精品解析：福建省龙岩市新罗区新罗区2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

2024～2025学年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 3. 下列各点在正比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 排球对墙垫球锻炼空间预判能力（智育）、提升身体协调性（体育）、培养坚持不放弃的毅力（德育）、展现动作节奏流畅之美（美育）、并在爱护器材中养成责任意识（劳育），体现了五育的全面融合，甲、乙、丙、丁四名学生各进行10次排球对墙垫球测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名学生中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，是一次函数图象上的两点，则m和n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 某文具超市有A，B，C，D四种笔记本销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，6元，某天的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值是（ ） A. 3元 B. 4元 C. 4.2元 D. 4.5元 8. “赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 9. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 21 C. 14 D. 10 10. 若（m，n为两个连续奇数，，），则下列对p的表述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总无理数 D. 可能是有理数，可能是无理数 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 一组数据：8，12，5，15，21，则这组数据的中位数是______． 13. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则______． 14. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为________． 15. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 16. 如图，正方形的边长为4，点E为正方形内与点D不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为______． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 19. 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）． （1）求一次函数的表达式； （2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积． 20. 有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 21. 某校准备购进一批篮球和足球供训练使用．若购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？ 22. 甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数 1 2 4 2 1 0 乙命中次数 1 4 2 1 1 1 （1）乙同学10次射击命中环数众数是______环； （2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； （3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2．根据所学的统计知识，从数据的集中趋势和数据波动的大小这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平． 23. 折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，． （1）折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形的边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°； （2）现要折出角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2； 步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形边上），使得______． 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求m和k的值； （2）若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 25. 在菱形中，，动点E在边上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是的中点，连接，求证：； （3）如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年第二学期期末质量监测 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；满分：150分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的． 1. 下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．是最简二次根式，故本选项符合题意； B．不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C．不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D．不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数中的每个因数都是整数，因式都是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式． 2. 下列各组数中，能作为直角三角形的三边长的是（ ）． A. 2，2，3 B. 2，3，4 C. 3，4，5 D. 4，5，6 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】解：A、，所以2，2，3不能作为直角三角形三边，不符合题意； B、，所以2，3，4不能作为直角三角形的三边，不符合题意； C、，所以3，4，5能作为直角三角形三边，符合题意； D、，所以4，5，6不能作为直角三角形的三边，不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理．如果一个三角形的三边满足，那么这个三角形是直角三角形． 3. 下列各点在正比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，判断点是否在正比例函数图象上，只需验证点的坐标是否满足函数解析式即可． 【详解】解：A、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； B、当时，，则点在正比例函数的图象上，符合题意； C、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； D、当时，，则点不在正比例函数的图象上，不符合题意； 故选：B． 4. 排球对墙垫球锻炼空间预判能力（智育）、提升身体协调性（体育）、培养坚持不放弃的毅力（德育）、展现动作节奏流畅之美（美育）、并在爱护器材中养成责任意识（劳育），体现了五育的全面融合，甲、乙、丙、丁四名学生各进行10次排球对墙垫球测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名学生中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方差，熟练掌握方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好是解题关键．根据方差越大，越不稳定，即可求解． 【详解】解：，，， ， 这四名学生中成绩最稳定的是甲， 故选：A． 5. 如图，若，则添加下列选项后不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定定理．解题关键在于熟悉各种平行四边形的判定方法，并结合已知条件，从判定定理中选择合适的方式来添加条件，使四边形满足平行四边形的判定要求．本题已知，要使四边形成为平行四边形，需依据平行四边形的判定定理添加合适条件．平行四边形有多种判定方法，如两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、两组对角分别相等、对角线互相平分等，据此逐一判断即可． 【详解】解：∵， A、，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、，由两组对边分别相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、，则，由一组对边平行且相等，可判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意； 故选：D． 6. 若，是一次函数图象上的两点，则m和n的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上的点满足一次函数解析式是解题关键．将点A和点B的坐标代入函数解析式，分别求出m和n的值，再比较大小即可． 【详解】解：将，代入一次函数， 则，， 解得：，， 即， 故选：D． 7. 某文具超市有A，B，C，D四种笔记本销售，它们的单价分别是5元，4元，3元，6元，某天的笔记本销售情况如图所示，那么这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值是（ ） A. 3元 B. 4元 C. 4.2元 D. 4.5元 【答案】C 【解析】 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：这天该文具超市销售的笔记本的单价的平均值为 5×10%+4×25%+3×40%+6×25%=4.2（元）． 故选：C． 【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义． 8. “赵爽弦图”是我国古代数学家赵爽为证明勾股定理而构造的精妙图形，它最早用严谨的“数形结合”方法，直观揭示了直角三角形三边的数量关系，展现了中华民族的数学智慧．如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间阴影部分是一个小正方形，这样就组成一个“赵爽弦图”．若，，则正方形的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，掌握勾股定理的推导过程是解决问题的关键．利用勾股定理求得直角边的较短边，进一步根据正方形的面积大正方形面积4个直角三角形面积即可求得正方形的面积． 【详解】解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形的面积． 故选：A． 9. 如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交、于点E、F，连接、，若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. 28 B. 21 C. 14 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题关键．过点作，分别交、于点M、N，由矩形的性质推出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点M、N， 则四边形、、、都是矩形， ，，，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， 阴影部分的面积为， 故选：C 10. 若（m，n为两个连续奇数，，），则下列对p的表述中正确的是（ ） A. 总是偶数 B. 总是奇数 C. 总是无理数 D. 可能是有理数，可能是无理数 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题关键．由题意可得，，再代入代数式中，结合二次根式的性质即可求解． 【详解】解：m，n为两个连续奇数，， ， ， ， ， 为奇数， 是偶数， 是奇数， 故选：B． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】x≥4． 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式，即可求解出答案． 【详解】解：依题意有x﹣4≥0， 解得x≥4． 故答案为：x≥4． 【点睛】本题主要考查了二次根式，熟练二次根式的性质列出不等式是解决本题的关键． 12. 一组数据：8，12，5，15，21，则这组数据的中位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的概念．将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数．据此进行解答即可． 【详解】解：数据从小到大排列为：5，8，12，15，21， ∴这组数据的中位数为， 故答案为： 13. 如图，四边形是菱形，对角线相交于点O，且，，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形对角线互相垂直的性质是解题关键．根据菱形对角线互相垂直，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与（k、b为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于x、y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 15. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：“令有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺（1尺）．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少？”设绳索长为x尺，则根据题意可列方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】设绳索长为尺， 可列方程为：， 故答案为：． 16. 如图，正方形的边长为4，点E为正方形内与点D不重合的动点，以为边向下作正方形．则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，证明，根据，等量代换证明即可． 【详解】解：如图，连接， ∵正方形，正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四点共线时，取得最小值，且最小值为的长， ∵正方形的边长为4， ∴， 的最小值为， 故的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短，熟练掌握三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短是解题的关键． 三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算法则，掌握其运算法则是关键． （1）先化简二次根式，再根据二次根式的加减运算法则计算即可； （2）运用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴AF∥EC， ∵BE=FD， ∴BC-BE=AD-FD， ∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=EC是解决问题的关键． 19. 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）． （1）求一次函数的表达式； （2）若此一次函数图象与x轴交于点C，求△BOC的面积． 【答案】（1）一次函数的表达式为；（2） 【解析】 【分析】（1）把点A、B的坐标代入进行解析式求解即可； （2）由题意易得点C的坐标，进而可得OC、OB，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，6）和点B（0，4）， ∴，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）由（1）可得一次函数的表达式为， ∴令y=0时，则有，解得：， ∴点， ∵B（0，4）， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 20. 有一块四边形草地（如图），测得，，，． （1）求的度数； （2）求四边形草地的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）连接，由等边三角形的判定证得是等边三角形，得到，再由勾股定理的逆定理证得，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 正确作出辅助线证得是等边三角形是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：连接， ，． 是等边三角形， ，， 在中，，，， ， ， ； 【小问2详解】 过作于， ， ， ， 四边形草地的面积， 答：四边形草地的面积为． 21. 某校准备购进一批篮球和足球供训练使用．若购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元． （1）求篮球和足球的单价各是多少元？ （2）现学校拟购买篮球和足球共100个，且篮球的数量不少于足球数量的，问：最多需花费多少元？ 【答案】（1）一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元 （2）最多需花费13860元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式和一次函数的实际应用，正确的列出方程组和函数关系式，是解题的关键： （1）设篮球和足球的单价各是元和元，根据购买7个篮球和4个足球共需花费1440元；若购买10个篮球和8个足球共需花费2400元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买足球个，花费的费用为元，根据题意列出不等式，求出的范围，列出函数关系式，利用一次函数的性质，求最值即可。 【小问1详解】 解：设篮球和足球的单价各是元和元， 由题意，得：， 解得：． 答：一个篮球的售价是120元，一个足球的售价是150元． 【小问2详解】 解：设购进足球a个，则购进篮球个，总花费为w， 根据题意可得，， 解得，， ∵， ∵ ∴w随a的增大而增大， ∴当时，w取得最大值，即（元）． ∴最多需花费13860元． 22. 甲、乙两名学生进行射击练习，在相同条件下各射击10次，结果如下： 命中的环数/环 5 6 7 8 9 10 甲命中次数 1 2 4 2 1 0 乙命中次数 1 4 2 1 1 1 （1）乙同学10次射击命中环数的众数是______环； （2）求甲同学10次射击命中环数的平均数和方差； （3）经过计算可知，乙同学10次射击的平均数是7环，方差是2.2．根据所学的统计知识，从数据的集中趋势和数据波动的大小这两个不同的角度来评价甲、乙两名学生的射击水平． 【答案】（1）6 （2）， （3）甲的射击水平更好一些，理由见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了学生对平均数，众数，方差的理解及运用能力，正确求出方差是解题关键． （1）根据众数的定义即可得出答案； （2）根据平均数、方差公式计算即可得出答案； （3）从集中趋势和稳定性两个方面来考查两人的成绩． 【小问1详解】 解：∵乙同学10次射击命中环数最多的是6环， ∴众数是6； 故答案为：6； 【小问2详解】 解：甲同学10次射击命中环数的平均数为： ， 方差为： ； 【小问3详解】 解：从平均水平看，甲、乙两名学生射击的环数平均数均为7环，成绩一样； 从离散程度看，，，甲的成绩比乙更加稳定； 从集中趋势看，甲的众数比乙大； 故甲的射击水平更好一些． 23. 折纸是我国传统的民间艺术，精美的折纸背后离不开数学原理，这吸引了无数数学教育工作者以折痕为研究对象，关注折法和折叠过程中所得平面图形的性质．如图，矩形纸片中，． （1）折叠矩形纸片，折痕为（点N在矩形边上），使得点C落在边上的点M．请在图1中画出折痕，得到______°； （2）现要折出角，小明同学采用下面的方法： 步骤一：对折矩形纸片，折痕为，使得与重合，然后把纸片展平，如图2； 步骤二：再一次折叠纸片，折痕为（点P在矩形的边上），使得______． 请将步骤二补充完整，在图2中画出折痕，并证明所折出的角为． 【答案】（1）45 （2）点C落在上，点C的对应点为点N，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由折叠可得，即可求解； （2）由折叠的性质得出垂直平分，第二次折叠可得，进而得为等边三角形，则可得出结论． 【小问1详解】 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴， 由折叠可得：， 故答案为：45； 【小问2详解】 解：步骤2：使得点C落在上，点C的对应点为点N， 证明：∵对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，连接 ∴垂直平分， ∴， ∵再一次折叠纸片，使点C落在上，得到折痕，点C的对应点为点N， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，直线与x轴，y轴分别交于点A，B． （1）求m和k的值； （2）若动点在x轴上，过点P作垂直于x轴的直线m，直线m分别与直线，交于点D，C，过点D作轴，交直线于点E． ①用含t的代数式表示点D，E的坐标：D（______），E（______）； ②当时，求t的值； ③以，为边作矩形，当动点P在x轴上运动时，判断顶点F是否始终落在一条固定的直线上？若是，请直接写出这条直线的解析式；若不是，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①，；②或；③是， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的综合应用，解题关键是利用函数图象上点的坐标特征、矩形性质，结合方程与代数运算求解． （1）将点坐标代入直线解析式求，再把坐标代入直线解析式求． （2）①利用直线解析式和点横坐标求坐标，依据轴及直线解析式求坐标．②先求坐标，得出绝对值表达式，结合列方程求解．③根据矩形性质确定坐标，设直线解析式，代入和坐标列方程组，求解得直线解析式，判断所在直线． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴． 把代入，得 ， ∴． 【小问2详解】 解：①轴，轴，且， 直线，当时，， ， 直线，当时，， ， ， ，． 故答案为：，． ②直线：，当时，， ， ， ， ， 解得或， 的值为或． ③作直线， 设直线的解析式为， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 顶点始终落在一条固定的直线上，这条直线的解析式为． 25. 在菱形中，，动点E在边上，连接，． （1）如图1，若，，求的长； （2）如图2，在上取点F，使得，且，连接，点G是中点，连接，求证：； （3）如图3，在同一平面上取一点P（点P与点A在的异侧），使得，且，连接．当取到最小值时，求的值． 【答案】（1）4 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形的判定，勾股定理解答即可； （2）延长到点H，使得，连接，则，只需证明，，证明即可． （3）过点D作于点Q，在上截取，连接，，确定点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M，根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合，根据菱形的性质，勾股定理，面积分割法计算解答即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，（舍去）， ∴． 【小问2详解】 证明：延长到点H，使得，连接， 则， ∵点G是AF的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：过点D作于点Q，在上截取，连接， ∵菱形中，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P的运动轨迹是过点M且垂直的定直线，垂足为点M， 根据垂线段最短，得当时，最小，此时点P与点M重合，点E与点Q重合， 此时，， 设菱形的边长为， 根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，一线三直角全等模型的应用，垂线段最短，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$