1.2任意角讲义-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第二册

授课主题 1.2任意角 知 识 梳 理 一．任意角 1．角的定义及分类 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. (3)角的分类 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 注意：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 二．象限角与终边相同的角 1. 象限角与终边相同的角 (1)象限角：把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 k有三层含义 ①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角． ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)． ③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． 2．象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3．轴线角的集合表示 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 例题讲解 考点一 与任意角有关的概念辨析 例1、下列选项正确的是(    ) A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 例2、下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。其中正确的结论为________。 例3、每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(    ) A． B． C． D． 考点二 终边相同的角 例1、下列各角中，与 角终边相同的角是(    ) A． B． C． D． 例2、在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 例3、已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式． （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于x轴对称； （3）、的终边关于y轴对称． 考点三 象限角和区间(域)角 例1、写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    例2、已知是锐角，则错误的是(    ) A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 例3、若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。 举一反三 1．(多选)下列说法错误的是(    ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角 2．(多选)下列说法，不正确的是(    ) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 3．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 4.（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？ （2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？ 5．与405°角终边相同的角是(    ) A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z 6．与角终边相同的角可表示为(    ) A． B． C． D． 7．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 8.已知=－1910°。 （1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。 9.已知是任意角，则与的终边（ ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 10．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(    ) A．   B．   C．   D．   11．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    12．写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   13．(1)如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          (2)已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 14．若是第二象限角，则(    ) A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 15.（1）已知是第三象限角，求是第几象限角； （2）已知是第二象限角，求是第几象限角。 课 后 作 业 1．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 2．610°是（ ） 第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 3．已知为第三象限角，则为第(    )象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 4．下列说法正确的是(    ) A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 5．若角与终边相同，则一定有（ ） A． B． C．，k∈Z D．，k∈Z 6.(多选)与角终边相同的角的集合是(    ) A． B． C． D． 7．与终边相同的最小正角是 ． 8．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为 ．    学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 1.2任意角 知 识 梳 理 一．任意角 1．角的定义及分类 (1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点O. (3)角的分类 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 注意：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 二．象限角与终边相同的角 1. 象限角与终边相同的角 (1)象限角：把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限. (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和 k有三层含义 ①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角． ②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身)． ③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数．k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k＝0时，没有转动． 2．象限角的集合表示 象限角 象限角α的集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°＋270°<α<k·360°＋360°，k∈Z} 3．轴线角的集合表示 角α终边的位置 角α的集合表示 在x轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°，k∈Z} 在x轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋180°，k∈Z} 在y轴的非负半轴上 {α|α＝k·360°＋90°，k∈Z} 在y轴的非正半轴上 {α|α＝k·360°＋270°，k∈Z} 在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z} 在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z} 在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z} 例题讲解 考点一 与任意角有关的概念辨析 例1、下列选项正确的是(    ) A．终边落在第一象限的角为锐角 B．锐角是第一象限的角 C．第二象限的角为钝角 D．小于的角一定为锐角 【答案】B 【解析】对于A，终边落在第一象限的角不一定是锐角，如的角终边位于第一象限，但不是锐角，A错误；对于B，锐角是之间的角，终边位于第一象限，是第一象限角，B正确；对于C，终边落在第二象限的角不一定是钝角，如的角的终边位于第二象限，但不是钝角，C错误；对于D，小于的角不一定是锐角，如的角小于，但不是锐角，D错误. 例2、下列结论： ①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角是钝角；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角。其中正确的结论为________。 【答案】② 【解析】 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确。 ②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确。 ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确。 ④480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以④不正确。 ⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确。 例3、每周一的早晨，我们都会在学校的操场上举行升国旗仪式，一般需要10分钟．这10分钟的时间，钟表的分针走过的角度是(    ) A． B． C． D． 【解析】分针是顺时针走的，形成的角度是负角，又分针走过了10分钟， 走过的角度大小为，综上，分针走过的角度是．故选：D． 考点二 终边相同的角 例1、下列各角中，与 角终边相同的角是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对选项A，，故A错误. 对选项B，因为，故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，，故D错误. 例2、在与10030°角终边相同的角中，求满足下列条件的角。 （1）最大的负角；（2）360°～720°内的角。 【答案】（1）―50°（2）670° 【解析】 （1）与10030°角终边相同的角的一般形式为=k·360°+10030°（k∈Z），由－360°＜k·360°+10030°≤0°，得－10390°＜k·360°≤－10030°，解得k=―28，故所求的最大负角为=―50°。 （2）由360°≤k·360°+10030°＜720°，得－9670°≤k·360°＜―9310°，解得k=―26。故所求的角为=670°。 【总结】把任意角化为+k·360°（k∈Z且0°≤＜360°）的形式，关键是确定k。可以用观察法（的绝对值较小），也可用竖式除法。 例3、已知、的终边有下列关系，分别求、间的关系式． （1）、的终边关于原点对称； （2）、的终边关于x轴对称； （3）、的终边关于y轴对称． 【答案】（1）（2）+=k·360°（3）+=(2k+1)·180° 【解析】 （1）由于、的终边互为反向延长线，故、相差180°的奇数倍（如下图①），于是（k∈Z）． （2）由于与－的终边相同（如下图②），于是=－+k·360°，即+=k·360°（k∈Z）． （3）由于－的终边与的终边互为反向延长线（如下图③），故－(－)=(2k+1)·180°，即+=(2k+1)·180°（k∈Z） 【总结】 首先在0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完整答案． 考点三 象限角和区间(域)角 例1、写出终边在下图所示的直线上的角的集合．    【答案】(1)；(2) 【解析】(1)由题图易知，在范围内，终边在直线上的角有两个，即和， 因此，终边在直线上的角的集合为 ； (2)同理可得终边在直线上的角的集合为， 终边在直线上的角的集合为 ， 所以终边在直线上和在直线上的角的集合为 例2、已知是锐角，则错误的是(    ) A．是第三象限角 B．是小于的正角 C．是第一或第二象限角 D．是锐角 【答案】C 【解析】由题知，因为是锐角，所以，对于A：所以，故A选项正确； 对于BC：，故B选项正确，C选项错误；对于D：，故D选项正确； 例3、若是第二象限角，试分别确定，，的终边所在的位置。 【答案】第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限或第四象限的角 【解析】 因为是第二象限的角，所以k·360°+90°＜＜k·360°+180°（k∈Z）。 （1）因为2k·360°+180°＜＜2k·360°+360°（k∈Z），故是第三、第四象限的角或角的终边在y轴的负半轴上。 （2）因为k·180°+45°＜＜k·180°+90°（k∈Z），当k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜＜n·360°+90°；当k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜＜n·360°+270°（k∈Z），所以是第一或第三象限的角。 （3）因为k·120°+30°＜＜k·120°+60°（k∈Z）。当k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜＜n·360°+60°；当k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜＜n·360°+180°；当k=3n+2（n∈Z）时，n·360°+270°＜＜n·360°+300°，所以是第一或第二象限或第四象限的角。 【总结】已知的范围，确定的范围，一般应先将的范围用不等式表示，然后再两边同除以n，根据k的取值进行分类讨论，以确定的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角应引起注意。 举一反三 1．(多选)下列说法错误的是(    ) A．终边与始边重合的角是零角 B．终边与始边都相同的两个角一定相等 C．小于90°的角是锐角 D．若，则是第三象限角 【答案】ABC 【解析】对于A. 终边与始边重合的角的集合为,故A错误， 对于B，终边与始边都相同的两个角不一定相等，比如的终边和始边相同，但两个角不相等，故B错误， 对于C，锐角为的角，所以小于90°的角不一定是锐角，故C错误， 对于D，，则是第三象限角，故D正确， 故选：ABC 2．(多选)下列说法，不正确的是(    ) A．三角形的内角必是第一、二象限角 B．始边相同而终边不同的角一定不相等 C．钝角比第三象限角小 D．小于180°的角是钝角、直角或锐角 【答案】ACD 【解析】由题意，A中，90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故A错误； B中，始边相同而终边不同的角一定不相等，故B正确； C中，钝角大于的角，而的角是第三象限角，故C错误； D中，零角或负角小于，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故D错误．故选：ACD. 3．给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③的角是第一象限的角；④小于的角是钝角、直角和锐角.其中错误的序号是 . 【答案】②③④ 【解析】①终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差的整数倍，故正确； ②角是第一象限角，角是第二象限角，，故错误； ③的角是指大于等于小于的角，其中角不是象限角，故错误； ④小于的角还包括零角和负角，故错误； 故答案为：②③④ 4.（1）一个角为30°，其终边按逆时针方向旋转三周后的角度是多少？ （2）时钟走了3小时20分，则分针所经过的角的度数为多少？时针所转过的角的度数是多少？ 【答案】（1）1110°（2）－1200° －100° 【解析】（1）终边按逆时针方向旋转三周，转过的角为360°×3=1080°，再加上原来的角度30°，所以旋转后的角是1110°。 （2）时针、分针都是顺时针方向旋转，故所转过的角度数为负值。3小时20分，分针转了周，故转过的角度数为－360°×=－1200°，时针转了周，故转过的角度数为－360°×=－100°。 5．与405°角终边相同的角是(    ) A．k·360°－45°，k∈Z B．k·180°－45°，k∈Z C．k·360°＋45°，k∈Z D．k·180°＋45°，k∈Z 【答案】C 【解析】∵405°＝360°＋45°，∴与405°终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.故选：C 6．与角终边相同的角可表示为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，角与角的终边相同， 与角终边相同的角可表示为.故选：B. 7．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，作出下列各角，指出它们是第几象限角，并指出在范围内与其终边相同的角． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)，第一象限角 (2)，第四象限角 (3)，第二象限角 (4)，第三象限角 【解析】(1)   角是第一象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； (2)     角是第四象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； (3)     角是第二象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； (4)   角是第三象限角，，所以在范围内，与角终边相同的角是角； 综上，(1)第一象限，与角终边相同，(2)第四象限，与角终边相同，(3)第二象限，与角终边相同，(4)第三象限，与角终边相同. 8.已知=－1910°。 （1）把写成（k∈Z，0°≤＜360°）的形式，指出它是第几象限的角。 （2）求，使与的终边相同，且－720°≤≤0°。 【答案】（1）－6×360°+250° 第三象限的角（2）－470° 【解析】（1）∵－1910°÷360°=－6余250°，∴－1910°=－6×360°+250°， 相应的=250°，从而=－6×360°+250°是第三象限的角。 （2）令=250°+k·360°（k∈Z），取k=―1，―2就得到满足―720°≤≤0°的角； 250°－360°=－110°，250°－720°=－470°。 9.已知是任意角，则与的终边（ ） A．关于坐标原点对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】 B 10．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(    ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】当时，， 当时，,所以选项C满足题意.故选：C. 11．用弧度表示终边落在如图所示的阴影部分内(不包括边界)的角的集合.    【答案】(1)；(2) 【解析】(1)； (2) . 12．写出终边落在图中阴影区域内的角的集合． (1)   (2)   【答案】(1) (2) 【解析】(1)在范围内，图中终边在第二象限的区域边界线所对应的角为，终边在第四象限的区域边界线所对应的角为， 因此，阴影部分区域所表示的集合为； (2)图中从第四象限到第一象限阴影部分区域表示的角的集合为， 图中从第二象限到第三象限阴影部分区域所表示的角的集合为 ， 因此，阴影部分区域所表示角的集合为 . 13．(1)如图，阴影部分表示角的终边所在的位置，试写出角的集合．          (2)已知角，将改写成的形式，并指出是第几象限角． 【答案】(1)答案见解析；(2)；是第一象限角． 【解析】(1)① ； ②． (2)∵，∴． 又，所以与终边相同，是第一象限角． 14．若是第二象限角，则(    ) A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第三象限角或是第四象限角或的终边在y轴负半轴上 【答案】BD 【解析】因为是第二象限角，所以可得． 对于A，，则是第三象限角，所以A错误; 对于B，可得，当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．所以B正确; 对于C，，即，所以是第一象限角，所以C错误; 对于D，，所以的终边位于第三象限或第四象限或y轴负半轴上，所以D正确． 故选：BD． 15.（1）已知是第三象限角，求是第几象限角； （2）已知是第二象限角，求是第几象限角。 【答案】（1）第二或第四象限角（2）第一、第三或第四象限角 【解析】（1）由下图（左）可知是第二或第四象限角。 （2）由下图（右）可知是第一、第三或第四象限角。 课 后 作 业 1．在平面直角坐标系中，以下命题中所表述的角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角. ①小于的角一定是锐角；     ②第二象限的角一定是钝角； ③终边重合的角一定相等；     ④相等的角终边一定重合. 其中真命题的个数是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】对于①，的角是小于的角，但不是锐角，所以①错误， 对于②，的角是第二象限的角，但不是钝角，所以②错误， 对于③，的角和的角终边相同，但不相等，所以③错误， 对于④，因为角都是顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合的角，所以若角相等，则终边一定重合，所以④正确， 所以真命题的个数是1， 故选：A 2．610°是（ ） 第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解析】 610°=360°+250°，250°是第三象限的角． 3．已知为第三象限角，则为第(    )象限角. A．二或四 B．三或四 C．一或二 D．二或三 【答案】A 【解析】因为为第三象限角， 所以 所以 当为偶数时，记, 所以 所以为第二象限角， 当为奇数时，记, 所以 所以为第四象限角， 所以为第二或第四象限角， 故选:A. 4．下列说法正确的是(    ) A．第一象限角一定是锐角 B．终边相同角一定相等 C．小于90°的角一定是锐角 D．钝角的终边在第二象限 【答案】D 【解析】对于A，第一象限角是，第一象限角不一定是锐角，故A错误； 对于B，终边相同角不一定相等，它们可能差，故B错误； 对于C，小于90°的角不一定是锐角，也可能是零角或者负角，故C错误； 对于D，钝角是大于90°且小于180°的角，故D正确； 故选：D. 5．若角与终边相同，则一定有（ ） A． B． C．，k∈Z D．，k∈Z 【答案】C 【解析】终边相同的角一定相差360°的整数倍． 6.(多选)与角终边相同的角的集合是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】与终边相同的角可写为：， ，，， 与角终边相同的角的集合为：，A正确；，C正确. 故选：AC. 7．与终边相同的最小正角是 ． 【答案】 【解析】 8．如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为 ．    【答案】． 【解析】由图，阴影部分下侧终边相同的角为，上侧终边相同的角为且， 所以阴影部分(包括边界)的角的集合为. 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 $$