重难点培优01 利用二阶导函数解决函数问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优01 利用二阶导函数解决函数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 二阶导与函数单调性（★★★） 3 题型二 二阶导与函数极值、最值（★★★★） 11 题型三 二阶导与不等式证明（★★★★★） 16 题型四 二阶导与恒成立问题（★★★★） 23 题型五 二阶导与函数零点或方程的根（★★★★★） 26 题型六 二阶导与参数综合问题（★★★★★） 30 题型七 二阶导与拐点、对称中心结合（★★★★） 37 题型八 二阶导与函数凹凸性结合（★★★★） 39 03 实战检测・分层突破验成效 44 检测Ⅰ组 重难知识巩固 44 检测Ⅱ组 创新能力提升 64 一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。 一、二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 二、二阶导数与一阶导数及原函数的关系 1.一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减。 2.二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减。 二阶导数不直接决定原函数的单调性，而是通过控制一阶导数的增减，帮助分析一阶导 的符号变化，从而更精准地确定原函数的单调区间及单调性转折点。 通过二阶导数辅助分析原函数单调性，本质是利用 “导数的导数” 刻画变化率的规律，从而更系统地研究函数的动态特征，尤其在处理复杂函数或需要判断单调性转折点时具有重要作用。 三、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 四、曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 五、曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。 六、解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题。 题型一 二阶导与函数单调性 【技巧通法·提分快招】 1.先求原函数的一阶导. 二阶导。 2.分析符号，确定单调性：若, 则单调递增；若, 则单调递减。 3.结合零点、初始值等，判断符号，进而确定原函数单调区间对应递增，对应递减)。 1．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】在上单调递增 【分析】对求导，令，讨论与的大小，可得的单调性，即可证明，即，即可证明. 【详解】依题意，. 令，故，令，解得， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故，故，即， 故函数在上单调递增. 2．设，函数，讨论在的单调性. 【答案】在单调递减，在单调递增. 【分析】利用多次求导的方法来求得在区间上的单调性. 【详解】因为，所以在有定义， ， 设， 则， 当时，， 所以 在单调递增， 而，所以当时时 ， 因此在单调递减，在单调递增. 3．已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间 (2) 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系进行求解即可； （2）由（1）可得时，，再分别讨论和两种情况下的单调性，根据单调性判断是否为的极小值点，进而确定a的取值范围. 【详解】（1）若，则， 的定义域是． ． 令，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以当时，恒成立， 当且仅当时等号成立． 所以的单调递减区间为，无单调递增区间． （2）的定义域为，． 由（1）得，当时，，即； 当时，，即．所以当时，． 因此，当时， ．① （ⅰ）若，则当时，由①可得． 所以在上单调递减， 故不可能为的极小值点． （ⅱ）若， 当时，， 所以， 则由①可得； 当时，， 设， 则， 所以在区间上单调递增， 从而． 故在上单调递减，在上单调递增， 所以为的极小值点． 综上所述，a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：解决第二问的关键在于，借助第一问得到结论时，，再分别讨论和两种情况下是否为的极小值点，进而确定a的取值范围. 4．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 5．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，得，令，再求导判断即可； （2）当时，可化为，令，，，对于a分类讨论求解． 【详解】（1）当时，，函数的定义域为， ． 令，有， 令可得，可知函数的增区间为， 令，可得，所以函数减区间为， 可得，有， 可得函数单调递增， 故函数的增区间为，没有减区间． （2）当时，可化为 令，，． ①当时，，可得函数单调递增，有，满足题意， ②当时，，有，可得函数单调递增，有，满足题意， ③当时，，可得一元二次方程有两根，（记）， 由，可得， 可得函数的增区间为，减区间为，必有，不合题意， 由上知，若时，恒成立，则实数a的取值范围为． 【点睛】关键点点睛：第二问中，当时，，可得一元二次方程有两根，（记），由，可得，由此确定函数的单调性，由此判断结论． 6．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递减区间为单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到函数解析式，求出切点坐标.求函数的导数得到切线斜率，然后写出切线方程； （2）代入得到函数解析式，求函数的导数，令，再求的导数，从而知道的单调性，由此得到对应区间内，从而得到函数的单调区间. （3）由解析式分析得到函数在上存在零点，则.求函数导数，由（2）可知且.然后分类讨论：①，证明当，，且，得到结论；②时，使得，得到，通过换元后求导，证明，由零点存在性可知存在零点，故得到结果. 【详解】（1）当时，，，切点为， ，∴，∴切线方程为： （2）当时，， 令，，令，得到， ∴时，，∴在单调递增，即在单调递增； ∴时，，∴在单调递减，即在单调递减； ∵，且时，恒成立， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴的单调递减区间是，单调递增区间为， （3）， ∵时，，，∴，若，则恒成立， ∵在上存在零点，∴； ，由（2）可知在单调递增，在单调递减. ∴，∵，∴， ①若，即，时， ，，，， ∴，，∴在单调递增，∴， ∴无零点. ②若，即，时， ∵，使得，当时，， ∴变化时，的变化情况如下表： 0 极小值 ∴在上单调递减，∴，∴在无零点. ，， ，单调递增，∴，∴ ，，∴，∴ ∴，∴在上存在零点. 综上所述，若在上存在零点，实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛，连续函数在区间是否存在零点，只需证明 ，使得，本题借助导数求得函数的单调区间及最值，从而研究函数是否存在零点问题. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)且 【分析】（1）求导后构造函数，再次求导分析单调性，得到，然后再分析的单调性即可； （2）分和时讨论，当时分离参数，构造函数，求导分析单调性即可； （3）求导后将问题转化为有三个变号零点，当时分离参数并构造函数，求导分析单调性和极值即可； 【详解】（1）当时，，， 令，则， 令， 所以当时，，为减函数； 当时，，为增函数， 所以，即， 所以当时，，为减函数；当时，，为增函数； 综上，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，即恒成立， 当时，显然成立； 当时，分离参数，即恒成立， 令，则， 令，可得， 所以当时，，为增函数；时，，为减函数；当时，，为增函数， 当时，；当时，；当时，；当时，， 画出其大致图像 所以. （3）， ， 因为有三个极值点，所以有三个变号零点， 即有三个变号零点， 容易得到是方程的一个根，不是方程的根， 当时，分离变量，， 令，则， 令， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递减；当时，，单调递增； 画出其大致图像为 极小值， 因为已经是方程的一个根， 所以要使与有两个交点，即且. 【点睛】关键点点睛：本题第二小问的关键是能够分离参数后求导分析单调性，利用数形结合求解；第三小问的关键是将问题转化为有三个变号零点，再当时，分离变量构造函数分析单调性和极值，再数形结合求解. 题型二 二阶导与函数极值、最值 【技巧通法·提分快招】 1.求导：算出, 找零点(即 2.用二阶导判极值：若是极小值点：若是极大值点。 3.求最值：极值点函数值与区间惴点函数值比较，确定最大、最小值（闭区间需算端点值，开区间结合极限趋势判断)。 1．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值0；无极大值． (2)． 【分析】（1）对求导，构建新函数，对求导，可判断单调性，根据题意知，可判断符号，即可确定单调性及极值点； （2）设新的函数，可转化为恒成立，即小于最小值，在构新的函数，，对求导，即可判断单调性，以及最小值点，即可求解. 【详解】（1）当时， 定义域为． ，． 令．则． 所以在上单调递增． 又因． 可知当时，；时，． 得时取极小值； 无极大值． （2）根据题意知当时，都有， ， 令，显然在上单调递增．则， 所以， 令， ， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 可得，所以， 即a的取值范围． 2．设函数. (1)当时，求在上的最小值； (2)若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先将代入，然后求导得到，再求导得到，因为，就得到二阶导大于等于0恒成立，得到一阶导单调递增，然后判断一阶导大于等于0恒成立，然后得到原函数单调性，求得最小值； （2）先利用两个函数的互对称得到，然后代入不等式，整理得，构造函数，得到，然后利用端点效应得到，最后判断其充分性即可. 【详解】（1）当时，， 所以， 令， 得， 因为，得， 所以，故在单调递增； 所以， 所以在单调递增， 故在上的最小值为. （2）由题得， 得当时，恒成立， 整理得恒成立， 令， 显然，， 要使时，恒成立， 则， ， 所以有， 验证，当时， 令， ， 令， ， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故在单调递增； 所以， 故符合题意. 【点睛】思路点睛：恒成立，显然，我们由函数图像可知，在时， 不可能单调递减，所以可知，然后求得，此时为恒成立的必要条件，我们还需要利用去判断恒成立，证明为恒成立的充分条件. 3．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 【答案】证明见解析 【分析】通过二次求导确定在上单调递增，再结合，，即可求证. 【详解】由得，， 令， 则在上恒成立， 则在上单调递增， 因， 则，， 则，使得，即， 则得；得； 则在上单调递减，在上单调递增， 则存在唯一极小值点. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 【答案】(1). (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据函数在某点处的导数的几何意义求得切线的斜率，再利用点斜式求切线方程即可； （2）利用二次求导判断导函数在上单调递增，再构造函数判断，结合即可得存在唯一的，使得，从而证得有唯一极值点； （3）由（2）知函数有唯一极小值点，结合有唯一零点，可得，利用，得，进一步得，利用导函数判断函数的单调性，结合区间端点处的函数值的符号即可证得. 【详解】（1）函数的定义域为， 因为，所以， 则， 所以斜率，又， 所以切线方程为，即. （2）因为，， 所以，， 令，， 则，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 构造函数，则， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，所以，即， 所以， 又，所以存在唯一的，使得， 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以函数有唯一极值点. （3）由（2）得， 因为函数有唯一零点，所以，所以， 即，所以， 设，所以， 所以在单调递减， 因为，所以. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，证明：存在极小值. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）对求导，分析函数的单调性即可. （2）求导，的切线斜率，再求切点，利用直线方程的点斜式求切线方程，得到切线与坐标轴的交点，可求所求三角形的面积. （3）分析函数的单调性，确定函数有极小值.在此过程中为解的根，需要二次求导. 【详解】（1）当时，，. ， 由 ；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 所以，，. 所以函数的图象在点处的切线为：，分别令， 则易知交轴于点，交轴于点， 所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为：. （3）当时，， ， 设，. 则在时恒成立. 所以在上单调递增. 且，，设. 则当时，，则；当时，，则. 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以在处取得极小值. 【点睛】方法点睛：解方程无法写出具体的解的时候，可采用设而不求的方法，设，再根据函数的单调性及零点的存在性定理，判断的取值范围. 题型三 二阶导与不等式证明 【技巧通法·提分快招】 1.构造函数：根据不等式，构造(如证, 令。 2.分析导数：求, 研究单调性、符号，判断增减性。 3.结合端点：利用在特殊点（如区间端点、零点）函数值，证明或, 推导原不等式。 1．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导可得，结合已知可求； （2）利用导数求得函数的单调区间，可求函数的最小值可得结论； （3）令，求导，令，求导可得存在，使得，从而可得在上单调递减，在上单调递增，可得函数的最小值，证明最小值大于0即可. 【详解】（1）因为， 所以，所以， 因为曲线在点处的切线斜率是， 所以， 解得； （2）由（1）知，， 则， 由，得， 由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以； （3）令， 则， 令，则， 所以在上单调递增， 又， 所以存在，使得， 即，即， 且当时，，则， 当时，，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 即 2．已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 3．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)证明见解析 【分析】（1）进行二次求导，分析单调性即可求解. （2）设函数在存在唯一零点，根据函数的单调性的函数的最小值，只要成立即可. 【详解】（1）当时， 所以 令在恒成立，所以函数在单调递增，且 ， 所以当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，无极大值； （2）当时， 所以． 令在恒成立 所以函数在单调递增， 且当时，；当时，， 所以函数在存在唯一零点， 即， 且当，函数在上单调递减； 当，函数在上单调递增, 所以函数在处取得极小值, 也为最小值， 要证不等式成立， 即证成立， 即 当且仅当时，即时，等号成立， 所以. 【点睛】利用导数比较大小、利用导数证明不等式，常常通过构造函数，把不等式转化为确定函数的单调性，利用单调性得函数值的大小，为此需要求导，利用导数确定单调性，在此过程中可能需要多次求导（当然需要多次构造函数）才能得出最终结论． 4．已知，其中. (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意求导后分类讨论即可求得答案； （2）先求得，再将原式转化为证明，通过二次求导判断函数单调性进而即可得证. 【详解】（1）由，得， 当时，，在单调递增； 当时，令，得，此时单调递增， 令，得，此时单调递减. 综上所述，当时，增区间为，无减区间 当时，增区间为，减区间为 （2）因为，，所以，， 要证，即证， 即证，即证， 设， 则， 令， 则对恒成立， 所以在单调递增，所以时，， 所以对恒成立，所以在单调递增， 所以时，， 即成立，故原式得证 【点睛】方法点睛：本题考查利用导数证明函数不等式恒成立问题，常见方法如下： （1）构造函数法：通过构造函数，利用导数研究函数单调性，转化为求函数最值问题； （2）放缩法：一是利用题目中已知条件进行放缩，二是利用常见的二级结论进行放缩； （3）同构法：指数和对数同时出现，往往将不等式形式进行变形，通过同构化简不等式进而证明即可. 5．已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）通过判断的正负得到在上的单调性，再利用单调性求出最小值即可； （2）因为，则，令，求导，通过分析的正负，得到的单调性，从而得出的最值及的正负，即可得到的单调性和最值，从而得证. 【详解】（1）由题意知， 令，则， 因为当时，，即， 所以即在上单调递增， 所以在上的最小值为. （2）由题意知，又因为， 所以， 令， 则， 因为，所以，所以， 因此在上单调递增， 所以当时，，所以， 所以在上单调递增，所以， 即当时，在上. 6．设，，其中． (1)若，，记，求在处的切线方程； (2)若，，证明：； (3)若，，且恒成立，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)10 【分析】（1）求导得切线斜率，由点斜式方程可得； （2）利用导函数研究函数单调性，进而证明不等式可得； （3）求出函数的导数，就分类讨论后可得的最大值. 【详解】（1）若，则， 则， 故直线的斜率为，又，直线过点， 因此在处的切线方程为. （2）若，则． 则． 令， 因为， 所以， 所以在上单调递增，则， 即，所以在上单调递增， 故，得证． （3）若，则． 因为， 所以 令， 则， ①当时，由， 则， 即，故在单调递增， 则，满足题意； ②当时， 即，， 则函数图象开口向上，且，， 由零点存在性定理可知，存在时，使， 则当时，，则， 即. 由，令， 解得，所以在上单调递减， 所以此时，不满足恒成立. 故由①②可知，的最大值为. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键点在将决定函数导数正负的核心函数因式分解后找到分类讨论的点. 题型四 二阶导与恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 1.转化问题：恒成立(或, 等价于(或 2,求导分析：用二阶导研究变化，确定单调性、极值，找最值。 3.列不等式求解：根据最值与参数关系，列关于参数的不等式，解出参数范围。 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用求导可知，都是常数，所以该点的切线方程易求得； （2）此题不宜用分离参变量方法，而是含参求导分析，要抓住这个含参函数的定值，而这个定值恰好是不等式对任意恒成立的一个端点值，所以由此联想到要使得，则必需要使得紧靠0的右侧附近区域递增，这样也就只需要紧靠0的右侧附近区域，然后又抓住这个定值条件，所以继续同上分析的二次导函数，最后通过分类讨论得出问题的答案. 【详解】（1）由得： 所以当时，有，， 由曲线在点处的切线方程为，得：， 即曲线在点处的切线方程为. （2）令，则， 由于得：，所以把参数按下面分类讨论： ①当时，有，则在区间上是单调递增， 即，从而可知， 所以函数在区间上也是单调递增， 即有最小值，此时不等式对任意恒成立， 所以当时，满足题意； ②当时，由得，， 则当时，，则在区间上是单调递减， 且当时，，则在区间上是单调递增， 即，又当时，可判断， 由上可知在开区间存在唯一零点，假设零点为， 则可知当时，，则在区间上是单调递减， 可知当时，，则在区间上是单调递增， 即，此时不等式对任意不恒成立， 即当时，不满足题意，被舍去； 综上所述：实数的取值范围是. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数求导，分别讨论和两种情况，即可求出结果； （2）先分离参数，将原式化为，构造函数，利用导数判断的单调性进而求出的最大值即可. 【详解】（1）的定义域为，， 当时，恒成立，所以的单调递减区间为, 当时，令，则，所以的单调递增区间为， 令，则，所以的单调递减区间为, 综上：当时，的单调递减区间为，无增区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）当时，恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立， 令（）， 令（），则， 令（），则， 由得，，所以，所以在上单调递减， 所以，即，所以在上单调递减， 所以， 令，则，所以在单调递增， 令，则，所以在单调递减， 所以，所以. 综上实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是分离参数得对恒成立，再设新函数（），对此求导研究其最值即可. 3．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在上单调递增 (3)证明见解析 【分析】（1）由求得切点的坐标，代入切线方程求得. （2）利用多次求导的方法求得的单调区间. （3）将恒成立的不等式转化为，利用构造函数法，结合多次求导的方法来求得正确答案. 【详解】（1）， ，解得切点为， . （2）， 当时，单调递减， 当时，， 单调递增，单调递递增. 综上所述，在上单调递减，在上单调递增. （3）恒成立， 恒成立恒成立. 令， 则， 令，则单调递增， 又，当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 恒成立. 【点睛】方法点睛：切点与切线的关系：在小问1中，利用导数求出曲线在给定直线为切线时的斜率，再通过求解切点的方法确定参数的值，这是典型的求切线与曲线关系的方法. 多次求导法：在小问2中，通过对函数进行多次求导，判断导数的符号变化来确定单调区间，是分析函数单调性的常用手段. 构造函数法求证不等式：在小问3中，通过将不等式转化为关于某变量的函数问题，利用构造函数并结合单调性分析来证明恒成立，是一种常用的不等式证明方法. 题型五 二阶导与函数零点或方程的根 【技巧通法·提分快招】 1.研究函数：设函数对应方程，求, 分析单调性、极值、凹凸性。 2结合零点存在：利用极限（如时趋势)、特殊点函数值，结合单调性、极值，判断零点个数。 3.分类讨论：按极值正负、区间端点函数值符号等分类，确定方程根的情况及参数范围。 1．已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据函数的单调性可得或，继而即可求解； （2）是奇函数，所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点.利用二次求导分析的单调性，结合零点存在定理即可证明. 【详解】（1）， 因为为上的单调函数， 所以对任意，有；或对任意，有， 即恒成立，或恒成立， 所以的取值范围是. （2），且， 所以是奇函数， 所以只需证明：存在无数个取值使得在上恰有一个零点. ，令， 由（1）知，时，在上是减函数. 所以，在上是减函数. ，故存在. 当变化时，的变化情况如下表： 0 2 + 0 0 极大值 故时，. 故存在唯一的. 于是时，在上存在唯一的零点. 于是存在无数个取值使得恰有三个不同的零点. 2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数的零点个数. 【答案】(1) (2)3个零点. 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程； （2）首先判断函数的单调性以及导数的单调性，再结合零点存在性定理，判断函数零点的个数. 【详解】（1）当时，，则， 切线方程为，即. （2）， 设， 当时，单调递减； 当时，单调递增， . .令， 当时，，则函数在上单调递增， 当时，. 由零点存在定理可知，函数在和上各有一个零点， 设为，则，， ， 易得在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 的极大值为 记，则， 在上单调递减，当时，； 当时，， ，则，即. 同理可知，函数的极小值为. . 由零点存在定理可知，函数在区间上各存在一个零点， 有3个零点. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是判断是判断导函数的单调性，以及导函数的极值，以及零点存在性定理中端点的取值，并多次构造函数说明不等式问题. 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线； (2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求函数导数得切线斜率，进而由点斜式得切线方程； （2）令，根据函数导数讨论函数单调性可得 ，从而得到证明． 【详解】（1）解：因为，所以， 则，， 此时切线方程为，即； （2）证明：函数存在两个零点，得方程有两解， 即存在两解． 令，则， 令，因为， 所以在上为单调递减函数， 由，， 所以存在，使得， 且，，，， 所以在上递增，在上递减． 所以 ， 由，且， 则任意，时，函数与有两交点， 故函数存在两个零点． 【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意得方程有两解，即存在两解，令，通过二次求导及零点存在性定理得到函数的单调性，进行求解． 题型六 二阶导与参数综合问题 【技巧通法·提分快招】 1,理清关系：明确参数与函数单调性、极值、零点等的关联，设含参数的函数。 2.求导分析：算, 用二阶导研究性质，进而分析特征。 3.列方程（组）或不等式：根据题目条件（如极值点、零点、恒成立等），列关于参数的等式或不等式，求解参数。 1．已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2)． 【分析】（1）对函数求导得，然后令，再求导，从而求解. （2）利用分离常数得在区间上恒成立，从而只需求出的最大值，即可求解. 【详解】（1）因为，定义域为，得 令，则，当，得， 当，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即恒成立， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间． （2）由题意在区间上恒成立，即恒成立， 即在区间上恒成立， 令，，只需 因为，令，， 有， 所以函数在上单调递减，所以，即， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，即， 所以实数a的取值范围为． 2．设，若时，，求整数k的最大值 【答案】2 【分析】对函数求导并对不等式进行化简，构造函数并求导，通过分类讨论的不同情况即可求出整数k的最大值. 【详解】由题意， 在中，， ∵当时， ∴ 设， 在中，， 当时，， 在单调递增，，符合题意 当时，令， ∴在递减，在递增 ∴， 令 ∴在单调递减，且，， ∴整数k的最大值为2． 【点睛】关键点点睛：本题考查学生的求导和构造新函数的能力，学生需要利用分类讨论来求解不同情况，具有很强的综合性. 3．已知函数． (1)当时，证明：只有一个零点． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求解的单调性，从而证明； （2）根据，即对进行构造函数多次求导后分类讨论从而求解的范围. 【详解】（1）证明：当时，， 所以：是减函数． 又因为：，所以：只有一个零点． （2）由题意得：，，即：， 令函数， 则：， 因为，要使得，则存在，使得在0,x1上单调递增，即当时，. 令函数， 则：， 因为：，要使得，则存在，使得在上单调递增，即当时，， 令函数， 则：，得：， 当，即时， 令函数，， 令函数，， 因为：在上恒成立，所以函数在上单调递增． 因为：，所以在上恒成立， 所以：在上单调递增. 因为：，所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以：在上单调递增，符合题意． 当，即时，存在，使得当时，，即在上单调递减． 因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减． 因为：，所以当时，，即，所以在上单调递减． 因为：，所以当时，，与题意不符． 综上：的取值范围为. 【点睛】关键点睛：（2）问中采用多次求导法并结合函数的单调性，然后分类讨论，从而求解出的取值范围， 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)若，且存在两个极值点. ①求的取值范围； ②证明：. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）求导后可得再计算，则可得切线方程. （2）①令，利用导数求其单调性及最值，由条件列不等式可求的范围，并检验所得结果. ②设，由（1）知要证，只需证，令，则需证，设，利用导数求出的最小值即可证明. 【详解】（1），则，则 又， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）①的定义域为， 设，则，令，得. 由，得，由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 因为存在两个极值点，所以有两个零点， 所以，得. 又当时，，当时，， 所以满足有两个零点，有两个极值点，故的取值范围是. ②不妨设，由（1）知， 两式相减，可得，得. 要证，只需证， 即证， 即证. 令，则需证，即证. 设，则当时，， 所以在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以. 综上，. 【点睛】利用导数求解函数的单调区间，关键是研究清楚函数在具体区间上的符号，对于导函数比较复杂的情况，可借助二次求导来进行研究.如本题中和，这部分需要利用构造函数法，或直接进行二次求导来研究. 5．已知函数存在极大值. (1)求的取值范围； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助对数换底公式可得，再借助导数求导后分及进行讨论，从而研究原函数的单调性，结合极值的定义即可得解； （2）结合（1）中所得，可得，结合函数单调性可得的极值点，且与一一对应，从而可得，构造函数，借助导数研究其单调性后即可得其值域. 【详解】（1）， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递减， 当时，，当时，， 则有： ①当，即时，，即在上恒成立， 即在上单调递增，无极大值，不合题意，故舍去； ②当，即时，存在，使得， 此时，当时，， 当时，， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以存在极大值，符合题意； 综上，； （2）由（1）知，，且在上单调递减， 由，，所以，且与一一对应， 因为 ， 令， 则， 当时，，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， ， 由， 所以， 即. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到，从而消去，得到. 6．设函数. (1)当时，判断在上的单调性； (2)当时，证明：； (3)设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数求在上的单调性； （2）令，利用导数求的单调性，证明在上恒成立； （3）令，函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点，利用导数通过讨论判断的单调性和零点的存在，求出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：令， 则， 令，则，当时，， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 所以，所以在上单调递增， 所以，所以不等式成立. （3）由题可知：， 则， 令且， 所以函数在上存在唯一极值点等价于在上存在唯一变号零点， 又因为且， 令， 则且 ①当时，， （i）当时，在上单调递减， 所以在上单调递增. 又因为，， 由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时，， （ii）当时，， 所以， 所以由（i）（ii）知：在上单调递减，在上单调递增， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，， 又因为， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 所以当时，；当时， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以当时，， 又因为，由（2）知：， 所以由零点存在性定理知：存在唯一，使得， 当时，；当时，， 即为在上唯一变号零点，所以符合题意； ②当时，由时，得： ， 令且， 则且， 令， 又因为，则在上单调递增， 即在上单调递增，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，， 即在上无零点，所以不符合题意. 综上：，即实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理. 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 题型七 二阶导与拐点、对称中心结合 【技巧通法·提分快招】 1.拐点判断：若且在两侧变号，则是拐点。利用二阶导找拐点，分析函数凹凸区间变化， 2.对称中心：若函数二阶导有特征（如是奇函数等)，结合函数对称性定义，判断对称中心。或通过构造, 利用二阶导找对称中心条件。 1．对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2014 B．2013 C． D．1007 【答案】A 【分析】根据对称中心的定义，由二阶求导可求出对称中心，进而根据对称中心的特征求解. 【详解】，所以，令 ， ，所以的对称中心为 ， 故选：A 2．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 . 【答案】8090 【分析】本题首先可根据得出，从而，然后令，求出对称中心，，最后根据即可求出算式. 【详解】由题意因为， 所以，， 令，解得，， 由题意得对称中心为， 所以， ， 故答案为：8090. 3. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，再求导，然后令，求得对称点即可. 【详解】依题意得，，， 令，解得x＝1， ∵，∴函数的对称中心为， 则， ∵ ∴． 故选：A. 4．设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（    ） A．2021 B． C．2022 D． 【答案】B 【分析】通过条件，先确定函数图象的对称中心点，进而根据对称性求出函数值的和. 【详解】由，可得，，令，得，又，所以对称中心为，所以，…，，. 所以． 故选：B. 题型八 二阶导与函数凹凸性结合 【技巧通法·提分快招】 1.凹凸性判定：在区间内，若, 则在上是凹函数；若, 则在上是凸函数。 2.应用性质：凹函数满足凸函数反之。利用凹凸性性质，结合二阶导符号，证明不等式、判断函数形态等。 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求函数导数，结合导数不等式进行求解，构造函数，利用函数的单调性研究函数的最值即可． 【详解】由于，则， 得，由于在上为“凸函数”， 所以 在上恒成立，即在上恒成立， 由对勾函数的性质知在上单调递增， 于是，故. 故选:  C 2．给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ） ①，②，③，④. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据题意，分别验证各个选项中的函数的二阶导数在上是否是负数即可. 【详解】①,则，当时，，则，选项①满足； ②，则，当时，，即，②不符题意； ③，则，选项③满足； ④，当时，，选项④满足. 综上有个函数符合题意. 故选：B 3．设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由“凸函数”定义可得在区间D上单调递减，令，则问题转化为在恒成立，分离参数后转化为求函数最值可得； （2）令，结合的单调性与三角函数的有界性，分区间讨论的单调性与函数值的符号变化即可. 【详解】（1）由，则. 由题意可知，为上的“凸函数”， 则在区间上单调递减，设， 则，所以在恒成立， 则在恒成立， 又当时，函数取最小值，且最小值为， 所以有，解得， 即a的取值范围为. （2）当时，由得 . 令，其中， 则，其中. ①当时，则，， 所以，则在单调递增， 则恒成立，即在无零点； ②当时，令，其中， 由在单调递增， 又， 故存在，使得， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 由， 故存在，使，即， 故当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 又， 故当时，，即在无零点； ③当时，由，则， 故故在单调递增， ，且， 故由零点存在性定理可知在有且仅有一个零点； ④当时，， 故在无零点； 综上所述，有且仅有两个零点，其中，而另一个零点在内. 由，即将图象向左移1个单位可得的图象. 故也有两个零点，一个零点为，另一个零点在内. 故有且仅有两个零点，命题得证. 【点睛】关键点点睛：该题目属三角函数与导函数综合题型，解决本题目的关键在于利用导函数与三角函数的有界性分区间讨论函数值的符号变化.当时，，单调递增，而，无零点；当时，通过二次求导与零点存在性定理可得先减后增，而，也无零点；当时，，单调递增，而，有且仅一个零点；当，由三角函数有界性，恒有故无零点. 4．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的 ，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 【答案】(1)凸函数 (2) (3) 【分析】（1）根据凹凸函数的定义判断即可； （2）由（1）知在为凸函数，根据凸函数的性质结合题意即可求解； （3）令，，则问题转化为在上恒成立，对分类讨论，结合导数的运算研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1），， 所以， ， 因为，所以 ， 所以在为凸函数. （2）由（1）知在内为凸函数， 又，且（，，，）， 所以 所以 （3）令，，则在上恒成立， 则，且， 当，，不合题意舍去; 当，则， 故， 令，则 ， 令，，则， 所以在上递增，所以， 所以，即在上递增， 又，则，所以在上递增， 又，即，，符合题意; 当，令，则，， 所以，不合题意舍去， 综上，正整数a的取值集合为 【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数R. (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出，分为和两种情况分别研究导函数的正负，即可求得的单调性； （2）构造函数，利用二次求导判断的单调性,求出m的取值范围，然后利用零点存在定理证明时，不等式恒不成立. 【详解】（1）函数的定义域为R, ， 当时，由，在R上单调递增， 当时，令，可得，令，可得， ∴单调递减区间为，单调递增区间为， ∴当时，在R上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）设，则， （i）当时，， 令，则， 令，则， ∴在区间上单调递增，则， ∴在区间上单调递增，则， ∴， ∴在区间上单调递增，则恒成立， （ii）若时，则，， ∴，使得， ∴在区间上单调递减，则，与条件矛盾， 综上所述，实数m的取值范围为. 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个不同的零点，，且.若不等式恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在内单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. (2) 【分析】(1)先求的导数，分和判断导数的正负即可得到单调性. (2) 由函数有两个不同的零点得到含参数的的表达式，代入转化为不等式在上成立问题.构造函数二次求导即可得到的单调性，从而求出当时不等式成立，时不等式不成立，即可得到正实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， 当时，恒成立，此时函数在内单调递增， 当时，令得，令得， 此时在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）因为函数有两个不同的零点且， 所以，两式相除得， 因为，所以， 所以，所以 要证不等式恒成立，即证成立， 即证在上恒成立. 令，则， 令，则， ①当时，，所以在上单调递减， 所以，所以在为单调递增函数， ，所以满足条件． ②当时，当时，，则在上为单调递增函数， 所以，所以在上为单调递减函数． 所以，不满足条件，舍去． 综上，正实数的取值范围为． 3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在最小值m，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、，利用点斜式可得出所求切线的方程； （2）分、、两种情况讨论，利用导数分析函数在上的单调性，求出在上的最大值，可得出关于的等式，构造函数，利用函数的单调性列出不等式，解之即可得解. 【详解】（1）当时，，， ，所以曲线在处的切线方程为. （2） 当时，，此时在递增，无最小值，不符题意； 当时，在单调递减，且 所以，有，此时f（x）在递增，在递减，f（x）无最小值，不符题意； 当时，令，则， 设，则，令得， 所以在递减，在递增，. （i）若，则，即，在递增，即在递增. 又，所以有， 即，且f（x）在递减，在递增， 此时 ， 设，则， 所以在递增. 由于，此时，不成立； （ii）当时，由上分析易知：f（x）在递减，在递增， ，此时符合题意； （iii） 当时，由于，， 所以存在有. 所以在递增，在递减，在递增. 又因为， 设，求导易知.由于， 故存在，有.则在递减，在递增. 此时， 由于，此时成立. 综上，a的取值范围是（0，1]. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 4．已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)函数的单调减区间是，单调增区间是 (2). 【分析】（1）利用导数法求函数的单调性的步骤即可求解； （2）利用分类讨论及函数的零点与单调性的关系，再利用导数法求函数的单调性及最值，结合函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】（1），， ，恒成立， 所以在递增. 所以当，； ， 所以函数的单调减区间是，单调增区间是. （2）， ①当时，由（1）知有且只有一个零点. ②当时，，则在区间上单调递减， 所以至多有一个零点. ③当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以， 所以无零点. ④令，当时，， 所以在区间上单调递减， 所以，有， 所以，则. 当时，，， 又因为的图象在区间上连续不间断， 所以，使得，即. 令，， 所以在区间上单调递增， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增. 所以. 令. ， 又因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，且的图象连续不间断，，， 所以有且只有2个零点. 综上，若函数有且只有2个零点，则实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：解决此题第一问是利用二阶导数及函数单调性与导数的正负的关系即可，第二问是利用分类讨论的思想及导数法求函数的单调性和最值，结合函数单调性与函数零点的关系及零点的存在性定理即可. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）将原问题转化为恒成立，构造函数，求导可得，分类讨论当、和时函数的性质，即可得出函数的性质，进而得到a的范围. 【详解】（1）当时，， ，. 曲线在点处的切线方程为， 即. （2）恒成立， 恒成立. 构造函数， 则，且. 令，得. 且. ①当时，存在， 则在上单调递减， 故存在，有，不符合题意. ②当时，令. 则， 所以单调递增，则. 所以在上单调递增，又，所以在上单调递增. 又，所以恒成立，符合题意. ③当时，， 所以在上单调递增，又，所以在上单调递增. 又，所以恒成立，符合题意. 综上所述，. 【点睛】利用导数解决不等式恒成立问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 6．已知，. (1)求方程的根的个数； (2)证明： . 【答案】(1)2个 (2)证明见解析 【分析】（1）原问题可转化为求函数零点的个数，求出.二次求导得出的单调性以及极值情况，然后分以及，根据的单调性，结合端点处的导数值，即可得出的单调性，从而得出该区间内零点的个数.进而研究，根据复合函数的单调性，可得出的单调性，根据零点存在定理即可得出该区间内零点的个数.在内，根据正弦函数的范围可得恒成立，即可得出答案； （2）先推得，然后由已知可得出.进而代入求和化简可得出. 【详解】（1）由题意可转化为求函数零点的个数. 则定义域为，且. （ⅰ）令，， 则，. 因为函数在上单调递减，函数在上单调递减， 根据复合函数的单调性，可知在上单调递减. 又，， 根据零点存在定理可知，，使得. 所以，当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，为的极大值点， 即：在区间上存在唯一的极大值点. ①当时， 由的单调性，可知在上单调递增， 所以， 所以在上单调递减. 又，所以为在上的唯一零点； ②当时， 由的单调性，可知在上单调递增，在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，此时，不存在零点. 又，， 根据零点存在定理可知，，使得. 当时，有，所以在上单调递增； 当时，有，所以在上单调递减. 又，， 所以在上恒成立，此时不存在零点； （ⅱ）当时，函数单调递减，函数单调递减， 根据复合函数的单调性可知，在上单调递减. 又，， 所以. 根据零点存在定理可知，在上存在零点. 又在上单调递减， 所以，在上存在唯一零点； （ⅲ）当时，，， 所以， 所以在上不存在零点. 综上所述，有且仅有2个零点， 所以，方程的根的个数为2. （2）因为 ， 又由（1）知：， 所以，， 所以， . 又， 所以. 【点睛】方法点睛：研究函数的零点：求出导函数，根据导函数得出函数的单调性，结合端点处（或特殊点处）函数值的符号，结合零点存在定理，分区间研究，即可得出. 7．函数． (1)求证：； (2)若方程恰有两个根，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 （1）由题意对求导可得，则对不等式恒成立，即函数在上单调递减，结合即可证明； （2）由题意可知当时，即恰好有1根，利用二阶导数和零点的存在性定理研究函数的性质，得，再次利用导数研究函数的性质可得，结合即可证明. 【详解】（1） 令 ， ， 令，得，对不等式恒成立， 即在上恒成立，得函数在上单调递减， 又，所以，即． （2） 易知是方程一个根， 所以当时，即恰好有1根， 令，， 设，， 令，令， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，由零点的存在性定理， 得使得，即，得①， 当时，，即，函数单调递增， 当时，，即，函数单调递减， 所以②，由①②可得， 则，当时，即，函数单调递减， 又，所以，即， 所以，而， 所以，即证. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决不等式证明问题时，常常采用分离参数法求范围：若或恒成立，只需满足或即可，利用导数方法求出的最小值或的最大值，从而解决问题；也可以把参数看作常数利用分类讨论方法解决：对于不适合分离参数的不等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围. 8．设函数. (1)若直线是函数图像的一条切线，求实数的值； (2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义列方程求的值； （2）原不等式可化为，设，由已知，讨论，利用导数研究的单调性，由此确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为，导函数， 设切点， 则， 解得，， 所以； （2）不等式可化为：， 因为，所以， 设，由已知 令，则， 令，则， 再令，则， 所以在单调递增，又，则，即， 所以在单调递增，的值域为. ①当时，即时，， 则在单调递增，又，所以恒成立，符合. ②当时，即时 ，当时，， 所以存在，使， 则当时，，函数在上单调递减，而， 所以对成立，不符合. 综上，实数的取值范围是. 【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)恒成立⇔； (2)恒成立⇔. 9．已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，并结合零点存在性定理，判断极值点的个数； （2）首先利用零点，将等式转化为，再构造函数，再利用导数，讨论的取值，结合端点取值，即可求的取值范围. 【详解】（1）由题可得设，， ①当时，递增，且，所以有一个变号零点， ②当时，在上递增，在上递减，且， [1]当时，即时，所以无变号零点； [2]当，即时，， 由取，则，所以有两个变号零点； 综上：当时，有1个极小值点，无极大值点； 当时，有1个极小值点和1个极大值点； 当时，无极值点. （2）时，即即有两个不同的根， ，， ， 即，即， . 下证对恒成立， 设 ， ①当时，， ； ②当时，， 使得时，，所以在上，，在上，，不存在使不等式成立； 综上：. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数结合函数性质，零点，不等式恒成立的综合应用问题，本题第二问的关键首先利用零点，变形，并构造函数为，利用导数，尤其是和端点值比较大小，求参数的取值范围. 10．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，； (3)讨论函数在上零点的个数. 【答案】(1)的增区间是，减区间是 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）代入，求出导函数，根据导函数，即可得出函数的单调区间； （2）代入，求出导函数.构造函数二次求导，即可推得在单调递增，根据，即可得出的单调性，进而得出证明； （3）易知，当时，，所以没有零点；当时，求出导函数，构造函数，二次求导可得出的单调性.进而结合特殊点的导数值，结合零点存在定理，即可得出的单调性.然后根据端点处的函数值，即可得出函数零点的个数. 【详解】（1）当时，，. 当，，所以在上单调递增； 当，，所以在上单调递减. 所以的增区间是，减区间是. （2）当时，， 则. 设，则. 由（1）知时，所以， 所以，，即在单调递增，所以， 所以在单调递增，所以. （3） 当时，，， 所以. 由（2）知，此时，所以没有零点. 若时，的导函数. 令，则. 令，则. ①当时，在上恒成立， 所以，即在上单调递增. 又，， 所以在上存在唯一零点，记作. 则当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. ②当时，，所以在上恒成立，所以在上单调递增. 综合①②，可得当时，单调递减；当时，单调递增. 又因为，所以，当时，，； 又，所以存在唯一实数，使得. 所以当时，，此时单调递减； 当时， ，此时单调递增. 又因为，所以时，，所以在上没有零点. 由（1）知时，，则. 又，在上单调递增，所以在上存在唯一零点. 所以，在上存在唯一零点. 综上，当时，在上无零点； 当时，在上存在唯一零点. 【点睛】关键点睛：构造函数，结合零点存在定理得出导函数的单调性，进而得出函数的单调性. 11．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再求出切点即得解； （2）令，再对分和两种情况讨论，求出函数的单调性，分析函数图象即得解. 【详解】（1）当时，，所以切线的斜率为， 又， 所以切线方程为， 所以切线方程为. （2）令，则 ①当时，． 由得，故在上单调递减，在上单调递增． 若，即，则在上单调递增，故，符合题意； 若，即，则在单调递减， 故当时，，不符合题意． 所以当时，实数a需满足．                    ②当时，． 由①知，，故在上单调递增． 若，即，则，在上单调递减， 故，符合题意； 若，即， 由于， 故存在唯一，使得，则在上单调递增， 故当时，，不符合题意． 所以当时，实数a需满足． 综上，实数a的取值范围为． 【点睛】方法点睛：处理函数不等式的恒成立问题，常用的方法有：（1）转化为求函数的最值，解不等式；（2）分离参数求最值；（3）端点优先法.要结合已知条件灵活选择方法解答. 12．已知函数． (1)证明：； (2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接求导得，再令，再次求导利用余弦函数的有界性即可得在上单调递增，结合即可得到，即证明原不等式； （2），结合（1）中的结论再分和讨论即可. 【详解】（1），令，则． ∵当时，，∴恒成立，即在上单调递增． 又， ∴当时，；当时，． ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ∴．∴． （2）． 由（1）知在上单调递增，∴当时，，即；当时，，即． （i）当时，在上恒成立，∴当时，；当时，． ∴函数在上单调递减，在上单调递增． ∴，即． （ii）当时，由，解得，，函数在上单调递减． ①当时，．当时，； 当时，； 当时，． ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴．不符合题意． ②当时，．当时，有恒成立， 故在上单调递减．∴函数不存在极小值，不符合题意． ③当时，．当时，；当时，；当时，． ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． ∴．不符合题意． 综上所述，若函数存在非负的极小值，则a的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用（1）中的结论：即的单调性，然后再对进行分类讨论，即分，，以及讨论即可. 13．已知函数． (1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数在区间上只有一个极值点和一个零点，证明见解析 (2)实数的取值范围是 【分析】（1）首先求函数的导数，并利用二阶导数判断导数的单调性，并结合零点存在性定理证明极值点个数，并结合函数单调性，以及端点值判断函数零点个数； （2）首先由不等式构造函数，，并求函数的导数，根据，以及，分，，三种情况讨论不等式恒成立的条件. 【详解】（1）函数在区间上只有一个极值点和一个零点， 证明如下，，设， ， 当时，，所以单调递减，又，， 所以存在唯一的，使得， 所以当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以是的一个极大值点， 因为，，， 所以在无零点，在上有唯一零点， 所以函数在区间上只有一个极值点和一个零点； （2）由，得， 令，，则， ，， ①若，则，当时，， 令，则， 当时，，所以在上单调递减，又， 所以，所以，即 又，所以， 即当时，恒成立， ②若，因为当时，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当时，，在上单调递增，不满足恒成立， ③若， 因为 不满足恒成立， 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数解决函数零点，不等式恒成立问题，本题第一问需要求函数的二阶导数，利用二阶导数分析一阶导数的单调性，结合零点存在性定理判断零点问题，第二问的关键是这个条件，再根据，讨论的取值. 14．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)在单调递减，在单调递增； (2) 【分析】(1)先求的导数，化简为，用放缩法得；设，则可判断当和时，和的正负，从而判断的正负，得到含参数的的单调性；再把代入，求出此时的，从而求出的单调性.或先把代入，求的导数，再分和两类讨论，通过二次求导和构造函数来求函数的单调性. (2)由(1)求出的单调性可求含参数和的的最小值，将代入消去即可得到关于的不等式，化简后构造函数，得到的取值范围，结合不等式得到的取值范围，从而得到的取值范围，即的取值范围. 【详解】（1）解法一：因为， 所以 易知，设， 则当时，，，所以， 则在单调递减； 当时，，，所以， 则在单调递增； 所以当时，即，即， 所以在单调递减，在单调递增. 解法二： 当时， 则 当时，令，则 所以在单调递增，， 又关于单调递增且， 所以关于单调递增，关于单调递增， 所以单调递增，则， 所以在单调递增. 当时，， ， 令，易知在单调递增，， 所以，所以在单调递减. 综上，在单调递减，在单调递增. （2）由(1)的解法一知，则在单调递减，在单调递增， 所以 将代入可得 即 即 即 即， 即 当时，易得；当时，， 所以由解得， 所以，即. 又因为，所以， 所以， 即. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式或在不等式中求参数的取值范围的问题，常见的几种方法有： （1）直接构造函数法：证明不等式转化为证明，进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. 15．已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用二次导数讨论函数在单调性，由单调性可证； （2）先根据在处的导数符号可得，然后利用放缩放判断导数符号，再根据单调性即可验证； （3）利用不等式，结合放缩法和裂项相消法可证. 【详解】（1），记， ，故单调递增， 又，单调递增， 所以，即. （2），，若时，，则存在区间，使得单调递增， 故必有，即，验证：当时，. 由（1）可知， ，即在上单调递增，满足题意， 综上，. （3）由（2）可知，当，时，，取， 则①， . ②，， 综上. 【点睛】本题不等式直接证明难度较大，对于此类不等式经常需要进行适当的放缩，本题难点在于利用（2）中结论，以及不等式问题中一些常见结论进行转化，要求学生熟记常见结论并能灵活运用. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．函数，有两个不同的极值点，， (1)求实数a的取值范围； (2)当的取值范围为时，总存在两组不同的数对使得方程成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)由已知可得有且只有两个可用二分法求解的根，由此列不等式求实数a的取值范围；(2)设，由条件可得方程在上有两个根，由此可求的取值范围. 【详解】（1），令， ，，单调递增，即单调递增， ，，单调递减，即单调递减， 因为有两个不同的极值点，， 所以有且只有两个可用二分法求解的根， 所以，所以，所以， 又当时，，所以方程在上存在一个根， 设，则， 所以当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，即，当且仅当时取等号； 所以当时，，当且仅当时取等号； 所以当时，， 所以方程在上存在一个根， 所以时，有两个不同的极值点. （2）因为，， 所以 令，与， 解得：，，则 令，则， 令，则， 所以当，，单调递增，， 所以，单调递增， 而，所以 令，， 令，， 当，，单调递增，， ，单调递增， 令，， 令，， 当，，单调递增，，，单调递增， 所以数对与t一一对应 存在两组不同的数对使得方程成立， 等价于存在两组不同的数对使得成立， 等价于存在两个不同的使得成立， 令，，单调递减，，单调递增， ，，， ， 所以 【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同． (2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 2．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)同构函数，利用函数的单调性即可求解； (2)转化 为导函数的零点，再构造函数，利用函数的单调性可以求解. 【详解】（1）因为恒成立，所以， 即. 令函数，则 恒成立. 令函数 ，则 ， 当 时， ，当 时， ， 时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， ， 因为 ，所以在上单调递增， 所以等价于，即恒成立， 令函数，则 ， 当时， ；当 时， ， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 故的取值范围是； （2）因为是的两个极值点，所以是方程 的两个根， 令 ，则 ，有（1）的讨论可知， 若 存在两个零点， ，且， 由 ，即 ， 因为， 所以， 即需证恒成立， 由 可得， 令，则，， 所以等价于，即， 令函数，，则 ， 所以在上单调递减，所以，即， 故； 【点睛】同构函数是解决第一问的关键，第二问中构造函数解决双变量的问题是技巧，对于双变量问题必须转化为单变量才好解决. 3．已知函数，． (1)若在区间上存在极值点，求实数的取值范围； (2)求证：当时，对任意，． （参考：，，，） 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）参变分离，构造新函数，求导判断函数单调性，从而得函数的值域，可得的取值范围；（2）令，求解导函数，令新函数求解导函数，分类讨论和两种情况，由的正负判断单调性，结合零点，判断单调性，设的零点，结合题目所给提示判断得，从而可得，构造新函数，求导判断单调性，即可证明得，所以可得证. 【详解】（1）由题意，在上有变号零点， ，令，则， 所以函数单调递增，∴， ∴ ，∴的取值范围为． （2）时，， ，令， 则，当时，，单调递减； 此时 ， ，存在唯一的使 且当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 且， ，∴当时，， 当时，，单调递增， 且当时，， ∴时，，单调递增， 且注意到， ， ∴存在唯一的使，即， 且在上单调递减，上单调递增， ∴ ， 令， ，在上单调递减， ∴ ∴，综上：对有． 【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 4．已知函数（且），其中. (1)当时，求的最小值； (2)判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； (3)当时，任意，都有，求实数的取值集合. 【答案】(1)当时，函数的最小值为， (2)当时，函数的图象没有对称中心， 函数的图象有对称中心，对称中心为， (3) 【分析】（1）由条件，利用基本不等式求函数的最小值； （2）设点为函数的对称中心，可得恒成立，化简可得，，分，两种情况求，可得结论； （3）条件可转化为在上恒成立，令，证明，函数在上单调递减，分，，，四种情况，研究函数的单调性，由此确定的取值集合. 【详解】（1）当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取最小值； （2）设点为函数的对称中心，则恒成立， 所以恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 则，，， 即，， 当时，无解，此时函数的图象没有对称中心， 当时，，此时函数的图象对称中心为； （3）当时，，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 而， 设，则 所以函数在上单调递减，即函数在上单调递减， ①当时，故， 因为，故， 所以，则函数在上单调递减， 故此时当时，，舍去； ②当时，，解得； (i)当时，， 所以，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减； 所以时，取极大值，则 所以满足条件， (ii)当时，， 当时，，则在上单调递减； 当时，，舍去; (iii)当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，舍去； 综上，. 5．记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有三个广义反曲点： （ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数； （ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线. 【答案】(1) (2)（ⅰ）有三个；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据广义反曲点的定义计算即可； （2）（ⅰ）记，，记，设，则，记，根据广义反曲点的定义结合即可判断；（ⅱ）即证明，，使得，即证，，使得是方程 的解，即证方程有三个解.由由对应系数相等，列方程求解即可证明. 【详解】（1）， 记，则， 所以， 又，所以的广义反曲点是. （2）（ⅰ）， 记，， 记， 设的广义反曲点的横坐标分别为，则是的全部零点. 同理，设，则， 记，若是的广义反曲点的横坐标，则. 由， 所以，，是的全部零点， 所以的广义反曲点有三个. （ⅱ）由题意可转化为证明，，使得， 即证，，使得是方程 的解， 即方程有三个解. 由， 所以， 即， 由解得， 代入成立，所以满足条件， 即的三个广义反曲点共直线. 【点睛】方法点睛：求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1）对定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2）对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； （3）对定义中提取的知识进行提取和转换，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；如果新定义是性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特值排除. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优01 利用二阶导函数解决函数问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 3 题型一 二阶导与函数单调性（★★★） 3 题型二 二阶导与函数极值、最值（★★★★） 4 题型三 二阶导与不等式证明（★★★★★） 5 题型四 二阶导与恒成立问题（★★★★） 6 题型五 二阶导与函数零点或方程的根（★★★★★） 7 题型六 二阶导与参数综合问题（★★★★★） 7 题型七 二阶导与拐点、对称中心结合（★★★★） 8 题型八 二阶导与函数凹凸性结合（★★★★） 9 03 实战检测・分层突破验成效 10 检测Ⅰ组 重难知识巩固 10 检测Ⅱ组 创新能力提升 12 一般导数题目中求出导函数即可判断原函数的单调性，而在有些函数问题中，如含有指数式、对数式的函数问题，求导之后往往不易或不能直接判断出原函数的单调性，从而不能进一步判断函数的单调性及极值、最值情况，此时解题受阻。需要利用“二次求导才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题， 若遇这类问题，必须“再构造，再求导”。本文会说明函数的二阶导数在解高考函数题中的应用。 一、二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 二、二阶导数与一阶导数及原函数的关系 1.一阶导数与原函数单调性的直接关系 设原函数为,其一阶导数为 若在区间内恒成立，则在上严格递增； 若在区间内恒成立，则在上严格递减。 2.二阶导数对一阶导数的影响 二阶导数是一阶导数的导数，描述的变化率： 若在区间内恒成立，则在上单调递增： 若在区间内恒成立，则在上单调递减。 二阶导数不直接决定原函数的单调性，而是通过控制一阶导数的增减，帮助分析一阶导 的符号变化，从而更精准地确定原函数的单调区间及单调性转折点。 通过二阶导数辅助分析原函数单调性，本质是利用 “导数的导数” 刻画变化率的规律，从而更系统地研究函数的动态特征，尤其在处理复杂函数或需要判断单调性转折点时具有重要作用。 三、函数极值的第二判定定理 若在附近有连续的导函数, 且 （1）若, 则在点处取极大值; （2）若, 则 在点处取极小值 四、曲线的凹凸性 设函数 在区间 内可导, 如果对应的曲线段位于其每一点的 切线的上方, 则称曲线在 内是凹的, 如果对应的曲线段位于其每一点 的切线的下方, 则称曲线在 内是凸的。从图象上来看, 曲线段向上弯 曲是凹的, 曲线段向下弯曲是凸的。 设函数 在 内具有二阶导数, 如果在 内 , 那么对应的曲线在 内是凹的, 如果在 内 , 那么对 应的曲线在 内是凸的 设 在区间 上连续, 如果对 上任意两点 , 恒有 则称 在 上的图形是凹的, 简称为凹弧; 如果恒有 则称 在 上的图形是凸的, 或简称为凸弧。 五、曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。因此拐点一定是使 的点, 但是使 的点不一定都是拐点。 六、解决这类题的常规解题步骤为: (1) 求函数的定义域; (2) 求函数的导数 , 无法判断导函数正负; (3) 构造求 , 求 ; (4) 列出 的变化关系表; (5) 根据列表解答问题。 题型一 二阶导与函数单调性 【技巧通法·提分快招】 1.先求原函数的一阶导. 二阶导。 2.分析符号，确定单调性：若, 则单调递增；若, 则单调递减。 3.结合零点、初始值等，判断符号，进而确定原函数单调区间对应递增，对应递减)。 1．已知函数，讨论函数的单调性. 2．设，函数，讨论在的单调性. 3．已知函数， (1)若，求的单调区间； (2)若是的极小值点，求实数a的取值范围． 4．已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 6．已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间； (3)若在上存在零点，求实数的取值范围. 7．已知函数. (1)当时，求函数的单调性； (2)若恒成立，求的取值范围； (3)若有三个极值点，求的取值范围. 题型二 二阶导与函数极值、最值 【技巧通法·提分快招】 1.求导：算出, 找零点(即 2.用二阶导判极值：若是极小值点：若是极大值点。 3.求最值：极值点函数值与区间惴点函数值比较，确定最大、最小值（闭区间需算端点值，开区间结合极限趋势判断)。 1．已知函数，． (1)当时，求函数的极值； (2)，都有，求实数a的取值范围． 2．设函数. (1)当时，求在上的最小值； (2)若与关于轴对称，当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数.当时，证明: 有唯一极值点. 4．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求证：有唯一极值点； (3)若有唯一零点，求证：. 5．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的图象在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积； (3)当时，证明：存在极小值. 题型三 二阶导与不等式证明 【技巧通法·提分快招】 1.构造函数：根据不等式，构造(如证, 令。 2.分析导数：求, 研究单调性、符号，判断增减性。 3.结合端点：利用在特殊点（如区间端点、零点）函数值，证明或, 推导原不等式。 1．已知函数，且曲线在点处的切线斜率是 (1)求a的值. (2)证明： (3)证明： 2．已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 3．已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)证明：． 4．已知，其中. (1)求的单调区间； (2)若，证明：当时，. 5．已知函数. (1)设为的导函数，求在上的最小值； (2)令，证明：当时，在上. 6．设，，其中． (1)若，，记，求在处的切线方程； (2)若，，证明：； (3)若，，且恒成立，求的最大值． 题型四 二阶导与恒成立问题 【技巧通法·提分快招】 1.转化问题：恒成立(或, 等价于(或 2,求导分析：用二阶导研究变化，确定单调性、极值，找最值。 3.列不等式求解：根据最值与参数关系，列关于参数的不等式，解出参数范围。 1．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 2．已知函数. (1)讨论函数的单调区间； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 3．已知函数. (1)已知直线是曲线的切线，求实数a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求证：恒成立. 题型五 二阶导与函数零点或方程的根 【技巧通法·提分快招】 1.研究函数：设函数对应方程，求, 分析单调性、极值、凹凸性。 2结合零点存在：利用极限（如时趋势)、特殊点函数值，结合单调性、极值，判断零点个数。 3.分类讨论：按极值正负、区间端点函数值符号等分类，确定方程根的情况及参数范围。 1．已知函数. (1)若为上的单调函数，求k的取值范围； (2)若函数，求证：k可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 2．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求函数的零点个数. 3．已知函数． (1)求曲线在处的切线； (2)若对任意，当时，证明函数存在两个零点． 题型六 二阶导与参数综合问题 【技巧通法·提分快招】 1,理清关系：明确参数与函数单调性、极值、零点等的关联，设含参数的函数。 2.求导分析：算, 用二阶导研究性质，进而分析特征。 3.列方程（组）或不等式：根据题目条件（如极值点、零点、恒成立等），列关于参数的等式或不等式，求解参数。 1．已知函数满足． (1)讨论的单调性； (2)当时，，求的取值范围． 2．设，若时，，求整数k的最大值 3．已知函数． (1)当时，证明：只有一个零点． (2)若，求的取值范围． 4．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程. (2)若，且存在两个极值点. ①求的取值范围； ②证明：. 5．已知函数存在极大值. (1)求的取值范围； (2)若，求的值域. 6．设函数. (1)当时，判断在上的单调性； (2)当时，证明：； (3)设函数，若函数在上存在唯一极值点，求实数的取值范围. 题型七 二阶导与拐点、对称中心结合 【技巧通法·提分快招】 1.拐点判断：若且在两侧变号，则是拐点。利用二阶导找拐点，分析函数凹凸区间变化， 2.对称中心：若函数二阶导有特征（如是奇函数等)，结合函数对称性定义，判断对称中心。或通过构造, 利用二阶导找对称中心条件。 1．对于三次函数（），给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．2014 B．2013 C． D．1007 2．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”，经研究发现所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，若函数，则 . 3. 对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数，则（    ） A．0 B．1 C． D． 4．设函数是的导数，经过探究发现，任意一个三次函数的图象都有对称中心，其中满足，已知函数，则（    ） A．2021 B． C．2022 D． 题型八 二阶导与函数凹凸性结合 【技巧通法·提分快招】 1.凹凸性判定：在区间内，若, 则在上是凹函数；若, 则在上是凸函数。 2.应用性质：凹函数满足凸函数反之。利用凹凸性性质，结合二阶导符号，证明不等式、判断函数形态等。 1．丹麦数学家琴生是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果．设函数在上的导函数为在上的导函数记为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．给出定义:若函数在上可导，即存在，且导函数在上也可导，则称在上存在二阶导函数.记，若在上恒成立，则称在上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的有（    ） ①，②，③，④. A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．设为的导函数，若在区间D上单调递减，则称为D上的“凸函数”．已知函数． (1)若为上的“凸函数”，求a的取值范围； (2)证明：当时，有且仅有两个零点． 4．已知定义：函数的导函数为，我们称函数的导函数为函数的二阶导函数，如果一个连续函数在区间I上的二阶导函数，则称为I上的凹函数;二阶导函数，则称为I上的凸函数.若是区间I上的凹函数，则对任意的 ，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.若是区间I上的凸函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时等号成立）.已知函数，. (1)试判断在为凹函数还是凸函数? (2)设，，，，且，求的最大值; (3)已知，且当，都有恒成立，求实数a的所有可能取值. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数R. (1)讨论的单调性； (2)当时，若关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 2．已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数有两个不同的零点，，且.若不等式恒成立，求正实数的取值范围. 3．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若存在最小值m，且，求a的取值范围. 4．已知函数，. (1)若，求函数的单调区间； (2)若有且只有2个不同的零点，求的取值范围. 5．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围. 6．已知，. (1)求方程的根的个数； (2)证明： . 7．函数． (1)求证：； (2)若方程恰有两个根，求证：． 8．设函数. (1)若直线是函数图像的一条切线，求实数的值； (2)若，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 9．已知函数. (1)讨论函数的极值点个数； (2)当，方程有两个不同的实根时，且恒成立，求正数的取值范围. 10．已知函数. (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：对任意的，； (3)讨论函数在上零点的个数. 11．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)若，求实数a的取值范围． 12．已知函数． (1)证明：； (2)设函数，，其中，若函数存在非负的极小值，求a的取值范围． 13．已知函数． (1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明； (2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 14．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围. 15．已知函数，. (1)证明：当时，； (2)若，求a的取值范围； (3)证明：. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．函数，有两个不同的极值点，， (1)求实数a的取值范围； (2)当的取值范围为时，总存在两组不同的数对使得方程成立，求实数的取值范围. 2．已知函数. (1)若关于的不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，是的两个极值点，且，证明：. 3．已知函数，． (1)若在区间上存在极值点，求实数的取值范围； (2)求证：当时，对任意，． （参考：，，，） 4．已知函数（且），其中. (1)当时，求的最小值； (2)判断函数的图象是否有对称中心？若有，请求出对称中心；若无，请说明理由； (3)当时，任意，都有，求实数的取值集合. 5．记函数的导数为，函数的导数为，若，则称为函数的广义反曲点. (1)若，求的广义反曲点； (2)已知函数有三个广义反曲点： （ⅰ）讨论函数广义反曲点的个数； （ⅱ）证明：函数的三个广义反曲点共线. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$