第二十一章 一元二次方程（高效培优讲义）数学人教版九年级上册

第十三章 一元二次方程 教学目标 1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）解一元二次方程； （2）二元一次方程的实际应用； （3）根与系数的关系 2. 难点 （1）根于系数的关系的推广应用； （2）一元二次方程的实际应用各类型的计算表达式。 考点01 一元二次方程 1. 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 3. 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。 【题型1】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x21 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【题型2】 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m＝　 　 ． 【题型3】 3．把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c得值是（　　） A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1 【题型4】 4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣2 D．k＝±2 【题型5】 5．若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 考点02 解一元二次方程 1. 直接开方法解一元二次方程： 适用形式：或或（均大于等于0） ①时，方程的解为：。 ②时，方程的解为：。 ③时，方程的解为：。 【题型1】 6．方程（x﹣1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣4，x2＝5 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x＝1 【题型2】 7．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【题型3】 8．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝12 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 2. 配方法解一元二次方程： 运用公式：。 具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。 ②移项——把常数项移到等号右边。 ③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。 ④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。 ⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。 即： ∴ 若，则即可求得两根。 【题型1】 9．一元二次方程x2﹣6x+6＝0配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3 【题型2】 10．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 【题型3】 11．在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【题型4】 12．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 3. 公式法解一元二次方程： （1） 根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。 ①方程有两个不相等的实数根。 ②方程有两个相等的实数根。 ③方程没有实数根。 （2） 求根公式： 当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程的两根为。 ②时，一元二次方程的两根为。 ③时，方程没有实数根。 【题型1】 13．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【题型2】 14．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【题型3】 15．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k D．k 【题型4】 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 4. 因式分解法求一元二次方程： 利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解二元一次方程。 【题型1】 17．用适当的方法解下列方程： （1）x2＝4x； （2）（x﹣3）2﹣4＝0； （3）2x2﹣4x﹣5＝0； （4）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）． 【题型2】 18．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣0.5 B．x1＝2，x2＝0.5 C．x1＝2，x2＝﹣0.5 D．x1＝﹣2，x2＝0.5 【题型3】 19．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．7或10 【题型4】 20．已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4 考点03 根与系数的关系 1. 根与系数的基本关系： 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 2. 常考推广公式： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 【题型1】 21．已知一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【题型2】 22．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【题型3】 23．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．6 【题型4】 24．设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则的值是（　　） A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10 【题型5】 25．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【题型6】 26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【题型7】 27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根x1和x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求实数m的值． 考点04 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 一元二次方程实际应用的基本类型： ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题：基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 【题型1】 28．根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（　　） A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8 B．74.4（1+3x）＝241.8 C．74.4（1+x）2＝241.8 D．74.4×3（1+x）＝241.8 29．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．72 30．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 31．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 32．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（　　） A．x2＝36 B．（1+x）2＝36 C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36 33．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 【题型2】 34．古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 35．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用单循环赛制，每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 36．为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 37．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 38．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同． （1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答． （2）求方案二中扇形的半径；（其中π≈3，结果保留根号） （3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 一元二次方程 教学目标 1. 熟练掌握一元二次方程全章知识点； 2. 熟练运用全章知识点解决相应的题目题型； 教学重难点 1. 重点 （1）解一元二次方程； （2）二元一次方程的实际应用； （3）根与系数的关系 2. 难点 （1）根于系数的关系的推广应用； （2）一元二次方程的实际应用各类型的计算表达式。 考点01 一元二次方程 1. 一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式： 一元二次方程的一般形式为：。其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；为常数项。 3. 一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫做一元二次方程的解，又叫做一元二次方程的根。 【题型1】 1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．2x+3y﹣5＝0 B．x21 C．x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0 【答案】C 【解答】解：A、该方程中含有两个未知数，故本选项不符合题意； B、该方程是分式方程，不是整式方程，故本选项不符合题意； C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； D、当a＝0时，该方程中未知数的最高次数不是2，故本选项不符合题意． 故选：C． 【题型2】 2．若方程是关于x的一元二次方程，则m＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， 解得m． 故答案为：． 【题型3】 3．把方程x（x+1）＝5（x﹣2）化成一般式，则a+b+c得值是（　　） A．﹣3 B．7 C．﹣5 D．1 【答案】B 【解答】解：原方程整理得x2+x﹣5x+10＝0． x2﹣4x+10＝0． 故：a＝1，b＝﹣4，c＝10． ∴a+b+c＝1﹣4+10＝7． 故选：B． 【题型4】 4．若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+2x+k2﹣4＝0的一个根为0，则k的值为（　　） A．k＝2 B．k＝0 C．k＝﹣2 D．k＝±2 【答案】C 【解答】解：把x＝0代入一元二次方程（k﹣2）x2+2x+k2﹣4＝0得k2﹣4＝0， 解得k1＝0，k2＝﹣2， ∵k﹣2≠0， ∴k＝﹣2． 故选：C． 【题型5】 5．若m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根，则m2+2m的值是（　　） A．2024 B．﹣2025 C．2025 D．4050 【答案】C 【解答】解：∵m是一元二次方程x2+2x﹣2025＝0的一个根， ∴m2+2m﹣2025＝0， ∴m2+2m＝2025． 故选：C． 考点02 解一元二次方程 1. 直接开方法解一元二次方程： 适用形式：或或（均大于等于0） ①时，方程的解为：。 ②时，方程的解为：。 ③时，方程的解为：。 【题型1】 6．方程（x﹣1）2＝4的解是（　　） A．x1＝﹣4，x2＝5 B．x＝3 C．x1＝﹣1，x2＝3 D．x＝1 【答案】C 【解答】解：∵（x﹣1）2＝4， ∴x﹣1＝±2， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 故选：C． 【题型2】 7．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【答案】C 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【题型3】 8．已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a，b，m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（x+m+2）2+b＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣3 B．x1＝4，x2＝12 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝﹣3 【答案】D 【解答】解：方程a（x+m+2）2+b＝0可变形为：a（x+2+m）2+b＝0， 由题意得：x+2＝2或x+2＝﹣1， 解得：x1＝0，x2＝﹣3， 故选：D． 2. 配方法解一元二次方程： 运用公式：。 具体步骤：①化简——将方程化为一般形式并把二次项系数化为1。 ②移项——把常数项移到等号右边。 ③配方——两边均加上一次项系数一半的平方。 ④开方——整理式子，利用完全平方式开方降次得到两个一元一次方程。 ⑤解一元一次方程即得到一元二次方程的根。 即： ∴ 若，则即可求得两根。 【题型1】 9．一元二次方程x2﹣6x+6＝0配方可变形为（　　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x+3）2＝13 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝3 【答案】A 【解答】解：x2﹣6x+6＝0， 移项，得x2﹣6x＝﹣6， 配方，得x2﹣6x+32＝9﹣6， 即（x﹣3）2＝3． 故选：A． 【题型2】 10．把方程x2﹣6x﹣1＝0转化成（x+m）2＝n的形式，则m、n的值是（　　） A．3、8 B．3、10 C．﹣3、3 D．﹣3、10 【答案】D 【解答】解：∵x2﹣6x﹣1＝0， ∴x2﹣6x＝1， 则x2﹣6x+9＝1+9，即（x﹣3）2＝10， ∴m＝﹣3，n＝10， 故选：D． 【题型3】 11．在实数范围内，代数式a2﹣4a+7的值不可能为（　　） A．6 B．3.6 C．3 D．2.8 【答案】D 【解答】解：∵a2﹣4a+7＝（a﹣2）2+3≥3， ∴选项D不可能， 故选：D． 【题型4】 12．若代数式P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1，则P和Q的大小关系是（　　） A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定 【答案】A 【解答】解：由题意，∵P＝2a2﹣2a+3，Q＝a2+1， ∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1． 又∵对于任意的实数a都有（a﹣1）2≥0， ∴P﹣Q＝（2a2﹣2a+3）﹣（a2+1）＝a2﹣2a+2＝（a﹣1）2+1≥1＞0． ∴对任意实数a，均有P﹣Q＞0，即P＞Q． 故选：A． 3. 公式法解一元二次方程： （1） 根的判别式：由配方法可知，即为一元二次方程根的判别式。用表示。 ①方程有两个不相等的实数根。 ②方程有两个相等的实数根。 ③方程没有实数根。 （2） 求根公式： 当时，则一元二次方程可以用来求出它的两个根，这就是一元二次方程的求根公式。 ①时，一元二次方程的两根为。 ②时，一元二次方程的两根为。 ③时，方程没有实数根。 【题型1】 13．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（　　） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【解答】解：∵一元二次方程的根的判别式Δ＝b2﹣4ac＝4﹣42＝0， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：C． 【题型2】 14．k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+k＝0的根的情况是（　　） A．有两个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．不能确定根的情况 【答案】A 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（k+1）]2﹣4×1×k＝（k+1）2﹣4k＝（k﹣1）2≥0． ∴方程有两个实数根． 故选：A． 【题型3】 15．若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣2＝0有实数根．则k的取值范围是（　　） A．k B．k C．k D．k 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有实数根， ∴Δ＝[2（k﹣1）]2﹣4（k2﹣2）＝﹣8k+12≥0， 解得：k． 故选：A． 【题型4】 16．在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（　　） A．2x2﹣3x﹣1＝0 B．2x2+4x﹣1＝0 C．﹣x2﹣3x+2＝0 D．3x2﹣2x+1＝0 【答案】A 【解答】解：由题意a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1． 故选：A． 4. 因式分解法求一元二次方程： 利用因式分解的手段将一元二次方程化为的形式，再利用来求解二元一次方程。 【题型1】 17．用适当的方法解下列方程： （1）x2＝4x； （2）（x﹣3）2﹣4＝0； （3）2x2﹣4x﹣5＝0； （4）（x﹣1）（x+2）＝2（x+2）． 【答案】（1）x1＝4，x2＝0；（2）x1＝5，x2＝1；（3），；（4）x1＝﹣2，x2＝3． 【解答】解：（1）x2﹣4x＝0， x（x﹣4）＝0， 解得x1＝4，x2＝0； （2）（x﹣3﹣2）（x﹣3+2）＝0， （x﹣5）（x﹣1）＝0， x﹣5＝0或x﹣1＝0， 解得x1＝5，x2＝1； （3）2x2﹣4x﹣5＝0； ∴x2﹣2x， ∴x2﹣2x+1， ∴（x﹣1）2， ∴x﹣1＝±， 解得，； （4）（x﹣1）（x+2）﹣2（x+2）＝0， （x+2）（x﹣1﹣2）＝0， （x+2）（x﹣3）＝0， ∴x+2＝0，x﹣3＝0， 解得x1＝﹣2，x2＝3． 【题型2】 18．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是（　　） A．x1＝﹣2，x2＝﹣0.5 B．x1＝2，x2＝0.5 C．x1＝2，x2＝﹣0.5 D．x1＝﹣2，x2＝0.5 【答案】C 【解答】解：设2x﹣3＝y， 方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0可变形为：y2+3y﹣4＝0． ∵方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4， ∴y1＝1，y2＝﹣4． 当y＝1时，即2x﹣3＝1， 解得x＝2， 当y＝﹣4时，即2x﹣3＝﹣4， 解得x＝﹣0.5， ∴方程（2x﹣3）2+3（2x﹣3）﹣4＝0的解是x1＝2，x2＝﹣0.5， 故选：C． 【题型3】 19．若△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2﹣9x+20＝0的根，则△ABC的周长是（　　） A．9 B．10 C．9或10 D．7或10 【答案】A 【解答】解：x2﹣9x+20＝0， 则（x﹣4）（x﹣5）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣5＝0， 则x1＝4，x2＝5， ∵2+3＝5， ∴第三边的长为4， ∴△ABC的周长＝2+3+4＝9， 故选：A． 【题型4】 20．已知实数m、n满足（m2+2n2﹣2）（m2+2n2+3）＝6，则m2+2n2的值为（　　） A．﹣4 B．3 C．4 D．3或﹣4 【答案】B 【解答】解：设k＝m2+2n2， ∴原方程变为：（k﹣2）（k+3）＝6． ∴k2+k﹣6＝6． ∴k2+k﹣12＝0． ∴k＝3或k＝﹣4． ∵m和n为实数， ∴m2+2n2≥0，故舍去k＝﹣4． ∴k＝3． 故选：B． 考点03 根与系数的关系 1. 根与系数的基本关系： 若是一元二次方程的两个根，则这两个根与系数的关系为： 。 同时存在：。 2. 常考推广公式： ①。 ②。 ③。 ④。 ⑤。 ⑥。 【题型1】 21．已知一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两根为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．9 D．﹣9 【答案】B 【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣6＝0的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝3，x1•x2＝﹣6， ∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2+（x1+x2）＝3+（﹣6）＝﹣3， 故选：B． 【题型2】 22．已知m，n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根，则m2﹣4m+n﹣2的值是（　　） A．2025 B．2028 C．2030 D．4048 【答案】B 【解答】解：∵m、n是方程x2﹣5x﹣2025＝0的两个实数根， ∴m2﹣5m﹣2025＝0，m+n＝5， ∴m2﹣5m＝2025， 即m2﹣4m＝2025+m， 则m2﹣4m+n﹣2＝2025+m+n﹣2＝2025+5﹣2＝2028， 故选：B． 【题型3】 23．已知方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，则式子（x1+1）（x2+1）的值等于（　　） A．﹣4 B．0 C．2 D．6 【答案】B 【解答】解：∵方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2， ， ∴（x1+1）（x2+1） ＝x1x2+（x1+x2）+1 ＝﹣3+2+1 ＝0； 故选：B． 【题型4】 24．设x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根，则的值是（　　） A．﹣2 B．10 C．2 D．﹣10 【答案】B 【解答】解：∵x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两根， ∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣3， ∴， ， ， ， 故选：B． 【题型5】 25．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1，x2．若，则m的值是（　　） A．2 B．﹣1 C．2或﹣1 D．不存在 【答案】A 【解答】解：∵关于x的一元二次方程mx2﹣（m+2）x0有两个不相等的实数根x1、x2， ∴， 解得：m＞﹣1且m≠0， ∵x1、x2是方程mx2﹣（m+2）x0的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴m＝2或﹣1， ∵m＞﹣1， ∴m＝2． 故选：A． 【题型6】 26．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2+m﹣1＝0． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）当该方程的两个实数根互为相反数时，求m的值． 【答案】（1）见解答； （2）． 【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+m﹣1） ＝4m2+4m+1﹣4m2﹣4m+4 ＝5＞0， ∴无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的两根分别为x1，x2， 根据根与系数的关系得x1+x2＝2m+1＝0， 解得m， 即m的值为． 【题型7】 27．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根． （1）求实数m的取值范围； （2）若一元二次方程的两个根x1和x2满足（x1﹣2）（x2﹣2）＝11，求实数m的值． 【答案】（1）m； （2）m＝﹣1． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根， ∴Δ＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2 ＝4m2﹣4m+1﹣4m2 ＝﹣4m+1≥0， ∴﹣4m+1≥0， ∴m． 故实数m的取值范围为m； （2）由题意可得： x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2， ∴（x1﹣2）（x2﹣2） ＝x1x2﹣2（x1+x2）+4 ＝m2﹣2（2m﹣1）+4 ＝m2﹣4m+6， ∵（x1﹣2）（x2﹣2）＝11， ∴m2﹣4m+6＝11， ∴m2﹣4m﹣5＝0， 解得m1＝5，m2＝﹣1， 又∵m ∴m＝﹣1． 考点04 一元二次方程的实际应用 1. 列方程解实际应用题的步骤： ①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。 ②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。 ③列方程：根据等量关系与未知数列出一元二次方程。 ④解方程——按照解方程的步骤解一元二次方程。 ⑤答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。 2. 一元二次方程实际应用的基本类型： ①传播问题：计算公式：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数。 ②握手（比赛）问题：计算公式：单循环：＝总数；双循环：＝总数。（表示参与数量） ③数字问题：一个十位数可表示为：10×十位上的数字＋个位上的数字；一个百位数可表示为：100×百位上的数字＋10×十位上的数字＋个位上的数字。以此类推。 ④平均增长率（下降率）问题：计算公式：原数×（1＋增长率）增长轮数＝总数， 原数×（1－下降率）下降轮数＝总数。 ⑤商品销售问题：基本等量关系： 总利润＝单利润×数量 现单利润＝原单利润＋涨价部分（－降价部分） 现数量＝原数量－（原数量＋） ⑥图形面积问题： 利用勾股定理建立一元二次方程。 利用面积公式建立二元一次方程。 【题型1】 28．根据乘联会（简称CPCA）数据显示，我国新能源汽车市场呈现出蓬勃发展的态势．2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，2025年前三个月新能源汽车国内总销量达到241.8万辆．若设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x，依题意，可列出方程为（　　） A．74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8 B．74.4（1+3x）＝241.8 C．74.4（1+x）2＝241.8 D．74.4×3（1+x）＝241.8 【答案】A 【解答】解：∵2025年1月新能源汽车国内月销量达到74.4万辆，且设2025年1月至3月新能源汽车销量的月平均增长率为x， ∴2025年2月新能源车国内月销量达到74.4（1+x）万辆，2025年3月新能源车国内月销量达到74.4（1+x）2万辆． 根据题意得：74.4+74.4（1+x）+74.4（1+x）2＝241.8． 故选：A． 29．一个小组共有x人，端午节互送荷包，若全组共送72个，下面所列方程正确的是（　　） A．x2＝72 B．x（x﹣1）＝72 C．（x﹣1）2＝72 D．72 【答案】B 【解答】解：由题意得，x（x﹣1）＝72． 故选：B． 30．“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（　　） A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C． D． 【答案】D 【解答】解：根据题意得：x（x﹣1）＝28． 故选：D． 31．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40m，宽为22m．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为520m2．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为x m，根据题意所列方程为（　　） A．（40﹣2x）（22﹣x）＝520 B．（40﹣x）（22﹣x）＝520 C．（40﹣x）（22﹣2x）＝520 D．（40﹣x）（22+x）＝520 【答案】B 【解答】解：若设停车场内车道的宽度为x m，则停车位（图中阴影部分）可合成长为（40﹣x）m，宽为（22﹣x）m的矩形， 根据题意得：（40﹣x）（22﹣x）＝520． 故选：B． 32．某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（　　） A．x2＝36 B．（1+x）2＝36 C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36 【答案】C 【解答】解：依题意得：1+x+x2＝36． 故选：C． 33．某超市销售一种文创产品，每个进货价为15元．调查发现，当销售价为20元时，平均每天能售出50个；而当销售价每降低1元时，平均每天就能多售出5个．超市要想使这种文创产品的销售利润平均每天达到220元，设每个文创产品降价x元，则可列方程为（　　） A．（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220 B．（20﹣15+x）（50+5x）＝220 C．（20﹣15﹣x）（50﹣5x）＝220 D．（20﹣15+x）（50﹣5x）＝220 【答案】A 【解答】解：根据题意得，（20﹣15﹣x）（50+5x）＝220， 故选：A． 【题型2】 34．古算趣题：“笨伯执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭，有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足，借问竿长多少数，谁人算出我佩服．“其大意是：笨伯拿竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门宽4尺，竖着比门高2尺．他的邻居教他沿着门的对角线斜着拿竿，笨伯一试，刚好进去．问：竹竿有多少尺？ 【答案】10． 【解答】解：设竿长为x尺， 由题意得，（x﹣2）2+（x﹣4）2＝x2． 解这个方程，得x1＝2，x2＝10， 当x＝2时，x﹣2＝0，x﹣4＝﹣2（舍去） ∴x＝10． 答：竹竿有10尺． 35．作为国内围棋顶级职业联赛，2025“三国赤壁古战场杯”中国围棋甲级联赛吸引了众多爱好者关注．联赛采用单循环赛制，每支队伍需与其余所有队伍各赛一场，充分展现各队实力．已知本次联赛共进行了120场激烈对决，求有多少支参赛队伍？ 【答案】有16支参赛队伍． 【解答】解：设有x支参赛队伍， 根据题意得：x（x﹣1）＝120， 整理得：x2﹣x﹣240＝0， 解得：x1＝16，x2＝﹣15（不符合题意，舍去）． 答：有16支参赛队伍． 36．为建设美丽城市，改造老旧小区．某市2021年投入资金1000万元，2023年投入资金1440万元．现假定每年投入的资金年增长率相同． （1）求该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率； （2）2023年老旧小区改造的平均费用为每个小区96万元，2024年为提高老旧小区品质，每个小区改造费用增加50%．如果投入资金的年平均增长率保持不变，那么该市在2024年最多可以改造多少个老旧小区？ 【答案】（1）该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%．（2）该市在2024年最多可以改造12个老旧小区． 【解答】解：（1）设该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为x， 依题意得：1000（1+x）2＝1440， 解得：x1＝0.2＝20 6，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该市改造老旧小区投入资金的年平均增长率为20%． （2）设该市在2024年可以改造y个老旧小区， 依题意得：96×（1+50%）y≤1440×（1+20%）， 解得：y≤12， ∴y的最大值为12． 答：该市在2024年最多可以改造12个老旧小区． 37．某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克． （1）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克樱桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？ （2）在降价情况下，该专卖店销售这种樱桃平均每天获利可以达到2400元吗？如果可以，请求出应降价多少元；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）①每千克樱桃应降价4元或6元；②该店应按原售价的9折出售； （2）不可以达到，理由见解析． 【解答】解：（1）①设每千克樱桃应降价x元，根据题意列一元二次方程得： ， 解得x1＝4，x2＝6， 答：每千克樱桃应降价4元或6元； ②由（1）可知每千克樱桃可降价4元或6元．因为要尽可能让利于顾客，所以每千克樱桃应降价6元．此时，售价为60﹣6＝54（元）， ∴． 即该店应按原售价的9折出售； （2）设每千克樱桃应降价y元，根据题意列方程得： （60﹣y﹣40）（100+10y）＝2400， 整理得，3y2+40y+400＝0， ∵Δ＝402﹣4×3×400＝﹣3200＜0， ∴原方程没有实根． 答：该专卖店销售这种樱桃平均每天获利不可以达到2400元． 38．在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半．方案一：如图1，花园四周小路的宽度相等；方案二：如图2，矩形中每个角上的扇形相同． （1）求方案一中小路的宽度，设小路的宽度为x米，请列出方程，不做解答． （2）求方案二中扇形的半径；（其中π≈3，结果保留根号） （3）你还有其他的设计方案吗？请在图3中画出你的设计草图，将花园部分涂上阴影，并加以说明． 【答案】（1）（16﹣2x）（12﹣2x）16×12； （2）4m； （3）见解析部分． 【解答】解：（1）设小路的宽为x m，则（16﹣2x）（12﹣2x）16×12； （2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为xm，故有πx216×12，解得x＝4m． 答：扇形的半径为4m； （3）设计方案如图所示： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$