第十三章 三角形（高效培优单元测试·强化卷）数学人教版2024八年级上册

第十三章 三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 【答案】C 【解答】解：在△ABC中，0＜∠A＝92°＜180°，则△ABC是钝角三角形． 故选：C． 2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 【答案】B 【解答】解：分两种情况： ①底为2cm，腰为4cm时， 等腰三角形的周长＝2+4+4＝10（cm）； ②底为4cm，腰为2cm时， ∵2+2＝4， ∴不能构成三角形； ∴等腰三角形的周长为10cm； 故选：B． 3．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是三角形具有稳定性． 故选：D． 4．如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 【答案】A 【解答】解：由图可得：△ABC的边BC上的高是AF． 故选：A． 5．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：①因为∠A+∠C＝∠B，则2∠B＝180°，即∠B＝90°，所以△ABC是直角三角形； ②因为∠A：∠B：∠C＝2：3：5，设∠A＝2x，则2x+3x+5x＝180，解得：x＝18°，则∠C＝18°×5＝90°，所以△ABC是直角三角形； ③因为∠A＝90°﹣∠B，即∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC是直角三角形； ④因为，则，解得：∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形． 所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④，共4个． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 【答案】C 【解答】解：∵∠DAC是△ABC的外角， ∴∠DAC＝∠B+∠C， ∵∠B+∠C＝180°﹣∠BAC， ∵∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°， ∴∠B+∠C＝180°﹣∠B﹣15°， ∴3∠B＝165°， ∴∠B＝55°， ∴∠DAC＝2×55°＝110°， 故选：C． 7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm 【答案】C 【解答】解：∵AD是BC边上的中线， ∴BD＝CD， ∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC， ∵△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm， ∴△ACD周长为：28﹣6＝22（cm）． 故选：C． 8．如图，光线α照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 【答案】D 【解答】解：根据题意可得，∠4＝∠1＝45°，∠5＝∠3＝65°，∠2＝∠6， 由三角形内角和定理和平角的定义得∠2＝180°﹣45°﹣（180°﹣65°×2）＝85°； 故选：D． 9．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 【答案】A 【解答】解：∵△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO， ∴∠ADE＝∠ODE，∠AED＝∠OED，∠OFE＝∠BFE，∠BEF＝∠OEF， ∵∠AEO+∠BEO＝180°， ∴∠AED+∠BEF＝90°， ∵∠ADO+∠BFO＝2×180°﹣∠CDO﹣∠CFO＝360°﹣104°＝256°， ∴∠ADE+∠BFE＝128°， ∵∠A+∠ADE+∠AED+∠B+∠BFE+∠BEF＝2×180°， 即∠A+∠B+（∠ADE+∠BFE）+（∠AED+∠BEF）＝2×180°， ∴∠A+∠B+128°+90°＝2×180°， ∴∠A+∠B＝142°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣142°＝38°． 故选：A． 10．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　） A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α 【答案】D 【解答】解：∵EF∥AB，∠EFC＝α， ∴∠B＝∠EFC＝α， ∵CD平分∠BCA， ∴∠ACB＝2∠BCD， ∵∠ADC是△BDC的外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD， ∵∠ADC＝γ， ∴∠BCD＝γ﹣α， ∵∠MAC是△ABC的外角， ∴∠MAC＝∠B+∠ACB， ∵∠MAC＝β， ∴β＝α+2（γ﹣α）， 即β＝2γ﹣α， 故选：D． 11．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 【答案】C 【解答】解：①设三角形底角为α，顶角为2α， 则α+α+2α＝180°， 解得：α＝45°， ②设三角形的底角为2α，顶角为α， 则2α+2α+α＝180°， 解得：α＝36°， ∴2α＝72°， ∴三角形的“可爱角”应该是45°或72°， 故选：C． 12．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵A1B是∠ABC的平分线，A1C是∠ACD的平分线， ∴，， 又∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1BC+∠A1， ∴， ∴， ∵∠A＝α， ∴； 同理可得，，⋯， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 14．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c|＝ 　2a﹣2b　 ． 【答案】2a﹣2b． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：a+c＞b，a＜b+c， ∴|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c| ＝a+c﹣b﹣[﹣（a﹣b﹣c）] ＝a+c﹣b+a﹣b﹣c ＝2a﹣2b． 故答案为：2a﹣2b． 15．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　9°　 ． 【答案】9°． 【解答】解：∵∠B＝46°，∠C＝64°， ∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝70°， ∵AD为△ABC的角平分线， ∴∠BAD∠BAC＝35°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠B＝44°， ∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝44°﹣35°＝9°， 故答案为：9°． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　70°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处，∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝∠ECD＝45°，∠B＝∠CED， ∵∠A＝25°， ∴∠B＝90°﹣25°＝65°， ∴∠CED＝65°， ∴∠CDE＝180°﹣45°﹣65°＝70°， 故答案为：70°． 17．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：连接BC， ∵∠BDC＝140°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°， ∵∠BGC＝100°， ∴∠GBD+∠GCD＝180°﹣∠BGC﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， ∴，， ∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ACD）﹣（∠DBC+∠DCB）＝60°， 故答案为：60°． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是 　②③④　 ． 【答案】②③④． 【解答】解：∵BE是△ABC的中线， ∴S△ABE＝S△BCE， 故④正确，符合题意； ∵CF是角平分线， ∴∠ACF＝∠BCF， ∵AD⊥BC， ∴∠BCF+∠CGD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠ACF+∠AFG＝90°， ∴∠CGD＝∠AFG， ∵∠CGD＝∠AGF， ∴∠AGF＝∠AFG， 故②正确，符合题意； ∵AD⊥BC，∠BAC＝90°， ∴∠FAG＝∠ACB＝2∠ACF， 故③正确，符合题意； 根据已知条件无法证明BF＝AF，故①错误，不符合题意； 故答案为：②③④． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 【答案】见解析． 【解答】解：过A作DE∥BC， ∴∠EAC＝∠C，∠DAB＝∠B， 又∠EAC+∠BAC+∠DAB＝180°， ∴∠B+∠C+∠BAC＝180°． 20．（8分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度． 【答案】（1）不能； （2）3cm或4cm或5cm． 【解答】解：（1）第一段的长不能为3cm； 理由如下： 根据题意，第一段长a cm，第二段的长（3a﹣2）cm，第三段的长为[12﹣a﹣（3a﹣2）]＝（14﹣4a）cm， 当a＝3cm时，3a﹣2＝7cm，14﹣4a＝2cm， ∵3+2＜7， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为3cm； （2）设CP＝x cm，则PD＝（8﹣x）cm， ∵AB、CP、PD能组成三角形， ∴x+4＞8﹣x且4+8﹣x＞x， 解得2＜x＜6， ∴整数x为3或4或5， 即符合条件的CP的整数长度为3cm或4cm或5cm． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 【答案】（1）72°； （2）证明见解答过程． 【解答】（1）解：∵AD⊥BC， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAD＝90°， ∴∠ABD＝∠CAD＝36°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE∠ABC＝18°， ∴∠AEF＝90°﹣∠ABE＝72°； （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∵∠ABE+∠AEF＝90°，∠CBE+∠BFD＝90°， ∴∠AEF＝∠BFD， ∵∠AFE＝∠BFD， ∴∠AEF＝∠AFE． 22．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵∠BAD＝65°， ∴∠ABD＝90°﹣65°＝25°， ∵CE是△ACB的角平分线，∠ACB＝50°， ∴， ∴∠AEC＝∠ABD+∠ECB＝25°+25°＝50°； （2）∵F是AC中点， ∴AF＝FC， ∵△BCF与△BAF的周长差为3， ∴（BC+CF+BF）﹣（AB+AF+BF）＝3或（AB+AF+BF）﹣（BC+CF+BF）＝3 ∴AB﹣BC＝3或BC﹣AB＝3， ∵AB＝9， ∴BC＝12或6． 23．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵CD平分∠ACB， ∴∠DCB＝∠1， ∵∠1＝∠D， ∴∠DCB＝∠D， ∴DF∥BC； （2）解：∵DF∥BC，∠DFE＝34°， ∴∠B＝∠DFE＝34°， 在△ABC中，∠A＝36°，∠B＝34°， ∴∠ACB＝180°﹣36°﹣34°＝110°， ∵CD平分∠ACB， ， ∴∠2＝180°﹣36°﹣55°＝89°． 24．（10分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 【答案】（1）60°； （2）βα． 【解答】解：（1）∵EF∥BC，∠BEF＝120°， ∴∠EBC＝60°，∠AEF＝60°， 又∵BD平分∠EBC， ∴∠EBD＝∠BDE＝∠DBC＝30°， 又∵∠BDA＝90°， ∴∠EDA＝60°， ∴∠BAD＝60°； （2）如图2： 过点A作AG∥BC， 则∠BDA＝∠DBC+∠DAG＝∠DBC+∠FAD+∠FAG＝∠DBC+∠FAD+∠C＝β， 则∠FAD+∠C＝β﹣∠DBC＝β∠ABC＝βα． 25．（10分）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：　∠C+∠1＝∠P+∠3　 ； 　∠B+∠4＝∠P+∠2　 ． ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③根据②的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）． 【答案】（1）详见解答； （2）①∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2； ②110°； ③∠B+∠C＝2∠P． 【解答】（1）证明：如图①， ∵∠A+∠C+∠AOC＝180°＝∠B+∠D+∠BOD，而∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）①如图②，由（1）的结论可得，∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2， 故答案为：∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2； ②∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2， ∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B， 即∠B+∠C＝2∠P， ∵∠B＝100°，∠C＝120°， ∴∠P110°； ③∠B+∠C＝2∠P，理由如下： ∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∵∠C+∠1＝∠P+∠3，∠B+∠4＝∠P+∠2， ∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B， 即∠B+∠C＝2∠P． 26．（10分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】 如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】 如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数； （3）【问题拓展】 若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在△ABC中， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A ∵∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F， ∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB， ∴2∠FBC+2∠FCB＝∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴∠FBC+∠FCB（180°﹣∠A）＝90°∠A， ∵∠BFD是△FBC的一个外角， ∴∠BFD＝∠FBC+∠FCB＝90°∠A； ∵∠A＝100°， ∴∠BFD＝90°100°＝40°； （2）∵∠AMF＝180°﹣∠1，∠ANF＝180°﹣∠2，∠1+∠2＝160°， ∴∠AMF+∠ANF＝360°﹣（∠1+∠2）＝200°， 由折叠性质得：∠AMF＝2∠AMN，∠ANF＝2∠ANM， ∴2∠AMN+2∠ANM＝∠AMF+∠ANF＝200°， ∴∠AMN+∠ANM＝100°， ∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝80°， 由（1）得：∠BFD＝90°﹣1/2∠A， ∴∠BFD＝90°80°＝50°， ∴∠BFC＝180°﹣∠BFD＝130°； （3）∵P，Q分别是线段AB，AC上的点，射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H， ∴有以下两种情况： ①射线CF与∠APQ的平分线相交于点H，设射线PH交AC于K，如图1所示： 由（1）得：∠BFH＝90°∠A， ∴∠BFD＝180°﹣∠BFH＝90°∠A， ∵CF平分∠ACB，PH平分∠APQ，∠ACB＝β， ∴∠ACH∠ACBβ，∠APK∠APQ， ∵∠APQ＝180°﹣∠A﹣∠AQP＝180°﹣∠A﹣α， ∴∠APK＝∠APQ＝90°∠A﹣1/2α， ∵∠1＝∠APK+∠A ∴∠1＝90°∠Aα+∠A＝90°∠Aα， 即∠1＝∠BFCα， ∵∠PHC＝∠1+∠ACH， ∴∠PHC＝∠BFCαβ， ∴∠PHC﹣∠BFCβα； ②射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H时，设射线PH交AC于K，如图2所示： 同理：∠1＝∠BFDα， 在△KHC中，∠PHC＝180°﹣∠1﹣∠ACH＝180°﹣（∠BFCα）β ∴∠PHC+∠BFC＝180°αβ． 综上所述：∠PHC与∠BFC之间的数量关系是：∠PHC﹣∠BFCβα或∠PHC+∠BFC＝180°αβ． 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形（高效培优单元测试·强化卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．在△ABC中，若∠A＝92°，则△ABC是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上三种情况都有可能 2．如果等腰三角形的两边长为2cm，4cm，那么它的周长为（　　） A．8cm B．10cm C．11cm D．8cm或10cm 3．如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．三角形具有稳定性 4．如图，△ABC的边BC上的高是（　　） A．线段AF B．线段DB C．线段CF D．线段BE 5．在下列条件中：①∠A+∠C＝∠B；②∠A：∠B：∠C＝2：3：5；③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C，∠BAC＝∠B+15°，∠DAC是△ABC的外角，则∠DAC的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．115° 7．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则△ACD的周长为（　　） A．31cm B．25cm C．22cm D．19cm 8．如图，光线α照射到平面镜CD上，然后在平面镜AB和CD之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知∠1＝45°，∠3＝65°，则∠2的度数为（　　） A．70° B．75° C．80° D．85° 9．如图，将△ABC沿DE、EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠CDO+∠CFO＝104°，则∠C的度数为（　　） A．38 B．39 C．40 D．41 10．如图，在△ABC中，点E和F分别是AC，BC上一点，EF∥AB，∠BCA的平分线交AB于点D，∠MAC是△ABC的外角，若∠EFC＝α，∠MAC＝β，∠ADC＝γ，则α，β，γ三者间的数量关系是（　　） A．β＝α+γ B．β＝2α﹣2γ C．β＝α+2γ D．β＝2γ﹣α 11．若△ABC中刚好有∠B＝2∠C，则称此三角形为“可爱三角形”，并且∠A称作“可爱角”．现有一个“可爱且等腰的三角形”，那么聪明的同学们知道这个三角形的“可爱角”应该是（　　） A．45°或36° B．72°或36° C．45°或72° D．45°或36°或72° 12．如图，已知△ABC的内角∠A＝α，分别作内角∠ABC与外角∠ACD的平分线，两条平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；……以此类推得到∠A2024，则∠A2024的度数是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　 　 cm2． 14．已知a，b，c是一个三角形的三条边长，化简|a+c﹣b|﹣|a﹣b﹣c|＝ 　 　 ． 15．如图，△ABC中，AD、AE分别为角平分线和高，∠B＝46°，∠C＝64°，则∠DAE＝　 　 ． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB边上，将△CBD沿CD折叠，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A＝25°，则∠CDE＝　 　 ． 17．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为　 　 ． 18．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，给出以下结论：①BF＝AF；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④S△ABE＝S△BCE．上述结论中，所有正确结论的序号是 　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）在学习并掌握了平行线的性质和判定的内容后，数学老师安排了自主探究内容一一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．下面是两种不同的添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 已知：如图，△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°． 20．（8分）在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根12cm长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． （1）小明想把木棒剪成三段，第一段长a cm，第二段的长比第一段的3倍少2cm．试判断第一段的长能否为3cm，并说明理由； （2）小亮先把木棒剪成如图所示的AB＝4cm和CD＝8cm的两段，现要将木棒CD从P处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的CP的整数长度． 21．（8分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F． （1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度数； （2）试说明：∠AEF＝∠AFE． 22．（8分）如图，AD是△ABC的高，CE是△ABC的角平分线，BF是△ABC的中线． （1）若∠ACB＝50°，∠BAD＝65°，求∠AEC的度数； （2）若AB＝9，△BCF与△BAF的周长差为3，求BC的长． 23．（10分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，CD交边AB于点E，在边AE上取点F，连结DF，使∠1＝∠D． （1）求证：DF∥BC； （2）当∠A＝36°，∠DFE＝34°时，求∠2的度数． 24．（10分）如图，在△ABC中，点D为∠ABC的平分线BD上一点，连接AD，过点D作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F． （1）如图1，若AD⊥BD于点D，∠BEF＝120°，求∠BAD的度数； （2）如图2，若∠ABC＝α，∠BDA＝β，求∠FAD+∠C的度数（用含α和β的代数式表示）． 25．（10分）如图①，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． （1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D； （2）如图②，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD，AB分别交于点M，N． ①观察图②，写出另外两组“八字图形”中与（1）类似的结论：　 　 ； 　 ． ②若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数； ③根据②的结果直接写出∠B，∠C，∠P之间的关系（不需要证明）． 26．（10分）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线BE，CD交于点F． （1）【问题呈现】 如图1，若∠A＝100°，求∠BFD的度数； （2）【问题推广】 如图2，将△ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2＝160°，求∠BFC的度数； （3）【问题拓展】 若P，Q分别是线段AB，AC上的点，设∠AQP＝α，∠ACB＝β．射线CF与∠APQ的平分线所在的直线相交于点H（不与点P重合），直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含α，β的式子表示）． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$