重难点培优09 利用洛必达法则解决导数问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优09 利用洛必达法则解决导数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 洛必达法则的直接应用（★★） 2 题型二 利用洛必达法则解决函数综合问题（★★★★） 5 03 实战检测・分层突破验成效 7 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 14 一、洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 题型一 洛必达法则的直接应用 【技巧通法·提分快招】 遇到 “” 型极限，直接用洛必达法则，对分子分母分别求导，再算极限，直到能算出结果。 1．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 ，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据洛必达法则求解即可. 【详解】. 故选：B 2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 【答案】A 【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可. 【详解】由题意可得 ， 故选：A. 3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ． 【答案】 【分析】由洛必达法则，分别对分子和分母求导，代入即可求得该极限值. 【详解】由题意可得：． 故答案为：. 4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 【答案】(1)不是区间上的2阶无穷递降函数； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义即可判断； （2）通过构造，再结合即可得到结果； （3）通过换元令令，则原不等式等价于，再通过构造函数，根据题干中函数为区间上的k阶无穷递降函数的定义证出，即可证明结论. 【详解】（1）设， 由于， 所以不成立， 故不是区间上的2阶无穷递降函数. （2）设，则， 设， 则， 所以，得. （3）令，则原不等式等价于， 即证， 记，则， 所以， 即有对任意，均有， 所以， 因为， 所以， 所以，证毕! 【点睛】方法点睛：利用函数方法证明不等式成立问题时，应准确构造相应的函数，注意题干条件中相关限制条件的转化. 题型二 利用洛必达法则解决函数综合问题 【技巧通法·提分快招】 函数综合题（如恒成立、存在性）里，出现 “” 型，用洛必达法则求极限，分析函数趋势、最值，结合导数研究单调性，解决参数范围、零点等问题。 1．已知 恒成立, 求 的取值范围 解: 记 , 则 则 所以, 在 单调递增, 且 所以 时, 时, 即 在 上单调递减, 在 上单调递增 所以 所以 分析 上式中求 用了洛必达法则 当 时, 分子 , 分母 , 符合 不定形式, 所以 2． 恒成立, 求的取值范围 解: 记 , 则 则 所以, 当 时, 单调递减, 所以 即 所以 所以 所以 3． 恒成立, 求 的取值范围 解: 记 , 则 记 则 所以, 在 单调递增, 所以 所以, 在 单调递增, 所以 即在 上 , 所以 在 上单调递增 所以 所以 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用当时，，等量代换，以及洛必达法则即可求解； （2）利用当时，，，等量代换，以及洛必达法则即可求解； （3）利用洛必达法则即可求解； 【详解】（1）原式. 说明：当时，，，sin x∽x. （2）原式洛必达法则； 说明：当时，，，. （3）令，则原式洛必达法则洛必达法则． 2．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 【答案】 【分析】由题设有在上恒成立，构造函数并利用导数研究单调性、洛必达法则求右侧的极限，即可得参数范围. 【详解】当时，原不等式等价于. 记，则. 记，则. 因为，， 所以在上单调递减，且， 所以在上单调递减，且. 因此在上单调递减，且， 故，因此在上单调递减. 由洛必达法则有， 即趋向于0时，趋向，即有. 故时，不等式对于恒成立. 3．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 【答案】(1)1 (2)证明见详解 (3)证明见详解 【分析】（1）分析出要使函数有意义，须满足，再分和解不等式组即可求出m的值； （2）先求出，构造函数，借助导数研究其单调性及最值，得到，而不在函数的定义域内，即可得证； （3）由（2）推出在上单调递减，再由洛必达法则求出和时的极限值，即时的值域，即可得证. 【详解】（1）要使函数有意义，须满足， 若，解得，不符合题意，舍去； 若，解得， 因为函数的定义域为， 所以，解得； （2）由（1）知，， 所以， 令， 所以 ， 因为在上是单调递增的， 所以当时， ，，在上单调递增； 当时， ，，在上单调递减， 所以在处取得极大值，即， 但是不在函数的定义域内， 因此在定义域内没有零点，即不存在极值点； （3）由（2）知在上单调递减，且， 所以，即在上单调递减， 当时，由洛必达法则可知， 当时，和都趋近于， 但是的增长速度比慢，所以， 综上可知，当时，， 所以当时，方程恰有一个正根． 4．已知函数． （Ⅰ）求函数的定义域，并判断的单调性； （Ⅱ）若； （Ⅲ）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值． 【答案】（Ⅰ）当时,的定义域是,是减函数; 当时,的定义域是,是减函数； （Ⅱ）； （Ⅲ）时，函数有极值； 当时的极大值为，的极小值为 当时，的极大值为 【详解】本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力． （Ⅰ）由题意知 当 当 当….（4分） （Ⅱ）因为 由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0<a<1. 所以 （Ⅲ） 令 ① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值 ② 当时，有两个实根 当x变化时，、的变化情况如下表所示： + 0 - 0 + ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 的极大值为，的极小值为 ③ 当时，在定义域内有一个实根， 同上可得的极大值为 综上所述，时，函数有极值； 当时的极大值为，的极小值为 当时，的极大值为 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 【答案】(1)①7，②2，③ (2)①1，②1，③1 (3)①，② 【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决； （2）将选择的式子化简结合极限的定义求解； （3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数求出最值得解. 【详解】（1）①对于，当时，分子，分母，属于型， ； ②对于，属于型， ； ③对于，属于型， . （2）①； ②； ③. （3）①由，则，又， ，得， . ②对，恒成立， 即， 令，则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以当和时，，当时，， 即在和上单调递减，在上单调递增， 又，， ，即的取值范围为. 6．函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）. (1)证明：在处的极限为； (2)若，，，求的最大值； (3)若，用函数极限的定义证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）要使得，即，再根据题意即可得证； （2）利用导数求出函数的单调区间，令，确定的范围，再将分别用表示，构造函数，利用导数求出最大值即可； （3）有结合（1），对任意正数，取，，，当时，有，即可得证. 【详解】（1）要使得，即， 即，即， 所以，存在整数，当时， 均有， 所以； （2）当时，，则， 所以函数在上单调递增， 当时，单调递减， 因为，，所以， 令， 因为，时，，时，， 所以， 由，得，得，得，得， 由，得， 所以， 令，， 则， 令，得， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 即的最大值为； （3）因为， 所以，存在正数，当时，均有； 由（1）知， 即，存在正数，当时，均有， 对任意正数，取，， ，当时， 有 ， 所以. 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 【答案】(1) (2)仅在时存在1个零点，理由见解析 (3) 【分析】（1）利用洛必达法则求解即可； （2）构造函数，结合的单调性求解即可； （3）利用累乘法求出的表达式，然后结合，利用洛必达法则求极限即可. 【详解】（1） （2），， 所以，． 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， ，， 当时，，所以仅在时存在1个零点． （3），所以，，…， 将各式相乘得， 两侧同时运算极限，所以， 即， 令，原式可化为，又， 由（1）得， 故，由题意函数的定义域为， 综上， 【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数，从而利用洛必达法则求极限. 2．十九世纪60年代，数学家Wilhelm首次给出了严格的极限的定义：设函数及实数满足在上有定义，若实数满足，使得，，则在处的极限存在且为，记作. (1)分别求，，，的值； (2)若函数，，的定义域均为，且，存在且不为，证明：若均存在，则； (3)已知对于实数及在上有定义的连续函数，，有.求的值. 附：对于实数及在上处处可导的函数，，若且，，则. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）对任意，给出合适的取值，由极限定义可得； （2）利用极限定义，结合绝对值不等式证明； （3）利用乘除运算将所求式子转化为多个可求极限的式子之积可得. 【详解】（1）若连续函数在处有定义，且在上有定义， 则对任意，存在，当时,， 所以. 因为函数都是连续函数，则有： ①； ②； ③由①②及附结论可知，； ④由，结合①及附结论可知， . （2）假设不存在，设（且为常数）， 则不存在，这与矛盾，故假设错误，则存在. 由，则对任意，存在，当时， ，使得； 又，则对任意，存在，当时， 有成立，即； 则对任意，取，取， 当时，， 故， 由题意存在，设， 则对任意，，存在足够小的，使得和满足： 当时，；     存在，当时，； 取，当时， ， 所以， 同理，存在，可证得； 故，得证. （3）由，， 又由（1）知，由题意得 . 下面分别求上式中各极限值. ①令， 且 则， 由，可得； ②由； 所以， 又， 所以； ③由， 所以有， 由（2）证明结论，令，若， 则. 令， 所以有； 综上可得，. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键有两点，一是应用极限定义转化“”语言求解极限；二是将未知式子的极限求解问题利用积商运算配凑转化为已知式子的极限运算. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优09 利用洛必达法则解决导数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 洛必达法则的直接应用（★★） 2 题型二 利用洛必达法则解决函数综合问题（★★★★） 3 03 实战检测・分层突破验成效 4 检测Ⅰ组 重难知识巩固 4 检测Ⅱ组 创新能力提升 5 一、洛必达法则： 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件： (1) 及； 　　(2)在点a的去心邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g'(x)≠0； 　　(3)， 那么 =。 型 注意： 1. 将上面公式中的 换成 洛必达法则也成立。 2. 洛必达法则可处理 型。 3. 在着手求极限前, 首先要检查是否满足 , 型定式, 否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时, 就不能用洛必达法则, 这时称洛必达法则不适用, 应从另外途径求极限。 4. 若条件符合, 洛必达法则可连续多次使用, 直到求出极限为止。 , 如满足条件, 可继续使用洛 必达法则。 题型一 洛必达法则的直接应用 【技巧通法·提分快招】 遇到 “” 型极限，直接用洛必达法则，对分子分母分别求导，再算极限，直到能算出结果。 1．两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如 ，则（    ） A． B． C．1 D．2 2．1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（    ） A．2 B．1 C．0 D．-2 3．年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：，按此方法则有 ． 4．①在微积分中，求极限有一种重要的数学工具——洛必达法则，法则中有结论：若函数，的导函数分别为，，且，则 . ②设，k是大于1的正整数，若函数满足：对任意，均有成立，且，则称函数为区间上的k阶无穷递降函数. 结合以上两个信息，回答下列问题： (1)试判断是否为区间上的2阶无穷递降函数； (2)计算：； (3)证明：，. 题型二 利用洛必达法则解决函数综合问题 【技巧通法·提分快招】 函数综合题（如恒成立、存在性）里，出现 “” 型，用洛必达法则求极限，分析函数趋势、最值，结合导数研究单调性，解决参数范围、零点等问题。 1．已知 恒成立, 求 的取值范围 2． 恒成立, 求的取值范围 3． 恒成立, 求 的取值范围 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．求下列极限： (1)； (2)； (3)． 2．若不等式对于恒成立，求的取值范围. 3．已知函数的定义域为． (1)求m的值； (2)求证：不存在极值点； (3)对任意给定的，求证：关于x的方程恰有一个正根． 4．已知函数． （Ⅰ）求函数的定义域，并判断的单调性； （Ⅱ）若； （Ⅲ）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值． 5．极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求极限是可以直接写出的，例如，.如果当（或）时，两个函数与都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限叫作未定式，并分别简记为或.当（或），极限为未定式且、、存在时，有：.这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（）. (1)使用洛必达法则，求极限； ①；②；③ (2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计分）： ①；②；③； (3)且，，恒成立. ①直接写出解析式； ②求的取值范围. 6．函数极限是现代数学中非常重要的概念，函数在处的极限定义如下：，存在正数，当时，均有，则称在处的极限为A，记为，例如：在处的极限为2，理由是：，存在正数，当时，均有，所以.已知函数，，（，为自然对数的底数）. (1)证明：在处的极限为； (2)若，，，求的最大值； (3)若，用函数极限的定义证明：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式型或型极限的一种重要方法，其含义为：若函数和满足下列条件： ①且（或，）； ②在点的附近区域内两者都可导，且； ③（可为实数，也可为），则． (1)用洛必达法则求； (2)函数（，），判断并说明的零点个数； (3)已知，，，求的解析式． 参考公式：，． 2．十九世纪60年代，数学家Wilhelm首次给出了严格的极限的定义：设函数及实数满足在上有定义，若实数满足，使得，，则在处的极限存在且为，记作. (1)分别求，，，的值； (2)若函数，，的定义域均为，且，存在且不为，证明：若均存在，则； (3)已知对于实数及在上有定义的连续函数，，有.求的值. 附：对于实数及在上处处可导的函数，，若且，，则. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$