重难点培优02 利用导数证明不等式（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优02 利用导数证明不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 直接法证明简单不等式（★★★） 3 题型二 构造函数证明不等式（★★★★） 6 题型三 转为两个函数类型证明不等式（★★★★） 15 题型四 数列类型不等式的证明（★★★★★） 19 题型五 三角函数类型不等式的证明（★★★★★） 41 03 实战检测・分层突破验成效 42 检测Ⅰ组 重难知识巩固 48 检测Ⅱ组 创新能力提升 64 在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成． 核心逻辑：利用导数工具，将不等式转化为函数问题，通过分析函数单调性、最值突破证明。关键在于合理构造函数（紧扣不等式结构）、精准求导分析（一阶导判增减，二阶导补一阶导的 “模糊区” ）、灵活结合特殊点与放缩（简化复杂证明）。多练典型题（如单变量恒成立、双变量对称式、指对混合），熟练通法，可高效攻克导数证不等式难题！ 利用导数证明不等式，核心是借助函数单调性、极值、最值等性质，将不等式转化为函数值的大小比较。 一、利用曲线的切线进行放缩证明不等式 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 二、利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）． 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）； （3）（），（）； （4）（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 题型一 直接法证明简单不等式 【技巧通法·提分快招】 直接法证明不等式的本质是将不等式转化为函数问题，通过构造函数、求导分析单调性，找到函数最小值（或最大值 ），验证其非负（或非正 ），从而证明不等式恒成立。掌握 “构造 — 求导 — 找最值” 三步法，可高效解决指数、对数及复合型简单不等式证明，多练典型题，熟练后可快速突破此类题型！ 1．证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）令，利用导数求得函数的单调性，得到，即可证得； （2）令，利用导数求得函数的单调性，得到 ，即可证得； （3）由（1）得，由（2）得，结合①式与②式取等号的条件不同，即可证得. 【详解】（1）解：令，则有. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递减，上单调递增， 所以，即. 所以. （2）解：令，则. 令，即，解得； 令，即，解得， 所以在单调递增，上单调递减， 所以，即， 所以. （3）解：由（1）得，所以（当且仅当时取等号）①. 由（2）得，所以（当且仅当时取等号）② 因为①式与②式取等号的条件不同，所以. 2．求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数（），证明并利用其单调性，结合即得； （2）构造函数，利用导数求出其最大值推理即得； （3）构造函数（），利用导数得到该函数的图象特征，求出其最大值即可得证. 【详解】（1）要证，只需证， 令（），， 故在上单调递减，由于，因， 故，则有（）. （2）令，， 当时，；当时，， 可知在上单调递增；在上单调递减，所以， 故，从而成立. （3）令（），，由解得：，， 令，得，令，得或 故在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 由于， 则有对恒成立，故得：（）． 3．证明：当时，； 【答案】证明见解析 【分析】分别构造函数、，利用导数可证得单调性，得到，由此可得结论. 【详解】令，则， 在上单调递增，，即当时，； 令，则， 令，则， 当时，单调递增，即单调递增，， 在上单调递增，， 即当时，； 综上所述：当时，. 4．求证：当，且时，． 【答案】证明见解析 【分析】利用导数来证明不等式问题，可以先构造函数，再证明当时，恒成立． 【详解】设 ， 则 ． 因为， 所以．即在内是增函数． 所以的最小值为． 所以当，且时，， 即恒成立． 故当，且时，成立． 5．已知函数，求证：当时，. 【答案】证明见解析 【分析】利用导数，求函数单调性，证明不等式. 【详解】证明： ，函数定义域为， ，当时，， ∴在上是增函数. 于是当时，． 6．讨论函数的单调性，并证明当时，. 【答案】在上单调递增，证明见解析. 【分析】求导函数，判断导函数的符号，确定原函数的单调性，并进一步可证明结论. 【详解】由已知得， . 因为，所以. 因为当 时，，所以在上单调递增; 所以当时，，即. 题型二 构造函数证明不等式 【技巧通法·提分快招】 不等式证明难下手时，就把它变形成函数形式。先观察不等式，把一边的式子设成新函数。接着求导，看导数正负，确定函数是增是减。再找特殊点（像端点、极值点）的函数值，结合单调性，判断函数值恒正或恒负，就能证出不等式。 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 【答案】(1)； (2)（i）1；（ii）证明见解析. 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线斜率，进而确定倾斜角大小； （2）（i）对函数求导，由已知有求参数值，注意验证；（ii）将问题化为证明在且上恒成立，应用换元法及导数研究不等式恒成立，即可证. 【详解】（1）由题设，则，故切线斜率， 所以，结合直线倾斜角的范围，易知在处的切线的倾斜角为. （2）（i）由题设，则， 由，则，故且， 令，则， 所以在上单调递减，且， 所以时，在上单调递增， 时，在上单调递减， 所以是函数的极值点，故； （ii），则且， 当时，，此时，即证， 当时，，此时，即证， 综上，只需证明在且上恒成立， 令，，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，故得证. 2．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）把问题等价转为为证明在区间恒成立，设，利用导数研究其单调性，即可证明； （2）求导后，分和两种情况讨论，当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值，当，函数先减后增，有最小值，求解即可； （3）记，分和和时讨论，根据（1）（2）中得结论结合零点存在定理，推出和两类不等式矛盾，当时，，得出在单调递增，从而，满足题意，即可求解． 【详解】（1）在恒正， 则在区间恒成立等价于在区间恒成立． 取，，故在区间单调递增， 所以． 故原不等式恒成立． （2），， 当时，函数的单调递减区间是，不存在最小值； 当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是． 则的最小值为，令，，则，的单调递增区间是，单调递减区间是，． 即当时，的最小值为0， ． （3）记， 则当时，由（2）知，在上单调递减，所以． 对恒成立， 又当时，由（1）知，， 取时，， 则与已知不等式矛盾． 当时，， ，由（1）知， 当时，，取，则， 从而由函数零点存在定理知，存在，使， 当时，，在单调递减，，与已知不等式矛盾． 当时，， 在单调递增，从而，，满足题意． 综上可知． 3．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增， 函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 4．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）求出，再计算得切点和切线斜率即可得到切线方程； （2）通过二次求导得，则，则是上的单调递减函数； （3）令，求导得，再利用放缩法得，最后再次放缩即可证明. 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令， 则 ， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 5．已知函数. (1)若 ①求的极小值； ②证明：当时，； (2)若的图象与直线切于点，求的值. 【答案】(1)①极小值为0；②证明见解析； (2)3 【分析】（1）①利用导数判断函数的单调性，再求极值即可； ②利用当时，,，可得，结合①，可得结论. （2）求的导数，根据导数和切线斜率的关系求解即可. 【详解】（1）①的定义域为，当时，，， 令，得或（舍去） 当时，，在上单调递减； 当时，，在单调递增， 在处取得极小值，极小值为； ②由①可得在处取得最小值，最小值为， ， 当时，，所以，，所以， . （2），由题意得 ， 消去得，令， 因为函数，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， ，将代入，得. 6．已知函数，且有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数极值点和导函数零点之间的关系，构造函数，求出构造函数有两个零点时的参数范围即可； （2）利用消元思想消去，构造函数，利用其单调性，证明不等式. 【详解】（1）已知有两个极值点，易得有两个零点， 令，则， 令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在处取得最小值. 若有两个零点，一定有，解得， 又易知时，， 取，易知，当且仅当时取等号， 所以由可知，， 根据零点存在定理可知，函数在，上各存在一个零点， 故的取值范围为. （2）由（1）知：，且， 故， 故， 令，则， 当时，，在上单调递减， 所以， 故，原式得证. 7．已知函数 (1)若，求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为， (2)证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数正负即可求得函数单调区间； （2）因，时，成立，故只需证明当时，即可，求导，求得函数最小值后即可得证. 【详解】（1）若，则，其定义域为， ， 令，解得或，令，解得或， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，； （2）当，时，，则有， 故只需证明当时，， 当时，， 令，解得，令，解得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，取得最小值， 所以， 综上，当时，. 8．已知函数． (1)证明：； (2)证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）令，利用导数研究单调性，求最大值即可得证； （2）由（1）可得，令，利用导数研究单调性即可证明. 【详解】（1）证明：令，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得极大值也是最大值． 所以，所以，即． （2）由（1）可得，当且仅当时，等号成立． 令，则． 令，则，且等号不恒成立， 所以在上单调递减． 又因为，所以当时，即在上恒成立， 所以在上单调递减． 又因为，所以在上恒成立． 所以． 9．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类讨论求出函数的单调性. （3）由（2）求出极小值，再建立函数，利用导数求出最小值证明不等式. 【详解】（1）当时，，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程的为. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，上单调递增. （3）由（2）知，若有极小值，则，极小值， 令函数，求导得，函数在上单调递增，且， 则当时，，当时，， 函数在上单调递减，上单调递增，则，即， 所以. 10．已知函数 ， (1)求函数的单调区间. (2)若 对任意 成立，求正实数的取值范围. (3)证明: 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求出，在定义域内，令求得的范围，可得函数增区间，令求得的范围，可得函数的减区间； （2）对一切，恒成立等价于对一切恒成立，利用导数可得的最小值为，从而可得结果； （3）原不等式等价于即，由（1）可得的最大值为，利用导数可求得的最小值为，从而可得结论. 【详解】（1），，. 令，解得；令，解得， 的单调递增区间是，单调递减区间是. （2）由，即， 又，整理得， 所以 “对任意成立”等价于“对任意恒成立”. 令，则， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增. ， 又是正实数，即，. 即所求实数的取值范围是. （3）因为，所以 等价于 . 由（1）知， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， ， 对恒成立， 即. 题型三 转为两个函数类型证明不等式 【技巧通法·提分快招】 遇到不等式，拆成两个函数。分别研究这两个函数，求它们的导数，找各自的单调性、最值。比较两个函数的最值，若左边函数最小值大于右边函数最大值，原不等式就成立。注意拆分要合理，区间要一致，别漏验证等号情况。 1．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求                   (2)证明: 【答案】（1）；（2）详见解析. 【详解】试题分析：（1）根据求导法则求出原函数的导函数，由某点的导数是在该点的切线的斜率，结合切线方程以及该点的函数值，将函数值和切线斜率代入原函数和导函数可求得参数值；（2）由（1 )可得的解析式，为多项式，对要证的不等式进行变形，使之成为两个函数的大小关系式，再分别利用导函数求出两函数在定义域内的最值，可证得两函数的大小关系，进而证得. 试题解析：（1）函数的定义域为， . 由题意可得，.故，. （2）证明：由（1）知，， 从而等价于. 设函数，则. 所以当，； 当时，. 故在上单调递减，上单调递增，从而在上的最小值为. 设函数，则. 所以当时，；当时，.故在上单调递增，在上单调递减，从而在上的最大值为. 综上，当时，，即. 考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性进而证明不等式恒成立. 【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值、不等式的恒成立和导数的几何意义，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.本题（2）的证明过程就是利用导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，进而得证的. 2．已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 【答案】（1）见解析（2）证明见解析 【分析】（1）函数定义域为，求出导函数，通过，，判断导函数符号，求解函数的单调区间；（2）运用分析法转化证明，要证，只需证，法一中要证，只需证：，令，求导判断导数值符号即可；法二中只需证，设，，在上恒成立，求出，的最值进行比较即可；法三中只需证：.设，判断，函数单调递增，，证明即可. 【详解】（1）函数定义域为， . ①若时，则，在上单调递减； ②若时，，令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增；    ③若时，， 令或. 又， 在上单调递减，在上单调递增； （2）法一：，， 要证，只需证， 只需证：， 只需证：，设， 即， 在上单调递减，所以，即原不等式成立. 法二：要证，只需证， ，只需证， 设，， 在上恒成立， 所以在上单调递增. 所以， ， 所以在上单调递增， 所以， 所以当时，， 即原不等式成立. 法三：，. 要证：成立， 只需证：. 设， ， 所以在上单调递增， 所以. 即原不等式成立. 【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及构造法的应用，考查分类讨论以及转化思想的应用，是难题. 题型四 数列类型不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 求和放缩：数列和的不等式，用裂项、等比放缩简化求和，再比较大小。 函数化：把数列通项当函数，用导数研究单调性，推导数列增减。 1．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 【答案】(1)递增区间是，递减区间是； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间. （2）求出函数的导数，按讨论单调性，借助零点存在性定理及函数最值情况分类得解. （3）由（2）可得，再利用不等式性质及累加法推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的递增区间是，递减区间是. （2）函数的定义域为，求导得， 当时，，函数在上单调递增，， 当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大，则函数存在唯一零点； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 当时，，当从大于0的方向趋近于0时，趋近于负无穷大， 当趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，函数有2个零点； 当时，，函数存在唯一零点； 当时，，函数无零点，即零点个数为0， 所以当或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点； 当时，函数有0个零点. （3）由（2）知，当时，，当且仅当时取等号， 取，则， 因此， 所以. 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据条件，利用几何意义得，即可求解； （2）（ⅰ）根据条件，将问题转化成在区间上恒成立，构造函数，再分和两种情况讨论，即可求解；（ii）利用（i）中结果得，令，得到，再利用累加法，即可求解. 【详解】（1）由题知，则， 又因为曲线在点处的切线与直线平行， 故，解得． （2）（ⅰ）由题知，函数在区间上单调递增， 故在区间上恒成立，令，则有， 又，则， ①当，即时，令，得到，解得， 当时，，所以在区间上单调递减， 又，则时，，即， 即在区间上单调递减，不符合题意； ②当，即时，在上恒成立， 故在区间上单调递增，又，故，即， 故函数在区间上单调递增，符合题意． 综上，的取值范围是． （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，在区间恒成立，则． 令，则有， 所以，，，， 则， 所以， 故． 3．已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，分，两种情况讨论求解即可； （2）结合（1）分，两种情况讨论求解即可； （3）利用（2）中结论可得恒成立，令，可得，进而利用对数的运算性质和等比数列的前项和公式证明即可. 【详解】（1）由，， 则， 当时，，所以函数在上单调递增； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由题意，对定义域内，都有恒成立， 由（1）知，当时，函数在上单调递增， 而时，，此时不恒成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，所以，解得. 综上所述，的取值范围为. （3）由（2）知，当时，恒成立， 即，当且仅当时等号成立， 令，，则， 故， 则， 故. 4．已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）依据函数的性质，通过对进行化简，结合为奇数这一条件，判断函数的对称性. （2）对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而分析函数的最值情况，从而确定满足时的取值范围. （3）利用已知不等式对进行放缩，然后通过裂项相消法对数列求和，进而证明不等式. 【详解】（1）由题得. 因为为奇数， 所以. 即. 所以的图象关于点对称. （2）令. 则. ①当时，显然有. 所以成立； ②当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递减， 所以当时，. 即， 所以，不满足题意； ③当时， 当时，因为， 所以， 即在区间上单调递增， 当时，，即. 当时，因为， 所以，即在区间上单调递减， 所以的最大值为. 所以，即. 所以，符合题意. 综上，的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，. 因为. 显然，且. 所以. 当时，显然成立； 当时，因为. 所以. 即 . 综上，当时， 5．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，正项数列满足：，． ①求证：； ②求证：当时，． 【答案】(1)单调性见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数的导数后就、分类讨论导数符号后可得单调性； （2）①利用导数可证、，从而可得；②利用①的结果结合累乘法可证. 【详解】（1），其中， 当时，恒成立，故在上为增函数； 当时，若时，；时，； 故在上为减函数，在上为增函数， 综上，时，的增区间为，无减区间； 当时，的减区间为，增区间为. （2）①时，， 由（1）可得在为增函数， 而，故， 设当时，，则当时，， 由数学归纳法可得. 下证：，即证， 即证， 设， 则， 故为上的减函数，故， 故成立，故即. 下证：， 设， 则 ， 故在上为增函数，故， 故恒成立，故恒成立， 故，故即， 综上，成立. ②由①可得，故即， 累乘可得，而，故. 仍由①可得，故， 而，故， 故，故， 故，而，由累乘可得， 故，故. 综上，当时，. 6．已知，当时，. (1)求的值； (2)证明：实数a的取值范围为； (3)证明：当时，. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由解析式可直接求解； （2）通过，，求导确定函数单调性，确定最值，即可证; （3）由（2）得到当时，.即可得到，进而可求证. 【详解】（1）; （2）证明：当时，. 故在上单调递减，故当时，，符合题意. 当时，，，存在使得当时，恒成立，则存在使得，矛盾. 故实数a的取值范围为; （3）证明：由（2）知，当时，. 故， 故当时，. 7．已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 【答案】(1)答案见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用分离参变量，再构造函数求导研究单调性，然后结合取值规律，可得到零点个数的判断； （2）（i）利用递推及放缩思想，可得到，然后再利用函数的单调性可得到数列的单调性； （ii）利用，结合零点的条件进行放缩，，再利用裂项相消求和，从而原不等式可得证. 【详解】（1）令，可得，设， 因为， 所以当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即， 又因为，，， 所以当时，无零点； 当或时，仅有一个零点； 当时，有两个零点； （2）（i）由（1）知，当时，仅有一个零点； 由的唯一零点为，则， 两边取自然对数得：， 即，两式相减得：， 可得， 设，则，因为，所以， 即是在上单调递增， 所以有，即数列是递增数列； （ii）先证明：时，， 构造，求导得， 当时，，则在单调递减； 当时，，则在单调递增； 即，所以，即， 又因为，结合上面不等式有， 所以，又因为， 所以有， 即 再由可得：，当且仅当时取等号； 再由，得， 结合上式可得：，整理得：， 当且仅当时取等号， 当时，， 再由，得：， 所以有， 则， 当且仅当时等号成立. 【点睛】关键点点睛：（i）利用，再结合赋值相减可得递推关系，然后放缩，可得简化的递推关系，再结合函数的单调即可得证； （ii）关键是两个放缩思想，，,这两个式子都需要借助常用函数不等式来进行证明，最后利用求和思想即可得证. 8．已知函数的图象在点处的切线与直线：垂直，记. (1)求实数的值； (2)证明：有两个极值点； (3)证明：当，时， 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导数，利用垂直关系可得答案； （2）求出，利用导数判断单调性，结合零点存在定理可证明； （3）先根据求出，再利用换元法结合函数最值可证结论. 【详解】（1）因为， 且曲线的图象在点处的切线与直线垂直， 所以，解得. （2）因为，所以， 所以. 令，， 令，，所以单调递增， 又因为，，所以，， 当时，，，单调递减， 当时，，，单调递增， 又因为，，， 所以，，使得， 此时有两个变号零点，所以有两个极值点. （3）因为， 所以 ， 所以. 设，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，解得， 要证成立， 只需证， 令，所以， 只需证 即证在内恒成立， 因为，所以在内单调递减， 故，所以在内恒成立， 所以， 故 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 【答案】(1)见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）首先对函数求导，然后讨论的取值范围，相应的得出函数的单调区间； （2）令，结合（1）可得，变形得，可得，进而可得； （3）由题意可得，进而构造函数证明，再构造函数，，证明，进而求证即可. 【详解】（1）首先对函数求导， 则， 当时，恒成立，所以函数在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值， 即，变形得（当且仅当时取等号）. 令，则（因为），即. （3）当时，， 则， 由， 则， 设，， 则， 当时，，则函数在上单调递增， 又，则时，， 则时，， 因为，则，，，. 设，， 则， 所以函数在上单调递减， 则，即时，， 则， 所以， 则，即， 则， 即. 10．已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 【答案】(1)，为的极大值点. (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)根据一元函数导数与函数极值点的关系,已知导函数零点,带入求参数的值.在通过导函数的单调性,判断是极大值还是极小值. (2)根据函数单调性与导函数的关系,讨论参数对导函数零点的影响,根据参数范围确定零点范围,求出函数单调区间的变化. (3)在第二问的情况中,当的特殊情况下,构造函数,求得前置不等式,证明题干不等式. 【详解】（1）由，得，. 令，，则. 由题意，知，解得. 当时，令，，则， 当时，，即单调递减. 又，所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以为的极大值点. （2）由（1），得. 若，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若，令，得或. ①当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减； ②当，即时，，在上单调递减； ③当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2），得当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，整理，得， 令（，且），得， 两边同时取自然对数，得， 则， 即当且时，. 11．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数解释式求导，分情况可求得恒成立，整理不等式，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求得最值，可得答案； （2）由（1）所得不等式，利用累加法以及裂项相消，可得答案. 【详解】（1）证明：，定义域为，则 因为方程有两解，，所以，不妨设. 要证，即证， ①若，则. ②若，由知， 当时，，当时，. 在上单调递减，在上单调递增，有. 综合①②知，，所以只需证（*）. 又，， 两式相减，整理得，代入（*）式，得， 化简得，令，则只需证， 令，则需证当时，. 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以当时，，所以成立. （2）由（1）知，故， 取，，，，则， 所以. 12．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数，并说明理由； (3)证明：当时，都有． 【答案】(1) (2)当时，有2个极值点；当时，有1个极值点，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可求得； （2）将函数求导后，根据参数的范围讨论函数的单调性，推得极值情况即可； （3）利用（2）的结论，可得，取，利用累加法，推得，再用导数证明，取，再利用累加法，推得，即可得证. 【详解】（1）当时，，， 则， ，， 所以在处的切线方程为． （2）的定义域为，， 令，得，或， 又，所以 ①当，即时， 若，则，在上递增； 若，则，在上递减，故有1个极值点； ②当，即时， 若，则，在上递减； 若，则，在上递增； 若，则，在上单调递减，故有2个极值点． 综上，当时，有2个极值点；当时，有1个极值点． （3）由（2）知当时，在上递减， ∴，即， 因为，所以，， 对赋值累加可得：， 所以． 再证， 设，则，故在区间上递增， 所以当时，，即． 故有，， 再对赋值累加可得：， 故，即命题得证． 13．设函数． (1)证明：； (2)设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3)证明过程见解析 【分析】（1）构造函数，通过求导研究其单调性，求证； （2）通过构造函数研究其单调性，利用和的函数图象交点即可； （3）由（1）可知，，等号成立时，令，得，即可求证. 【详解】（1）欲证，即证， 即， 令，则， 则得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则，即，故命题得证. （2）因在上存在一个极值点， 则在上存在一个变号零点， 令，则， 令，则， 故在上单调递减， 又，， 故使得， 则当时，当时， 则在上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 则的图象大致为： 则欲使在上存在一个变号零点， 则和的函数图象存在一个交点， 且在交点的两侧使得一侧，另一侧， 则， 则实数a的取值范围为. （3）由（1）可知，，即，等号成立时， 取，则， 则， 故， 故当时，. 14．已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题可得切线斜率及所过点，由直线点斜式可得切线方程； （2）即对都成立，由恒成立必要条件可得，通过导数证明满足题意即可完成证明； （3）由，令，可得，据此可得；由，令，可得，据此可得. 【详解】（1）因为，所以，， 所以切线斜率为， 所以函数的在处的切线方程为，即； （2）若对，有，转化为， 即对都成立． 设， 因为，所以要使 必须满足，即，所以 下面证明时满足题意： 因为，，所以， 只需要证明即可． 设， 所以，且，． 先研究当时，设，， 因为函数、在上均为单调递减， 则在内单调递减， 又因为，， 所以，使得， 且当时，；当时，． 此时在内单调递增，在内单调递减， 又，，故对任意的，， 则在内单调递增，所以． 综上，当时，，即得，所以得证： （3）根据题意需要分析，，在上的大小关系． 设，则， 则在区间上单调递减， 所以，即． 令，，所以，， 所以， 所以． 再证明，其中， 设，， 设， 因为函数、在上均为单调递减， 则在区间内单调递减， 因为，， 所以，，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又因为，，， ，使得， 当时，；当时，． 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减． 因为，， 所以在区间内恒成立． 令，所以， 所以，，，⋯，， 所以． 对，，所以， 所以 ， 所以得证． 综上， 【点睛】关键点睛：对于部分恒成立问题，可先由恒成立得到条件成立的必要条件，再证明必要条件为条件成立的充分条件即可；对于数列型不等式的证明，可将不等式两边均看成某数列的前n项和，随后可通过证明两边数列的大小关系来完成证明. 15．已知函数. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）易得，构造函数，利用导数求出函数的最小值即可得证； （2）构造函数，分，和三种情况讨论，求出函数的单调区间，进而可得出答案； （3）由（2）知，当时，，则，令，则，则有，则要证，只需要证明，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，进而可得出结论. 【详解】（1）因为，所以， 令， 则， 所以函数在上单调递增， ，即， 所以； （2）， 即在上恒成立， 令， 则， 当时，， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以符合题意； 当时，注意方程的， 若，则，所以，即， 所以函数在上单调递增， 所以， 即，所以符合题意； 若，则方程有两个不等的实根，记为， 则， 所以函数在上有唯一的零点， 则当时，，函数为减函数， 所以当时，，即， 与矛盾，所以不符题意， 综上所述，的取值范围为； （3）由（2）知，当时，， 即，所以， 令，则， 故 ， 所以要证， 只需要证明， 两边取对数，整理得， 当时，左边， 当时，令， 则， 令， 则， 所以函数在上单调递减， 所以，即， 所以函数在上单调递减， 所以， 所以恒成立， 所以. 16．已知函数. (1)求证：. (2)若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 【答案】(1)证明见解析； (2)（i）0；（ii）证明见解析. 【分析】（1）构造函数，求出导数得出函数单调性进而得出最大值即可证明. （2）（i）通过求导得出的最大值，分析函数的单调性可得到的极小值； （ii）先证明，据此可证题设中的不等式. 【详解】（1）令，定义域为， 则， 因为，所以， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以，所以. （2）（i），定义域为， ， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递增， 当时，恒成立，在上单调递减， 故的最大值为， 所以， 因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以当时，恒成立，在上单调递减， 当时，恒成立，在上单调递增， 故的极小值为. （ii）即证， 下证：当时，总有， 证明：设，则， 当时，，当时，， 故在为减函数，在上为增函数， 故即成立, 当且仅当时等号成立. 由此不等式有， ， ， 而， 故， 所以. 题型五 三角函数类型不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 有界性：利用正弦、余弦函数值域，结合不等式变形证明。 导数分析：构造三角函数，求导判单调性，结合特殊点函数值证不等式。 三角变形：用和角、倍角公式化简式子，再结合有界性、单调性证明。 1．已知函数 (1)当时，求证： (2)若对恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，得，构造函数，求解单调性，即可证明； （2）求导得，令，则，分类讨论可求得的范围. 【详解】（1）由，得. 要证只要证 令，则 当时，则单调递减， 当时，则单调递增，   所以则即 （2）由已知可得， 令，求导可得， (1)当时，由，得，因此，满足题意. (2)当时，由，得，则在上单调递增. ①当时，，所以，即在单调递增， 所以在单调递增，所以， 则在上单调递增，所以满足题意.                       ②当时，，，则存在唯一的，使得， 且当时，，在上单调递减， 所以不满足题意.                              综上： 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 【答案】(1)当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）由函数的解析式可知函数的定义域为及导函数，对分和两类讨论即可求解； （2）由（1）知当时，，即，进而可得.令，对函数求导可知在上单调递增，可得，故，原不等式得证. 【详解】（1）由题知：，其定义域为，. 当时，则，在上单调递减； 当时，令，解得；令，解得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）要证，即证. 由（1）知：当时，在上单调递减，在上单调递增， ∴，即， ，. 令，， ∴在上单调递增， ∴当时，，即， ∴，即， ∴原不等式成立. 【点睛】本题考查利用导数讨论含参函数的单调性，证明函数不等式恒成立问题，属于难题. 研究含参函数的单调性常用分类讨论的数学思想； 对于函数不等式的证明，常采用放缩法，如本题中，证明不等式恒成立的问题关键在于不等式的等价转化. 3．已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：． 【答案】(1)； (2)；证明见解析. 【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值，从而可求解的取值范围； （2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值； （ii）利用第（i）问的结论，从而把要证明的不等式转化为，再作差构造函数求导来证明即可. 【详解】（1）因为函数的定义域为， 当时，恒成立， 当时，，所以此时不恒成立， 当时，求导得， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以， 即不等式恒成立，等价于， 综上，的取值范围为. （2）（i）当时，，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以， （ii）由，则要证明，只需要证明， 构造，则， 所以在上单调递增， 即，所以有， 即成立． 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)2. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形所证不等式，构造函数，利用导数结合基本不等式推理得证. （3）利用函数零点的意义，把问题转化为求函数的零点个数，再借助导数分段讨论求解. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而， 所以所求切线方程为，即. （2）不等式， 令函数，即， 而，求导得 ，则函数在上单调递增，， 所以. （3）函数的零点个数，即方程根的个数， 而时，方程不成立，则原函数零点个数即为方程根的个数， 令，原函数零点个数即为函数的零点个数， 当时，，而，则， 因此函数在时无零点； 当时，，函数在上单调递增， ，因此函数在时只有一个零点0； 当时，令，求导得， 显然函数在上单调递增，而，， 则存在使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，又， 则存在，使得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，因此函数在上只有一个零点； 当时，，即， 因此函数在时无零点， 所以函数有2个零点，即函数的零点个数为2. 5．已知函数. (1)当时，判断的零点个数，并说明理由； (2)设为在区间内的零点，令，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)1个，理由见解析； (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析； 【分析】（1）直接求导得，再合理赋值，利用零点存在性定理即可判断； （2）（ⅰ）分析得，，，再根据和不等式性质即可证明； （ii）先转化为证明，再利用基本不等式放缩转化为证明，再设新函数，求导即可证明. 【详解】（1）因为，， 所以，则在区间内单调递减， 又，故， 所以当时，有且仅有一个零点． （2）（ⅰ）因为， ， ， 因为，则，则． (ii)因为. 故要证，即证， 因为， 又， 则只需证：， 设函数， 则， 因为，， 而在区间上单调递减，故， 故，故在区间上单调递增， 又，则，从而， 故， 故． 6．已知，． (1)判断的单调性； (2)若函数图象在处切线斜率为，求； (3)求证：． 【答案】(1)在上单调递增； (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后借助因式分解与二次函数的性质可得其导函数的正负，即可得其单调性； （2）借助导数的几何意义可得，计算即可得解； （3）结合的取值范围，可将所需证明的不等式转化为证明，构造函数，，则可借助导数结合基本不等式得到的单调性，即可得证. 【详解】（1）， 由，则， 故，， 故在上恒成立，故在上单调递增； （2）由题意知， 则， 故或， 由， 故无解； 则，即，又，故； （3）由，则，， 要证，只需证， 即只需证， 由（1）知在上单调递增， 故，即， 故只需证，即只需证， 即只需证， 令，， 则， 由，当且仅当时等号成立， 由，故不能取等，即有， 则， 令，，则， 故在上单调递增，则， 即，故在上单调递增，则， 即有，即得证. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数. (1)当时，求的极小值； (2)若存在唯一极值点，证明：. 【答案】(1)极小值. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后分析单调性可得； （2）方法一，求导后利用函数有唯一极值点确定的关系，再构造函数利用导数分析单调性即可； 方法二，以前步骤同方法一，然后分，，三种情况结合二次函数的性质分析函数的单调性和极值，当时再构造函数求导分析单调性. 【详解】（1）的定义域为. 当时，，. 令得，或. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 所以当时，取极小值. （2）方法一：，. 当时，与同号. 因为的图象关于对称，又存在唯一极值点， 如图可得，所以， 所以，故. 将代入得 ， 构造，， 则， 所以，即， 所以 方法二：以前步骤同方法一. 易知在单调递减，在单调递增. （i）当时，，在单调递增， 函数无极值点. （ii）当时，令可得，. 由于，故在区间单调递增，单调递减，单调递增，从而有两个极值点，不合题意. （iii）当时，，故在区间单调递减，单调递增，恰有唯一极值点，符合题意. 所以. 设，，， 所以在单调递减，， 故. 2．已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系可求出函数的增区间和减区间； （2）由函数的最大值可求出的值，将所证不等式变形为，构造函数，利用导数分析函数的单调性与极值，可证得，即可证得结论成立. 【详解】（1）因为函数的定义域为，且， 由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为. （2）由（1）知，，解得， 要证，即证，即证， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以，函数的减区间为，增区间为， 所以，，即， 所以，，，即. 3．已知函数. (1)若，，求的单调区间和极值； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的符号即可求出函数的单调区间，再根据极值的定义求极值即可； （2）利用导数求出函数的最小值即可得证. 【详解】（1）若，，则， 则， 令，得，令，得， 所以函数的增区间为，减区间为， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）若，则， 则， 当时，函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 又当时，，当时，， 所以存在唯一实数，使得，即， 令，则，令，则， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以. 4．已知，，且在处的切线与的交点横坐标为. (1)求； (2)记，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，证明：. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，无单调递减区间 (3)证明见解析 【分析】（1）由导数的几何意义可求函数在处的切线方程，再将切线与的交点坐标代入切线方程即可求解. （2）对函数求导，为研究导数的正负，记，根据的单调性及正负即可研究的符号，进而确定函数的单调区间； （3）由（2）中的单调性即可证明. 【详解】（1），，，， ∴函数在处的切线为，即. 由题意，，所以. （2）由题知， 的定义域为，. 记，则， 易得在上单调递增. 又， 时，，单调递减；时，，单调递增， ∴，即， ∴在单调递增， 即的单调递增区间为，无单调递减区间. （3）证明：当时，，，∴； 由（2）知：当时，因为在单调递增，∴. 综上，. 5．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）等价变形不等式，利用不等式性质将问题转化为证在恒成立，结合导数分段推理证明. 【详解】（1）函数，求导得， 则，而，所以所求切线方程为. （2）函数的定义域为， 不等式，当时，， 则，令函数， 当时，，令函数， 求导得，函数在上单调递减，，； 当时，，令， 求导得，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，则存在，使得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 则当时，；当时， 函数在上单调递增，在上单调递减，又，则； 当时，， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以当时，成立. 6．已知函数. (1)当时，证明:. (2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，利用导数研究函数的单调性和最大值即可得证. （2）由（1）的结论，得到，两边除以x，即可求得的最小值，即可求得结果. 【详解】（1）证明：当时，， 所以证明即证明， 设, 则， 所以当时，在区间单调递增； 当时，在区间单调递减， 所以在处取到最大值，即，所以，得证. （2）由恒成立，得在上恒成立； 由(1)可以得到，所以； 所以，所以，当且仅当时取等号， 于是t的取值范围是 7．已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若，证明：，； (3)若在上有两个极值点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用函数在定义域内单调递增则函数的导数大于或者等于零恒成立，求解分离参数求解即可 （2）构造函数，求两次导，得到这个函数导函数的单调性，从而得到，则在上单调递增，得到，即当时，，所以，不等式得证. （3）分情况讨论，当时，，则在上单调递减，无极值点.当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令，求导，对极值点的大小进行分析，再结合零点存在性定理取点证明有两个极值点即可. 【详解】（1）因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 设，则，则在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即的取值范围为. （2）证明：若，则. 设，则，，则在上单调递减，在上单调递增， 则，则在上单调递增， 所以，即当时，， 所以，不等式得证. （3）. 当时，，则在上单调递减，无极值点. 当时，由（1）知在上单调递增，无极值点. 当时，令， 令，得， 则在上单调递减，在上单调递增， ，， 由（2）知，则， 所以恰有两个零点，， 令，得，令，得或， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，从而有两个极值点. 综上，的取值范围是. 8．已知函数，. (1)判断的零点个数； (2)记的零点为，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，再对的取值进行讨论，结合零点存在性定理判断零点即可. （2）根据不等式时，，得到不等式，得到不等式，再根据裂项相消法求和证明即可. 【详解】（1）首先，我们得到定义域为， 当时，，所以在上无零点， 当时，因为，所以在上单调递增， 则在上至多一个零点，当时，有唯一零点1， 当时，因为，， 则，由零点存在性定理得函数有唯一零点， 综上可得函数有唯一零点. （2）由题意知，且， 两边取自然对数，得， 先证明：时，记为（***）， 设，则， 所以当时，，单调递减： 当时，，单调递增， 则，当且仅当时，等号成立． 由（***）式知，， 则，得到， 即， 故． 在（***）式中，令，得， 当且仅当，即时等号成立， 而， 则，即， 得到，，当且仅当时等号成立． 当时，在（***）式中，令，得， 所以时， ． 当时，成立． 故得证． 9．已知函数的导函数为． (1)若，求证：在有唯一零点； (2)若，是的极小值点，求的取值范围； (3)若，是单调函数，证明：． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导函数得出函数单调性，再利用零点存在定理证明函数有唯一零点； （2）二次求导分析出导函数的单调性，分类讨论在不同取值范围时是否满足题意，即可求出其取值范围； （3）根据题意分析出恒成立，由求出的取值范围，再构造函数，利用单调性证明不等式. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，单调递减， 又，根据零点存在定理，所以在有唯一零点. （2）由题意可得，令，则， 根据指数函数的性质，因为，所以，均单调递增， 故单调递增，又时，，时，，所以在上有且仅有一个零点， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 而，， 当时，，此时，则，即， 故在，，单调递减；在，，单调递增，是的极小值点，故满足题意. 当时，，此时，，单调递增，不存在极值点，不满足题意，舍去. 当时，，此时，则，即， 故在,，单调递增；在，，单调递减，是的极大值点，不满足题意，舍去. 综上，． （3）因为时，是单调函数，即是单调函数，则或恒成立， 因为，时，，所以不能恒成立，故恒成立. 则，解得，即，因为，所以. 令，则，当时，，单调递增. 则，故． 10．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)求证：当时，. 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性即可； （2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得； （3）根据（2）结论，令，得，即可证. 【详解】（1）由题设，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增； （2）由题设，令，则， 对时，恒成立，且，只需，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，； （3）由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. 11．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的最小值； (3)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）利用导数分析函数的单调性，即可求出函数的最小值； （3）当时，将所求不等式变形为，根据，结合（1）（2）中的结论可证得所证不等式成立. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，由得，由，得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 当时，由得，由，得或， 此时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，由得或，由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为、. 综上，当时，函数的减区间为，增区间为； 当时，函数的减区间为、，增区间为； 当时，函数的减区间为，增区间为、. （2）函数的定义域为，， 由，得，由，得， 即在上单调递减，在上单调递增， 在处取得最小值． （3）当时，等价于， 即，即， 即，即， ，只需证明， 当，时，，只需证明， 由（1）知，时，在处取得最小值， 综上所述，原不等式成立． 12．已知函数 (1)证明：. (2)若有且只有一个零点，求a的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先化简分，得出，再取对数得出，最后构造函数应用导函数得出极小值即可证明； （2）先求出导函数再分，，分别应用导函数得出函数单调性即可求参. 【详解】（1），， 当时，； 当时，要证，即证，即证 即证， 构造函数， 当时，在上单调递减，当时，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值，所以，即可得证，所以； （2）令， 当时，， 则在上单调递增，故，函数无零点； 当时，，由（1）得，， 所以，所以，在上单调递增，，， ，当时，，且， 因为在上单调递增，所以存在一个，使， 所以 在上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以，在上没有零点， 又因为，所以，又因为，且在上单调递增， 此时存在一个使， 但当时，无零点, 综上，. 13．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)对任意，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导，确定函数单调性，结合即可求解； （2）求导，通过讨论，或确定函数单调性，进而可求解； （3）取，由（1）得到.问题转换成，构造函数，求导确定单调性进而可求解. 【详解】（1）当时，， 恒成立， 在上单调递增，又， 的解集为. （2）， 由得， 若，解得，此时恒成立， 在上单调递增，； 若，解得或， 当时，在上单调递增， 当时，由解得， 在上单调递减， 不恒成立. 当时，恒成立，实数的取值范围是. （3）取，由（1）知， 当时，， ，即. 故只需证明， 设， ， 在上单调递增， 成立， 即成立. 14．已知函数，数列满足：，，. (1)若，求的取值范围； (2)证明：对任意，； (3)定义，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数即可求解； （2）大方向就是数列为递减的且，证明是以为公比的等比数列，证明也就是数列为递减即可求解； （3）证明，证明，证明即可求解. 【详解】（1）因为（）， 所以，令， 所以，令， 则，时，时， 所以时单调递减，时单调递增， 所以时，取得最小值， 所以； （2）大方向就是数列为递减的且， ， 引入待定常数，使得， 令，解得， 将这两值分别代回上式， 如此一来，就得到， 两式相除，有， 所以是以为公比的等比数列， 从而知， 又知，故上式右端， 即有， 另一方面，， 即也就是数列为递减， 有； （3）由（1）知当时， 即由（2）知， 而对任意， 从而， 于是， 注意到， 于是， 而，即， 于是． 15．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； (3)若存在两个极值点，，且，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）求导，分，两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间； （3）由（2）结合零点存在性定理可得在和上各有一个零点，，且，是的两个极值点，再将极值点代入导函数中化简结合已知可得，，通过构造函数，证明，即得，得证. 【详解】（1）当时，， 则，所以，， 所以切线方程为；，即. （2）由，， 当时，，在上单调递增； 当时，令. 当时，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知若存在两个极值点，则， 且， 由过原点的切线方程为，则，则，即， 所以，， ∴在和上各有一个零点，， 且时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，单调递减. ∴，是的两个极值点. ， 且 ， ∴， 而， ∴， 令，则， 所以在上单调递增，故， 所以，令， 可得，即，即， ， . 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．当时，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】将所求不等式利用对数的运算变形后变为只需证明，构造函数，利用只需研究时的情况，然后利用不等式证明右边，利用构造函数求导证明左边可得. 【详解】因为，所以只需证明． 令， 因为，故只需研究时的情况． ①利用不等式，则有， 故． ②构造函数，则， 因此单调递减，从而． 利用不等式， 则有． 综上可知，即有． 2．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求证：. （参考数据） 【答案】(1) (2)证明见详解. 【分析】（1）由于在上单调递增，由得，可确定的单调性，进而求出最值； （2）由（1）知，要证，即证，设，利用导数判断的单调性，命题即可证. 【详解】（1）因为，定义域为， 所以， 因为在上单调递增， 在上单调递减， 所以在上单调递增， 由得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以当时，取到最小值. （2）由（1）知的最小值， 所以要证， 只需证， 即证， 因为，且，所以， 设，则， 设，则在上单调递增， 所以， 所以在上单调递增， 所以， 所以，所以在上单调递增， 所以 故成立，即得证. 【点睛】关键点点睛：本题（2）的关键是将问题转化为证明成立，构造，利用导数即可证明. 3．已知函数. (1)求的最值； (2)求正整数，使其满足且； (3)若，求证：. 【答案】(1)最大值是，无最小值； (2)，； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据给定的函数，求出导数求出其最值. （2）按和分类，利用导数探讨方程有整数解情况即可. （3）构造函数，利用导数探讨单调性即可推理得证. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，当时，， 函数的递增区间是，递减区间是， 所以的最大值是，无最小值. （2）当时，且， 令，显然，即是方程的一组解， 当时，求导得，令,， 当时，， 函数在上单调递增，， 函数在上单调递增，则，因此当且时，方程无解； 当时，由（1）知在上单调递减， ，因此与矛盾， 于是时，方程无解， 所以是方程的唯一一组正整数解. （3）设，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上递增，由，得，即， 则，即， 所以，即. 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，根据给定不等式的特征，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 4．已知奇函数，其中. (1)求值； (2)若对任意上恒成立，求的取值范围； (3)记，证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）函数为奇函数，故，从而得到方程，化简得到，求出； （2）当时，，根据函数单调性，放缩得到对任意上恒成立，当时，可举出反例，从而得到结论； （3）变形得到，即证：当时，，构造，求导得到单调性和最值，得到结论. 【详解】（1）为奇函数，， 即， 化简得， 且，， ，； （2）由（1）知. 当时，， 又在上单调递增， ， ， 对任意上恒成立， 当时，令，则， 此时， 与条件矛盾. 综上，. （3）由条件可知， 待证不等式可作如下等价变形： ， 故即证：当时，. 构造函数，则. 在上单调递增， ，即. 当时，. 【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法，一是分离参数法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定条件. 5．已知函数． (1)若，证明：； (2)记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 【答案】(1)证明见详解 (2)（i）证明见详解；（ii）证明见详解 【分析】（1）先构造函数证明，，再由的单调性得出即可证明； （2）（i）利用错位相减法求和后放缩即可得证；（ii）利用函数不等式可得，得出递推关系，累乘后可得，求和即可得证. 【详解】（1）设，当时，， 所以在上为增函数，故当时，， 所以当时， 设，当时，， 所以在上单调递增，故当时，， 所以当时， 故当时， 因为，当时，， 所以在上为增函数， 因为当时，，且由， 可得，所以，即， 所以 （2）（i）因为， 所以， 则， 所以 ， 即， 所以 （ii）函数， 因为当时，， 所以当时，， 所以当时，， 因此， 故，即 因为， 所以当时，， 综上，，所以， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：在第一步的证明过程中，首先要构造函数，利用导数证明几个不等式，比较难想到，当求出单调性后，得到，再由单调性得到，技巧性很强，一般不容易想到，属于难题. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优02 利用导数证明不等式 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 直接法证明简单不等式（★★★） 3 题型二 构造函数证明不等式（★★★★） 4 题型三 转为两个函数类型证明不等式（★★★★） 5 题型四 数列类型不等式的证明（★★★★★） 5 题型五 三角函数类型不等式的证明（★★★★★） 8 03 实战检测・分层突破验成效 8 检测Ⅰ组 重难知识巩固 9 检测Ⅱ组 创新能力提升 11 在不等式构造或证明的过程中，可借助题目的已知结论、均值不等式、函数单调性、与、有关的常用不等式等方法进行适当的放缩，再进行证明．下面着重谈谈与、有关的常用不等式的生成． 核心逻辑：利用导数工具，将不等式转化为函数问题，通过分析函数单调性、最值突破证明。关键在于合理构造函数（紧扣不等式结构）、精准求导分析（一阶导判增减，二阶导补一阶导的 “模糊区” ）、灵活结合特殊点与放缩（简化复杂证明）。多练典型题（如单变量恒成立、双变量对称式、指对混合），熟练通法，可高效攻克导数证不等式难题！ 利用导数证明不等式，核心是借助函数单调性、极值、最值等性质，将不等式转化为函数值的大小比较。 一、利用曲线的切线进行放缩证明不等式 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 设上任一点的横坐标为，则过该点的切线方程为，即，由此可得与有关的不等式：，其中，，等号当且仅当时成立．特别地，当时，有；当时，有． 利用切线进行放缩，能实现以直代曲，化超越函数为一次函数． 二、利用曲线的相切曲线进行放缩证明不等式 由图可得；由图可得；由图可得，（），（）；由图可得，（），（）． 综合上述两种生成，我们可得到下列与、有关的常用不等式： 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）． 与有关的常用不等式： （1）（）； （2）（）； （3）（），（）； （4）（），（）． 用取代的位置，相应的可得到与有关的常用不等式． 题型一 直接法证明简单不等式 【技巧通法·提分快招】 直接法证明不等式的本质是将不等式转化为函数问题，通过构造函数、求导分析单调性，找到函数最小值（或最大值 ），验证其非负（或非正 ），从而证明不等式恒成立。掌握 “构造 — 求导 — 找最值” 三步法，可高效解决指数、对数及复合型简单不等式证明，多练典型题，熟练后可快速突破此类题型！ 1．证明以下不等式： (1)； (2)； (3). 2．求证： (1)（）； (2)； (3)（）． 3．证明：当时，； 4．求证：当，且时，． 5．已知函数，求证：当时，. 6．讨论函数的单调性，并证明当时，. 题型二 构造函数证明不等式 【技巧通法·提分快招】 不等式证明难下手时，就把它变形成函数形式。先观察不等式，把一边的式子设成新函数。接着求导，看导数正负，确定函数是增是减。再找特殊点（像端点、极值点）的函数值，结合单调性，判断函数值恒正或恒负，就能证出不等式。 1．（2025·北京·模拟预测）已知函数． (1)当时，求在处的切线的倾斜角； (2)若是函数的极值点， （i）求实数的值； （ii）设函数．证明：． 2．（2025·北京东城·模拟预测）已知函数，，． (1)证明：在区间恒成立； (2)若的最小值为0，求的值； (3)若在区间内恒成立，求的取值范围． 3．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 4．（2025·北京顺义·一模）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 5．已知函数. (1)若 ①求的极小值； ②证明：当时，； (2)若的图象与直线切于点，求的值. 6．已知函数，且有两个极值点. (1)求实数的取值范围； (2)证明：. 7．已知函数 (1)若，求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 8．已知函数． (1)证明：； (2)证明：． 9．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)记的极小值为，证明：． 10．已知函数 ， (1)求函数的单调区间. (2)若 对任意 成立，求正实数的取值范围. (3)证明: 题型三 转为两个函数类型证明不等式 【技巧通法·提分快招】 遇到不等式，拆成两个函数。分别研究这两个函数，求它们的导数，找各自的单调性、最值。比较两个函数的最值，若左边函数最小值大于右边函数最大值，原不等式就成立。注意拆分要合理，区间要一致，别漏验证等号情况。 1．设函数,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y=e(x-1)+2. (1)求                   (2)证明: 2．已知函数. （1）讨论的单调区间； （2）当且，求证：. 题型四 数列类型不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 求和放缩：数列和的不等式，用裂项、等比放缩简化求和，再比较大小。 函数化：把数列通项当函数，用导数研究单调性，推导数列增减。 1．已知函数． (1)若，求函数的单调区间； (2)设，讨论函数的零点个数； (3)证明：，． 2．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在区间上单调递增． （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）证明：，． 3．已知函数． (1)判断函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围； (3)求证：，． 4．已知函数. (1)当为奇数时，证明：的图象关于点对称； (2)当时，，求的取值范围； (3)证明：当时，. 5．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，正项数列满足：，． ①求证：； ②求证：当时，． 6．已知，当时，. (1)求的值； (2)证明：实数a的取值范围为； (3)证明：当时，. 7．已知函数． (1)若，讨论的零点的个数； (2)若为正整数，记此时的唯一零点为，证明： （i）数列是递增数列； （ii）． 8．已知函数的图象在点处的切线与直线：垂直，记. (1)求实数的值； (2)证明：有两个极值点； (3)证明：当，时， 9．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)试比较与的大小； (3)当时，数列满足，，，证明：. 10．已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 11．函数，. (1)方程有两解，，求证：； (2)证明：. 12．已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数极值点的个数，并说明理由； (3)证明：当时，都有． 13．设函数． (1)证明：； (2)设函数的导数为，，当时，函数存在一个极值点，求实数a的取值范围； (3)证明：当时，． 14．已知函数（为自然对数的底数），，其中为实数． (1)求函数在点处的切线方程； (2)若对，有，求的取值范围； (3)证明：． 15．已知函数. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)求证：. 16．已知函数. (1)求证：. (2)若，，为的最大值， （i）求的极小值； （ii）设，，求证：. 题型五 三角函数类型不等式的证明 【技巧通法·提分快招】 有界性：利用正弦、余弦函数值域，结合不等式变形证明。 导数分析：构造三角函数，求导判单调性，结合特殊点函数值证不等式。 三角变形：用和角、倍角公式化简式子，再结合有界性、单调性证明。 1．已知函数 (1)当时，求证： (2)若对恒成立，求的取值范围. 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)证明：. 3．已知函数． (1)若恒成立，求的取值范围； (2)当时，（i）求的最小值；（ii）证明：． 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：时，； (3)判断函数的零点个数. 5．已知函数. (1)当时，判断的零点个数，并说明理由； (2)设为在区间内的零点，令，，. （ⅰ）求证：； （ⅱ）求证：. 6．已知，． (1)判断的单调性； (2)若函数图象在处切线斜率为，求； (3)求证：． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数. (1)当时，求的极小值； (2)若存在唯一极值点，证明：. 2．已知函数，. (1)求的单调区间； (2)若的最大值为，证明：，. 3．已知函数. (1)若，，求的单调区间和极值； (2)若，证明：当时，. 4．已知，，且在处的切线与的交点横坐标为. (1)求； (2)记，求的单调区间； (3)在（2）的条件下，证明：. 5．已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当时成立． 6．已知函数. (1)当时，证明:. (2)若对于定义域内的任意恒成立，求t的取值范围. 7．已知函数. (1)若在其定义域内单调递增，求的取值范围； (2)若，证明：，； (3)若在上有两个极值点，求的取值范围. 8．已知函数，. (1)判断的零点个数； (2)记的零点为，证明：. 9．已知函数的导函数为． (1)若，求证：在有唯一零点； (2)若，是的极小值点，求的取值范围； (3)若，是单调函数，证明：． 10．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围； (3)求证：当时，. 11．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)求函数的最小值； (3)当时，证明：． 12．已知函数 (1)证明：. (2)若有且只有一个零点，求a的范围. 13．已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)对任意，证明：. 14．已知函数，数列满足：，，. (1)若，求的取值范围； (2)证明：对任意，； (3)定义，证明：. 15．已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)设函数，讨论在区间上的单调性； (3)若存在两个极值点，，且，证明：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．当时，求证：． 2．已知，且，. (1)求的最小值； (2)求证：. （参考数据） 3．已知函数. (1)求的最值； (2)求正整数，使其满足且； (3)若，求证：. 4．已知奇函数，其中. (1)求值； (2)若对任意上恒成立，求的取值范围； (3)记，证明：当时，. 5．已知函数． (1)若，证明：； (2)记数列的前项和为． （i）若，证明：． （ii）已知函数，若，，，证明：. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$