重难点培优04 利用导数研究函数的零点问题及方程的根（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优04 利用导数研究函数的零点问题及方程的根 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 求函数零点及其个数（★★★★） 2 题型二 由函数零点及个数求参数值（★★★★） 10 题型三 求方程根的个数（★★★★） 19 题型四 由方程根的个数求参数范围（★★★★） 25 题型五 图象交点问题（★★★★★） 34 03 实战检测・分层突破验成效 34 检测Ⅰ组 重难知识巩固 41 检测Ⅱ组 创新能力提升 56 一、利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 二、利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 题型一 求函数零点及其个数 【技巧通法·提分快招】 找函数零点，就是找函数与x轴交点。先看函数定义域，再求导分析单调性、极值，结合特殊点（端点、极值点）函数值符号，判断零点个数。比如函数先增后减，看极大值是否正、极小值是否负，确定穿过x轴次数。 1．已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）求导得到表达式，由求出，再利用求出b. （2）根据第（1）问得到和，令，对求导判断的单调性，依据正负，判断的单调性，得出最小是，算出小于0，再根据零点存在性定理即可判断零点个数. 【详解】（1）求导得到， 根据函数在点处的切线方程为，得到. 把代入得， 因为，所以，即. 又，解得. （2）由第（1）问知，. 令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增. ，，所以存在唯一使，即. 当，，在递减； 当，，在递增，所以. ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共2个零点. 2．已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）对a分类讨论，判断的正负，得的单调性和极值点个数； （2）令，分离参数，将的零点个数问题转化为直线与曲线的交点个数问题． 【详解】（1）定义域为，， ①当时，，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，有1个极值点． ②当时，令，得或， （ⅰ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，有2个极值点； （ⅱ）当时，，，所以在上单调递增，无极值点； （ⅲ）当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调增，有2个极值点． 综上，当时，有1个极值点；当时，无极值点；当或时，有2个极值点． （2）由题知，． 当时，由，得， 则的零点个数即直线与曲线的交点个数． 令， 则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 因为，当，且时，，当时，， 又时，，且当时，，当时，． 所以的大致图象如图所示． 由图象可知，当时，与曲线有2个交点；当时，与曲线有1个交点． 所以，当时，有2个零点；当时，有1个零点． 3．知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为. (2). (3)答案见解析 【分析】 （1）对求导，即可判断函数的增减性；（2）先对求导，令，再对求导，即可得到在上单调递增，从而求解； （3）令，得. 再换元令，则，根据零点存在性定理即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 当时，，当时，， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）当时，， 令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，， 所以在上单调递减，所以当时，. （3）令，得，即， 所以. 令，则，即①， 当时，由，得在上恒成立， 所以在上单调递减，故方程①的解的个数即为的零点个数. 令，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， ，当时，，且当时，. 因为，所以. 当，即时，方程①有两个不同的解，的零点个数为2； 当或，即或时，方程①只有一个解，的零点个数为 ，即时，方程①无解，的零点个数为0. 综上，当时，的零点个数为2； 当或时，的零点个数为1； 当时，的零点个数为0. 4．已知函数，其中. (1)求的极值； (2)讨论的零点的个数. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)答案见解析 【分析】（1）求导得函数单调性，进而得极值； （2）求导，对分类讨论得函数对应的单调性，从而结合零点存在定理即可得解. 【详解】（1）因为，其定义域为， 且. 因为，由，所以函数在和上单调递减， 在上单调递增，所以在处取极小值， 且极小值为，无极大值. （2）因为，所以当时，有，此时无零点； 当时，由（1）知，在处取极小值. ①当时，在处取极小值0，此时恰有一个零点； ②当时，在处取极小值，此时无零点； ③当时，在处取极小值. 下面先证明：当时，. 令，则，当时，单调递减， 时，单调递增，所以，即，等号当且仅当时成立. 所以，又当且时，. 所以在和各有一个零点，此时，共有2个零点. 综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点； 当时，共有2个零点. 5．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2) 【分析】（1）（i）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程；（ii）令，利用导数说明函数的单调性，即可得到的单调性，再结合零点存在性定理证明即可； （2）令，，求出函数的导函数，对分三种情况讨论，说明函数的单调性，即可得解. 【详解】（1）（i）当时，则， 又，则， 所以函数在点处的切线方程为； （ii）因为，，令，，则， 当时，所以，所以即在上单调递减， 又，所以，所以在上单调递增， 又，当时，，所以， 所以在区间上有且只有一个零点； （2）由对恒成立， 即对恒成立， 令，，则， 所以，令， 则， 当时，对任意，则， 所以在单调递减，所以，满足题意； 当时，在上恒成立，所以在单调递减，又，， ①当，即时，恒成立，所以在单调递减， 所以，满足题意； ②当且时，即时，由零点存在性定理知，，使得. 当时，，所以在上单调递增，所以，不满足题意； ③当时，即时，对任意单调递增，所以，不满足题意. 综上，的取值范围为. 6．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合题意得切线方程建立方程，解之即可求解； （2）①由（1），利用导数研究函数的单调性，结合零点的定义即可证明；②利用导数的几何意义求出切线方程，令可得，结合，利用导数研究函数的单调性可得当时，当时，即可求解. 【详解】（1）由题意知，， 所以曲线在处的切线的斜率为， 又曲线在处的切线方程为， 所以，解得； （2）①：由（1）知，， 令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 且当时，，当时，， 所以函数在上存在唯一，使得， 即函数在上存在唯一零点. ②：由①知，切线的斜率为，又， 所以， 令，得， 设，则， 令或，或， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 当时，，即，由①知，故不符合题意； 当时，由，得 ， 即，符合题意， 故实数的取值范围为. 7．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据 ，结合导数运算，即可求得参数值； （2）分类讨论，为增函数和减函数，参变分离，根据 或在上恒成立，即可求得范围； （3）根据，以及为奇函数，只需证明在有一个零点即可；讨论时，的单调性，结合（2）中所求，即可证明. 【详解】（1），故 ，故 ； 由题可知， ，故，解得. （2）若为上的单调增函数，则 在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 若为上的单调减函数，则 在上恒成立，即， 也即恒成立，又，故； 综上所述，若为上的单调函数，则的范围为. （3），其定义域为，又，故其为奇函数； 又，故只需证明可以取无数个值，使得每一个的取值在有一个零点即可. 又 ，令 ，则 ， 当时，由（2）可知，为上的单调减函数，又，故在恒成立， 故在单调递减，又 ， ，故存在，使得， 则当， ，单调递增；当， ，单调递减； 故当，，又， 故存在，使得； 综上所述：当时，在存在唯一零点， 也即当时，恰好有三个零点， 于是，可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点. 8．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由函数求导，根据导数的几何意义建立方程，可得答案； （2）先由图象分析零点的存在性，再分段研究函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案； （3）由函数求导并构造函数，利用导数要求新函数的单调性，根据零点存在性定理，可得答案. 【详解】（1），定义域为． ．由题可得，，解得． （2）由（1）可得，． 当时，，，故，在时无零点； 当时，，，故，在时无零点． 当时，，所以在上单调递增． 而，． 故由零点存在性定理知，在上存在唯一零点． 当时，，，故，在时无零点； 综上：在上的零点个数为1． （3）．令，． 令，则． 当时，，，，所以．所以在上单调递增． ，，所以由零点存在性定理，存在唯一，使得． 当变化时，，的变化如下表： 0 极小值 又，，． 所以由零点存在性定理，分别在，上各恰有一个零点，即在上存在两个零点． 不妨设．则当时，；当时，． 而，． 所以．故． 题型二 由函数零点及个数求参数值 【技巧通法·提分快招】 已知零点个数求参数，先分析函数单调性、极值。根据零点个数，让极值点函数值满足特定条件（如极大值为0、极小值为0 ），列方程解参数。注意结合函数趋势的走向 ，保证零点个数符合要求。 9．已知，． (1)讨论的单调性； (2)已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； (3)已知，是不为1的两个零点，求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数工具分和两种情况研究函数的导数正负情况即可得函数单调性； （2）将问题转化成研究函数有两个不为1的两点，再利用导数工具研究即可； （3），是不为1的两个零点等价为不为1的零点，利用分析法将问题转化为证，令，再利用导数研究函数单调性即可求证. 【详解】（1）由题知定义域为R，， 当时，，∴在区间上单调递增； 当时，当时，；当时，，当且仅当时， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增． （2）由（1）知，显然是的一个零点， 设，， 当时，，∴在区间上单调递增， ∴最多有一个零点，即最多有两个零点； 当时，当时，；当时，， ∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，， 所以要使恰有3个零点，则需恰有2个不为1的零点， 则，解得， ，， 设，， 设，，∴在区间上单调递增， ∴，∴在区间上单调递增，， ∴存在，使，即， ∴实数a的取值范围为. （3）证明：由（2）知，，是不为1的零点，也是不为1的零点， 要证，只需证， 而，且函数在上单调递减， 故只需证，又， ∴只需证，即证， 令，即， 则， ∴函数在R上单调递增．由，可得，即， ，又函数在上单调递减， ，即得证． 10．已知函数. (1)若，求的单调递减区间； (2)有两个不同的零点且. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）求导，由题意得 ，解不等式即可； （2）（i）分离常数得，利用导数及方程有两个不同实数根求解；（ii）当时结合（1）可得，代入计算即可求解. 【详解】（1）若，则，定义域为 设，解得 则的单调递减区间为 （2）（i）设，则， 设函数定义域为 设  解得 （0，1） 1      0 递减 极小值 递增 当时，；当时， 极小值为 若有两个不同的零点，则方程有两个不同实数根，则； （ii）有两个不同的零点且， 由（1）可知且 当时，易知，则有 即：可得： 解得所以的最小值为. 11．已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可； （2）依题意的图像与直线有三个不同的交点，结合（1）可得函数的单调性，求出函数的极值，即可得解. 【详解】（1）因为     ， 由已知，即，或， 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极小值，符合题意. 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极大值，不符合题意，故舍去. ； （2）由已知有三个不同零点， 即的图像与直线有三个不同的交点， 由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故当时，有极大值，即， 当时，有极小值，即 ， 所以 ，. 12．已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）把问题转化为证明在上恒成立，令，研究其单调性，再转化为求最小值，判断大于零即可； （2）利用分类讨论的思想来求解，方法一：分和，设，容易判断时，不成立；当时，利用导函数研究单调性结合零点存在定理来进行讨论，求出的最小值为，进行分类讨论即可求解；方法二：利用导函数研究函数的单调性，同时利用极限的思想来求解． 【详解】（1）当时，，则， 要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立， 令， 因为，令， 解得， 由，得，此时函数单调递增， 由，得，此时函数单调递减， 所以当时，取得最小值， 因为，所以恒成立， 即在上单调递增； （2）方法一：令，等价于， 设， 当时，没有零点； 当时，， 当时，，函数单调递增， 因为， 所以函数在上有一个零点； 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以当时，的最小值为， 若．即在上没有零点； 若，即在上有一个零点； 若，即， 因为，当时，， 所以在上有两个零点； 综上，当时，有3个零点. 方法二：当时，恒成立，没有零点，故， 当时，单调递增，单调递减， 故在上单调递增， 且当时，， 故在上有唯一零点， 所以在上有三个零点等价于在上有两个零点， 当时，由， 即，得， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 故当时，， 且当时，，当时，， 故要使在上有两个零点， 则只要即可，解得； 综上，当时，有3个零点. 13．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，转化问题为在上有解，进而求解即可； （2）求导，分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）由, 则， 要使函数的极值点在内， 则在上有解， 即在上有解，则，解得， 即m的取值范围为. （2）由，， 则， 当时，，，则， 此时函数在上单调递增，不可能有两个零点，不符合题意； 当时，，令，得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 又时，，时，， 要使有两个零点，则恒成立， 设，则， 所以函数在上单调递增，又， 则，解得. 综上所述，m取值的范围为. 14．已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）求出导数并赋值求出，进而求出解析式. （2）求出及其导数，利用导数研究在上的单调性和最值，列出关于m的不等式组，即可得出答案. （3）利用分离变量法，分类讨论，构造函数，利用导数研究分别在x＜0，x＞0的单调性和最值，即可得出答案. 【详解】（1）函数，求导得， 则， 解得，所以的解析式为. （2）由（1）得，则， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值， 要使在内有两个零点，当且仅当，即， 解得， 所以实数的取值范围为. （3）对任意的，不等式恒成立，转化为对任意的，恒成立， ①当时，，显然成立，此时； ②当时，恒成立，令， 求导得，而当时，恒成立， 由得；由得，在上单调递减，在上单调递增， 因此当时，取得最小值，则； ③当时， 恒成立，令，此时， 求导得，令，求导得， 函数在上单调递增，又， 由零点存在定理得存在，使得，即， 由，得，由，得，在上递增，在上递减， 当时，取得最大值，且，则， 于是实数k的取值范围为，所以整数k的值组成的集合为. 15．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，利用导数分析函数在上的单调性，结合单调性即可证得结论成立； （3）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在定义域上的单调性，确定每种情况下函数的零点个数，并结合零点存在定理可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题设知． 设函数． 当时，因为， 所以对任意的恒成立，即． 所以函数在区间上单调递增，所以． 所以当且时，． （3）函数的定义域为， ． ①当时，，函数在区间上单调递减， 函数至多一个零点，不合题意； ②当时，由（2）可知函数在区间上单调递增， 函数至多一个零点，不合题意． ③当时，对于函数， 因为，所以方程有两个实数根、， 满足，， 不妨设，则，、的情况如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以函数的单调递增区间是、，单调递减区间是． 因为，所以为的一个零点． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 又，，且， 所以存在唯一实数，使得． 所以函数有个不同的零点． 综上，的取值范围为． 题型三 求方程根的个数 【技巧通法·提分快招】 方程根的问题转化为函数零点问题。将方程变形为两个函数相等，或整理成一个新函数，求导分析新函数单调性、极值，结合函数值变化，判断与x轴交点（即方程根）个数。 16．已知（）. (1)求导函数的最值； (2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 【答案】(1)最大值等于 (2)答案见解析 【分析】 （1）求出导函数，令，对再求导，利用导数确定单调性得最值； （2）方程变形为，令，对求导，确定单调性，得出函数值域后可得结论． 【详解】（1） ∵，记 ∴，解得： 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的最大值等于. （2） 方法1：由，即，即. 令，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法2：由，即，即. 令，，∴，由解得： ∴在上单调递增，在上单调递减，∴，且 所以：当时，方程无解；当时，方程有1个解；当时，方程有2个解. 方法3：由，即，两边取对数得：，即. 令，所以由，解得 当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以 当，即时，方程无解； 当，即时，方程有1个解； 当，即时，方程有2个解. 17．已知． (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若恒成立，求实数的最小值； (3)时，设，判断在上解的个数． 【答案】(1) (2) (3)一个解 【分析】（1）由得，问题转化为在上有两个解，构造函数分析单调性可得结果； （2）转化题设为恒成立，构造函数，利用导数分析单调性，可得在上恒成立，分析函数最值可得结果； （3）由题意得，设，，利用导数分析单调性，可得函数在上有一个零点，在没有零点，由此可得答案. 【详解】（1）令，，得， 令，则， 所以在上单调递增， 因为时，，所以，故在上无解， 所以要使有两个零点，则在上有两个解. 设，，则， 令，得；令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，且时，，时，， 所以，即的取值范围为. （2）由（1）得，， 所以恒成立等价于恒成立， 等价于恒成立，即恒成立， 即恒成立， 设，，则，且， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，故函数在上单调递增， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故， 所以，即实数的最小值为. （3）由（1）得，时，，， 由，得， 设，，则， 设，，则， 因为函数在上单调递增，且，， 所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又，所以存在，使得， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，所以函数在上有一个零点. 当时，， 即，故函数在上无零点. 综上所述，函数在上有一个零点，即在上有一个解. 18．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；②两个，理由见解析 【分析】（1）分，两种情况，解不等式，可得单调区间； （2）①由（1）可得满足题意，注意到，通过研究单调性可得答案； ②由（）单调性，结合零点存在性定理可得零点个数. 【详解】（1），． 当时，对，， 所以的单调递增区间为，无递减区间； 当时，令，得． 因为时，；时，． 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）①由（1）知，当时，的单调递增区间为， 所以当时，有，不符合题意； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 令（），， 与在区间上的情况如下： － 0 ＋ ↘ 0 ↗ 所以 所以时，， 时，，所以． ②方程有两个根，证明如下： 令（），， ①时，令，， ，，单调递增， ， 所以，， ． － 0 ＋ ↘ 0 ↗ ，，， 所以在区间上有一个零点． ②时，，，所以，所以递增， ， 由（i）知，所以在区间上有一个零点． ③时，由①知，， 所以，所以无零点． ④时，因为， 对于函数，则, 故在上递增， 所以， 所以无零点． 综上可知函数有两个零点． 【点睛】关键点睛：对于零点问题，常利用数形结合思想，转化为函数图象的交点问题，也可如本题，利用函数单调性结合零点存在性定理解决. 19．已知函数，，设，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）应用导数的几何意义求一点处的切线方程； （2）由题设，构造并应用导数研究其零点求得，进而应用导数研究判断的零点，即可证； （3）首先应用导数研究的函数性质并求出极值，再画出大致图象，最后应用数形结合及放缩法判断极值符号，即可证明不等式； 【详解】（1）时，则，故，， 点处的切线方程为； （2）因曲线经过点，则， 令，. 令；， 则在上单调递减，在上单调递增，则， 由，可得，此时，， 令，，则在上单调递增， 注意到，结合在上递增， 所以；，故在单调递减，在上单调递增，则， 即曲线经过点时，有且仅有一个零点1； （3），其中，，， 令且，，则，则在上单调递增. 注意到，，则，使， 结合在上递增，则，. 所以在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为. 注意到，则， 令且，则， 所以在上单调递减，故. 注意到，，则，使； 令且，在上单调递增，则， 即，，，； 令且，. 所以；， 则在上单调递增，在上单调递减，则， 所以，， 综上，， 又，. 则，使，则、大致图象如下， 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图，得时满足题意. 对小于的实数，存在实数使关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到，则时满足题意， 令且，则， 则在上递增，则，得证. 题型四 由方程根的个数求参数范围 【技巧通法·提分快招】 方程根个数对应函数零点个数。先构造函数，求导找单调性、极值。根据根的个数，让极值与x轴有特定位置关系（如极大值正、极小值负时，有三个根 ），列关于参数的不等式，解出范围。 20．已知函数，其中. (1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； (2)求证：存在常数使得,并求出的值； (3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析， (3) 【分析】（1）依题意在上恒成立,只需即可； （2）由代入并化简可得,对照系数即可求解； （3）构造函数,则由,得,观察得到，由此判断,,∴必在上存在唯一零点,利用导数研究的单调性,进而可以研究函数的零点. 【详解】（1）的定义域为,依题意可知当时,恒成立， 即,因为,当且仅当,即时等号成立, 故,解得,即的最小值为． （2）， ∵，∴，解得． 所以存在常数使得，此时． （3）构造函数， 则方程存在三个根,即函数函数存在三个零点． ∵,∴． 令,得,于是为的一个零点． 若存在零点,且, 由可知必存在相应的零点，且． ∴必在上存在唯一零点． 若恒成立,即成立,解得， 此时在上单调递增，无零点； 若,则, 令,则, ∴在上单调递增,故在上存在零点, 当时,,单调递减,当时,,单调递增． ∵,即，解得， ∴，即． 综上所述，的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于由发现，进而判断必在上存在唯一零点，然后利用导数研究的单调性，进而可研究其零点. 21．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 【答案】(1)函数的单调递增区间为和，递减区间为 (2)的取值范围为 【分析】（1）求导数，解不等式和，可求得单调区间； （2）因为不是的根，参变分离可得，令，求导可得的单调区间，进而可求得的取值范围. 【详解】（1）当时，， 所以， 由，得或，由，得， 所以函数的单调递增区间为和，递减区间为； （2）因为不是的根，当时， 由，可得， 设， 则， ， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 当时，且， 当时，， 要使有两个根，则，解得， 所以的取值范围为. 22．已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 【答案】(1)在上递减，递增 (2) 【分析】（1）利用求导思想，结合证明来判断导数的正负，从而来确定单调性； （2）利用分类思想，可得到单调性判断，根据三个实根，先确定，然后再借助导数确定单调性，并证明两个极小值相等，从而可得出结论. 【详解】（1）当时，求导得， 构造，求导得， 则当时，，所以在时单调递增； 则当时，，所以在时单调递减； 即，则， 所以当时，， 当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）同理，由（1）得， 所以当时，有 则当时，， 当时，， 则在上单调递减，在上单调递增． 此时方程最多只有两根，不满足题意； 则讨论的情形： 由，存在三个零点，分别为和1， 其中的零点由数形结合可得： 可知， 由此可得：当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 当时，，则， 所以在区间上单调递减； 当时，，则， 所以在区间上单调递增； 此时依次有2个极小值点和一个极大值点1， 因为，所以 则， ， 所以有，即两个极小值相等， 所以方程有3个实根，必然， 即． 23．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，已知方程在时有且仅有两个根，求实数a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）函数导函数对参数分类讨论→确定函数的单调区间； （2）方程同解变形→方程两边同构→构造函数并确定单调性→把函数的函数值相等转化为自变量相等→分离参数a，转化为直线与函数的图象有两个交点→函数的图象和值域→a的取值范围. 【详解】（1）解：当时，，其定义域为， 则． ①当，即时，令，得，令，得， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． ②当，即时，由，得． （ⅰ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为． （ⅱ）当，即时，， 故的单调递增区间为，无单调递减区间． （ⅲ）当，即时， 令，可得或；令，可得， 故的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为． （2）解：当时，，其定义域为， 方程，可得，即为，即， 可得， 因为，所以，则， 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增， 由，得． 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 方程在时有且仅有两个根， 等价于直线与的图象在时有两个交点， 又，作出图象，如图所示， 由图象可知，，即实数a的取值范围为． 【点睛】方法技巧：已知函数零点（方程根）的个数，求参数的取值范围问题的三种常用方法： 1、直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围2、分离参数法，先分离参数，将问题转化成求函数值域问题加以解决； 3、数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解. 结论拓展：与和相关的常见同构模型 ①，构造函数或； ②，构造函数或； ③，构造函数或. 24．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，再分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）(i)参变分离可得，令，利用导数说明函数的单调性，求出函数的最值，即可求出的取值范围；(ii) 不妨设，则，分、两种情况讨论，当时， ，利用导数说明函数的单调性，即可证明，再由基本不等式即可得证. 【详解】（1）由题意得，，则， 由，解得． 显然， 若，则当时，单调递增，当时，单调递减； 若，则当时，单调递减，当时，单调递增． 综上，当时，在区间内单调递增，在区间内单调递减； 当时，在区间内单调递减，在区间内单调递增． （2）（i）由，得， 设，由(1)得在区间内单调递增，在区间内单调递减， 又，当时，，且当时，， 所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，故的取值范围是． （ii）不妨设，则，且． 解法一： 当时，，即； 当时，． 设 则 所以在区间内单调递增， 则，即， 所以 又在区间内单调递减， 所以，即， 又，所以， 故，所以，得证． 解法二： 设，， 则， 所以在区间内单调递增， 又， 所以，即． 又，所以， 又在区间内单调递减． 所以，即， 又，所以，得证． 【点睛】方法定睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 25．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 【答案】(1)增区间，减区间 (2) (3)，证明见详解 【分析】（1）求导，判断导数正负得解； （2）利用导数的几何意义求出曲线在处的切线方程，得到的表达式，利用导数求最大值； （3）由的单调性判断极值，值域，得到的取值范围，且，，要证，即证，又，即证在上恒成立，转化为在上恒成立，构造函数，，利用导数证明恒成立即可. 【详解】（1）由， 故当时，，当时，， 所以的单调增区间为，减区间为. （2）曲线在处的切线斜率，又， 所以其切线方程为， 令，得，则，， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以. （3）由（1），的单调增区间为，减区间为，且，， 当时，，当时，， 即时，，时，， 若有两个根，则，且，， 要证，即证，又在上单调递减， 即证，又， 即证在上恒成立， 又，即证， 两边取对数，原命题即证在上恒成立， 令，， ， 故在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，故得证. 题型五 图象交点问题 【技巧通法·提分快招】 图象交点即方程根，把交点问题转化为函数零点。将两个函数相减构造新函数，分析新函数单调性、极值，结合函数值符号，判断交点个数。也可分别分析两个函数图象走势（递增递减、极值大小 ），看交点情况。 26．已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 【答案】(1)在上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据题意求出参数的值，然后求导，结合导数符号与函数单调性的关系即可得解； （2）由题意构造函数（），利用导数判断函数单调性，结合零点存在定理即可得解. 【详解】（1）因为，所以切点为. 因为，所以， 所以切线方程为. 因为切线经过原点，所以，所以. 由定义域为，故， 所以在上单调递增. （2）设（）， 则. 因为当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 且， 因为，且当时，单调递减，所以 所以当时，， 所以函数在时没有零点， 所以当时，函数的图象与直线没有交点. 当时，，单调递增， 又因为，且函数的图象是不间断的， 所以当时，函数有且只有一个零点， 函数的图象与直线有且只有一个交点. 综上所述，函数的图象与直线有且只有一个交点. 27．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，得切线斜率，从而可得切线方程； （2）由题意得，通过求导分析的单调性，进而求得函数的最大值； （3）联立得，结合（2）知问题等价于“函数的零点个数”.分、和三种情况，分别据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状，从而判断出函数的零点的个数. 【详解】（1）若，则， 所以，则， 又， 所以曲线在点处的切线方程是， 即． （2）， 函数的定义域为 ． 当时，， 令，得， 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为． （3）联立得得， 得， 结合（2）可知． 则“函数与函数的图象的交点个数”等价于“函数的零点个数”． 当时，无零点． 当时，的最大值为． 若，即，则无零点． 若，即，则只有一个零点． 若，即，则，又， 令，则且， 由，得；由，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故有最大值，无最小值． 故，所以，由（2）知在上单调递增，所以在上有唯一零点． 令， 则，且， 由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故有最小值，无最大值． 所以， 于是和， 所以， 又在上单调递减， 故在上有唯一零点． 当时，由上得，于是，而， 所以，即无零点． 综上，当或时，无零点；当时，只有一个零点；当时，有两个零点， 即当或时，函数与函数的图象无交点； 当时，函数与函数的图象有1个交点； 当时，函数与函数的图象有2个交点． 28．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 【答案】(1)0； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用导数求出函数的最大值，进而求出的值. （2）由（1）的信息求出切线的方程，再构造函数，利用导数结合零点存在性定理证得还有小于的零点即可. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而函数的最大值为，则，解得， 所以的值为0. （2）由（1）知，，，则， 于是切线的方程为，即， 令，，求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 由，得，而，函数在上的图象不间断， 则存在，使得，且当或时，，当时，， 函数在和上单调递增，在上单调递减，又， 当时，，于是函数在上无零点， ，而，函数在上的图象不间断， 因此存在，使得， 所以当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 29．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用导数分类讨论分析函数的单调性即可； （2）（i）利用导数分析函数的单调性求解最值即可； （ii）分类讨论，利用导数分析函数的单调性，由函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围即可. 【详解】（1）由得 ， 当时，，在和单调递增； 当时，令，则，解得或； 令，则，解得或； 综上，当时，的单调递增区间为和； 当时，的单调递增区间为和， 递减区间为和. （2） 则. （i）当时，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，则函数恰有一个零点， ， 当时，由（i）知，，故没有零点； 当时，令，，单调递减； 令，，单调递增； 此时，，故没有零点； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 又， 当趋近正无穷大时，趋近于正无穷大， 所以仅在有唯一零点，符合题意； 当时，，所以在上单调递增，又， 所以有唯一零点，符合题意； 当即时，在上，，单调递增； 在上，，单调递减； 此时， 又，当趋近正无穷大时，趋近负无穷， 所以在有一个零点，在无零点， 所以有唯一零点，符合题意； 综上，的取值范围为. 30．已知常数，定义在的函数. (1)求函数的最小值： (2)若函数且的最小值等于的取小值. （i）求实数的值； （ii）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，利用导数判断函数的单调性，进而可得最值； （2）（i）求导，利用导数判断函数的单调性，结合最值关系列式求解即可；（ii）根据函数单调性，分类讨论与的大小关系，进而可知交点情况，根据题意结合等差中项分析证明. 【详解】（1）由题意可知：， 由得；由得； 可知在区间内单调递减，在区间内单调递增； 所以函数的最小值为. （2）（i）由题意可知：， ①当时，在区间内单调递减，无最小值，不符； ②当时，由得；由得； 可知在区间内单调递减，在区间内单调递增； 故 因为和有相同的最小值，则， 即，所以； （ii）证明：因为在内单调递减，在内单调递增； 在内单调递减，在内单调递增；且. ①当时，与均无交点，不符； ②当时，与均只有1个点，共2个交点，不符； ③当时，在区间递减，所以时，， 所以与最多1个交点；同理与最多1个交点； 故与一共最多2个交点，不符； ④当时，与各有2个交点， 设其横坐标分别为且， 因为与共有3个交点， 所以中必存在两个相等，不妨设， 则即， 所以 下面证明存在使得. 设， 因为 且， 所以在区间至少有1个零点. 结合与各有2个交点及它们的单调性知， 所以存在，使得直线与共有3个交点. 因为， 所以，所以， 所以即，所以. 所以存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是： 1.构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域； 2.求导数，得单调区间和极值点； 3.数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解． 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义求解即可； （2）对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析该函数在区间上的单调性，结合零点存在定理进行分析，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值. （2）由可得， 设，则函数在区间上单调递增，且，， 当时，当时，，，即函数在区间上单调递增， 则，即函数在区间上没有零点； 当时，即当时，当时，，，即函数在区间上单调递减， 则，即函数在区间上没有零点； 当时，，，则存在，使得， 当时，，，函数在上单调递减， 当时，，，函数在上单调递增， 因为，要使得函数有零点，需满足，解得， 综上所述， 实数的取值范围是. 2．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个根，求a的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）当时，求出函数的导数，再利用导数的几何意义直接求出切线方程作答. （2）求出函数的导数，构造函数，再探讨其性质，利用直线与曲线有两个公共点求解作答. 【详解】（1）当时，函数定义域为，求导得：， 则，而，则有，即， 所以所求切线方程为：． （2）函数定义域为，求导得：， 而方程，则有两个根即直线与曲线有两个公共点， 令，，则，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，， 因为，且当时，，在同一坐标系内作出直线及函数的图象，如图，    观察图象得，直线与曲线有两个公共点时，， 所以a的取值范围是． 3．已知函数. (1)证明：； (2)已知函数与函数的图象恰有两个交点，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求导，利用导数确定单调性，进而可求最值求解， （2）分类讨论的取值范围，根据函数的单调性，结合零点个数即可求解. 【详解】（1）的定义域为，且， 令，则，所以在单调递增，在单调递减，因此，即 （2）设， 将函数与函数的图象恰有两个交点，转化为恰好有两个零点， ， 当，即时，令，解得或，所以此时在单调递增，在单调递减，所以的极大值为， 由于，此时最多1个零点，不符合题意， 当时，即时， 所以在单调递增，此时最多1个零点，不符合题意， 当，即时，令，解得或，所以此时在单调递增，在单调递减， 由于， ， 由于，所以，进而，因此，此时最多1个零点，不符合题意， 当，即时，在单调递增，在单调递减，要使恰好有两个零点，则，解得， 当时，，，此时在只有一个零点，不符合题意， 综上可知： 4．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围． 【答案】(1)答案不唯一，具体见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解不等式即可作答. （2）根据给定条件，构造函数，求出三次函数的极值，列出不等式求解作答. 【详解】（1）函数定义域R，求导得， 若，当时，，当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增； 若，恒有．即在上单调递增； 若，当时，；当或时，，即在上单调递减，在和上单调递增， 所以当时，函数的递减区间是，递增区间是和； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数的递减区间是，递增区间是和. （2）当时，，令， 因函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，则函数图象与轴有三个交点， 而，由，解得或，由，解得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 于是得在时取得极大值，在时取得极小值，依题意，，解得， 所以实数的取值范围为． 5．已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）求导，分析函数的单调性，进而结合题意求解即可. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，得， 的单调递增区间是. （2）由已知得， 则， ，则当时，；当时，， 在上单调递减，在上单调递增， ，， ， 若在上有两个零点，则， ，即， 即实数的取值范围为. 6．已知函数. (1)当时，求函数的极值; (2)设有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)的极小值为的极大值为 (2) 【分析】（1）利用导数研究的单调性，进而可求的极值； （2）求出的方程，由可得，转化为函数图象有两个不同的交点即可. 【详解】（1）当时，， ， 由得：，由得：或， 当时，单调递增，当和时，单调递减， 的极小值为的极大值为． （2）， 令，则， 记，则， 当时，，当时，， 在单调递增，在单调递减， 且， 又当时恒成立， 要使有两个零点，则与图象有两个交点， ，解得：． 7．已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 【答案】(1)在和上单调递增，在上单调递减． (2)1． 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性即可； （2）求出，利用导数求的最值，即可得参数范围. 【详解】（1）由条件， 则， 由，所以， 令，则，得或， 令，则，得， 所以在和上单调递增，在上单调递减． （2）由，则， 令，则， 所以当时，单调递增， 又，所以， ， 所以在上单调递增，， 由题意，，解得， 所以a的最小值为1． 8．已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出点到直线的距离，根据导数即可求解； （2）若，证明函数的零点的个数与的零点个数相同，求出，令，证明在单调递增，在上单调递减，据此即可求解. 【详解】（1）点到直线的距离为， 令，令， 令得， 当时为极大值， 当时，， 当时，， ，所以， 所以对应最小距离为； （2）若， 定义域为，令可得， 则函数的零点的个数与的零点个数相同， ， 再令， 则，所以在单调递减， 又因为， 在单调递增，在上单调递减， 则，， 当，所以当时恒成立，无零点， 当时，有1个零点， 当时，在和分别有1个零点， 即有2个零点，当时， 在有1个零点，在上， 恒成立，即只有1个零点； 综上所述，当时， 无零点，当或时，有1个零点，当时， 有2个零点. 9．已知为奇函数. (1)求a的值； (2)解不等式：； (3)证明：函数有3个零点. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用奇函数恒等式可求得参数； （2）利用复合函数单调性可求解不等式； （3）利用奇函数的对称性来研究零点个数，转化为在仅有唯一零点，然后通过方程变形重构造函数来求导证明即可. 【详解】（1）由可得定义域为， 因为是奇函数，所以， 即有； （2）由（1）得：，有， 再由复合函数单调可知：在上单调递增函数， 所以原不等式变形为， 根据单调性可得：； 即原不等式的解集为： （3）因为是奇函数，所以也是奇函数，由， 要证函数有3个零点，只需要证明在上仅有一个零点， 则由得：， 构造，求导得， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 则在上，， 设, 当单调递增，当单调递减，所以，故 由于恒成立，则， 所以有， 由于 根据在上单调递减，且，所以在上不存在零点， 又根据在上单调递增，且，所以在区间必存在唯一零点， 故可证明在上仅有一个零点， 即函数有3个零点得证. 10．（1）求证：； （2）已知，求的根的个数； （3）求证：若，则． 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，函数没有零点；当时，有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）证明见解析． 【分析】（1）用分析法分析“要证，只需证，只需证”，用综合法写出证明过程. （2）由指数函数，结合符号法则先分段讨论，易知当时，无零点；当时，将分式型函数零点转化为整式型函数的零点问题，构造研究新函数的单调性与极值；再分类讨论极值与的大小，最后利用零点存在性定理确定零点个数； （3）借助(1)中已证不等式，将根式形式转化为一次形式，再构造新函数，求证新函数最小值大于零即可.其中最小值在求解时，要注意导函数隐零点问题的处理，利用零点满足的等量关系将指数运算降阶回代，从而达到化简求值的目的. 【详解】（1）证明：当时，，且， (当且仅当时，等号成立). 即. （2），， 当时，， ，则恒成立， 函数没有零点； 当时，． 令，的零点即为函数的零点. 则， 令，解得， 当时，，是减函数； 当时，，是增函数， 函数在上的最小值为． 当时，，又，即0是函数的唯一的零点； 当时，， 函数没有零点； 当时，，又， 且在是增函数， 由零点存在性定理知，在有且仅有一个零点； 又，令， 则，在是增函数，则， 即，又，且在是减函数， 由零点存在性定理知，在有且仅有一个零点； 故当时，函数有两个零点． 综上所述，当时，函数没有零点；当时， 有一个零点；当时，函数有两个零点． （3）证明：由(1)知当时，， 只需证当时，． 设， 则． 令， 则，由，解得， 当，，在上单调递减， 且，无零点， 当，，在上单调递增． 又，且， 在上只有一个零点，，且满足，即， 在上单调递减，在上单调递增， ，即. ． 又，且， ． 【点睛】这是一类借助导函数隐零点求解函数最值的问题.通常的思维过程分为观察、判断、虚设、回代几个阶段，首先观察有无特殊零点，其次判断是否存在零点，如果存在，则设出零点，分析原函数的单调性，判定隐零点处取到函数最值，最后找出零点满足的等量关系回代求值，回代过程中注意运算在降阶角度的分析，如本题中指数运算简化为二次运算求值. 11．已知函数. （1）当时，方程有两个根，求m的取值范围； （2）若不等式恒成立，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【分析】（1）求出导函数，对分类讨论，利用导数研究函数的单调性及其最值可求出的取值范围. （2）由恒成立，得出，即.然后构造函数，利用导数研究函数单调性及最值可证明结论. 【详解】解：（1）当时，，∵有两个根， 当时，，∴在R上是增函数，∴不符合题意 ，舍去. 当时，，∴，解得， ∴在上是减函数，在上是增函数， ∴ ，即 ，解得. ∴m的取值范围为. 证明：（2）∵恒成立，∴，即. 令，则 ， ∴在上是增函数，在上是减函数 ， ∴，∵，∴ ， ∴，∴. 【点睛】关键点点睛：本题（2）问证明的关键是根据恒成立，得出，即，进而构造函数证明不等式. 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断方程的根的个数，并说明理由． 【答案】(1) (2)个数为3，理由见解析 【分析】(1)直接利用导数求切线方程的公式，直接计算求解 (2)根据题意，，令，因为，所以是函数的一个零点；然后，利用导数，讨论研究函数在上的零点个数即可 【详解】（1）依题意，， 则，而， 故所求切线方程为，整理得， （2）依题意，，则， 令． 因为，所以是函数的一个零点． 而为偶函数，因此研究函数在上的零点个数即可． 当时，， 令，得，故或． 当时，，单调递减，又，所以； 当时，，单调递增，且，所以在区间内有唯一零点； 当时，，， 故， 故在上无零点． 所以在区间内有一个零点． 由于为偶函数，所以有且仅有3个零点，即原方程的根的个数为3． 【点睛】关键点睛：研究函数的零点个数，关键在于先利用导数判断函数的单调性，在确定函数在区间内单调性的前提下，利用零点存在定理判断零点的个数，属于难题 13．已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为和 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程. （2）求导，利用导函数的符号求函数的单调区间. （3）分和讨论.当时，问题转化为方程只有1解，求的取值范围. 【详解】（1）若，，则，， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由题易知，所以． 令，得， 当或时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3）若，则，仅有1个零点，符合题意． 若，由至多有2个零点，可知至多有1个极值点， 则至多有1个变号零点． 由，可得． 设，则， 可得在上单调递减，在和上单调递增， 所以的极大值为，极小值为， 且当时，，当时，，作出的大致图象如下： 根据题意，直线与的图象至多有1个交点（切点除外）， 所以或，解得或． 综上，a的取值范围是． 14．已知函数，，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程恰有两个根，求a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【分析】（1）求出函数的导数，再利用导数分类讨论函数单调性作答. （2）根据给定条件，构造函数，，借助复合函数的单调性讨论方程有两个零点作答. 【详解】（1），， 当时，，函数在上单调递增， 当时，当时，，当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）令，则, 设,则为增函数，， 当时，则，函数在上单调递增，则为增函数， 因此方程不可能有两个根； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增，由于， ，方程恰有两个根，当且仅当有两个实根，因此，即， 由于，则在上恰有一个根， 函数，则，令， 即函数在上单调递增，，函数在上单调递增， 当时，，即， 于是，由于， 取，则， 因此在上恰有一个根，从而有两个实根， 所以a的取值范围是. 【点睛】思路点睛：涉及含参的函数零点问题，利用导数分类讨论，研究函数的单调性、最值等，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题. 15．已知函数. (1)若函数，求的极值； (2)若有一根为，的根为，则是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数求导，再分和两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间，进而可求出函数的极值； （2）由（1）知或，时，没有大于1的根，然后讨论的情况，由得，若，则可得，构造函数，利用导数讨论函数的零点即可. 【详解】（1）函数的定义域为，， 则， 当时，对任意的恒成立， 所以是上的增函数，此时不存在极值. 当时，若，则；若，则. 所以是上的减函数，是上的增函数， 故的极小值为，不存在极大值. 综上所述，当时，不存在极值； 当时，，不存在极大值. （2）由（1）知当或时，，即仅有唯一解，不符合题意. 当时，是上的增函数，当时，有， 所以没有大于1的根，不符合题意. 当时，由，即，解得， 若，又， 所以，即. 令，则， 令，则， 当时，总有，所以是上的增函数， 即， 故当时，，是上的增函数，所以， 即在上无解. 综上可知，不存在满足条件的实数. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 【答案】(1)，证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）构造函数，结合导数研究单调性，即可比较； （2）将问题转化为，结合(1)可转化为证明，令，利用导数证明即可. 【详解】（1）令， 则，令， 则， 因为，所以， 则在上单调递增， 则， 所以当时，，则， 所以在上单调递增， 则， 即当时，， 又，当时，， 即当时， 综上： （2）要证在内无零点， 只需证 由（1）知 只需证； 即证：， 即证：， 令， 则。 令，则， 当时，，则在上单调递增； 所以当时，， 则在单调递增， 所以 即在内无零点. 2．(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）令函数，利用导数可得该函数的单调性，从而可证不等式； （2）利用导数可证的单调性，结合零点存在定理可证函数零点个数为1； （3）利用指对数转化可将原函数的零点个数转化为，的零点个数，后者可利用导数得其在上的单调性后结合零点存在定理判断零点个数. 【详解】（1）证明：令函数，，则， 所以在上单调递增， 则，即在上恒成立. （2）证明：因为，所以在上单调递增. 由（1）得在上恒成立，故在上恒成立， 所以， 因为，故取，取， 则， 而，所以在上有1个零点， 即在上恰有1个零点. （3）令，即，等价于. 记，. 在上的零点个数即在上的零点个数. 是的1个零点. 因为， 所以是奇函数，则在和上的零点个数相同. ，因为在上为减函数， 故在上单调递增. 当时，，故在上单调递增. 因为，所以在上恒成立，即在上没有零点， 所以在上只有1个零点. 当时，由（2）可得在上恰有1个零点，记该零点为. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 而，故，取，则， ， 结合在上的单调性可得在上有1个零点， 即在上有1个零点，所以在上有3个零点. 综上，当时，在上只有1个零点； 当时，在上有3个零点. 3．已知函数． (1)证明：函数有三个不同零点的必要条件是； (2)由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）． 若，证明：方程至多有3个实数根． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的极值及二次函数的判别式，结合必要条件的定义证明即可； （2）利用多次求导、二次函数的判别式及隐零点，判定函数的单调性与零点即可. 【详解】（1），其判别式． 若函数有三个不同零点，则必有极大值点与极小值点． 故，从而其必要条件为． （2）令． 则． 令 则． 令，则． 由，可知． 所以在定义域上单调递增，则其仅有唯一零点，不妨记为， 可知在上，在上，故先减后增． 所以至多有两个不同的零点，不妨设为， 从而在上单调递增，上单调递减，上单调递增． 从而至多有三个不同零点． 所以方程至多有3个实数根． 4．已知，且，函数. (1)记为数列的前项和.证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）直接利用等差数列、等比数列的求和公式计算即可； （2）利用导数研究的单调性与最值判定的单调性即可证明； （3）分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理及极限思想计算即可. 【详解】（1）由题意可知时，， 所以 ； （2）易知时，， 令， 显然时，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 故，所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 故； （3）①若，易知定义域上为单调递增函数，不会有三个零点，不符题意； ②若时，则时，， 时，， 由（2）可知：时，， 时，， 且，则函数只有一个零点，不符题意； ③由（2）知，时，在上单调递增，也不符题意； ④若，， 令， 显然时，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 注意到，， 所以 使得， 即在和上单调递增，在上单调递减， 又时，，，， 所以在区间各存在一个零点，及也是一个零点，符合题意； 综上. 【点睛】思路点睛：对于第三问，先讨论，此时函数单调递增，排除；结合（2）再讨论的大小关系，首先注意到时，由的大小关系及（2）的结论放缩下从而确定不符题意，再利用隐零点及零点存在性定理、极限思想来确定时符合题意即可. 5．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在2个零点； (3)所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）求出的导数，判断得的单调性，进而可求得的最小值，通过判断其最小值的正负，即可判断其零点个数； （3）求出函数的导数，由曲线在点处的切线方程，构造函数，利用导数探讨极值，由有3个零点建立关系，即可求解. 【详解】（1）由，得， 因为在处的切线为，即， 代入得，解得，. （2）当时，，得，令， 即，结合函数图像可知，当且仅当时，成立，即①， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 将①代入，得， 令，，所以， 所以， 又，， 所以当时，求在上存在2个零点. （3）当时，， 所以，，，， 切线方程：，即， 整理得， 令， ， 因为，， 当时，，为单调递增函数， 当时，，为单调递减函数， 函数所有的极大值为， 当时，极大值等于0，即， 当为正整数时，极大值全部小于0，即在无零点， 当为负整数时，极大值全部大于0，函数所有的极小值为， 当时，极小值， 且随着的增大，极小值越来越小， 因此在点处的切线与有3个交点， 等价于，即有解， 令， 则， 因此为上的严格增函数， 因为，， 于是存在唯一实数，满足， 所以存在唯一实数，使得曲线在点处的切线与有3个交点. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优04 利用导数研究函数的零点问题及方程的根 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 求函数零点及其个数（★★★★） 2 题型二 由函数零点及个数求参数值（★★★★） 3 题型三 求方程根的个数（★★★★） 4 题型四 由方程根的个数求参数范围（★★★★） 5 题型五 图象交点问题（★★★★★） 6 03 实战检测・分层突破验成效 6 检测Ⅰ组 重难知识巩固 7 检测Ⅱ组 创新能力提升 9 一、利用导数研究函数零点的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围. (2)数形结合法求解零点 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点 ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 二、利用导数研究函数方程的根的方法 (1)通过最值(极值)判断零点个数（方程的根）的方法 借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数（方程的根）或者通过零点个数（方程的根）求参数范围. (2)数形结合法求解零点（方程的根） 对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围. (3)构造函数法研究函数零点（方程的根） ①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数（方程的根）寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解. ②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法． 题型一 求函数零点及其个数 【技巧通法·提分快招】 找函数零点，就是找函数与x轴交点。先看函数定义域，再求导分析单调性、极值，结合特殊点（端点、极值点）函数值符号，判断零点个数。比如函数先增后减，看极大值是否正、极小值是否负，确定穿过x轴次数。 1．已知函数，函数在点处的切线方程为. (1)求的值； (2)讨论的零点个数. 2．已知函数． (1)讨论的极值点个数； (2)探究的零点个数. 3．知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)当时，求在上的最小值； (3)当时，讨论的零点个数. 4．已知函数，其中. (1)求的极值； (2)讨论的零点的个数. 5．（2025·北京石景山·一模）已知函数． (1)若， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）证明：函数在区间上有且只有一个零点． (2)若实数使得对恒成立，求的取值范围． 6．（2025·北京·模拟预测）已知函数，曲线在处的切线方程为. (1)求a，b的值； (2)①求证：只有一个零点； ②记的零点为，曲线在处的切线l与x轴的交点横坐标为，若，求u的取值范围. 7．（2025·北京海淀·一模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线为，求的值； (2)若为上的单调函数，求的取值范围； (3)若函数，求证：可以取无数个值，使得每一个的取值都恰有三个不同的零点． 8．（2025·北京海淀·三模）已知函数，曲线在点处的切线斜率为． (1)求的值． (2)求在上的零点个数． (3)证明：在上存在两个零点，且． 题型二 由函数零点及个数求参数值 【技巧通法·提分快招】 已知零点个数求参数，先分析函数单调性、极值。根据零点个数，让极值点函数值满足特定条件（如极大值为0、极小值为0 ），列方程解参数。注意结合函数趋势的走向 ，保证零点个数符合要求。 9．已知，． (1)讨论的单调性； (2)已知恰有三个零点，求实数a的取值范围； (3)已知，是不为1的两个零点，求证：． 10．已知函数. (1)若，求的单调递减区间； (2)有两个不同的零点且. （i）求的取值范围； （ii）当时，求的最小值. 11．已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 12．已知函数． (1)若，证明：函数在上单调递增； (2)若函数有三个零点，求的取值范围． 13．（2025·北京·模拟预测）已知函数. (1)若函数的极值点在内，求m的取值范围； (2)若有两个零点，求m取值的范围. 14．已知函数． (1)求的解析式； (2)若在内有两个零点，求m的取值范围； (3)若对任意的，不等式恒成立，求整数k的值组成的集合． 15．（2025·北京朝阳·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若函数有个不同的零点，求的取值范围． 题型三 求方程根的个数 【技巧通法·提分快招】 方程根的问题转化为函数零点问题。将方程变形为两个函数相等，或整理成一个新函数，求导分析新函数单调性、极值，结合函数值变化，判断与x轴交点（即方程根）个数。 16．已知（）. (1)求导函数的最值； (2)试讨论关于的方程（）的根的个数，并说明理由. 17．已知． (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若恒成立，求实数的最小值； (3)时，设，判断在上解的个数． 18．（2025·北京大兴·三模）已知函数，其中． (1)求的单调区间； (2)若恒成立． ①求实数的值； ②判断方程的根的个数，并说明理由． 19．已知函数，，设，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当曲线经过点时，有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，若关于方程恰有三个不同的实根，则. 题型四 由方程根的个数求参数范围 【技巧通法·提分快招】 方程根个数对应函数零点个数。先构造函数，求导找单调性、极值。根据根的个数，让极值与x轴有特定位置关系（如极大值正、极小值负时，有三个根 ），列关于参数的不等式，解出范围。 20．已知函数，其中. (1)已知,若在定义域内单调递增,求的最小值； (2)求证：存在常数使得,并求出的值； (3)在（2）的条件下,若方程存在三个根,,,且,求的取值范围. 21．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 22．已知． (1)当时，讨论的单调性； (2)已知方程恰有3个实根，求的值． 23．已知函数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，已知方程在时有且仅有两个根，求实数a的取值范围． 24．已知函数，其中为自然对数的底数． (1)讨论的单调性； (2)若方程有两个不同的根． (i)求的取值范围； (ii)证明：． 25．（2025·北京通州·一模）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)曲线在点 处的切线为l，记l与y轴交点的纵坐标为，求的最大值； (3)若有两个根，，写出a的范围并证明. 题型五 图象交点问题 【技巧通法·提分快招】 图象交点即方程根，把交点问题转化为函数零点。将两个函数相减构造新函数，分析新函数单调性、极值，结合函数值符号，判断交点个数。也可分别分析两个函数图象走势（递增递减、极值大小 ），看交点情况。 26．已知函数在处的切线经过原点. (1)判断函数的单调性； (2)求证：函数的图象与直线有且只有一个交点. 27．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)设，当时，求函数的最大值； (3)讨论函数与函数的图象的交点个数． 28．（2025·江苏南通·二模）已知函数的最大值为，设函数的图象在点处的切线为． (1)求的值； (2)证明：当时，切线与函数的图象有另一交点，且. 29．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数. （i）当时，求的最大值； （ii）若函数的图象与轴恰有一个交点，求实数的取值范围. 30．已知常数，定义在的函数. (1)求函数的最小值： (2)若函数且的最小值等于的取小值. （i）求实数的值； （ii）证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数． (1)当时，求的极值； (2)若在区间上有且仅有一个零点，求实数a的取值范围． 2．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个根，求a的取值范围． 3．已知函数. (1)证明：； (2)已知函数与函数的图象恰有两个交点，求实数的取值范围. 4．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若时，函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求实数b的取值范围． 5．已知， (1)求的单调递增区间； (2)若函数在上有两个零点，求实数的取值范围. 6．已知函数. (1)当时，求函数的极值; (2)设有两个不同的零点，求的取值范围. 7．已知函数． (1)若，讨论函数在的单调性； (2)若在上有唯一的零点，求实数a的最小值． 8．已知函数，直线. (1)若点是函数图象上的一点，求点到直线距离的最小值； (2)若，讨论函数的零点的个数. 9．已知为奇函数. (1)求a的值； (2)解不等式：； (3)证明：函数有3个零点. 10．（1）求证：； （2）已知，求的根的个数； （3）求证：若，则． 11．已知函数. （1）当时，方程有两个根，求m的取值范围； （2）若不等式恒成立，证明：. 12．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)判断方程的根的个数，并说明理由． 13．已知，函数． (1)若，，求曲线在点处的切线方程； (2)若，，求的单调区间； (3)若对任意，至多有2个零点，求a的取值范围． 14．已知函数，，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若方程恰有两个根，求a的取值范围. 15．已知函数. (1)若函数，求的极值； (2)若有一根为，的根为，则是否存在实数，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知 (1)将，，，按由小到大排列，并证明； (2)令 求证: 在内无零点. 2．(1)证明：在上恒成立. (2)若，证明：函数在上恰有1个零点. (3)试讨论函数在上的零点个数. 3．已知函数． (1)证明：函数有三个不同零点的必要条件是； (2)由代数基本定理，次复系数多项式方程在复数域内有且只有个根（重根按重数计算）． 若，证明：方程至多有3个实数根． 4．已知，且，函数. (1)记为数列的前项和.证明：当时，； (2)若，证明：； (3)若有3个零点，求实数的取值范围. 5．已知函数． (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，求在上的零点个数； (3)当时，设，是否存在，使得曲线在点处的切线与有3个交点？若存在，探究满足条件的的个数；若不存在，说明理由． 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$