专题01 三角形中角度计算的常见模型（高效培优专项训练）数学人教版2024八年级上册

专题01 三角形中角度计算的常见模型 模型一：A字型 模型二：飞镖型 模型三：8字型 模型一：A字型 1．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠C＝40°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 2．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 3．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 5．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 6．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（　　） A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 模型二：飞镖型 1．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．无法确定 2．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝36°，∠D＝14°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．65° C．68° D．70° 3．如图，在△CEF中，∠F＝55°，∠E＝80°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A等于（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 4．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60° C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60° 5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 6．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 7．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为　 　 ． 8．如图，点D，E分别在线段AB，BC上，连接AE，CD相交于点F，若∠A＝30°，∠C＝20°，∠B＝55°，则∠EFD的度数为　 　 ． 9．如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”，则∠BAC的度数为　 　 ． 模型三：8字型 1．如图，∠α的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 2．如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得△A'B'C，若∠ACA'＝∠BCB'＝100°，∠A＝32°，则∠B的度数为（　　） A．68° B．64° C．58° D．50° 3．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（　　） A．210° B．235° C．180° D．200° 4．某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准．标准要求是：∠EFD＝120°，且∠A、∠B、∠E保持不变．为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下，应将图中∠D______（填“增大”或“减小”）______度，横线处应分别填（　　） A．减小；15 B．增大；15 C．减小；5 D．增大；5 5．在一个多边形的展览厅中，多边形展览厅的形状可以抽象为如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（　　） A．360° B．300° C．240° D．180° 6．如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 　 　 ． 8．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　 　 ． 9．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，∠D＝ 　 　 ． 10．如图所示，∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　260°　 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 三角形中角度计算的常见模型 模型一：A字型 模型二：飞镖型 模型三：8字型 模型一：A字型 1．如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AD＝CD，∠C＝40°，则∠B的度数为（　　） A．40° B．50° C．70° D．80° 【答案】D 【解答】解：∵AD＝CD，∠C＝40°， ∴∠DAC＝∠C＝40°， ∴∠ADB＝∠DAC+∠C＝80°， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠ADB＝80°， 故选：D． 2．在Rt△ABC中，∠B＝50°，CD平分∠ACB，则∠1等于（　　） A．10° B．20° C．25° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝90°，∠B＝50°， ∴∠ACB＝90°﹣∠B＝40°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠1∠ACB40°＝20°． 故选：B． 3．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，若∠B＝70°，∠C＝30°，则∠BAE的度数是（　　） A．10° B．20° C．30° D．40° 【答案】D 【解答】解：∵∠B＝70°，∠C＝30°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣30°＝80°， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAE＝40°， 故选：D． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【答案】B 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 5．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°， ∴∠DAE＝45°， ∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°， ∴∠ABF＝15°， 故选：B． 6．如图，D，E两点分别在△ABC的两边AB，AC上，连接DE，已知∠1+∠2＝α，则∠A＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣180° D．360°﹣α 【答案】C 【解答】解：∵∠ADE＝180°﹣∠1，∠AED＝180°﹣∠2， ∴∠ADE+∠AED＝180°﹣∠1+180°﹣∠2＝360°﹣（∠1+∠2）＝360°﹣α， ∵∠ADE+∠AED+∠A＝180°， ∴∠A＝180°﹣（∠ADE+∠AED）＝180°﹣（360°﹣α）＝α﹣180°， 故选：C． 7．如图，在△ABC中，∠A＝45°，D为AC上一点，BC＝BD，过点C作CE⊥BD于点E，交AB于点F．若∠ABD＝α（0°＜α＜45°），则∠BCF的大小为（　　） A．2a B．45°﹣α C．45°+α D．90°﹣α 【答案】A 【解答】解：在△ABD中，∠A＝45°，∠ABD＝α（0°＜α＜45°）， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝45°+α， ∵BC＝BD， ∴∠BCD＝∠BDC＝45°+α， 在△BCD中，∠CBD＝180°﹣（∠BCD+∠BDC）＝180°﹣（45°+α+45°+α）＝90°﹣2α， ∵CE⊥BD， ∴∠BCF+∠CBD＝90°， ∴∠BCF＝90°﹣∠CBD＝90°﹣（90°﹣2α）＝2α， 故选：A． 8．如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，△ABC的外角的平分线CD所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与△ABC的外角的平分线BE交于点E．有下列结论：①∠DBE＝90°；②∠BOC＝110°；③∠D＝20°；④∠E＝70°．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解答】解：∵BD是∠ABC的平分线，BE是△ABC的外角的平分线， ∴∠DBE＝∠DBC+∠CBE＝90°， 故①正确； ∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， 又∵∠A＝40°， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣70°＝110°， 故②正确； ∵CD平分∠ACF， ∴， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D，∠ABD+∠OBC∠ABC， ∴2∠OBC+2∠D＝∠ABC+∠A＝∠ACF＝2∠DCF， ∴2∠D＝∠A， ∴∠D＝20°， 故③正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠NCB＝∠A+∠ACB+∠ABC+∠A＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠ECB＝90°∠A＝110°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝70°， 故④正确； 综上正确的有：①②③④． 故选：D． 模型二：飞镖型 1．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝60°，BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，则∠BOC等于（　　） A．110° B．120° C．130° D．无法确定 【答案】B 【解答】解：∵∠A＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°， ∵BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的角平分线， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝60°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°， 故选：B． 2．如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝36°，∠D＝14°，则∠ACB的度数为（　　） A．50° B．65° C．68° D．70° 【答案】C 【解答】解：∵DE⊥AB， ∴∠AEF＝90°， ∵∠A＝36°， ∴∠AFE＝90°﹣∠A＝54°， ∴∠CFD＝∠AFE＝54°， ∵∠D＝14°， ∴∠ACB＝∠D+∠CFD＝14°+54°＝68°， 故选：C． 3．如图，在△CEF中，∠F＝55°，∠E＝80°，AB∥CF，AD∥CE，连接BC，CD，则∠A等于（　　） A．45° B．50° C．55° D．80° 【答案】A 【解答】解：如图，延长BC交AD于点G， ∵AB∥CF， ∴∠B＝∠BCF， ∵AD∥CE， ∴∠BCE＝∠BGD， 即∠BCF+∠ECF＝∠BGD， ∵∠BGD是△ABG的一个外角， ∴∠BGD＝∠A+∠B＝∠A+∠BCF， ∴∠A＝∠ECF， 在△ECF中，∠F＝55°，∠E＝80°， ∴∠ECF＝180°﹣55°﹣80°＝45°， 故选：A． 4．如图，将三个大小不同的等边三角形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为（　　） A．α+β+γ＝60° B．α﹣β+γ＝60° C．α+β﹣γ＝60° D．α+2β﹣γ＝60° 【答案】B 【解答】解：如图所示： ∵△ABC，△DEC，△FGC都是等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝∠FCG＝60°， ∴α＝∠ACB﹣∠ACD＝60°﹣∠ACD，∠β＝∠DCE﹣∠ACD﹣∠ECF＝60°﹣∠ACD﹣∠ECF，γ＝∠FCG﹣∠ECF＝60°﹣∠ECF， ∴α﹣β+γ＝60°﹣∠ACD﹣（60°﹣∠ACD﹣∠ECF）+60°﹣∠ECF＝60°． 故选：B． 5．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，且∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，则∠D与∠E的数量关系可表示为（　　） A．3∠E﹣2∠D＝180° B．3∠D﹣2∠E＝180° C．3∠E﹣2∠D＝90° D．3∠D﹣2∠E＝90° 【答案】A 【解答】解：∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点D， ∴∠DBC，∠DCB ∵∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB， ∴∠DBC，， ∵∠D+∠DBC+∠DCB＝180°， ∴∠D， ∵∠E+∠EBC+∠ECB＝180°， ∴∠EBC+∠ECB＝180°﹣∠E， ∴∠D， 整理得3∠E﹣2∠D＝180°， 故选：A． 6．如图是可调躺椅示意图，AE与BD的交点为C，且∠CAB、∠CBA、∠D的大小保持不变．为了舒适，需调整∠E的大小，使∠EFD＝130°，则图中∠E应（　　） A．增加10° B．减少10° C．增加20° D．减少20° 【答案】A 【解答】解：延长EF，交CD于点G，如图： ∵∠ACB＝180°﹣50°﹣60°＝70°， ∴∠ECD＝∠ACB＝70°． ∵∠DGF＝∠DCE+∠E， ∴∠DGF＝70°+30°＝100°． ∵∠EFD＝130°，∠EFD＝∠DGF+∠D， ∴∠D＝30°． 而图中∠D＝20°， ∴∠D应增加10°． 故选：A． 7．如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G．若∠BDC＝140°，∠BGC＝100°，则∠A的度数为　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：连接BC， ∵∠BDC＝140°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝180°﹣140°＝40°， ∵∠BGC＝100°， ∴∠GBD+∠GCD＝180°﹣∠BGC﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣100°﹣40°＝40°， ∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线， ∴，， ∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝80°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABD+∠ACD）﹣（∠DBC+∠DCB）＝60°， 故答案为：60°． 8．如图，点D，E分别在线段AB，BC上，连接AE，CD相交于点F，若∠A＝30°，∠C＝20°，∠B＝55°，则∠EFD的度数为　105°　 ． 【答案】105°． 【解答】解：由条件可知∠ADF＝∠B+∠C＝55°+20°＝75°， ∴∠DFE＝∠A+∠ADF＝30°+75°＝105°． 故答案为：105°． 9．如果一个三角形存在两个内角之差是第三个内角的两倍，那么称这个三角形为关于第三个内角的“差倍角三角形”．例如：在△ABC中，∠A＝100°，∠B＝60°，∠C＝20°，满足∠A﹣∠B＝2∠C，所以△ABC是关于∠C的“差倍角三角形”．如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D，若△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”，则∠BAC的度数为　90°　 ． 【答案】90°． 【解答】解：在△ABC中，∠C＝30°， ∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣30°＝150°， ∵∠BAC和∠ABC的角平分线相交于点D， ∴∠BAD∠BAC，∠ABD∠ABC， ∴∠BAD+∠ABD∠BAC∠ABC（∠BAC+∠ABC）150°＝75°， ∴∠D＝180°﹣（∠BAD+∠ABD）＝180°﹣75°＝105°． ∵△ABD是关于∠ABD的“差倍角三角形”， ∴105°﹣∠BAD＝2∠ABD， 又∵∠BAD+∠ABD＝75°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝2∠BAD＝2×45°＝90°． 故答案为：90°． 模型三：8字型 1．如图，∠α的度数为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解答】解：如图所示， ∵∠1＝∠α+10°＝30°+20°， ∴∠α＝20°+30°﹣10°＝40°， 故选：B． 2．如图，将△ABC沿过点C的直线MN翻折得△A'B'C，若∠ACA'＝∠BCB'＝100°，∠A＝32°，则∠B的度数为（　　） A．68° B．64° C．58° D．50° 【答案】A 【解答】解：∵∠ACA'＝∠BCB'＝100°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ACB＝180°﹣100°＝80°， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣32°﹣80°＝68°， 故选：A． 3．小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，∠α+∠β的度数为（　　） A．210° B．235° C．180° D．200° 【答案】A 【解答】解：如图：∠α＝∠1+∠D，∠β＝∠4+∠F， ∴∠α+∠β ＝∠1+∠D+∠4+∠F， ＝90°+30°+90° ＝210°， ∴∠α+∠β的度数为210°． 故选：A． 4．某工人加工一个机器零件（数据如图），经过测量这个零件不符合标准．标准要求是：∠EFD＝120°，且∠A、∠B、∠E保持不变．为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下，应将图中∠D______（填“增大”或“减小”）______度，横线处应分别填（　　） A．减小；15 B．增大；15 C．减小；5 D．增大；5 【答案】A 【解答】解：如图，延长EF到H与CD交于H， 由条件可知∠DHE＝∠E+∠DCE＝100°， ∵∠DFE＝∠D+∠DHF， ∴∠D＝∠DFE﹣∠DHF＝120°﹣100°＝20°， ∴∠D从35°减小到20°，减小了15°， 故选：A． 5．在一个多边形的展览厅中，多边形展览厅的形状可以抽象为如图，∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A等于（　　） A．360° B．300° C．240° D．180° 【答案】D 【解答】解：由图可知，∠B+∠C＝180°﹣∠BGC，∠D+∠E＝180°﹣∠DFE，∠BGC＝∠AGF，∠DFE＝∠AFG，∠AGF+∠AFG+∠A＝180°， ∴∠B+∠C+∠D+∠E ＝180°﹣∠BGC+180°﹣∠DFE ＝360°﹣∠BGC﹣∠DFE ＝360°﹣（∠AGF+∠AFG） ＝360°﹣（180°﹣∠A） ＝180°+∠A， ∴∠B+∠C+∠D+∠E﹣∠A＝180°， 故选：D． 6．如图，线段DG，EM，FN两两相交于B，C，A三点 则∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N的度数是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△CGF中， ∵∠ACB＝∠GCF， ∴∠G+∠F＝∠ABC+∠BAC； 在△ABC和△ANM中， ∵∠BAC＝∠MAN， ∴∠M+∠N＝∠ABC+∠ACB； 在△ABC和△BDE中， ∵∠ABC＝∠DBE， ∴∠D+∠E＝∠ACB+∠BAC， ∴∠D+∠E+∠F+∠G+∠M+∠N ＝（∠ACB+∠BAC）+（∠ABC+∠BAC）+（∠ABC+∠ACB） ＝2（∠ABC+∠BAC+∠ACB） ＝2×180° ＝360°． 故选：B． 7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于 　105°　 ． 【答案】105°． 【解答】解：∵∠CBD＝90°﹣∠D＝90°﹣30°＝60°， ∴∠ABE＝∠CBD＝60°， ∴∠α＝∠A+∠ABE＝45°+60°＝105°． 故答案为：105°． 8．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC， ∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°， 即∠D+∠E等于50°， 故答案为：50°． 9．如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°，∠D＝ 　30°　 ． 【答案】30°． 【解答】解：∵∠AOC＝∠BOD， ∴∠A+∠C＝∠B+∠D， ∵∠C＝80°，∠A＝40°，∠B＝90°， ∴∠D＝30°． 故答案为：30°． 10．如图所示，∠1＝50°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 　260°　 ． 【答案】260°． 【解答】解：如图， 由三角形外角的性质得∠2＝∠D+∠F，∠3＝∠A+∠E， ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠1+∠D+∠F+∠A+∠E＝180°， ∵∠1＝50°， ∴∠D+∠F+∠A+∠E＝130°， ∵∠B+∠C+∠4＝180°， 又∵∠4＝∠1＝50°， ∴∠B+∠C+∠1＝180°，即∠B+∠C＝130°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝130°+130°＝260°， 故答案为：260°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$