第十三章 三角形（高效培优单元测试·提升卷）数学人教版2024八年级上册

第十三章 三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用长度分别为4，m，7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（　　） A．12 B．11 C．4 D．3 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 3．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 4．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 5．满足下列条件的△ABC中，不可能是直角三角形的是（　　） A．∠A＝3∠C，∠B＝2∠C B．2∠A＝2∠B＝∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C 6．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 7．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 8．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 9．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 10．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 11．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．35° C．25° D．40° 12．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　） A． B． C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　 　 ． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　 　 ． 15．如图，CM是△ABC的中线，AC＝5，BC＝8，则△BCM的周长比△ACM的周长大 　 ． 16．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　 　 °． 17．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝120°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为　 　 ． 18．在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°），当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为　 　 ． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）37．在△ABC中， （1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数； （2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F． （1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度数； （2）试说明：∠CEF＝∠CFE． 21．（8分）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线． （1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 　12　 ； （2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数． 22．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 23．（10分）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 24．（10分）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC． （1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　 　 ＞　 　 ＞　 　 ； （2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数． 25．（10分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 26．（10分）综合与实践 在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． 【问题初探】 （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　 　 °； 【问题再探】 （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 三角形（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．用长度分别为4，m，7的三根木棒搭建一个三角形木架，则m的值可能是（　　） A．12 B．11 C．4 D．3 【答案】C 【解答】解：由题意得7﹣4＜m＜7+4， 解得3＜m＜11， 故m可能的值是4， 故选：C． 2．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡，其中不能判断三角形类型的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：A、知道两个角，可以计算出第三个角的度数，因此可以判断出三角形类型； B、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； C、露出的角是锐角，其他两角都不知道，因此不能判断出三角形类型； D、露出的角是钝角，因此是钝角三角形； 故选：C． 3．网课已经成为学习的一种方式，小南在上网课时把手机放在如图所示的一个支架上面，就能非常方便地支起手机，该支架采用了三角形结构，这样设计的原理是（　　） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．三角形具有稳定性 【答案】D 【解答】解：支架采用了三角形结构，这样设计的原理是三角形具有稳定性， 故选：D． 4．如图，将三角形纸片ABC按下面四种方式折叠，则AD是△ABC的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：选项D中的AD是△ABC的高， 故选：D． 5．满足下列条件的△ABC中，不可能是直角三角形的是（　　） A．∠A＝3∠C，∠B＝2∠C B．2∠A＝2∠B＝∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．∠A＝∠B＝2∠C 【答案】D 【解答】解：A．∵∠A＝3∠C，∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴3∠C+2∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝180°÷6＝30°， ∴∠A＝3∠C＝3×30°＝90°，选项A不符合题意； B．∵2∠A＝2∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C∠C+∠C＝180°， ∴∠C＝180°÷2＝90°，选项B不符合题意； C．∵∠A﹣∠B＝∠C， ∴∠A＝∠B+∠C， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A＝180°， ∴∠A＝180°÷2＝90°，选项C不符合题意； D．∵∠A＝∠B＝2∠C，∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠A+∠A∠A＝180°， ∴∠A＝180°72°，选项D符合题意． 故选：D． 6．已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝（　　） A．60° B．70° C．80° D．90° 【答案】B 【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，∠DAC＝20°， ∴∠BAC＝2∠DAC＝40°， ∴∠B+∠ACD＝140°， ∴∠EAC∠FAC（∠B+∠ACD）＝70°． 故选：B． 7．如图，在△ADE与△BFC中，点B在AE上，点A在FC上，且∠F＝30°，∠E＝45°，∠D＝90°，则∠ABF的度数为（　　） A．30° B．15° C．60° D．25° 【答案】B 【解答】解：∵∠E＝45°，∠D＝90°，∠DAE+∠D+∠E＝180°， ∴∠DAE＝45°， ∵∠DAE＝∠F+∠ABF，∠F＝30°， ∴∠ABF＝15°， 故选：B． 8．一张三角形纸片如图所示，已知∠B+∠C＝α，若沿着虚线剪掉阴影部分纸片，记∠1+∠2＝β，则下列选项正确的是（　　） A．α＝β B．α＞β C．α＜β D．无法比较α和β的大小 【答案】A 【解答】解：∵∠B+∠C＝180°﹣∠A，∠1+∠2＝180°﹣∠A， ∴∠B+∠C＝∠1+∠2， 即α＝β， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 9．如图，AD，BE，CF分别是△ABC的中线、高和角平分线，∠ABC＝90°，CF交AD于点G，交BE于点H，AB＝BD．则下列结论中不一定正确的是（　　） A．AB＝CD B．FG＝GC C．∠ABE＝2∠FCB D．∠BFH＝∠BHF 【答案】B 【解答】解：A、∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∵AB＝BD， ∴AB＝CD，故本选项结论正确，不符合题意； B、FG与GC的大小不能确定，故本选项结论不一定正确，符合题意； C、∵∠ABC＝90°， ∴∠ABE+∠EBC＝90°， ∵BE⊥AC， ∴∠BCE+∠EBC＝90°， ∴∠ABE＝∠BCE， ∵CF是△ABC的角平分线， ∴∠BCE＝2∠FCA＝2∠FCB， ∴∠ABE＝2∠FCB，故本选项结论正确，不符合题意； D、∵∠ABC＝90°， ∴∠BFH＝90°﹣∠FCB， ∵BE⊥AC， ∴∠EHC＝90°﹣FCA， ∴∠BFH＝∠EHC， ∵∠BHF＝∠EHC， ∴∠BFH＝∠BHF，故本选项结论正确，不符合题意； 故选：B． 10．如图，G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点，，则阴影部分的面积为（　　） A．4cm2 B．5cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】A 【解答】解：∵G为△ABC三边中线AD，BE，CF的交点， ∴S△ABD＝S△ADC，S△BGD＝S△CDG，S△AFG＝S△BFG，S△AGE＝S△CGE， ∴S△AGB＝S△AGC，S△AFG＝S△AGE， ∴， 同理：， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 11．如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．35° C．25° D．40° 【答案】A 【解答】解：由条件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故选：A． 12．如图，点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且∠D＝2∠DAC，∠E＝2∠EBC．若∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P，则∠1与∠2的数量关系为（　　） A． B． C．∠2＝175°﹣∠1 D．∠2＝115°+∠1 【答案】A 【解答】解：∵∠DCB是△ACD的外角， ∴∠DCB＝∠D+∠DAC＝3∠DAC． 在△BCE中，∠E＝2∠EBC， ∴∠ECB＝180°﹣∠E﹣∠EBC＝180°﹣3∠EBC， ∴∠1＝∠DCB﹣∠ECB＝3∠DAC﹣（180°﹣3∠EBC）＝3（∠DAC+∠EBC）﹣180°， ∴∠DAC+∠EBC＝60°∠1． ∵∠DAC的平分线与∠EBC的平分线的交于点P， ∴∠PAB∠DAC，∠PBA∠EBC， ∴∠PAB+∠PBA（∠DAC+∠EBC）（60°∠1）， ∴∠2＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°（60°∠1）＝150°∠1． 故选：A． 二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分．） 13．若三角形的三边长分别为3，1+2m，8，则m的取值范围是 　2＜m＜5　 ． 【答案】2＜m＜5． 【解答】解：由三角形三边关系定理得到：8﹣3＜1+2m＜3+8， ∴5＜2m+1＜11， ∴2＜m＜5． 故答案为：2＜m＜5． 14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A﹣∠B＝10°，则∠A＝　50°　 ． 【答案】50°． 【解答】解：∵三角形的内角和等于180度，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°，即∠B＝90°﹣∠A， ∵∠A﹣∠B＝10°， ∴∠A﹣（90°﹣∠A）＝10°． ∴∠A＝50°． 故答案为：50°． 15．如图，CM是△ABC的中线，AC＝5，BC＝8，则△BCM的周长比△ACM的周长大　3　 ． 【答案】3． 【解答】解：∵CM是△ABC的中线， ∴AM＝BM， ∵AC＝5，BC＝8， ∴△BCM的周长﹣△ACM的周长＝（BC+CM+BM）﹣（AC+CM+AM）＝BC﹣AC＝8﹣5＝3， 则△BCM的周长比△ACM的周长大3， 故答案为：3． 16．如图，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内部，若∠1＝45°，则∠2＝　35　 °． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图， 由折叠的性质可得∠CDE＝∠C'DE，∠CED＝∠C'ED， ∵∠A＝75°，∠B＝65°， ∴∠C＝180°﹣（65°+75°）＝40°， ∴∠CDE+∠CED＝180°﹣∠C＝140°， ∴∠2＝360°﹣（∠A+∠B+∠1+∠CED+∠CDE）＝360°﹣325°＝35°． 故答案为：35． 17．如图，BF平分∠ABD，CE平分∠ACD，BF与CE交于G，若∠BDC＝120°，∠BGC＝90°，则∠A的度数为　60°　 ． 【答案】60°． 【解答】解：连接BC， ∵∠BDC＝120°， ∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣∠BDC＝60°， ∵∠BGC＝90°， ∴∠GBC+∠GCB＝90°， ∴∠GBD+∠GCD＝∠GBC+∠GCB﹣（∠DBC+∠DCB）＝30°， ∵BF平分∠ABD，CE平分∠ACD， ∴∠ABD＝2∠GBD，∠ACD＝2∠GCD， ∴∠ABD+∠ACD＝2（∠GBD+∠GCD）＝60°， ∴∠ABC+∠ACB＝∠ABD+∠ACD+∠DBC+∠DCB＝120°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝60°， 故答案为：60°． 18．在三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称之为“高倍三角形”．例如，三个内角分别为88°、22°、70°的三角形是“高倍三角形”．如图，∠MON＝66°，在射线OM上找一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点作射线AD，交线段OB于点C（规定0°＜∠OAC＜90°），当△ABC为“高倍三角形”时，∠OAC为　6°或18°或51°或82°　 ． 【答案】6°或18°或51°或82°． 【解答】解：在△AOB中，∠AOB＝66°，∠OAB＝90°， ∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣66°﹣90°＝24°． 设∠OAC＝x，则∠BAC＝90°﹣x，∠ACB＝66°+x， 当∠ACB＝3∠ABC时，66°+x＝3×24°， 解得：x＝6°； 当∠ACB＝3∠BAC时，66°+x＝3（90°﹣x）， 解得：x＝51°； 当∠BAC＝3∠ABC时，90°﹣x＝3×24°， 解得：x＝18°； 当∠BAC＝3∠ACB时，90°﹣x＝3（66°+x）， 解得：x＝﹣27°（不符合题意，舍去）； 当∠ABC＝3∠BAC时，24°＝3（90°﹣x）， 解得：x＝82°； 当∠ABC＝3∠ACB时，24°＝3（66°+x）， 解得：x＝﹣58°（不符合题意，舍去）． 综上所述，∠OAC的度数为6°或18°或51°或82°． 故答案为：6°或18°或51°或82°． 三、解答题（本题共8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（8分）37．在△ABC中， （1）若∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B，求∠A的度数； （2）若△ABC是等腰三角形，∠B＝30°，求∠A的度数． 【答案】（1）60°； （2）30°或75°或120°． 【解答】解：（1）在△ABC中，∠A+∠B+∠C＝180°， ∵∠A﹣∠B＝20°，∠C＝2∠B， ∴∠A＝20°+∠B， ∴20°+∠B+∠B+2∠B＝180°， ∴∠B＝40°， ∴∠A＝20°+∠B＝60°； （2）∵△ABC是等腰三角形，∠B＝30°， ∴有以下两种情况： （ⅰ）当∠A为该等腰三角形的底角时，又有以下两种情况： ①当∠B＝30°是该等腰三角形的底角时，则∠A＝∠B＝30°； ②当∠B＝30°是该等腰三角形的顶角时，则∠A＝∠C， ∴∠A+∠C+∠B＝180°， ∴2∠A+30°＝180°， ∴∠A＝75°， （ⅱ）当∠A为顶角时，则∠B＝∠C＝30°是该等腰三角形的底角， ∵∠A+∠C+∠B＝180°， ∴∠A+30°+30°＝180°， ∴∠A＝120°， 综上所述：∠A的度数是30°或75°或120°． 20．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交BC于F． （1）如果∠CFE＝70°，求∠B的度数； （2）试说明：∠CEF＝∠CFE． 【答案】（1）50°； （2）证明见解析． 【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠CFE＝70°， ∴∠CAF＝180°﹣90°﹣70°＝20°， ∵AF平分∠CAB交CD于E， ∴∠CAB＝2∠CAF＝40°， ∴∠B＝90°﹣40°＝50°； （2）证明：∵∠ACB＝90°， ∴∠CAF+∠CFE＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠ADE＝90°， ∴∠DAE+∠AED＝90°， ∵AF平分∠CAB交CD于E， ∴∠CAF＝∠DAE， ∴∠CFE＝∠AED， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠CFE． 21．（8分）如图，AD和BF分别是△ABC的高和角平分线，AE是边BC的中线． （1）若△ABE的面积为6，则△ABC的面积为 　12　 ； （2）若∠C＝70°，∠BAC＝60°，求∠DAC和∠AFB的度数． 【答案】（1）12； （2）∠DAC＝20°，∠AFB＝95°． 【解答】解：（1）∵AE是△ABC的边BC的中线， ∴BE＝CE， ∴S△ACE＝S△ABE＝6， ∴S△ABC＝12， 故答案为：12； （2）∵AD是△ABC的高， ∴∠ADC＝90°， ∵∠C＝70°， ∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝90°﹣70°＝20°， ∵∠C＝70°，∠BAC＝60°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C﹣∠BAC＝180°﹣70°﹣60°＝50°， ∵BF是△ABC的角平分线， ∴， ∴∠AFB＝∠CBF+∠C＝25°+70°＝95°． 22．（8分）已知a，b，c是△ABC的三边． （1）化简|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|； （2）若a和b满足方程组，且c为偶数，求这个三角形的周长． 【答案】（1）2c； （2）11或13． 【解答】解：（1）∵a，b，c是△ABC的三边， ∴a+c＞b，b+c＞a， ∴a﹣b+c＞0，a﹣b﹣c＜0， ∴|a﹣b+c|+|a﹣b﹣c|＝（a﹣b+c）﹣（a﹣b﹣c）＝a﹣b+c﹣a+b+c＝2c； （2）解方程组， 解得， 根据三角形的三边关系得5﹣2＜c＜2+5，即3＜c＜7， ∵c为偶数， ∴c＝4或6， 当c＝4时，三角形的三边为2，5，4，2+4＞5，能够成三角形； 当c＝6时，三角形的三边为2，5，6，2+5＞6，能够成三角形， ∴这个三角形的周长为2+5+4＝11或2+5+6＝13． 23．（10分）如图1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝35°，∠C＝65°． （1）求∠DAE的度数； （2）如图2，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE． 【答案】（1）∠DAE＝15°； （2）． 【解答】解：（1）∵∠B＝35°，∠C＝65°， ∴∠BAC＝180°﹣35°﹣65°＝80°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD∠BAC80°＝40°， ∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝35°+40°＝75°． ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝90°﹣75°＝15°， 即∠DAE的度数为15°； （2）∵∠B＝α，∠C＝β， ∴∠BAC＝180°﹣α﹣β， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴， ∵FE⊥BC， ∴∠FEB＝90°， ∴． 24．（10分）如图所示，P是△ABC内一点，延长BP交AC于点D，连接PC． （1）∠1、∠2、∠A的大小关系是：　∠1　 ＞　∠2　 ＞　∠A　 ； （2）若∠3＝25°，∠A＝67°，∠4＝40°，嘉嘉想求∠1的度数，请你从下面两种思路中任选一种帮助嘉嘉完成求解． 思路一 先利用三角形内角和求出∠PBC+∠PCB的度数，再利用三角形内角和求出∠1的度数． 思路二 先利用三角形外角求出∠2的度数．再利用三角形外角求出∠1的度数． 【答案】（1）∠1，∠2，∠A； （2）∠1＝132°． 【解答】解：（1）∵∠BDC是△ABD的外角，∠BPC是△CDP的外角， ∴∠2＝∠3+∠A，∠1＝∠2+∠4， 又∵∠3＞0，∠4＞0， ∴∠1＞∠2＞∠A． 故答案为：∠1，∠2，∠A； （2）（思路一）在△ABC中，∠A+∠3+∠PBC+∠PCB+∠4＝180°， ∴∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣∠3﹣∠4＝180°﹣67°﹣25°﹣40°＝48°． 在△PBC中，∠1+∠PBC+∠PCB＝180°， ∴∠1＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣48°＝132°； （思路二）∵∠BDC是△ABD的外角， ∴∠2＝∠3+∠A＝25°+67°＝92°， ∵∠BPC是△CDP的外角， ∴∠1＝∠2+∠4＝92°+40°＝132°． 25．（10分）（1）已知：如图①的图形我们把它称为“8字形”，试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D； （2）如图②，①AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，若∠B＝36°，∠D＝16°，求∠P的度数（写出推理过程）； ②AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD，猜测∠B，∠D，∠P三者的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明见解析过程； （2）①26°；②∠P，证明见解析过程． 【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠AOB． 同理可得，∠C+∠D＝180°﹣∠COD， 又∵∠AOB＝∠COD， ∴∠A+∠B＝∠C+∠D． （2）①解：由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 又∵∠B＝36°，∠D＝16°， ∴∠P． ②∠P，证明如下： 由（1）知， ∠BAP+∠B＝∠BCP+∠P，∠DAP+∠P＝∠PCD+∠D， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠P﹣∠B，∠DAP﹣∠PCD＝∠D﹣∠P． 又∵AP，CP分别平分∠BAD，∠BCD， ∴∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP， ∴∠BAP﹣∠BCP＝∠DAP﹣∠PCD， 即∠P﹣∠B＝∠D﹣∠P， ∴∠P． 26．（10分）综合与实践 在△ABC中，∠C＝40°，点D，E分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． 【问题初探】 （1）如图1，若点P在线段AB上，且∠α＝60°，则∠1+∠2＝ 　100　 °； 【问题再探】 （2）如图2，若点P在线段AB上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点P在线段AB的延长线上运动，写出∠1，∠2，∠α之间的数量关系，并说明理由； 【问题解决】 （4）如图4，若点P运动到△ABC的内部，请直接写出此时∠1，∠2，∠α之间的数量关系． 【答案】（1）100； （2）∠1+∠2＝40°+∠α； （3）∠1﹣∠2＝40°+∠α； （4）∠1+∠2＝400°﹣∠a． 【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠C＝180°：∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°，∠α＝60°， ∴∠APD+∠BPE＝120°， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°，∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°， 故答案为：100； （2）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40° ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠APD+∠α+∠BPE＝180°， ∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α， ∵∠A+∠1+∠APD＝∠B+∠2+∠BPE＝180°， ∴∠A+∠1+∠APD+∠B+∠2+∠BPE＝360°， 即∠A+∠B+∠APD+∠BPE+∠1+∠2＝360°， ∴∠1+∠2＝360°﹣140°﹣180°+∠α＝40°+∠α， ∴∠1+∠2＝40°+∠α； （3）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵∠3+∠2+∠α＝180°， ∴∠3＝∠4＝180°﹣∠2﹣∠α， ∵∠A+∠ABC+∠1+∠4＝360°， ∴140°+∠1+180°﹣∠2﹣∠α＝360°， ∴∠1﹣∠2＝40°+∠α； （4）∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠C＝40°， ∴∠A+∠B＝180°﹣40°＝140°， ∵五边形ABEPD的内角和为（5﹣2）×180°＝540°， ∴∠A+∠B+∠1+∠2+∠α＝540°， ∴∠1+∠2＝540°﹣140°﹣∠α， ∴∠1+∠2＝400°﹣∠α． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $$