3.3 第1课时 等积与行程问题-【木牍中考】2025-2026学年七年级数学上册同步教学优质课件（沪科版2024）

第一课时 等积与行程问题 3.3 一元一次方程的应用 ※ 建议使用WPS2019以上版本打开 木牍中考-教学设计中心 制作 数 学 HK 7年级上册 目 录 导入新课 01 讲授新课 02 习题解析 03 课堂小结 04 学习目标及重难点 1.会用一元一次方程解决等积变形和行程问题; （重点、难点） 2. 分清有关数量关系，能正确找出作为列方程依据的主要等量关系.（难点） h r 前 言 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球. 解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变 解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变. 解：形状改变，体积不变 回顾 请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围成长方形； 导入新课 看一看：观察下面演示的过程，试着猜想这么做的道理. h r 阿基米德为了帮助国王辨别皇冠的真假，需要测量皇冠的体积，确定皇冠的密度，聪明的阿基米德用非常巧妙地方法测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？ = 导入新课 例1 如图,李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5 cm的长方形纸条.如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少? 思考：本题中有什么等量关系？ 宽为4cm的长条面积=宽为5cm的长条面积 探索 1：等积变形问题 讲授新课 例1 如图,李明同学从一张正方形纸片上剪去一张宽为4cm的长方形纸条，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽5 cm的长方形纸条.如果两次剪下的长方形纸条面积正好相等，那么原正方形的边长为多少? 解设正方形的边长是cm.根据题意，得 解方程，得 . 答：原正方形的边长为cm. 讲授新课 用方程解应用题的关键是什么？ 列方程解应用题的关键就是审题，弄清题意，分清类型，熟悉题中所用的数量关系；找出题中已知量和未知量，明确它们之间的关系，找出题中的变量和不变量，即等量关系. 讲授新课 某居民楼顶有一个底面直径和高均为的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由减少为．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的变为多少？ 思考：这里的等量关系是什么？ 例2 讲授新课 某居民楼顶有一个底面直径和高均为的圆柱形储水箱．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由减少为．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的变为多少？ 等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积 解：设水箱的高变为 ，填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径 高 体 积 π×22×4 π×1.62x 例1 讲授新课 等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积 解：设水箱的高变为 ，填写下表： 旧水箱 新水箱 底面半径 高 体 积 π×22×4 π×1.62x 根据等量关系列出方程： 解方程得： 答：水箱高度变为 讲授新课 ①形状发生了变化，体积不变．其相等关系是：变化前图形的体积＝变化后图形的体积． ②形状、面积发生了变化，周长不变．其相等关系是：变化前图形的周长＝变化后图形的周长． ③形状、体积不同，面积相同．根据题意找出面积之间的关系，即为相等关系． 形积变化中的等量关系 形积变化问题中，图形的形状和体积会发生变化，应用题中相等关系可分以下几种情况： 讲授新课 某县举办越野赛.选手从起点出发,先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点.张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 例2 探索 2：行程问题 已知张老师在补给站休息了10 min,用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离. 总距离 跑步平均速度· 登山平均速度· 8.2 10 3 行程问题中常涉及的量有哪些？ 这些量之间有什么基本关系？ 路程 平均速度 时间 路程=平均速度×时间 讲授新课 解: 设补给站离起点km.根据题意，得 解方程，得 . 答：补给站与起点的距离为km. 某县举办越野赛.选手从起点出发,先沿着山区公路跑步到达补给站，再登山到达比赛终点.张老师参加了这个比赛，他的相关数据如下表： 例2 已知张老师在补给站休息了10 min,用时1.5h完成了比赛.求补给站与起点的距离. 总距离 跑步平均速度· 登山平均速度· 8.2 10 3 讲授新课 交流：运用一元一次方程解决实际问题的基本过程是怎么样的？ 实际问题 找等量关系，列方程 检验 数学问题 （一元一次方程） 数学问题的解 （一元一次方程的解） 解方程 实际问题的答案 讲授新课 交流 列方程解应用题有哪些步骤？ 弄清题意和题中的数量关系，用字母（如）表示问题里的未知数； 分析题意，找出相等关系（可借助于示意图、表格等）； 根据相等关系，列出需要的代数式，并列出方程； 解这个方程，求出未知数的值； 检查所得的值是否正确和符合实际情形，并写出答案（包括单位名称）. 1 2 3 4 5 讲授新课 甲、乙两站相距1200千米，一列慢车从甲站开出，每小时行80千米，一列快车从乙站开出，每小时行120千米，两车同时开出，出发后（ ）小时两车相距200千米. A.5 B.7 C.5或7 D.6 C 随堂小练习 讲授新课 甲、乙两站相距480千米，一列慢车从甲站开出，每小时行90千米，一列快车从乙站开出，每小时行140千米． (1)慢车先开出1小时，快车再开，两车相向而行．问快车开出多少小时后两车相遇？ 例3 讲授新课 解：(1)设快车开出x小时后两车相遇． 等量关系： 慢车行驶距离+快车行驶距离=甲乙两地的距离. 依题意，得 解方程，得 讲授新课 (2)设相背而行y小时两车相距600千米． 等量关系： 慢车行驶距离+快车行驶距离+甲乙两地的距离=600km. 依题意，得 90y+480+140y=600. (2)两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距600千米？ 解方程，得 讲授新课 (3)设z小时后快车与慢车相距600千米， 等量关系： 快车行驶距离+甲乙两地的距离-慢车行驶距离=600km. 依题意，得 (3)两车同时开出，慢车在快车后面同向而行，多少小时后快车与慢车相距600千米？ 解方程，得 讲授新课 (4)设m小时后快车追上慢车， 等量关系： 慢车行驶距离+甲乙两地的距离=快车行驶距离. 依题意，得 90m+480=140m. 答：略 (4)两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ 解方程，得 讲授新课 行程问题中一般涉及“路程”“速度”“时间”这三个量，且路程＝速度×时间． 行程问题分同向而行和相向而行两种情况，找等量关系时可以画线段示意图帮助分析． 讲授新课 汽船从甲地顺水开往乙地，所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时.已知船在静水的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时，求甲、乙两地之间的距离？ 分析：本题是行程问题，故有 路程=平均速度×时间； 时间=路程÷平均速度. 但涉及水流速度，必须要掌握 顺水速度=船速+水速； 逆水速度=船速水速. 例4 讲授新课 解：设甲、乙两地的距离为 千米， 等量关系：逆水所用时间－顺水所用时间=1.5 依题意，得 解方程，得 答：甲乙两地之间的距离为120千米. 想一想，这道题 是不是只有这一 种解法呢？ 直接设元法 方法一： 讲授新课 解：设汽船逆水航行从乙地到甲地需小时， 则汽船顺水航行的距离是(18+2)(1.5)千米, 逆水航行的距离是(182)千米. 等量关系：汽船顺水航行的距离=汽船逆水航行的距离 答:甲、乙两地距离为120千米. 依题意，得 解方程，得 间接设元法 方法二： 讲授新课 如图，小明从一个正方形的纸片上剪下一个宽为6 cm的长条后，再从剩下的纸片上剪下一个宽为8 cm的长条．如果两次剪下的长条面积正好相等，那么原正方形的边长是(　　) A．20 cm B．24 cm C．48 cm D．144 cm B 习题1 习题解析 27 习题2 如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，容器内部的底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲中的水全部倒入乙中，则乙中的水位高度比原先甲的水位高度低了8cm，求甲的容积为多少？ 甲 乙 答：甲的容积为3200cm3. 解方程，得 =3200 解：设甲的容积为xcm3.根据题意，得 习题解析 习题3 甲厂有钢材432t，乙厂有钢材96t.如果每天从甲厂运出20t、乙厂运出4t ，几天后，甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍？ 解: 设x天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍， 根据题意，得 432 – 20x=2（96 – 4x） 解方程，得 x=20 答：20天后甲厂剩余的钢材是乙厂的2倍. 习题解析 习题4 甲、乙两地相距180km，一人骑自行车从甲地出发每小时行15km；另一人骑摩托车从乙地同时出发，两人相向而行，已知摩托车车速是自行车车速的3倍，问多少时间后两人相遇？ 解: 设x小时后两人相遇， 根据题意，得 15x+3×15x=180 解方程，得 x=3 答：3小时后两人相遇. 习题解析 用一元一次方程解决问题 步骤 应用 1.设未知数； 2.找等量关系； 3.列方程； 4.解方程； 5.检验作答. 等积变形：变形前后的面（体)积相等 行程问题： 路程=时间×平均速度 直接设元 间接设元 课堂小结 课时A计划对应章节. 课后作业 $$