第11讲 圆锥的侧面积 （知识清单+6大题型+好题必刷） 核心知识点与常见题型通关讲解练【暑假预习】讲义2025-2026学年九年级上册数学（苏科版）

第11讲 圆锥的侧面积 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求圆锥侧面积 题型二 求圆锥底面半径 题型三 求圆锥的高 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型五 圆锥的实际问题 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 知识清单 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 【题型一】求圆锥侧面积 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【题型二】求圆锥底面半径 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【题型三】求圆锥的高 【例3】（九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（　　）cm．（不考虑接缝） A．5 B．12 C．13 D．14 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    3．（九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【题型四】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例4】（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【题型五】圆锥的实际问题 【例5】（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 2．（江苏扬州·三模）圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 【题型六】圆锥侧面上最短路径问题 【例6】（九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 2．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根号）． 3．（九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 好题必刷 一、单选题 1．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（     ） A．8 B．4 C．4 D．8 2．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（    ） A．60°   B．90°   C．120°   D．180° 3．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 4．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（    ） A．10cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．20cm2 5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 9．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）cm． A．14 B．12 C．10 D．8 10．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 二、填空题 11．若圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，则其侧面展开图面积为 ． 12．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ． 13．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，那这个圆锥的表面积是 ． 14．一个圆柱形橡皮泥，底面积是．高是．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是 15．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于 cm2． 16．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 17．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 18．圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2，锥角为 ，高为 cm. 三、解答题 19．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 20．一个等腰如图所示，将它绕直线AC旋转一周，形成一个几何体． （1）写出这个几何体的名称，并画出这个几何体的三视图． （2）依据图中的测量数据，计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 21．如图，矩形中，，以上一点O为圆心，长为半径画恰与边相切，交于F点，连结，若将这个扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S． 22．如图，在四边形中，，．把四边形绕直线旋转一周．求所得几何体的表面积． 23．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是△ABC，已知AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求圆锥的体积和侧面积． 24．小明打算用一张半圆形的纸(如图)做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若半圆半径是3，小明用裁出的大扇形作为圆锥的侧面，请你求出小明所做的圆锥的高． 25．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 26．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______； (2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______； (3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 圆锥的侧面积 （知识清单+6大题型+好题必刷） 题型汇聚 题型一 求圆锥侧面积 题型二 求圆锥底面半径 题型三 求圆锥的高 题型四 求圆锥侧面展开图的圆心角 题型五 圆锥的实际问题 题型六 圆锥侧面上最短路径问题 知识清单 知识点1．圆锥的计算 （1）连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．连接顶点与底面圆心的线段叫圆锥的高． （2）圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． （3）圆锥的侧面积：S侧＝•2πr•l＝πrl． （4）圆锥的全面积：S全＝S底+S侧＝πr2+πrl （5）圆锥的体积＝×底面积×高 注意：①圆锥的母线与展开后所得扇形的半径相等． ②圆锥的底面周长与展开后所得扇形的弧长相等． 知识点2．圆柱的计算 （1）圆柱的母线（高）等于展开后所得矩形的宽，圆柱的底面周长等于矩形的长． （2）圆柱的侧面积＝底面圆的周长×高 （3）圆柱的表面积＝上下底面面积+侧面积 （4）圆柱的体积＝底面积×高． 题型练习 【题型一】求圆锥侧面积 【例1】（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）圆锥的高是，母线长是，则圆锥的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，求扇形的面积，解题的关键是熟练掌握扇形和弧长的关系． 利用圆锥的高和母线求出底圆的半径，再求出底圆的周长，底圆周长即为侧面扇形的弧长，利用扇形面积和弧长的关系即可求解． 【详解】解：圆锥的底圆半径为， ∴圆锥侧面扇形弧长等于底圆周长为， ∴圆锥的侧面积为， 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）如图，圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面积，熟练掌握侧面积公式是解题的关键，根据侧面积公式进行计算即可求解． 【详解】解：圆锥的底面半径为，母线长为，则侧面积为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期末）若一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 （结果保留）． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查圆锥的计算，熟练掌握圆锥侧面积的计算方法是解题的关键．根据圆锥侧面公式计算即可． 【详解】解：一个圆锥的底面半径是，母线长是，则这个圆锥的侧面积为 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏盐城·期中）草帽：是用水草、席草、麦秸、竹蔑等物进行编织缠绕的中国特有的传统草编工艺品．如图，某兴趣小组决定用一张扇形彩色卡纸装饰母线长为、高为的锥形草帽．粘贴时，彩色卡纸恰好覆盖草帽外表，而且卡纸连接处无缝隙、不重叠． (1)这顶锥形草帽的底面半径为_______，侧面积为_______；（结果保留） (2)计算所需扇形卡纸的圆心角的度数． 【答案】(1)15； (2)所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图，勾股定理，扇形的弧长和面积． （1）利用勾股定理可求得圆锥的底面半径，利用圆锥的侧面积公式即可求解； （2）根据扇形的弧长公式得到，求出即可． 【详解】（1）解：∵母线长为、高为， ∴底面半径为， 侧面积为， 故答案为：15；； （2）解：设扇形卡纸的圆心角的度数为， 由题意得， ∴， 答：所需扇形卡纸的圆心角的度数为216度． 【题型二】求圆锥底面半径 【例2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，熟知圆锥的侧面积公式是解题的关键．根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题知， 令圆锥的底面半径为r， 则， 解得， 所以圆锥的底面半径为 故选： 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 设圆锥的底面的半径为，则，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程求出，然后计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面的半径为，则，， 根据题意得， 解得， ． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】4 【知识点】求圆锥底面半径 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：依题意，， 解得： 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·期中）如图，在平面直角坐标系中，，． (1)在图中画出经过三点的圆弧所在圆的圆心的位置，则圆心的坐标是______，的半径是______； (2)用扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径是______． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【知识点】判断三角形外接圆的圆心位置、求圆锥底面半径 【分析】（1）连接，作的垂直平分线交于点M，则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，设点，根据求出k的值即可得出点M的坐标； （2）先利用勾股定理的逆定理证明，由此可求出扇形的弧长，进而根据扇形围成圆锥的底面圆的周长为，可得出这个圆锥底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，作的垂直平分线交于点M，如图所示： 则点M是经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心，， ∵，， ∴轴， ∴点M的横坐标为， 设点M的纵坐标为k，则， ∵， ∴， 解得：， ∴点； ∴， ∴的半径是． 故答案为：，； （2）解：由（1）知：， ∴， 又∵， ∴， ∴是直角三角形，即， ∴扇形的弧长为：， ∴将扇形围成圆锥的底面圆的周长为， 设这个圆锥底面圆的半径是R， 则， ∴， 即这个圆锥底面圆的半径是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图，圆锥的计算，理解三角形的外接圆与外心，坐标与图形，垂径定理，圆锥的侧面展开图的扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，熟练掌握弧长公式，圆的周长公式是解决问题的关键． 【题型三】求圆锥的高 【例3】（九年级上·江苏扬州·期末）如图，有一块半径为，圆心角为扇形铁皮，要把它做成一个圆锥体容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥体容器的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求圆锥的高 【分析】设做成圆锥之后的底面半径为r，可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：设做成圆锥之后的底面半径为r， 则， 解得， ∴这个圆锥体容器的高为， 故选：C． 【点睛】本题考查圆锥的计算，求出圆锥的底面半径是解题的关键． 【举一反三】 1．（九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，某同学用一扇形纸板为一个玩偶制作一个圆锥形帽子，已知扇形半径OA=13cm，扇形的弧长为10πcm，那么这个圆锥形帽子的高是（　　）cm．（不考虑接缝） A．5 B．12 C．13 D．14 【答案】B 【知识点】求圆锥的高、求弧长 【分析】首先求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】先求底面圆的半径，即2πr=10π，r=5cm， ∵扇形的半径13cm， ∴圆锥的高= =12cm. 故选B. 【点睛】此题考查圆锥的计算，掌握运算公式是解题关键 2．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）在化学实验室中，可以通过过滤的方法净化溶液或水．如图，滤纸的折叠方法：取一直径为的圆形滤纸，对折两次，形成圆后，然后一边一层另外一边三层从中间拉开成锥形放入漏斗．当滤纸紧贴漏斗内壁时，倒入溶液的高度不能超过 ．    【答案】 【知识点】求圆锥的高 【分析】本题主要考查了圆锥的相关知识，解题的关键是理解圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长．根据题意可知，圆锥母线长，圆锥底面周长为，结合“圆锥的底面周长等于侧面展开扇形的弧长”确定的值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，    由题意，可知，圆锥底面周长为， 则有，解得， 所以， 即倒入溶液的高度不能超过． 故答案为：． 3．（九年级上·江苏泰州·期中）用铁皮制作圆锥形容器盖，其尺寸要求如图所示 ． (1)求圆锥的高； (2)求所需铁皮的面积（结果保留）． 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆锥的高、求圆锥侧面积、求弧长、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据圆锥的母线、高和底面圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理即可求解； （2）根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长，圆锥的母线长是扇形的半径进行计算即可． 【详解】（1）解：如图，设为圆锥的高，为圆锥的母线，为底面圆的半径， ∴，，， ∴有中， ∴圆锥的高为． （2）圆锥的底面周长为：， ∵圆锥的底面周长是侧面展开得到的扇形的弧长， ∴扇形的弧长为， ∴扇形的面积为， ∴所需铁皮的面积为． 【点睛】本题考查圆锥的计算．正确理解圆锥的高、母线与底面圆的半径构成直角三角形，圆锥的侧面与它的侧面展开图扇形之间的关系是解决本题的关键，要正确理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【题型四】求圆锥侧面展开图的圆心角 【例4】（2023·江苏无锡·模拟预测）若一个圆锥的侧面积是底面积的3倍，则这个圆锥侧面展开图的圆心角等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求圆锥侧面积、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为，先利用扇形的面积公式表示出圆锥的侧面积，则，所以，然后利用弧长公式得到，然后解n的方程即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，底面圆的半径为r，这个圆锥侧面展开图的圆心角为， ∵圆锥的侧面积是底面积的3倍， ∴， ∴， ∵， 即 ∴， 即这个圆锥侧面展开图的圆心角等于120°． 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，这个圆锥的侧面展开图扇形的圆心角是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R，根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为，根据题意，，，整理计算即可． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，母线长为R， 根据题意，圆锥侧面积为，底面圆的面积为，底面圆的周长为，圆锥侧面展开的扇形弧长为， 根据题意，，， 整理， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积展开计算，熟练掌握侧面展开的计算是解题的关键． 2．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）若圆锥的母线长为4，底面半径为1，则其侧面展开图的圆心角为 °． 【答案】90 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、求圆心角 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长． 圆锥的底面周长，就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式可得圆锥侧面展开图的角度． 【详解】解：圆锥底面半径是1， 圆锥的底面周长为， 设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为， ， 解得． 故答案为：90． 3．（2024九年级上·江苏·专题练习）已知圆锥的底面半径是，母线长为，C为母线的中点，求从A到C在圆锥的侧面上的最短距离． 【答案】 【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、求圆锥侧面展开图的圆心角 【详解】本题考查了圆锥的计算，需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个直角三角形，然后根据勾股定理进行计算． 【解答】解：圆锥的底面周长是，则， ∴， 即圆锥侧面展开图的圆心角是120度． ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∵C是中点， ∴， ∴度． ∵在圆锥侧面展开图中， ∴在圆锥侧面展开图中． 最短距离是． 【题型五】圆锥的实际问题 【例5】（22-23九年级·江苏·假期作业）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其底面圆半径为1，则该圆锥母线长为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】设该圆锥母线长为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则根据弧长公式得到，然后解方程即可． 【详解】解：设该圆锥母线长为， 根据题意得， 解得， 即该圆锥母线长为2． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【知识点】根据正方形的性质求线段长、求弧长、圆锥的实际问题 【分析】本题考查了正方形性质，弧长公式，圆锥展开图特点，解题的关键在于理解圆锥侧面弧长等于底面圆的周长．设的长为，进而得到，根据圆锥侧面弧长等于底面圆的周长建立等式求解，即可解题． 【详解】解：设的长为， 四边形为正方形， 则，， ， ， 扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面， ， 解得， 故选：C． 2．（江苏扬州·三模）圆锥的底面圆半径是1，侧面展开图的圆心角是90°，那么圆锥的母线长是 ． 【答案】4 【知识点】圆锥的实际问题、求扇形半径 【分析】利用弧长等于底面圆的周长方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为R，由题意得： 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查扇形的弧长公式，掌握弧长公式各字母代表的含义正确代入计算，解此题的关键是掌握圆锥侧面扇形的弧长等于底面圆的周长． 3．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为 ． 【答案】6 【知识点】圆锥的实际问题 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 【题型六】圆锥侧面上最短路径问题 【例6】（九年级上·江苏泰州·期中）如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的长度可能是（    ） A．8 B．11 C．10 D．9 【答案】B 【知识点】求扇形半径、圆锥侧面上最短路径问题、用勾股定理构造图形解决问题、含30度角的直角三角形 【分析】设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n．利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过B作BD⊥AC于D，求出AC的长即可判断； 【详解】解：设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n． 底面圆的周长等于： 解得：n=120°； 连结AC，过B作BD⊥AC于D，则∠ABD=60°． AB=6， BD=3， ∴   AC=2AD=， 即这根绳子的最短长度是， 故这根绳子的长度可能是11， 故选：B． 【点睛】此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·江苏镇江·期中）已知圆锥的底面半径为2，母线长，现有一只小虫从圆锥底面圆上A点出发，沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，则它所走的最短路程是 ． 【答案】 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题、求圆锥侧面展开图的圆心角 【分析】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键．根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解圆心角；再画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是； 根据侧面展开图的圆心角是，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 故答案为： 2．（九年级上·江苏无锡·阶段练习）已知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2，若一只小虫从点A出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是 （结果保留根号）． 【答案】8 【知识点】圆锥侧面上最短路径问题 【分析】先画出圆锥的侧面展开图，再计算即可． 【详解】∵圆锥的底面周长=2π×2=4π， 设侧面展开图的圆心角的度数为n． ∴=4π，解得n=90， ∴最短路程为： =8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了面展开-最短路径问题，正确画出圆锥的侧面展开图是解题的关键． 3．（九年级上·江苏泰州·周测）如图所示，已知圆锥底面半径，母线长为． (1)求它的侧面展开图的圆心角； (2)若一甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？ 【答案】(1) (2) 【知识点】求圆锥侧面展开图的圆心角、圆锥侧面上最短路径问题 【分析】（1）根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长求解即可； （2）画出展开图，根据两点之间线段最短和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长得： ， 又∵． ， 解得：． ∴它的侧面展开图的圆心角是90°； （2）根据侧面展开图的圆心角是90°，画出展开图如下： 根据两点之间，线段最短可知AB为最短路径， ，B为的中点， 由（1）知 ∴ ∴它所走的最短路线长是． 【点睛】本题考查求圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥侧面上最短路径问题，涉及弧长公式，圆的周长公式，勾股定理，两点之间线段最短等知识，掌握圆锥的底面周长就是侧面展开图（扇形）的弧长和两点之间线段最短是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．已知圆锥的母线长为4，底面半径为2，则圆锥的侧面积等于（     ） A．8 B．4 C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积就等于母线长乘底面周长的一半．依此公式计算即可解决问题． 【详解】解：圆锥的侧面积=π×2×4=8π． 故选D． 【点睛】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算公式．熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键． 2．圆锥的截面是一个等边三角形，则它的侧面展开图圆心角度数是（    ） A．60°   B．90°   C．120°   D．180° 【答案】D 【分析】易得圆锥的底面直径与母线长相等，那么根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长即可得到这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，圆心角的度数为n度 ∵它的轴截面是正三角形，∴R=2r， ∴2πr=， 解得n=180， 故展开图的圆心角为180° 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆锥的侧面展开图的圆心角，圆锥的轴截面，熟练掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长，扇形的弧长公式，是解题的关键． 3．已知圆锥底面圆的半径为2，母线长是4，则它的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积． 【详解】解：∵底面周长是：， ∴侧面积是：，底面积是：， ∴全面积是：． 故选：C． 4．如果圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为（    ） A．10cm2 B．10cm2 C．20cm2 D．20cm2 【答案】B 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积为：， 故选：B． 【点睛】本题考查圆锥的计算，解题关键是熟记圆锥的侧面积计算公式． 5．用一个圆心角为120°，半径为4的扇形，做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的全面积（侧面与底面面积的和）为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出圆锥的侧面积和底面半径，再求圆锥的表面积，由此即可求出这个圆锥的表面积． 【详解】解：圆锥的侧面积＝π×42×＝， 圆锥的底面半径＝2π×4×÷2π＝， 圆锥的底面积＝π×()2＝， 圆锥的表面积＝侧面积＋底面积＝． 故选：D． 【点睛】本题考查圆锥的表面积，解题时要认真审题，掌握扇形面积、圆锥底面半径的计算方法是解题的关键． 6．如图所示，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，若该圆锥的高为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的计算，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设，，首先证明，再利用勾股定理求出，可得结论． 【详解】解：设，， 则有， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 7．如图，圆锥侧面展开得到扇形，此扇形半径，圆心角，则此圆锥高的长度是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆锥底面圆的半径为r，根据圆锥的侧面展开图求出圆锥的底面圆的周长，进而求得OA，最后用勾股定理求出CA即可． 【详解】解：设圆锥底面圆的半径为r ∵AC=6，∠ACB=120° ∴，即：r=OA=2 在Rt△AOC中，OA=2，AC=6， 由勾股定理得，． 故填：． 【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式、勾股定理等知识点，根据弧长公式和圆的周长公式求得OA是解答本题的关键． 8．如图，从一个边长为2m的正六边形ABCDEF铁皮上剪出一个扇形CAE，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出扇形的半径与弧长，再利用扇形弧长与所围成的圆锥的底面周长的关系求出圆锥的底面半径． 【详解】解：过作于， 六边形为正六边形， m，， ，， m，m， ，， m， ， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了正多边形内角和定理，圆、扇形、圆锥的相关计算，掌握扇形所围的圆锥与扇形之间的等量关系是解决本题的关键． 9．如图，圆柱的底面周长为12cm，AB是底面圆的直径，在圆柱表面的高BC上有一点D，且，．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点D的最短路程是（    ）cm． A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】首先画出圆柱的侧面展开图，根据底面周长12cm，求出 AB 的值，由BC=10cm，DC=2cm，求出 DB的值，再在 Rt△ ABD 中，根据勾股定理求出 AD 的长，即可得答案． 【详解】解：圆柱侧面展开图如下图所示， ∵圆柱的底面周长为12cm， ∴ AB =6cm， ∵BC=10cm，DC=2cm， ∴DB=8， 在 Rt△ABD 中，( cm )， 即蚂蚁从 A 点出发沿着圆柱体的表面爬行到点 D 的最短距离是10cm， 故选： C ． 【点睛】此题主要考查了圆柱的平面展开图，以及勾股定理的应用，解题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 10．如图所示，小明从半径为的圆形纸片中剪下圆周的一个扇形，然后利用剪下的扇形制作成一个圆锥形玩具纸帽(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(  ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】40%圆周一个扇形就是告诉扇形的圆心角是144°，这样就知道了圆锥的底面周长，也就已知了底面半径，圆锥的母线长，圆锥的高，底面半径正好构成直角三角形，利用勾股定理就可求得． 【详解】∵扇形的圆心角是360°×40%=144°，∴弧长l= 设底面半径是r，则有＝2πr，则r=2， 圆锥的高h=． 故选C． 【点睛】此题是以圆和圆锥之间的相互联系为背景，设置了一个应用性数学问题，主要考查了圆的周长、弧长、勾股定理等基础知识和学生的空间观念，要求考生具有较强的画图分析能力和图形转换能力． 二、填空题 11．若圆锥母线长3cm，底面周长4πcm，则其侧面展开图面积为 ． 【答案】6cm2 【分析】利用圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算即可求解． 【详解】解：∵圆锥母线长3cm，底面周长4πcm， ∴其侧面展开图的面积=cm2， 故答案为：cm2 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 12．用一个圆心角为120°，半径为6的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径是 ． 【答案】2 【详解】解：扇形的弧长==2πr， ∴圆锥的底面半径为r=2． 故答案为2． 13．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形，那这个圆锥的表面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查正投影，求圆锥的表面积，根据题意，得到圆锥的底面半径为1，母线长为2，根据表面积公式进行计算即可． 【详解】∵一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是边长为2的等边三角形， ∴圆锥的母线长为2，底面圆的半径为1． ∴这个圆锥的表面积是． 故答案为：． 14．一个圆柱形橡皮泥，底面积是．高是．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是 【答案】18 【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出方程，即可求出圆锥的底面积． 【详解】Ｖ圆柱＝=， 这个橡皮泥的一半体积为：， 把它捏成高为的圆锥，则圆锥的高为5cm， 故， 即， 解得（cm2）， 故填：18． 【点睛】本题考查了圆柱的体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥体积计算公式． 15．一个圆锥的主视图是边长为4cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积等于 cm2． 【答案】 【分析】根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm，由弧长公式求出圆心角，根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：根据题意得圆锥的母线长为4cm，底面圆的半径为2cm， ∴圆锥展开图的弧长为 解得 ∴圆锥的展开图是半径为4cm的半圆 ∴圆锥的侧面积为（cm2） 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长公式，扇形的面积，等边三角形的性质，主视图等知识．解题的关键在于明确圆锥展开图的半径与圆心角． 16．用半径为4，圆心角为90°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 ． 【答案】1 【分析】设这个圆锥的底面圆半径为r，利用弧长公式得到并解关于r的方程即可． 【详解】设这个圆锥的底面圆半径为r， 根据题意得2πr=， 解得r=1， 所以这个圆锥的底面圆半径为1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 17．如图，正六边形ABCDEF的边长为4，以A为圆心，AC的长为半径画弧，得，连接AC、AE，用图中阴影部分作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ． 【答案】 【分析】由正六边形ABCDEF的边长为4，可得AB=BC=4，∠ABC=∠BAF=120°，进而求出∠BAC=30°，∠CAE=60°，过B作BHAC于H，由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH=AC，BH=2．在RtABH中，由勾股定理求得AH=，得到．根据扇形的面积公式可得到阴影部分的面积，即是圆锥的侧面积，最后根据圆锥的侧面积公式求解底面半径即可． 【详解】解：∵正六边形ABCDEF的边长为4， ∴AB=BC=4， ， ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°， ∴， 如图，过B作BHAC于H， ∴AH=CH=AC， ， 在RtABH中， ， ∴， 同理可求∠EAF=30°， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴r=， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是正六边形的性质、扇形面积的计算、等腰三角形的性质、勾股定理、圆锥的侧面积，掌握扇形面积公式和圆锥侧面积公式是解题的关键． 18．圆锥的轴截面是一个边长为10 cm的正三角形，则这个圆锥的侧面积为 cm2，锥角为 ，高为 cm. 【答案】 50π 60° 【详解】由题意得，圆锥母线长是10，由勾股定理知，高是，底面圆半径是5，所以 ，锥角为60°. 三、解答题 19．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的直径是，母线长是，制作100个这样的烟囱帽至少需要多少平方米的铁皮？ 【答案】100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮． 【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式进行计算． 【详解】解：圆锥形的烟囱帽的侧面积=•80π•50=2000π（cm2）， 100×2000π=200000π（cm2）=20π（m2） 答：100个这样的烟囱帽至少需要20πm2的铁皮． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 20．一个等腰如图所示，将它绕直线AC旋转一周，形成一个几何体． （1）写出这个几何体的名称，并画出这个几何体的三视图． （2）依据图中的测量数据，计算这个几何体的表面积（结果保留π）． 【答案】（1）圆锥，图详见解析；（2） 【分析】（1）由旋转方式可知旋转后的几何体为圆锥，再画出旋转后所得圆锥的三视图即可； （2）根据圆锥的表面积公式计算即可． 【详解】（1）圆锥 ； （2）几何体的表面积为：． 【点睛】本题考查了平面图形的旋转问题和圆锥的表面积，掌握知识点是解题关键． 21．如图，矩形中，，以上一点O为圆心，长为半径画恰与边相切，交于F点，连结，若将这个扇形围成一个圆锥，求这个圆锥的底面积S． 【答案】16πcm2 【分析】连接EO，可得扇形的半径12cm，利用相应的三角函数可求得扇形的圆心角，进而得出底面圆的半径，代入圆的面积公式即可． 【详解】解：连接EO， ∵恰与边相切， ∴EO⊥DC， ∴EO＝BC＝BO＝FO＝12cm， AO＝AB﹣OB＝18﹣12＝6cm， ∴Rt△OFA中，cos∠FOA＝＝， ∴∠FOA＝60°，∴∠FOB＝120°， ∴弧BF长l＝， 圆锥的底面圆周长2πr＝， ∴r＝4（cm）． ∴S＝πr2＝16π（cm2）． ． 【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答此题需熟练圆锥侧面展开图与扇形关系，得出FO＝EO＝BO是解题关键． 22．如图，在四边形中，，．把四边形绕直线旋转一周．求所得几何体的表面积． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是了解该四边形经过旋转后得到的几何体的形状． 【详解】解：作于点E，如图所示： 把四边形绕直线旋转一周形成一个圆柱里面倒入一个圆锥的图形， 圆柱的高，底面半径，圆锥的母线长 ， ∴该几何体的表面积为： 23．一个圆锥的轴截面平行于投影面，圆锥的正投影是△ABC，已知AB＝AC＝5cm，BC＝6cm，求圆锥的体积和侧面积． 【答案】V＝12πcm3，S侧＝15πcm2. 【详解】试题分析：先根据正投影得到圆锥的母线长为5cm，圆锥的底面直径为6cm，再根据勾股定理计算出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式和扇形的面积公式求解． 试题解析： 解： 过A作AD⊥BC，则CD＝3cm ，根据勾股定理得AD＝＝4cm， 所以圆锥的体积＝π×32×4＝12πcm3； 侧面积＝×6π×5＝15πcm2． 点睛：本题考查了正投影和圆锥的计算，根据正投影得出圆锥的母线长、底面直径和高是解决此题的关键． 24．小明打算用一张半圆形的纸(如图)做一个圆锥．在制作过程中，他先将半圆剪成面积比为的两个扇形． (1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； (2)若半圆半径是3，小明用裁出的大扇形作为圆锥的侧面，请你求出小明所做的圆锥的高． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先作直径的垂直平分线，找出圆心O，再以点B为圆心，以为半径画弧，交半圆于点C，由，可知，，根据半径相同的扇形，面积比等于圆心角的比，可知； （2）首先求得大扇形的弧长，然后求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得圆锥的高即可． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为裁剪痕迹； 作图过程：先作出直径的垂直平分线，找到圆心O，再以点B为圆心，以为半径画弧，交半圆于点C，直线即为裁剪痕迹． （2）解：半圆的半径为3， 半圆的弧长为， 剪成面积比为的两个扇形． 大扇形的弧长为， 设围成的圆锥的底面半径为r，则， 解得， 圆锥的高为． 【点睛】本题考查勾股定理，圆锥的计算及复杂作图，解题的关键是弄清扇形的相关量与圆锥的相关量之间的对应关系．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 25．已知圆锥的底面半径为r＝20cm，高h=cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离． 【答案】 【分析】蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA′的长度．根据勾股定理求得母线长后，利用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解． 【详解】解：设扇形的圆心角为n，圆锥的 在Rt△AOS中，∵r=20cm，h=cm， ∴由勾股定理可得母线l==80cm， 而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2×20π=. ∴n=90° 即△SAA′是等腰直角三角形， ∴由勾股定理得：AA'==80cm． ∴蚂蚁爬行的最短距离为80cm． 【点睛】本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解． 26．如图，在单位长度为1的正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧恰好经过网格点A、B、C，请在网格图中进行下列操作（以下结果保留根号）： (1)利用网格找出该圆弧所在圆的圆心D点的位置，则D点的坐标为_______； (2)连接AD、CD，若扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥底面半径为_______； (3)连接AB，将线段AB绕点D旋转一周，求线段AB扫过的面积． 【答案】(1)（2，0） (2) (3)4π 【分析】（1）线段AB与BC的垂直平分线的交点为D； （2）连接AC，先判断∠ADC=90°，则可求的弧长，该弧长即为圆锥底面圆的周长，由此可求底面圆的半径； （3）设AB的中点为E，线段AB的运动轨迹是以D为圆心DA、DE分别为半径的圆环面积． 【详解】（1）解：过点（2，0）作x轴垂线，过点（5，3）作与BC垂直的线， 两线的交点即为D点坐标， ∴D（2，0）， 故答案为：（2，0）； （2）解：连接AC， ∵A（0，4），B（4，4），C（6，2）， ∴，，， ∵AC2＝AD2+CD2， ∴∠ADC＝90°， ∴的长， ∵扇形DAC是一个圆锥的侧面展开图， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：设AB的中点为E， ∴E（2，4）， ∴DE＝4， ∴S＝π×（AD2﹣DE2）＝4π， ∴线段AB扫过的面积是4π. , 【点睛】本题考查圆锥的展开图，垂径定理，能够由三点确定圆的圆心位置，理解圆锥展开图与圆锥各部位的对应关系是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$