精品解析：福建省龙岩市新罗区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

八年级数学试题 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13 3. 一组数据2，2，3，4，4，则这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 4. 直线经过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，橡皮筋，固定它的端点A、B，把的中点C向上拉升到点D，则该橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 8. 下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ） A B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 10. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（ ） A. 1 B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 12. 某校九年级进行了3次体育中考模拟测试，在男生1000米项目中，甲、乙、丙三位同学3次模拟测试平均成绩都是3分55秒，三位同学成绩的方差分别是，，．则甲、乙、丙三位同学中，成绩最稳定的是______（填甲、乙或丙）． 13. 将直线向上平移2个单位，所得直线的函数解析式是______． 14. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为（0°＜＜90°），若∠1＝120°，则＝_______． 15. 如图，在矩形中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F，则的长为______． 16. 如图，在正方形中，，点在边上，过点作，交，分别于点，．若点，分别是，的中点，，则的长是______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 计算： （1）； （2）． 18. 如图，在中，交于点O，E，F分别是，的中点，连接，． 求证：． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若直线与（1）的函数图象交于点，则关于x的不等式的解集为______． 21. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 22. 某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． （1）求每辆A、B型车的车载座位数； （2）若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 23. 某中学为全面普及安全知识和提高急救技能，特邀请某医疗培训团队到校开展急救培训系列活动．活动结束后，在该校七、八年级开展一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分、9分、8分、7分．王老师从七八年级各抽取20名学生的竞赛成绩，整理并绘制成如下统计图表．请根据所提供的信息，解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.5 m 8和9 0.85 八年级 8.5 9 n 0.75 （1）根据以上信息可以得到：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七、八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有700人，八年级有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀．请你估算：在该校七、八年级参加本次急救知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生总人数． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过，，三点，点在轴上方，点在轴正半轴上，且，连接，，已知． （1）求直线的解析式； （2）求点的坐标； （3）分别在线段，上取点，，使得轴；在轴上取一点，连接，，．探究：是否存在点，使得，且？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由． 25. 在正方形中，，点O为对角线的中点，动点E在射线上，连接，过点E作交射线于点F．当点E与A重合时，；当点E与重合时，（点F与A重合）． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上时，请补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P、C在直线的异侧，且，动点E沿着从点P向点C运动，请直接写出伴随动点F的运动路径的长为______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级数学试题 （考试时间：120分钟；试卷满分：150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可解答． 【详解】解：，A错误； 是最简二次根式，B正确； ，C错误； ，D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了最简二次根式的内容，掌握最简二次根式定义是解题的关键． 2. 以下列数组为边长的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A. 3，4，5 B. 4，5，6 C. 6，8，10 D. 5，12，13 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理．根据勾股定理逆定理，判断三角形是否是直角三角形即可．掌握常见勾股数，可以快速解题． 【详解】解：A、，能构成直角三角形； B、，不能构成直角三角形； C、，能构成直角三角形； D、，能构成直角三角形； 故选B． 3. 一组数据2，2，3，4，4，则这组数据的平均数是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平均数，熟练掌握算术平均数的计算公式是解题的关键．直接根据算术平均数的定义进行求解． 【详解】解：这组数据的平均数， 故选C． 4. 直线经过点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将点代入求解即可． 【详解】解：将点代入可得： 解得 故选：C 【点睛】此题考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 5. 下列二次根式的运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可判断A，根据二次根式的加法运算即可判断B，根据二次根式的乘法运算即可判断C，根据二次根式的除法运算即可判断D． 【详解】解：A. ，故A计算错误，不符合题意； B. ，故B计算错误，不符合题意； C. ，故C计算错误，不符合题意； D. ，故D计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加法、二次根式的乘法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的运算法则，是解题的关键． 6. 如图，在中，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形性质得到，求出度数后，根据两直线平行同旁内角互补，即可求出的度数． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，数量掌握平行线的性质是解答本题的关键． 7. 如图，橡皮筋，固定它的端点A、B，把的中点C向上拉升到点D，则该橡皮筋被拉长了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，等腰三角形的性质，根据题意利用勾股定理求得是解题的关键．勾股定理求得，进而求得，根据即可求得答案． 【详解】解：点为的中点，， ∴， 根据题意，，， ∴， ， ， 橡皮筋被拉长了． 故选A 8. 下列图象中不可能是一次函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查一次函数的图象，解答此题的关键是根据各选项列出一元一次不等式组，求出无解的一组． 【详解】解：A、由函数图象可知，解得； B、由函数图象可知，解得； C、由函数图象可知，解得，，无解； D、由函数图象可知，解得． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，动点A，B分别在y，x轴上，以为边长在第一象限内作正方形，连接．若，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点E，连接，则，根据正方形的性质及勾股定理得出，，结合图形得出当点E在线段上时，线段的长最大，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点E，连接，则， ∵四边形是正方形，边长为4， ∴，则， 在中，，由勾股定理，得， ∵在中， ，点E是斜边的中点， ∴， 由图可知：，当点E在线段上时，线段长最大，最大值是， 故选A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，勾股定理解三角形及三角形三边关系，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． 10. 如图1，在平面直角坐标系中，已知直线和第一象限内的（轴，）．直线l从原点O出发，沿x轴正方向平移（平移距离设为m），对应生成的直线被的两边所截得的线段长设为n．若n与m的函数图象如图2所示，则a的值是（ ） A 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，可得，当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示：求解，直线为，则从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位，再进一步解答即可． 【详解】解：由图可得，直线经过时移动的距离为，经过时移动的距离为，经过时移动的距离为， ∴，，，， ∴， 当直线经过点时，交于点，过作垂足为点，如图所示： ∵轴，， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为， ∴从点到点的平移可理解为：先向上移动个单位，再向右移动个单位， ∴当时，则， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，平移的性质，一次函数的应用，平行四边形的性质，化为最简二次根式，理解函数图象的含义是解本题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 要使二次根式有意义，则的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义， ，解得， 故答案为：． 12. 某校九年级进行了3次体育中考模拟测试，在男生1000米项目中，甲、乙、丙三位同学3次模拟测试的平均成绩都是3分55秒，三位同学成绩的方差分别是，，．则甲、乙、丙三位同学中，成绩最稳定的是______（填甲、乙或丙）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，根据方差的定义，方差越小数据越稳定，即可判断求解，掌握方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，是解题的关键． 【详解】解：∵甲、乙、丙三位同学3次模拟测试的平均成绩都是3分55秒，，，， ∴， ∴甲、乙、丙三同学中成绩最稳定的是甲， 故答案为：甲． 13. 将直线向上平移2个单位，所得直线的函数解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据“上加下减”的平移规律可直接求得答案． 【详解】解：将直线向上平移2个单位，所得直线的函数解析式是， 故答案为：． 14. 如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为（0°＜＜90°），若∠1＝120°，则＝_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】根据对顶角相等求出∠2，再根据四边形的内角和等于360°求出∠BAD′，然后求出∠DAD′，最后根据旋转的性质可得∠DAD′即为旋转角． 【详解】解：如图，∠2=∠1=120°， ∵∠BAD′=360°-90°-90°-∠2=60°， ∴∠DAD′=90°-60°=30°， ∴旋转角∠α=∠DAD′=30°． 故答案为：30°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，四边形的内角和定理，对顶角相等的性质，熟记性质并考虑利用四边形的内角和定理求解是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，由题意知，，，是线段的垂直平分线，，设，则，在中，由勾股定理得，，即，解方程，再证明，则；进而即可求解．本题考查了矩形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理．全等三角形的判定与性质，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形 ∴，， ∵分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线交分别于点E，F ∴是线段的垂直平分线， ， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， ∵ ∴ ∵， ∴ ； 故答案为： 16. 如图，在正方形中，，点在边上，过点作，交，分别于点，．若点，分别是，的中点，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，以及“直角三角形斜边中线等于斜边一半”．先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】 解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． ∵ ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ∵N是的中点， ∴点F、N、C三点共线 ∵四边形是正方形， ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先计算二次根式的乘法，再合并即可 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 18. 如图，在中，交于点O，E，F分别是，的中点，连接，． 求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的基本性质和判定定理的运用．证明四边形是平行四边形是解题的关键．根据平行四边形的性质对角线互相平分得出，利用中点的意义得出，从而利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定是平行四边形，从而得出结论． 【详解】证明：如图，连接，， 四边形是平行四边形， ． 分别是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ． 19. 如图，在四边形中，，，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，根据已知条件得出，利用勾股定理的逆定理证得是直角三角形，则有，熟练掌握勾股定理以及利用勾股逆定理判定直角三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 20. 已知与成正比例，当时，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）若直线与（1）的函数图象交于点，则关于x的不等式的解集为______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，利用函数图象解不等式； （1）设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据题意先画出两个函数的简易图象，再结合图象可得的解集； 【小问1详解】 解：∵与成正比例， ∴设， 当时，， ∴， 解得：， ∴， 整理得：； 【小问2详解】 解：如图，直线与（1）的函数图象交于点， ∴关于x的不等式的解集为； 21. 如图，，点E，F分别在上，平分 交于点G，平分交于点H． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当　　时，四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定、等边三角形的判定与性质、菱形的判定等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，因为，，所以，则，即可证明四边形是平行四边形； （2）由，得，而，所以，则，当∠AEF=120°，则，可证明是等边三角形，所以，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【小问1详解】 证明：， ， 平分平分， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：当 时，四边形是菱形， 理由：， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 故答案为：120． 22. 某校组织八年级师生到新罗区研学基地参加社会实践活动，准备租用A、B两种型号的客车（每种型号的客车至少租用2辆）．A型车每辆租金600元，B型车每辆租金400元．若4辆A型和3辆B型车坐满后共载客290人；3辆A型和4辆B型车坐满后共载客270人．一个车载座位只能坐一人． （1）求每辆A、B型车的车载座位数； （2）若该年级计划租用A、B型两种客车共15辆，且A型车的数量不少于B型车的数量的2倍．请你设计一种最佳租车方案，使得租车的总租金最少，并求出对应的最少租金． 【答案】（1）每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，一次函数的性质，解题的关键是读懂题意，列出方程组和不等式组． （1）设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人，可得，即可解得每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； （2）设租型车辆，则租B型车辆，根据“要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍”， ，设租金为，则，结合一次函数的性质，即可作答． 【小问1详解】 解：设每辆型车坐满后载客人，型车坐满后载客人， 根据题意得， 解得， 每辆型车坐满后载客50人，型车坐满后载客30人； 【小问2详解】 解：设租型车辆，则租型车辆， ∵要求A型车的数量不少于B型车的数量的2倍， ∴ ， 解得， 设租金为，则， ∵， ∴随的增大而增大， 当，则有最小值，且为， 即租型车10辆，则租型车5辆，租金最少，最少租金是元． 23. 某中学为全面普及安全知识和提高急救技能，特邀请某医疗培训团队到校开展急救培训系列活动．活动结束后，在该校七、八年级开展一次急救知识竞赛．竞赛成绩分为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．王老师从七八年级各抽取20名学生的竞赛成绩，整理并绘制成如下统计图表．请根据所提供的信息，解答下列问题： 年级 平均分 中位数 众数 方差 七年级 8.5 m 8和9 0.85 八年级 8.5 9 n 0.75 （1）根据以上信息可以得到：______，______，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整； （2）依据数据分析表，你认为七、八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由； （3）若该校七年级有700人，八年级有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀．请你估算：在该校七、八年级参加本次急救知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生总人数． 【答案】（1）；；补全图形见解析 （2）八年级好，理由见解析 （3）该校七、八年级参加本次急救知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生总人数人． 【解析】 【分析】（1）先求解七年级C组的人数，再按中位数的定义求解中位数即可，再由扇形图可得八年级竞赛成绩出现次数最多是9分，可得众数； （2）分别从平均数，中位数与方差的角度出发分析即可； （3）由七年级的总人数乘以其优秀率加上八年级的总人数乘以其优秀率可得答案； 【小问1详解】 解：由七年级竞赛成绩统计图可得， 七年级C组的人数为：（人）， ∴七年级数据按照从大到小排序后第10个数据为9分，第11个数据为8分； ∴七年级的中位数为（分）； 由八年级竞赛成绩统计图可得， 将20名学生的竞赛成绩出现次数最多是9分， ∴众数（分）， 补充统计图如下： ． 【小问2详解】 解：八年级更好， 理由：七，八年级的平均分相同，八年级中位数大于七年级中位数，说明八年级一半以上人不低于9分，八年级方差小于七年级方差，说明八年级的波动较小，所以八年级成绩更好． 【小问3详解】 解：（人）； ∴该校七、八年级参加本次急救知识竞赛的学生中，成绩为优秀的学生总人数人． 【点睛】本题考查是从条形图与扇形图中获取信息，平均数，中位数与众数，方差的含义，利用样本估计总体，掌握基础的统计知识是解本题的关键． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过，，三点，点在轴上方，点在轴正半轴上，且，连接，，已知． （1）求直线的解析式； （2）求点的坐标； （3）分别在线段，上取点，，使得轴；在轴上取一点，连接，，．探究：是否存在点，使得，且？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）线段的表达式 （2）点D的坐标为 （3）存在，点M的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何图形综合； （1）利用待定系数法求直线的解析式； （2）根据三角形面积公式得到到 的距离等于点到的距离的倍，即点的纵坐标为，然后利用直线的解析式计算函数值为所对应的自变量的值，从而得到点坐标． （3）先求出直线的表达式,再求出点的坐标为，根据，建立方程，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入， 得解得 线段的表达式 【小问2详解】 ∵，且点在轴正半轴上， 点， 设点的坐标为，如图，过点作轴的垂线交轴于点， 则 即，解得， 点的坐标为 【小问3详解】 存在，点的坐标为，设直线 的表达式为 将点代入，得，解得 直线的表达式． 已知点在线段上，设点的坐标为，则， 轴，且点在上 将代入，得，，解得． 点的坐标为 如图所示，当为直角顶点时，，过点作轴，交于点， ∴点为的中点，且，点的坐标为， ， ， 解得， ∴点的坐标为 25. 在正方形中，，点O为对角线的中点，动点E在射线上，连接，过点E作交射线于点F．当点E与A重合时，；当点E与重合时，（点F与A重合）． （1）如图1，当点E在线段上时，求证：； （2）如图2，当点E在线段上时，请补全图形，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P、C在直线的异侧，且，动点E沿着从点P向点C运动，请直接写出伴随动点F的运动路径的长为______． 【答案】（1）证明见解析 （2）补图见解析，或 （3） 【解析】 【分析】（1）过E作，交于P，交于Q，证明，．可得，从而可得结论； （2）过E作，分两种情况：①当E在上，②当E在上，利用正方形的性质，证明，由线段的和差关系可求解； （3）连接，作，交于，当点在点时，点与点重合，过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接，由正方形的性质可得，，，则，，，为等腰直角三角形，证明， ，得四边形是矩形，则，可知当点从点运动到点时，点从点运动到点，当点在点时，，此时点与点重合，． 【小问1详解】 证明：过E作，交于P，交于Q， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∵， ∴， 又∵正方形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ， ∴． ∴， ∴， 【小问2详解】 过E作，交于P，交于Q， ∴， 结合（1）可得：， ①当E在上， 由（1）得，， ∴，又，， ∴，则， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ②当E在上，如图， ∵，， 则，，，， ∴，， ∴， ∴， 同上可知， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：连接，作，交于，当点在点时，点与点重合， 过点作，分别垂直，，交于点，点，过点作，交的延长线于，连接， 由正方形的性质可得，，则，，，为等腰直角三角形，， ∴，， ∵，则， ∴， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形， ∴，，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形，则， ∴当点从点运动到点时，点从点运动到点， 当点在点时，， 此时点与点重合，， ∴动点F的运动路径的长为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，二次根式的乘法运算等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$