；第二次所挂物体的质量为，记录对应的弹簧长度为，当时，的值为 ． 【答案】（1）， （2）， （3），千克 （4） 【解析】 【分析】（）根据题意即可求解； （）观察表中数据，发现规律即可得解； （）根据（）所得规律可写出与之间的关系式，进而把代入计算可求出所挂物体的质量； （）写出的关系式，再相减即可求解； 本题考查了一次函数的应用，由表格数据发现变量之间的变化规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：此项实验中，所挂物体质量 是自变量，弹簧的长度是因变量， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：观察表中数据，发现每增加，增加， ∴表中第次数据是错误，正确的值是， 故答案为：，； 【小问3详解】 解：∵每增加，增加， ∴， 即与之间的关系式为， 当时，， 解得， ∴当弹簧长度为厘米时，所挂物体的质量为千克； 【小问4详解】 解：由题意得，，， ∴， 故答案为：． 23. 【初步思考】 （）如图，在四边形中，，，分别是边上的点，且．求证：． 小文发现此题是证明线段的和（差）问题，联想到近期所学过的转化的问题解决策略，找到证明此类题型的常见方法，于是就有了如下的思考过程：请你在下面的框图中填空帮他补全证明思路． 第一步：延长至点，使，连接，易证， 得出① ，． 第二步：，，得出， 所以，即 ② ． 第三步：易证，得出 ③ ，因为④ ， 所以． 【探究迁移】 （）如图，由特殊到一般：把（）中变换为，其余条件不变，爱思考的小文发现仍然成立，请你类比上面“延长、证全等”的方法写出证明过程． 【拓展应用】 （）如图，四边形是边长为的正方形，，则的周长为 ． 【答案】（），，，；（）仍然成立，理由见解析；（） 【解析】 【分析】（）延长至点，使，连接，可证明，得， ，再证明，进而证明，得，由 可得，即可求证； （）延长到点，使，连 接，同理（）证明即可； （）延长到点，使，连接， 同理（）可证，得到，即得，即得到，即可求解； 本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，补角性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（）证明：如图，延长至点，使，连 接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，，，； （）仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连 接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴（）中的结论仍然成立； （）如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是边长为的正方形， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 的周长为， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$