重难点培优05 利用导数研究双变量与多变量问题（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

重难点培优05 利用导数研究双变量与多变量问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 利用导数解决函数中的双变量问题（★★★★） 2 题型二 利用导数解决函数中的多变量问题（★★★★） 3 03 实战检测・分层突破验成效 5 检测Ⅰ组 重难知识巩固 5 检测Ⅱ组 创新能力提升 7 在利用导数解决函数中的多变量问题时，核心思路是将多变量问题转化为单变量问题，常用以下几种方法： 一、消元法：若题目中存在多个变量且能找到变量间的等量关系，可通过该等量关系进行代换，消去部分变量，将多变量问题转化为单变量问题。 二、整体换元法：当多个变量间无直接等量关系，但可通过代数变形将变量组合成某种整体结构，可进行整体换元，令新变量为t，将多变量函数转化为关于t的单变量函数。 三、构造函数法：根据题目条件和结论，构造一个新的函数，将多变量问题转化为研究新函数的性质（如单调性、极值、最值等）问题。 四、主元法：当题目中有多个变量时，可选择其中一个变量作为主元，将其他变量视为常数，将问题转化为关于主元的函数问题进行求解。 在解决多变量问题时，需仔细分析题目条件，灵活选用合适方法，将复杂的多变量问题转化为熟悉的单变量问题进行求解。 题型一 利用导数解决函数中的双变量问题 【技巧通法·提分快招】 碰到函数里两个变量的问题，先看能否通过换元把双变量变单变量。或者分析函数单调性，利用单调性把变量关系转化，再结合条件列等式 / 不等式，用导数研究函数最值、趋势来求解。 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 2．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 3．已知函数． (1)若函数单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 4．已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 5．已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 6．设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 7．已知函数，，设. (1)若，求的最大值； (2)求在上的最小值； (3)若有两个不同的零点，求证：. 8．已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 9．已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 10．若函数在[a，b]上存在x1，x2()，使得，则称f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a，b]上的中值点． (1)判断函数f(x)＝x3－3x2＋1是否是[－1，3]上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，，存在，使得，且是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是在[n，m]上的中值点． ①求a的取值范围； ②证明：. 题型二 利用导数解决函数中的多变量问题 【技巧通法·提分快招】 函数有多个变量时，先找主变量（影响大的），固定其他变量，对主变量求导分析单调性、极值。也可尝试消元，减少变量个数，转化为熟悉的单 / 双变量问题，借助导数研究函数性质，结合条件确定变量范围或证明结论 11．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：． 12．已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 13．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明： 14．已知函数（）的两个零点为，且. (1)求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 15．若函数对其定义域内任意满足：当时，有为同一常数，则称函数具有性质. (1)请写出一个定义域为且具有性质的函数； (2)已知，函数，当时，证明：； (3)设函数，， （i）判断函数是否具有性质； （ii）证明：. 16．已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 17．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 18．设函数 . (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个零点，证明：. 19．已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 20．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若有三个零点，，，且，求证：. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 2．设函数，其中a为实数． (1)当时，求的单调区间； (2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 3．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 4．已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 5．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 6．已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有2个极值点，求证：. 7．已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 8．已知函数. (1)证明：当时，对恒成立. (2)若存在，使得，比较与的大小，并说明理由. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性. (2)是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由. 10．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 11．已知函数，为实数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若. ①证明：既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围. 12．已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若对任意的，使得（是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围. 13．已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 14．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 15．已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得． (1)求； (2)若方程恰有两个实根，求实数的范围并证明． 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知函数 且函数有两个极值点. (1)求的范围; (2)若函数的两个极值点为且，求 的最大值. 2．已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 3．已知函数，其中. (1)若，讨论函数的单调性； (2)已知，是函数的两个零点，且，证明：. 4．已知函数，其中． (1)若在单调递增，求a的取值范围； (2)若有三个极值点，记为，且，求的取值范围． 5．已知函数其中λ为实数. (1)若是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数λ的取值范围； (3)记，若为的两个驻点，当λ在区间上变化时，求的取值范围. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优05 利用导数研究双变量与多变量问题 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构・重难梳理固根基 1 02 题型精研・技巧通法提能力 2 题型一 利用导数解决函数中的双变量问题（★★★★） 2 题型二 利用导数解决函数中的多变量问题（★★★★） 16 03 实战检测・分层突破验成效 31 检测Ⅰ组 重难知识巩固 31 检测Ⅱ组 创新能力提升 52 在利用导数解决函数中的多变量问题时，核心思路是将多变量问题转化为单变量问题，常用以下几种方法： 一、消元法：若题目中存在多个变量且能找到变量间的等量关系，可通过该等量关系进行代换，消去部分变量，将多变量问题转化为单变量问题。 二、整体换元法：当多个变量间无直接等量关系，但可通过代数变形将变量组合成某种整体结构，可进行整体换元，令新变量为t，将多变量函数转化为关于t的单变量函数。 三、构造函数法：根据题目条件和结论，构造一个新的函数，将多变量问题转化为研究新函数的性质（如单调性、极值、最值等）问题。 四、主元法：当题目中有多个变量时，可选择其中一个变量作为主元，将其他变量视为常数，将问题转化为关于主元的函数问题进行求解。 在解决多变量问题时，需仔细分析题目条件，灵活选用合适方法，将复杂的多变量问题转化为熟悉的单变量问题进行求解。 题型一 利用导数解决函数中的双变量问题 【技巧通法·提分快招】 碰到函数里两个变量的问题，先看能否通过换元把双变量变单变量。或者分析函数单调性，利用单调性把变量关系转化，再结合条件列等式 / 不等式，用导数研究函数最值、趋势来求解。 1．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象在点处的切线方程为. （i）求的最小值； （ii）若关于x的方程有两个根，，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）1；（ii）证明见解析 【分析】（1）对求导，利用导数与函数单调性的关系，分类讨论的取值范围即可得解； （2）（i）利用导数的几何意义求得，进而利用隐零点，结合导数求得的最值，从而得解；（ii）根据题意，利用极值点偏移的解决技巧，将问题转化为证恒成立，构造函数，利用导数即可得解. 【详解】（1）因为，则， 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 若，则当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）函数的定义域为， 则，则， 因为函数的图象在的切线方程为， 所以，则， 所以， 因为，所以，令，则， 令，则，， 所以，使，即，则， 又，所以在上单调递增， 当时，，即，当时，，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. （ii）由题意可知，， 即方程有两个根，， 令，，则，所以， 设，由（1）知，在上单调递增，又， 所以，则， 由，得，， 所以， 要证，需证，即证， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 则在上单调递减，所以， 因此成立，故，得证. 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题的一般题设形式： 1.若函数存在两个零点且，求证：（为函数的极值点）； 2.若函数中存在且满足，求证：（为函数的极值点）； 3.若函数存在两个零点且，令，求证：； 4.若函数中存在且满足，令，求证：. 2．已知函数． (1)若，求函数在上的最值； (2)若无零点，求a的取值范围． (3)若，有两个实数根，，证明： 【答案】(1)最大值为，最小值为0 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）当时，利用导数可求得的单调区间和极值，进而可求得函数在上的最值； （2）对a进行分类讨论，发现当时，在上无零点，符合题意； 在时由零点存在定理知其存在零点，不合题意，舍去，当时，需满足极小值大于0，由此构造函数可求得a的取值范围； （3）由（1）知当时，在上单调递减，在上单调递增，因为有两个实根，所以不妨令， 要证，即证，也即证，故构造函数，利用单调性即可证明结论. 【详解】（1）当时，，则，， 由，得，由，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， ∴，∵，， 又，所以，， 所以的最大值为，最小值为； （2）∵，， 当时，在上无零点，符合题意； 当时，恒成立，即在上单调递增，无极值； 因为当时，，，所以， 当时，，又在上单调递增， 所以当时，函数在上必有零点，不合题意，舍去； 当时，由，得， 当时，，即在上单调递减； 当时，，即在上单调递增， 所以当时，有极小值，同时极小值也为最小值， 因为当时，，，所以， 当时，， 若函数无零点，则，得， 令，， 则，所以函数在上单调递减，又， 由，得，则． 综上，a的取值范围为； （3）由（1）得，当时，当时，，即单调递减， 当时，，即单调递增， 因为有两个实根，所以不妨令， 则，要证，即证，又因为当时，单调递增，所以 即证，因为，即证， 令， 所以， 所以在上单调递减，故，即， 所以成立，即成立. 3．已知函数． (1)若函数单调递增，求实数a的取值范围； (2)若函数有两个零点． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）求导后分析导函数恒成立，构造函数，借助导数研究单调性，求最值即可. （2）（i）由，研究单调性，得到，根据函数有两个零点，可得,利用不等式放缩，得到实数a的取值范围； （ii）设换元，转化，要证，只需证，只需证，构造函数，研究单调性最值即可. 【详解】（1）由，有，                 若函数单调递增，必有恒成立，不等式可化为, 令，有，可得函数的减区间为，增区间为， 可得，有，可得， 故实数a的取值范围为； （2）（i）由令，可得，可得函数的减区间为， 增区间为，可得，                 若函数有两个零点，必有，可得，                     又由，                     （利用不等式（当且仅当时取等号））， 又由，故若函数有两个零点，则实数a的取值范围为；             （ii）设，由函数有两个零点，有， 有，两式相除，有，有， 有，有，有，可得， 又由，可得,有，                         又由，要证，只需证， 只需证，   令（其中），有， 可得函数单调递增，可得， 故有成立． 【点睛】方法点睛：极值点偏移问题常用两种方法，一是构造对称函数，运用函数单调性证明，二是利用“对数平均不等式”证明. 4．已知函数在点处的切线方程为． (1)求实数，的值； (2)求函数的单调区间和极值； (3)若两个不相等的实数，满足：，求证：． 【答案】(1) (2)在上单调递增，在上单调递减，有极大值，无极小值 (3)证明见解析 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义及切点坐标列方程组求解即可； （2）求导函数，解不等式求得单调区间，并根据极值的定义判断求解即可； （3）由得，设，利用导数研究其单调性，要证，即证，然后构造，利用导数研究其单调性，即可证明. 【详解】（1）因为，所以， 切线方程为即， 由题意，解得； （2）由（1）可知，， 令得，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，所以有极大值为，无极小值； （3）因为，所以， 设，则，令得， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不妨取，欲证，即证， 又因为在上单调递减，故只需证， 又因为，故也即证， 构造函数， 则等价于证明对恒成立． ， 因为，所以，所以， 则在上单调递增， 所以，即已证明对恒成立， 故原不等式成立． 5．已知函数，且曲线在点处的切线方程为. (1)求实数的值. (2)当时，证明：当时，. (3)当时，若存在，使得成立，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义求导函数，由切线斜率可得的值，从而得实数的值； （2）求导函数，从而得函数的单调性与最值，即可证得结论； （3）结合函数在时的单调性将等式转换为不等式，则，设，求导确定单调性即可证得结论. 【详解】（1）. 曲线在点处的切线方程为. （2）当时，， 在上恒成立， 在上单调递增， 当时，. （3）当时，， 当时，存在成立， ， 得. 由（2）可知，当时，单调递增， ，即， ， 设， 则， 当时，，则， ， ， . 6．设函数． (1)时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有两个极值点且，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析. (3)证明见解析 【分析】（1）当时，求出切线斜率，然后得到切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）利用函数的极值点以及函数的单调性，转化证明即可． 【详解】（1）的定义域为 ． 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为， 取得． （2）． （i）时，在单调递增． （ii）时，令，则 ， ，． 则单调递增． 单调递减． 综上所得， 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知，因为是方程 的两根，所以．可得. 等价于 ． 其中 ． 因此待证式等价于，两侧同时加，得， 即证，等价于 ， 由且得， 记，则 ， 记，则，所以单调递减， 所以，则，所以单调递减，所以，证毕． 7．已知函数，，设. (1)若，求的最大值； (2)求在上的最小值； (3)若有两个不同的零点，求证：. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)证明见解析. 【分析】（1）把代入，求出函数导数，确定函数的单调性求出最大值. （2）求出函数的导数，进而求出其单调区间，再分类讨论求出最小值. （3）利用零点的定义可得，，作差变形并构造函数，利用导数探讨取值集合即可. 【详解】（1）依题意，函数，其定义域为， 当时，，求导得， 当时，，；当时，，， 函数在上单调递增，在上单调递增减， 所以的最大值为. （2）函数，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，而， 因此函数在上单调递增，在上单调递减，又， 所以当时，；当时，. （3）依题意，不妨令，，即， 两式相减得， 不等式， 令，则， 令函数，，函数在上单调递增， 因此，即，则， 所以. 8．已知函数，. (1)求函数在处的切线方程； (2)若， （i）当时，求函数的最小值； （ii）若有两个实根，，且，证明：. 【答案】(1) (2)（i）1；（ii）证明见详解. 【分析】（1）计算，由导数的几何意义即可求； （2）（i）求出，利用导数判断单调性，即可求出最值；（ii）将方程有两个实根转化为有两个不相等的零点，由此列方程，将证明转化为证明，由导数证明不等式成立. 【详解】（1）因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）（i）当时，，定义域为， ， 令， 则， 所以在上单调递增， 又因为， 所以使得，即，① 故当时，，即，此时在上单调递减； 当时，，即，此时在上单调递增， 所以当时，函数有最小值， 由①可得，即， 所以函数的最小值为. （ii）由题意，，定义域为， 由题意有两个不相等的实数根， 令，则， 所以在上递增，所以， 令， 所以有两个不相等的正的零点，且， 即，两式分别相加减得， . 所以② 要证，只需证， 即证，即需证， 由②知，， 故只需证， 不妨设，令， 则只需证，即， 故只需证， 令 则， 所以在上单调递增， 所以， 即当时，成立. 所以，即，故. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式，主要的方法是通过已知条件，化归与转化所要证明的不等式，然后通过构造函数法，结合导数来所构造函数的取值范围，进而证明不等式成立. 9．已知函数，其导函数为. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围； (3)若，是函数的两个零点，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1），当时，恒成立，在上单调递增；当时，由，得；由得，进而可得； （2）由转化为求，由（1）可知，构造，由导数可得，进而可得只有符合题意； （3）根据函数的单调性，函数有两个零点时， ，得，设，则，证，利用基本不等式和单调性转化为证明，构造函数，利用导数证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，由，解得：；由，解得：. 在上单调递减，上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，上单调递增. （2）要使恒成立，只需恒成立. 由（1）可知，当时，在上单调递增，且， ∴当时，，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， ， 只需，即在时恒成立. 记，，则 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ，， 只有符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. （3）由（1）可知，当时，在上单调递增，函数不可能有两个零点，不合题意，舍去. 当时，在上单调递减，上单调递增， 当时，；当时，. 要使函数有两个零点，只需，解得：. 已知，不妨设，则有. 单调递增，要证，只需. ，只需证 即证， 由单调性可知，， 在上单调递减，即证. 方法一：，即证. 令，其中. ， 单调递增， 又，，即. 成立. . . 方法二：，即证. 而， 由得，， 且，. 令，则， 在上单调递减，， ，，可得， ，，，即， 又在上单调递减，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键在于问题的转化，根据函数的单调性，确定函数两个零点的范围，进而把证明，转化为证明，即证，进而构造函数，利用导数证明即可. 10．若函数在[a，b]上存在x1，x2()，使得，则称f(x)是[a，b]上的“双中值函数”，其中x1，x2称为f(x)在[a，b]上的中值点． (1)判断函数f(x)＝x3－3x2＋1是否是[－1，3]上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，，存在，使得，且是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是在[n，m]上的中值点． ①求a的取值范围； ②证明：. 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用导数进行研究分析，转化为二次方程在开区间内有两个不同零点的问题，然后可以证明正确； （2）①转化为有两解的问题，令，先根据有两不等正实数零点，利用导数进行研究得到必要条件，然后再证明其充分性；②等价转化为等价于证明,即.利用导数分析单调性可证，从而证得要证不等式. 【详解】（1）因为函数f(x)＝x3－3x2＋1， 所以，。 所以平均斜率为。 求导函数， 方程即， 设函数，, 在上,单调递减，在上,单调递增， , 所以函数在区间内有两个不同零点. 因此，在上是双中值函数. （2）①函数定义域, 导函数为. 已知得f(m)＝f(n)，所以，所以有两解. 令，则有两不等正实数零点. 求导. 当时，，在定义域内单调递增，至多有一个零点，与题意矛盾. 所以,此时，在内，单调递减；在上,单调递增， 为使函数有两不等正实数零点，则必有，解得， 当时,我们来证明必有两不等正实数零点. 首先注意,然后只需要找到大于的实数，使得. 先证明,进而利用放缩法找到大于的实数，使得. 令,, 在上,单调递减，在上,单调递增， ,所以,当且仅当时取等号，所以, 所以,所以， 所以， 设，因为，所以,所以,显然,所以. 所以有两不等正实数零点. 且在内,单调递增；内,单调递减；上，,单调递增. 显然对于，当时，,当时，, 所以当,直线与函数的图像有三个交点，其横坐标一个小于,一个在内，一个大于, 取最小的一个为,最大的一个为,则满足,使得,且f(x)是[n，m]上的“双中值函数”，x1，x2是f(x)在[n，m]上的中值点． 综上，实数的取值范围是. ②证明：因为点，所以. 因为，所以, 所以要证不等式进一步等价于，即. 下面证明,即证 ,由于,而函数在上为单调减函数， 所以等价于证明,即. 下面证明对于. 设,因为，所以,, 令显然是单调增函数，所以时,所以单调递增，又因为,所以时, 即对于. 所以成立. 题型二 利用导数解决函数中的多变量问题 【技巧通法·提分快招】 函数有多个变量时，先找主变量（影响大的），固定其他变量，对主变量求导分析单调性、极值。也可尝试消元，减少变量个数，转化为熟悉的单 / 双变量问题，借助导数研究函数性质，结合条件确定变量范围或证明结论 11．已知函数． (1)求函数的单调区间． (2)设，若存在两个不相等的实数，，当，时，．求证：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）借助导数，对及分类讨论即可得； （2）由题意可得，可构造函数，通过其单调性得到要证，只需证，即证，构造函数，，研究其单调性即可得. 【详解】（1）因为，所以， 若，则，函数单调递增， 若， 则当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增． 综上所述，当时，函数的单调递增区间为， 当时，函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为； （2）因为，所以， 因为存在两个不相等的实数，，当，时，， 所以可设，且满足， 所以．构建函数， 所以，当且仅当，时取等号， 所以函数单调递增， 所以，所以， 所以， 所以要证，只需证， 如果要证明， 则需证明，也就是需要证明． 构建函数，，所以， 所以当时，，单调递增， 所以当时，，又， 所以，所以． 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于将双变量，转换为单变量，从而可构造函数得解.. 12．已知函数（） (1)当时，讨论函数的单调性. (2)若有两个极值点 ①求的取值范围 ②证明： 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再根据导数和函数单调性的关系，即可求解； （2）①首先求函数的导数，转化为关于一元二次方程有2个不同的正实根，即可求解； ②首先求，再利用韦达定理，转化为关于的函数，再通过不等式构造函数，利用导数判断导函数单调性，再结合零点存在性定理，求函数的最大值，证明函数的最大值小于0，即可证明不等式. 【详解】（1）当时 ，（） ， 令， 如图表示的关系如下， 1 3 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 在上单调递减，在上单调递增. （2）① ， 因为有两个极值点 即：在有两个不相等的实根， 所以， 所以， ②由①得 要证 即证：， 只需证 令 令 则恒成立， 所以在上单调递减 又因为 由零点存在性定理得：，使得，即， 所以 ，单调递增. 时，，单调递减. 则 因为在上单调递增 所以 所以，即得证. 【点睛】思路点睛：本题第二问，转化为“隐零点”问题，求函数的最大值. 13．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数有两个极值点. （i）求的取值范围； （ii）证明： 【答案】(1)在上单调递增. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由题意得恒成立，即可得到单调性. （2）（i）根据二次函数分析不符合题意，则，有两个极值点，则是的两个不同正根，根据二次函数性质，可得的取值范围. （ii）将解析式代入中，根据韦达定理得到，代入要证明的式子，结合第一问结果，化简即可得到结果. 【详解】（1）当时，， . 显然，当且仅当时等号成立， 所以在上单调递增. （2）（i）由题设且， 若，则在上恒成立， 即单调递减，不可能有两个极值点，不符合题意；故， 又有两个极值点， 则是的两个不同正根， 所以，可得，即的取值范围是. （ii）由（i）且，不妨设， 则 ， 要证，需证，即， 只需证， 即，令，则证， 由（1）可知当时，在上递增， 又，故， 即， 综上， 【点睛】关键点点睛： 有两个极值点，函数有两个正根，利用二次函数性质得出的范围. 将函数解析式代入中，利用韦达定理化简式子，再利用第一问的结果证明出结果. 14．已知函数（）的两个零点为，且. (1)求实数的取值范围； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零点的定义，通过取对数法，得到等式，通过构造函数法，利用导数研究新函数的单调性，最后根据零点的个数，结合函数的图象进行求解即可； （2）根据零点的定义、对数的运算法则，得到，令，通过换元把分别用的代数式表示，代入已知不等式中，得到，构造新函数，利用导数判断函数的单调性，最后利用函数的单调性、函数零点存在原理进行求解即可. 【详解】（1）由得，两边同时取对数整理得：， 设，则，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，当时，当时，函数的图象如下图所示：    所以，即，所以. （2）由，得，， 设，则有，即，， 由得，即， 设（），则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增，当，，单调递减， 且，，所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 且，，所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以，所以的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过设两个变量的比，把二个变量的问题，转化为一个变量的问题，最后通过构造新函数，利用导数的性质进行求解. 15．若函数对其定义域内任意满足：当时，有为同一常数，则称函数具有性质. (1)请写出一个定义域为且具有性质的函数； (2)已知，函数，当时，证明：； (3)设函数，， （i）判断函数是否具有性质； （ii）证明：. 【答案】(1)且（答案不唯一） (2)证明见解析 (3)（i）不具有；（ii）证明见解析 【分析】1）根据对数函数的性质，结合对数的运算性质，可得答案； （2）由题意，建立方程组，根据韦达定理，结合基本不等式，可得答案； （3）（i）由题意建立方程，利用等量代换化简方程，结合变量的任意性，可得答案；（ii）利用导数可得函数的单调性，利用分类讨论思想，根据等量关系建立方程构造函数，结合新函数的单调性，可得答案. 【详解】（1）且（答案不唯一）. 由，则，易知，， 可得，解得. （2）令，即， 是的两个不等实根，， 又且. （3）（i）设，且为常数，由得， 即对任意成立， 即恒为常数0，显然矛盾，函数不满足性质. （ii）由，求导可得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 由，有， ①当时， ， 令，则， 当时，在单调递增，， 时，，即， 在上单调递减，，故. ②当时，只需证明. ， 令，则， 当时，在单调递增，， 时，，即， 在上单调递减，，故， 又. 综上所述：. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的解题关键在于利用等量关系构造函数，利用题目中的等量关系，建立方程，结合换元法，明确方程中的唯一变量，构造新函数，即可解决问题. 16．已知函数. (1)求曲线在其零点处的切线方程； (2)若方程有两个解，且. （i）求实数的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）， （ii） 【分析】（1）先求出函数零点，利用导数的的几何意义求出零点处的切线方程； （2）（i）利用导数判断函数单调性，对分类讨论求解；（ii）利用比值换元法求解. 【详解】（1）令得，且， 零点处切线的斜率为，切点的坐标为， 故零点处的切线方程为； （2）（i）由得， 设，则， ①    当时，，单调递减，则方程至多有一个解； ②    当时，当时，，单调递增；    当时，，单调递减； 若方程有两个解，则，解得， 设，则， 所以在单调递减，从而，即. 所以，又， 所以时，方程有两个解. （ii）由得,所以，， 设，则有，即，， 由得，即， 设，则， 设，则， 设，则， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以存在唯一的，使得， 当，，单调递增， 当，，单调递减， 且，， 所以在单调递增，在单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：在研究零点型的式子时，一方面可借助韦达定理对该式子单元化处理后进行研究，另一方面，可通过构造含的齐次式，令，整体换元后研究. 17．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)若函数有两个不同的零点，， （ⅰ）求实数的取值范围； （ⅱ）求证：. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）求导，根据导数判断函数单调性进而确定极值； （2）（i）求导，根据导数判断函数单调性与极值情况，结合零点存在定理可得参数范围；（ii）设，根据，，可得，即可将不等式转化为，设，即，则需证，构造函数，，求导可得函数的单调性与最值，即可得证. 【详解】（1）由已知，则，， ，， 令，即， 令，即， 即在上单调递增，在上单调递减， 则函数在处取得极大值为，无极小值； （2）（i）由，， 则，， 当时，恒成立，即函数在上单调递减，与有两个零点矛盾，不成立； 当时，令，则，令，则， 则在上单调递增，在上单调递减， 若函数有两个不同的零点，， 则， 设，， 则， 即在上单调递减，且， 则当时，， 又，， 当时，， 由零点存在性定理可知，此时函数有两个不同的零点. 综上所述，若函数有两个不同的零点，，则； （ii）设，则， 又，， 两式做差可得， 即，则，所以若证， 即证，即证， 设，即，则只需证， 设，， 则， 所以在上单调递增， 则，即， 所以. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在双变量问题的处理，借助整体换元将不等式转化为一元不等式，进而构造函数研究单调性达到证明不等式的目的. 18．设函数 . (1)若恒成立，求的取值范围； (2)若有两个零点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论单调性，将恒成立问题转化为的最值问题分析求解可得； （2）由有两个零点求范围，结合范围分析函数的极值，构造函数，利用单调性可得，进而比较，再借助单调性可证. 【详解】（1）由，， 得，， ①当，即时，，所以在上单调递增， 且，不满足题意； ②当，即时，令，得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 则， 要使恒成立，则，解得，满足. 故的取值范围为. （2）由题意若函数有两个零点， 结合（1）知，且，解得. 当时，， 又；，，此时满足函数有两个零点. 下面证明结论成立. 不妨设， 构造函数， 则， ， ， 在上单调递增， ，即， 所以，， 由，可得， 又，，又， 又由（1）知，当时，单调递增， 故，即，得证. 【点睛】关键点点睛：应用极值点偏移方法构造，将问题转化为证明在恒成立. 19．已知函数. (1)若是函数的一个极值点，求实数的值； (2)若函数有两个极值点，其中， ①求实数的取值范围； ②若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)①，② 【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意； （2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得； ②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得. 【详解】（1）易知，又是函数的一个极值点， ，即. 此时，令， 在上单调递增，且， 当，当， 在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，即符合题意； 因此实数的值为. （2）①因为，且有两个极值点， 所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根， 将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点， 则，令，解得， 当时，单调递减，当时，单调递增， 且当时，，故作出的图象如下： 由图象可得满足题意，即. 即实数的取值范围为； ②由①知是的两个根， 故，则， 不妨设，又，所以可得， 可得，即，所以； 故由可得， 即，所以； 也即，化简得， 由于，所以等价于对任意的恒成立， 令，故对任意的恒成立， 则， 设，则， （i）当时，单调递增， 故单调递减，故，不满足，舍去； （ii）当时，单调递减， 故单调递增，故，故恒成立，符合题意； （iii）当时，令，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 又，故时，，此时单调递减，故， 因此当时，，不符合题意，舍去. 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围. 20．已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围； (3)若有三个零点，，，且，求证：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义，求切线方程； （2）首先不等式转化为恒成立，并判断，并根据函数的导数，讨论得到取值，判断函数的单调性，即可求解； （3）首先方程等价于，并构造函数，注意到1是函数的一个零点，转化为在上有2个零点，并结合零点存在性定理求的取值范围，由，判断，将所证明不等式转化为，再利用，将不等式转化为，再构造函数，利用导数，判断函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）由函数，可得， 且，则， 曲线在处的切线方程为； （2）当时，等价于， 设，则，， （ⅰ）当，时，， 故，在上单调递增，因此； （ⅱ）当时，令得，. 由和得， 故当时，，在单调递减，因此. 综上，的取值范围是. （3）由等价于， 令.注意到，，依题意，除了1之外，还有两个零点， 又由，令（）， 当时，恒成立，故这时在单调递减，不合题意： 当时，由题意，首先在上有两个零点， 故，解得， 设两个零点为和，有，，故可知，均大于0， 由此可得在单调递增，单调递减，单调递增， 而，即，，， 又因为，， 故在内恰有一个零点，在内恰有一个零点， 又1为的一个零点，所以恰有3个零点，亦即恰有3个零点， 实数的取值范围是. ，由， 由此可得，要想证明， 只需证明，而， 因此只需要证明当时，， 令，， 可得，故在上单调递增， 因此当时，，即当时，， 因此， 由，有，即， 两边同时除以，由，有， 即. 【点睛】关键点点睛：本题的难点是第三问，关键1是求出的取值，关键2是证明. 检测Ⅰ组 重难知识巩固 1．已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：. 【答案】(1)在区间上单调递减，在区间上单调递增 (2)证明见解析 【分析】（1）求函数的导函数，设定导函数再求导，通过分析该函数的性质进而得到原函数的性质； （2）采用分析法，要证明，即证，从而构造函数并研究函数的性质，解决问题. 【详解】（1）因为函数， 则， 令， 其中， 则，函数即函数在区间上单调递增， 又， 所以当时，，在区间上单调递减； 当时，，在区间上单调递增； 综上，在区间上单调递减，在区间上单调递增. （2）由已知， 要证明，也即证明， 只要证明时，在区间上单调递减. ， 由，得，且， 结合幂函数的性质得： 当时，在区间上单调递减， 即时，函数取得最大值， 从而只需证明，变换得：，即证， 当时，即，，成立，问题得证； 当， 则，， 由第（1）问知，当时，在区间上单调递减， ，也即， 从而， 其中， 由于，且，， 所以，得， 从而，问题得证. 综上，若，不等式成立. 2．设函数，其中a为实数． (1)当时，求的单调区间； (2)当在定义域内有两个不同的极值点时，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）求出原函数的导数，结合导数性质即可得其单调区间； （2）由题意可得是函数的导数的两个不同零点，即可利用韦达定理结合题意得到的范围，并将中的变量替换成，再借助导数研究其单调性即可得证. 【详解】（1）的定义域为，， 令，得或， 时，，时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）， 由在上有两个不同的极值点， 故有两个不同的正根，则有，解得， 因为 ， 设，， 则，故在上单调递增， 又， 故． 【点睛】关键点点睛：本题第二小问关键点在于由函数的极值点得到其导数的零点，通过韦达定理得出的范围，并将中的变量替换成，再借助导数研究其单调性即可得证. 3．已知函数． (1)若，求的最小值； (2)若有2个零点，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导，确定函数单调性，根据单调性可得最值； （2）将代入原函数后做差变形，得到，令，然后构造函数，证明不等式成立. 【详解】（1）当，函数， 则， 可知当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 则当时，取得极小值，也即为最小值， 所以的最小值为； （2）由已知，是的两个零点， 则，， 两式相减，得， 整理得， 欲证明， 只需证明不等式， 即证明，也即证明， 不妨设，令，则， 只需证明，即证明即可， 令，则， 又令，则， 所以，当时，，即单调递减，则， 故当时，单调递增，则， 所以，原不等式成立，故不等式得证． 【点睛】方法点睛：对于双变量问题，我们可以尽量构造等式进行消元，转化为单变量问题，如果在变形过程中产生，可以令达到消元的目的. 4．已知函数，且的极值点为. (1)求； (2)证明：； (3)若函数有两个不同的零点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数研究函数的单调性，结合极值点的定义即可求解； （2）由（1）知，要证只需证.设，利用导数研究函数的单调性，得，即可证明； （3）由零点的定义可得，由（2），只需证，即证.设，结合换元法，只需证，利用导数证得即可. 【详解】（1）由， 则， 所以当时，单调递增， 当时，单调递减， 所以为的极大值点，即. （2）由（1）知，， 要证，只需证，即， 令，则， 当时，单调递减； 当时，单调递增， 所以，即，所以. （3）因为是的两个不同的零点， 所以， 两式相减并整理，得. 设，由（2）知， 所以要证，只需证，即证. 设，下面只需证， 设，则， 所以在上单调递增，从而， 所以成立，从而. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略. 形如的恒成立的求解策略： 1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可； 2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可； 3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立. 5．已知函数. (1)若在上单调递减，求的取值范围； (2)若，求证：； (3)在（2）的条件下，若方程两个不同的实数根分别为，，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数与单调性的关系，结合参变分离计算即可得； （2）多次求导，得到函数的单调性与奇偶性即可得； （3）结合小问（2），将可转化为证明，结合题中、的范围，可构造函数从而证明，即可得证. 【详解】（1）由，则， 在上单调递减，即在上恒成立， 即有在上恒成立，即， 令，，则， 设，，则， 故在上单调递减， 故， 即恒成立，故在上单调递增， 有，即， 故的取值范围为； （2）若，则，， 设，则， 故在上单调递增，又， ，故在上存在唯一零点， 设该零点为，即有， 有时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 又，， 故当时，，即， 故在上单调递减， 当时，有，故， 即在上单调递增， 故时，， 又，且定义域为， 故为偶函数，即当时，， 故恒成立； （3）， 有， 由（2）可知，若方程两个不同的实数根，则， 下面证明：， 不妨设，则， 要证，只需证明，而， 由（2）可知，在上单调递减，故只需证明， 而，故只需证明， 设 ， 则，即在上单调递增， 故，故，即， 又，故， 由（2）得，， 当时，，故在上单调递增， 又，， 故. 【点睛】关键点睛：本题关键在最后一问中结合题意与第二小问，将证明转化为证明，从而将问题变为极值点偏移问题，结合题中、的范围，可构造函数，从而帮助证明. 6．已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若有2个极值点，求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将在上单调递增转化为恒成立问题，通过参变分离求解最值即可； （2）通过是方程的两个不同正根将证明转化为，然后通过消参构造函数来求解证明. 【详解】（1）法一：因为在上单调递增， 所以时，即， 设，则， 所以时单调递减，时单调递增， 所以， 所以，即的取值范围是； 法二：因为， 所以， 若，则在上单调递增； 若，令，则， 时单调递减；时单调递增， 所以是的极小值点，所以， 所以当，即时，在上单调递增. 综上，的取值范围是. （2）由（1）知是方程的两个不同正根，所以， 经验证，分别是的极小值点，极大值点， ， 下面证明. 由，得， 两边取对数，得，即， 则， 设，则，则要证，即证， 即证. 设，则， 所以在上单调递增，从而， 于是成立， 故. 【点睛】方法点睛：对于含双变量的问题，通常经过变形，产生的结构，然后通过换元令，将式子转化为单变量的问题，进而构造函数来解决问题. 7．已知函数. (1)若 ，求 的单调区间； (2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值. 【答案】(1)单调递增区间是和，单调递减区间是； (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解； （2）首先利用极值点与导数的关系，得到，，并通过变形得到 ，利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值. 【详解】（1）若，， 令，得或， 当或时，， 当时，， 所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是； （2）， 令，可得， 由题意可得，是关于方程的两个实根， 所以，， 由，有， 所以， 将代入上式，得， 同理可得， 所以， ，①， 令,①式化为， 设，即， ， 记，则， 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以， 所以，在上单调递减， 又， ， 当时，的最小值为4，即的最小值为2， 因为在上单调递减，的最大值为， 所以的最大值为. 【点睛】思路点睛：本题第二问的关键是 ，并利用换元构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，第二个关键是求的最值. 8．已知函数. (1)证明：当时，对恒成立. (2)若存在，使得，比较与的大小，并说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）构造函数，通过导函数判断单调性可得，进而利用放缩和导数证明在上为增函数即可； （2）由，得，要证明，即证，构造，再利用导数证明即可. 【详解】（1）设函数，则，当时，， 所以为增函数，所以， 所以， 因为，所以，当时，， 所以，所以在上为增函数， 故，即当时，对恒成立. （2）， 证明如下： 不妨设，由，得， 要证明，只需证， 即证， 即证， 设函数，则， （方法一）设函数，则. 当时，；当时，， 所以，所以， 由（1）可知，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 则， 从而得证. （方法二）设函数，则， 当时，，当时，， 所以，所以， 所以， 因为此连不等式的两个等号的取等条件不同，所以， 从而，所以，所以在上单调递减， 又，所以， 则， 从而得证. 【点睛】研究双变量问题往往通过某等量关系得出两变量之间的关系式，将双变量问题转化为单变量问题，再通过构造函数利用导数判断出函数单调性进行问题求解. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性. (2)是否存在两个正整数，，使得当时，？若存在，求出所有满足条件的，的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)， 【分析】（1）求得，分 ，讨论的单调性. （2）将问题转化为，根据的值域确定，分别就分析是否满足题意. 【详解】（1）， 当时，，在上单调递减. 当时，令，得. ，，则在上单调递增， ，，则在上单调递减. （2）由（1）知，令，得在上单调递增，在上单调递减，则. 因为，所以，即， 即， 因为，为正整数，所以. 当时，， 因为，，所以，这与矛盾，不符合题意. 当时，因为，，所以， 所以，得，即. 经检验，当，时，不符合题意， 当，时，符合题意， 当，时，因为，所以， 当时，，， 所以. 综上，仅存在，满足条件. 【点睛】关键点睛：本题关键点在于根据的值域确定的范围，再根据为正整数得，从而就的取值讨论即可. 10．已知函数，． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)求的单调区间； (3)设是函数的两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求导，然后求出，，根据点斜式写出直线方程； （2）求导，然后分和讨论求的单调区间； （3）根据极值点为导函数的零点，令，利用韦达定理将用表示，代入，构造函数求其最值即可. 【详解】（1）当时，， 得，则，， 所以切线方程为，即； （2）， 当时，恒成立，在上单调递增，无减区间， 当时，令，得，单调递增， 令，得，单调递减， 综合得：当时，的单调递增区间为，无减区间； 当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为； （3）， 则， 因为是函数的两个极值点， 即是方程的两不等正根， 所以，得， 令，则， 得， 则， 所以 ， 则， 令， 则， 所以在上单调递增， 所以， 所以， 即. 【点睛】关键点睛：对于双变量问题，我们需要通过换元转化为单变量问题，本题就是利用韦达定理，令达到消元的目的，常用的换元有等. 11．已知函数，为实数. (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若. ①证明：既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）求导，则恒成立，转化为在上恒成立，求的最小值即可； （2）①求导，然后研究导函数对应的二次函数的零点情况即可；②，令，利用韦达定理，将转化为关于的函数，构造函数求范围即可. 【详解】（1）由已知， 在上单调递增， 在上恒成立， 即在上恒成立， 又， ； （2）①， 令， 当时，， 设的零点为，且， 则，即， 在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 在处取极大值，在处取极小值， 既有极大值又有极小值； ②若，分别为函数的极大值和极小值， 则， ， 又由①中 得， 令，则， ，得， ， ，解得， ， 令， 则， 在上单调递增， ，， 的取值范围是. 【点睛】方法点睛：对于有双变量的问题，如，时常通过换元或，达到消元，转换变量的目的，构造关于新变量的函数来求解问题. 12．已知函数为常数，过曲线上一点处的切线与轴垂直. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若对任意的，使得（是自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，的单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由题意可得，，联立可求得，，根据二阶导数大于0，可得一阶导函数单调递增，讨论可得函数得单调区间； （2）由题意可得，由（1）可知所以当时，，讨论可得，进而得出恒成立，进而求解即可得证. 【详解】（1）， ， 又， ， 则， 令， 在上单调递增，又， 所以不等式的解集为， 故函数的单调递增区间为. （2）若对任意的，使得恒成立， 只需， 由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 为中的最大值， ， 令，则， 在上是增函数，而， 即， ， 对于，则，所以函数在上是增函数， 所以，因为， 所以的取值范围为. 【点睛】（1）主要考查导数的几何意义，运用解方程得思想求出，，二次求导是解决本题单调性的重要方法；（2）证明的关键有两点：1、对任意的，使得恒成立，转化为证明，2、讨论中的最大值，进而证明恒成立. 13．已知函数，其中. (1)当时，求的极值； (2)当，时，证明：. 【答案】(1)有极大值，极小值 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，求函数的极值； （2）首先不等式变形为，再利用导数变形为，再转化为证明，证法1，不等式变形为，再构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，即可证明；证法2，不等式变形为，再利用换元构造函数 ，利用导数判断函数的单调性，根据最值，即可证明不等式. 【详解】（1）由题意，，， 所以当时，，， 由解得：或，由解得：， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故有极大值，极小值. （2）由题意，，， 要证，只需证， 而， ， 所以只需证， 即证①，下面给出两种证明不等式①的方法： 证法1：要证，只需证， 即证，令 ， 则，所以在上单调递增， 显然，所以当时，， 因为，所以，即， 故. 证法2：要证，只需证，即证， 令，则，所以只需证当时，，即证， 令 ，则， 所以在上单调递增，又，所以成立，即， 故 【点睛】思路点睛：第二问的思路首先是变形不等式，根据不等式构造函数，利用函数的单调性，结合最值，即可证明. 14．已知函数有3个极值点，其中是自然对数的底数． (1)求实数的取值范围； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）易知0是函数的一个极值点，则函数有2个零点，利用导数讨论函数的性质可得，即.由零点的存在性定理和即可求解； （2）由（1），设，只需证．由得，令得，则只需证，利用导数讨论函数的性质得出，即可证明.当然也可以采用对称设法来证明. 【详解】（1）由题意，得， 由，得或，所以0是函数的一个极值点． 所以有2个不相等的实数根，且这2个根均不为0和． 令，则． 当时，恒成立，故在定义域上是增函数，不可能有2个零点； 当时，由，得，由，得， 所以在上是减函数，在上是增函数， 所以，即，所以． 又． 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点．    令，则，令得， 令得，所以在上递增，在上递减， 所以，， 所以， 由零点存在定理可知，在上存在唯一零点． 因为所以， 综上，的取值范围是． （2）证明：由（1）知，0是函数的一个极值点．不妨设，所以只要证明． 由得，即两式相除得． 令，则． 所以，所以． 所以要证明，只要证明， 即，其中，所以． 所以只要证明．令， 所以，从而恒成立， 所以在上是减函数，所以． 所以在上是增函数，所以，即证：． 另解：由，知，所以 ，且为的两根． 记，则，当，，当， 故在上递增，在上递减． 不妨取，所以要证，即要证， 只要证，又，故只要证， 即要证，也即要证(#)． 令，则 ． 而当时，，故在上递减， 故，故在上递增，故，所以(#)成立， 故． 【点睛】破解含双参不等式证明题，先由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；进而巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，求出函数的最值；最后回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果. 15．已知函数，满足是奇函数，且不存在实数使得． (1)求； (2)若方程恰有两个实根，求实数的范围并证明． 【答案】(1) (2)；证明见解析 【分析】（1）利用奇函数性质求解； （2）解法一：按照、分类，，的单调性即可确定a的范围，利用三角函数函数线得出，即可证得不等式. 解法二：先将方程化简，分参，将函数零点转化为函数图象交点问题，再利用根和函数性质得到，消元证明不等式. 【详解】（1）因为，且是奇函数， 所以，即，所以，， 所以， 所以， 所以，即，所以， 解得， 当时，， 因为，存在，不满足题意， 当时，，当时，， 此时，满足题意，所以. （2）解法一：由(1)知，，所以，由得，， 设， ①当时，注意到，时，，所以， 当时，所以，不存在零点， 方程没有实根，不符合题意; ②当时，注意到，函数在单调递减， 在单调递增， 所以在在单调递增，取，且， 则， 又，所以， 所以在恰有一个零点，且， 又由于，所以，且， 所以是在的一个零点， 而函数在单调递减，在单调递增， 故在单调递增，故在恰有一个零点， 所以方程恰有两个实根，符合题意， 所以的取值范围为，此时，所以， 且， 在平面直角坐标系中，设单位圆圆与轴非负半轴交于点， 角的终边交圆于点， 则，即， 所以，即，又由得， 故. 解法二：由（1）得，，所以， 所以方程恰有两个实根转化为恰有两个实根， 转化为，令， 所以， 令， 所以，所以单调递增， 因为，所以当时，，即，单调递减， 当时，，即，单调递增， 所以， 因为有两个不等实数根，所以. 因为两个实根，所以， 因为， 所以， 整理得：， 因为，所以且，解得， 要证成立，只需证成立，即证， 由得，即证， 只需证， 设函数，，， 因为为增函数，且当时，， 所以，所以原不等式成立. 【点睛】①利用奇函数性质化简求t，注意化简过程； ②利用函数零点性质得到消元，证明不等式. 检测Ⅱ组 创新能力提升 1．已知函数 且函数有两个极值点. (1)求的范围; (2)若函数的两个极值点为且，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程有两个正实数根的充要条件； （2）整体换元法，令，再结合（1）结论得，将都转化为表示，从而将多元最值问题转化为一元函数问题，构造函数，求其最大值即可. 【详解】（1）由题得，， 令， 则函数有两个极值点，即方程有两个正实数根. 因为， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，， 且当时，，时，. 所以方程有两个正实数根， 只需，解得， 即函数有两个极值点时，的范围为. （2）由且，令，则， 由（1）知，， 即， 则， 即，解得， 所以. 则， 令， 则， 令， 则 所以函数在上单调递增， 又，所以， 则. 当时，， 所以在上单调递增， 则当时，. 即的最大值为. 2．已知函数，为的导函数． (1)当时，讨论函数的单调性 (2)已知，，若存在，使得成立，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】首（1）先求函数的导数，讨论的取值，根据导数的正负，求解函数的单调性； （2）首先设，再根据，求解，代入后变形为，再通过构造函数，即可证明不等式. 【详解】（1）当时，，， ， 当时，在区间上恒大于0，此时函数的单调递增区间是； 当时，设，其中， 当 ，函数单调递增， 当，，函数单调递减， 当时，， 当时，，此时恒成立，函数的单调递增区间是， 当时，， 当且， 所以在区间上恒大于0，即函数的单调递增区间是， 综上可知，时，函数的单调递增区间是， 当时，函数的单调递减区间是，函数的单调递减区间是； （2）不妨设，因为， 则， 即， 得， 由， 则， 所以， ， 设，构造函数， ， 所以在上为增函数， 所以，即， 又，，， 所以. 【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性和双变量下的不等式问题，综合性较强，本题第二问的思路是利用，变形，再代入后，即可变形，构造函数，利用导数解决不等式恒成立问题. 3．已知函数，其中. (1)若，讨论函数的单调性； (2)已知，是函数的两个零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）时，，求出定义域，求出导数，对的值分情况讨论即可求解； （2）由，是函数的两个零点，可得，令，则原不等式转化为证明成立，分别构造函数和后即可证明. 【详解】（1）时，，定义域为， ， 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，令，得， 时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上，时，在上单调递减； 时，在上单调递减，在上单调递增. （2）因为，是函数的两个零点，且， 所以， 得， 所以要证， 只要证， 只要证， 只要证， 因为，所以， 故只要证， 令，则只要证， 令，则， 所以在上单调递增，所以，即； 令， 则，所以在上单调递增， 所以，即. 综上，时有，从而原不等式得证. 【点睛】思路点睛：含双变量的函数不等式的证明，应注意等价变形，同时观察式子的结构，重视构造函数证明不等式的方法. 4．已知函数，其中． (1)若在单调递增，求a的取值范围； (2)若有三个极值点，记为，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数恒为非负，即可将问题转化为在上恒成立，构造函数，求导即可求解最值求解； （2）根据与有两个交点结合图象可得，进而得，构造函数和，求导确定函数的单调性求解最值即可. 【详解】（1）由题可得， 由题，有在上恒成立, 即在上恒成立， 在上恒成立， 令， 由，解得；由，解得， 在上单调递减，在上单调递增， ， 所以； （2）由题知，有3个根，显然1为其中一个根，则有两根． 即有两根，亦即与有两个交点． 由（1）作出大致图象如下： 则有．故由， 令    ① 又    ② 由①②，解得， 故, 令，则， 设， 设 则当时单调递减，故当，故， 因此，故在单调递增， 因此， 故，在单调递增，而， 因此由可得， 故,即. 【点睛】方法点睛： 1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用. 3.证明 不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 5．已知函数其中λ为实数. (1)若是定义域上的单调函数，求实数λ的取值范围； (2)若函数有两个不同的零点，求实数λ的取值范围； (3)记，若为的两个驻点，当λ在区间上变化时，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接由导数求出参数的范围即可. （2）由导数判断单调性后转化为方程根的个数问题，再求最小值小于零得出结果. （3）根据驻点得出导函数为零的两根，用韦达定理将双变量换成单变量带入，写出表达式再求导即可. 【详解】（1）易得定义域为，， 当且仅当时，恒成立， 是定义域上的单调递增函数，符合题意； 而当时，既不恒正，也不恒负， 即不是定义域上的单调函数，不符合题意，舍去； 所以，由题意得实数λ的取值范围为； （2）函数有两个不同的零点， 所以不是定义域上的单调函数，即； 在上为单调递减函数，在上为单调递增函数， 且当x趋近于0和时，趋近于， 函数有两个不同的零点 . （3）为的两个驻点， 为的两根， 即一元二次方程有两个不同的正根，即， 则，解得， ， 令， 在上为单调递增函数，则， . 【点睛】关键点睛：第二问是零点问题，转化为方程根的个数问题； 第三问较难，首先将双变量转化为单变量需用驻点这一条件，再用韦达定理表示出来，注意新变量的取值范围，最后再构造函数求单调性得出结果. 11 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$