专题1.5 垂直平分线的性质和角平分线的性质（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.5 垂直平分线的性质和角平分线的性质 教学目标 1.学生能准确说出垂直平分线和角平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。​ 2.能够运用垂直平分线和角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。​ 3.了解垂直平分线和角平分线性质的逆定理，并能运用逆定理判断某点是否在垂直平分线或角平分线上。 教学重难点 1.重点 （1）垂直平分线和角平分线的性质的理解与掌握，即准确把握 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 和 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 这两个核心性质。 （2）能够熟练运用垂直平分线和角平分线的性质解决几何证明和计算问题 2.难点 （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 知识点01 垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 【即学即练】 1.如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，关键是求出，题目具有一定的代表性，主要考查学生运用性质进行推理的能力．根据线段垂直平分线推出，推出和，作差即可求解． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵的周长为，的周长为，， ∴，， ∴， 故答案为：7． 知识点02 角平分线 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2.作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 【即学即练】 1．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质以及线段的和差关系，根据角平分线的性质得出，再利用线段的和差关系可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 故选：C． 题型01 利用垂直平分线的性质求解 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 【变式1】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了作图-基本作图（垂直平分线）和平行四边形性质，要熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角，作已知线段的垂直平分线，作已知角的角平分线，过一点作已知直线的垂线）的方法．利用垂直平分线的作法得垂直平分，则，利用等线段代换得到的周长，然后根据平行四边形的性质可确定周长的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵由作法可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的周长． 故选B． 【变式2】如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的周长，先由线段垂直平分线的性质得，结合的周长为，，即可得出 【详解】解：∵为线段的垂直平分线， ∴， ∵，，的周长为， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由，则，故有，再根据垂直平分线的性质得，再根据等腰三角形的性质和外角性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 作已知线段的垂直平分线 【典例2】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了尺规作图．熟练掌握线段垂直平分线的作法和性质是解决问题的关键． （1）基本作图，作线段的垂直平分线，分别交线段于点，点即为所求作； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线， ． 【变式1】如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图﹣基本作图：作已知线段的垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）利用基本作图作的垂直平分线； （2）根据线段垂直平分线的性质，得到，由等腰对等角得，由三角形的内角和得到，再由三角形的外角性质即可解答． 【详解】（1）解：如图所示，直线即为所求作图形； （2）解：由（1）知：直线是线段的垂直平分线， ， ， 在中，， 是的外角， ， ． 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查线段垂直平分线的作法和性质，解题的关键是正确画出图形． （1）根据垂直平分线的作法，作出的垂直平分线； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：∵的垂直平分线交于点D ∴ ∴的周长为：． 【变式3】如图，在中，，，是上一点，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图、全等三角形的性质与判定： （1）利用过直线上一点作直线高的方法作图即可； （2）连接，先证明，得出，再利用线段的和差即可证明． 【详解】（1）解：如解图，即为所求．         （2）证明：如解图，连接． 由（1），得． ．         ， ．     ． 在和中， ， 又 题型03 作垂线 【典例3】如图，在等腰中，，延长至点． (1)请用尺规作图法求作射线，使得 ，且点在上方．（保留作图痕迹，不写作法） (2)作中边上的高线，垂足为点，若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了角、垂线的基本作图及三角形内角和定理，熟知基本作图方法是正确解答此题的关键． （1）利用同位角相等，两直线平行，画，且是一对同位角即可． （2）用基本作图作垂线，再利用三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：作，如图所示：射线即为求作的； 由作图可知， ， ； （2）解：如图所示，线段即为边上的高； ，， ， ， ． 【变式1】观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图，根据作图痕迹判断出线段是的高即可． 【详解】解：由作图可知，故线段是的高． 故选：D． 题型04 利用角平分线的性质求解 【典例4】如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积公式，掌握相关知识是解题的关键．由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点，如图： ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【变式1】如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，过O作于点E，根据角平分线的性质求出，最后用三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：过O作于点E， ∵平分，， ∴， ∴的面积， 故选：C． 【变式2】如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角的平分线性质，过点作于点，证明，再利用三角形的面积公式即可得出结论，掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故选：A． 题型05 角平分线性质的实际应用 【典例5】如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等是解题的关键． 要使快递站到的距离相等，说明快递站在的三边的垂直平分线的交点处，据此即可解答． 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等， ∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 【变式1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】此题考查了角平分线的性质．到三条相互交叉的公路距离相等的地点应是三条角平分线的交点．把三条公路的中心部位看作三角形，那么这个三角形两个内角平分线的交点以及三个外角两两平分线的交点都满足要求． 【详解】解：满足条件的有： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角任意两条平分线的交点，共三处． 综上，可选择的点有四处． 故选：D． 【变式2】如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】由角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等，即可得到答案． 【详解】解：在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等，   车站在的平分线上， ∵，，， ∴， ∴， 平分， 车站应该建在点， 故选：． 【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是应用角平分线的性质来解决问题． 题型06 作角平分线 【典例6】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——角平分线，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的外角定理，平行线的判定等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的作法和平行线的判定定理． （1）利用角平分线的作法进行操作即可； （2）利用等腰三角形的性质得出两底角相等，利用三角形的外角定理得出，利用角平分线的性质得出，即可判定出两直线平行． 【详解】（1）解：如图所示，射线即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵为的平分线， ∴ ∴， ∴ ∴． 【变式1】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查作图-应用与设计作图．分别作出角的平分线和线段的中垂线，两线的交点即为所求． 【详解】解：如图所示，点P即为所求作的点． 【变式2】如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题考查了作图——角平分线，角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键． （1）根据角平分线的作法作图即可； （2）过点作、，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形面积公式，求得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图，射线即为所求： （2）解：如图，过点作交与点，作交与点， 平分， ， 的面积为12， ∴， ∴， ，， ． 【变式3】如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题考查尺规作图-作角的平分线、作垂线，中垂线的性质； （1）根据作角平分线的方法步骤画图即可； （2）①根据尺规作垂线的方法作图即可； ②根据作图知，，利用三角形周长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求． ； （2）解：①如图，折痕即为所求； ②连接， 由作图知， ∴的周长为， 故答案为：10． 一、单选题 1．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，关键是掌握线段垂直平分线的性质，尺规作图：作线段的垂直平分线．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：当点D在线段的垂直平分线上时，，尺规作图是作线段垂直平分线的是C中的图形． 故选：C． 2．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质可得，据此根据三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：∵线段的垂直平分线交于点E，交于点D， ∴， ∴的周长， 故选：C． 3．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，由作图可知直线是线段的垂直平分线，进而由线段垂直平分线的性质即可求解，掌握线段垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， 故选：． 4．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【分析】本题考查了三角形各特殊交点的性质，需找到到三个顶点距离相等的点以保证游戏公平．游戏公平要求凳子到三名小朋友（位于三角形顶点）的距离相等．根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．因此，三角形三边垂直平分线的交点（外心）到三个顶点的距离相等；而角平分线交点（内心）到三边距离相等，中线交点（重心）到顶点距离与到对边中点距离成比例，高的交点（垂心）位置不固定，均不满足到顶点等距． 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意； D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意． 故选：D． 5．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．过P点作于， 如图，根据角平分线的性质得到， 然后根据垂线段最短可对各选项进行判断． 【详解】解：过P点作于， 如图， 平分， ， 点E是边上一动点， 根据垂线段最短可知： 故选D． 6．如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， 又∵平分，， ∴， ∵， ∴， 即． 故选：B． 二、填空题 7．如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了作图—基本作图，角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，设与交于点，由作图可得：平分，垂直平分，从而得出，，由矩形的性质得出，推出，即可得解． 【详解】解：如图，设与交于点， 由作图可得：平分，垂直平分， ∴，， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线性质的实际应用和三角形面积的求法，作辅助线很关键． 过点O作于于于F，得到，从而得到． 【详解】过点O作于于于F， ∵是三角形三条角平分线的交点， ， ， ． 故答案为：． 9．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为        【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，理解垂直平分线的性质是解答关键． 根据垂直平分线的性质得到，再利用三角形的周长来求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ． ∵的周长是， ∴， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：4． 10．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查三角形内角和定理及角平分线的性质和判定，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据三角形内角和定理得出，再由角平分线的判定和性质得出，继续利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，， ∴平分， ∴， ∴， 故答案为：． 11．如图所示，在平面直角坐标系中，在轴，轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． 若点的坐标为 ， 则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图，点到坐标轴的距离，角平分线的性质；熟练掌握角平分线的画法和角平分线的性质是解题的关键．依据作图过程的特征可知点在第一象限的角平分线上，再根据角平分线的性质即可得到关于的方程，解出即可得到答案． 【详解】解：由作图过程可知点在第一象限的角平分线上， ， 解得：． 故答案为：． 三、解答题 12．如图，在中，，，是的角平分线，于点E． (1)求的度数； (2)若，求 【答案】(1) (2)27 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、角平分线的性质等知识，熟练掌握相关图形的性质定理是解题的关键； （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，最后利用直角三角形的性质即可求解； （2）作于点F，如图，根据角平分线的性质可得，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴； （2）解：作于点F，如图， ∵是的角平分线，于点E， ∴， ∴． 13．如图，在中，，． (1)实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算，在（1）的条件下，连接，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键． （1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，直线MN即为所求． （2）解：直线为线段的垂直平分线， 的周长 14．如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． (1)作 的平分线； (2)过点作线段的垂线． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题主要考查尺规作垂线，作角平分线，掌握尺规作图的方法是关键． （1）根据尺规作角平分线即可； （2）根据尺规作垂线即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为的角平分线， （2）解：如图所示，即为线段的垂线． 15．如图，已知中，，，是的角平分线，于E点． (1)求的度数； (2)若，，，求． 【答案】(1) (2)108 【分析】（1）先根据三角形的内角和求出的度数，再根据角平分线的定义，得出的度数，最后根据直角三角形两个锐角互余，即可求解； （2）过点作于点F，根据是的角平分线，，，得出，最后个根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． （2）解∶过点作于点F， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义和性质，解题的关键是掌握三角形的内角和为，角平分线上的点到两边的距离相等． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 垂直平分线的性质和角平分线的性质 教学目标 1.学生能准确说出垂直平分线和角平分线的定义，理解并掌握垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）。​ 2.能够运用垂直平分线和角平分线的性质解决简单的几何问题，如证明线段相等、角度相等，以及进行相关的计算。​ 3.了解垂直平分线和角平分线性质的逆定理，并能运用逆定理判断某点是否在垂直平分线或角平分线上。 教学重难点 1.重点 （1）垂直平分线和角平分线的性质的理解与掌握，即准确把握 “线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等” 和 “角平分线上的点到角两边的距离相等” 这两个核心性质。 （2）能够熟练运用垂直平分线和角平分线的性质解决几何证明和计算问题 2.难点 （1）垂直平分线和角平分线性质的探究过程，尤其是如何引导学生从直观操作和观察中抽象出性质，并进行严谨的逻辑证明。 （2）区分垂直平分线和角平分线性质的应用场景，在复杂的几何图形中准确识别出垂直平分线和角平分线，进而运用其性质解决问题。 （3）理解并运用垂直平分线和角平分线性质的逆定理，明确逆定理的条件和结论，以及与原性质的区别和联系 知识点01 垂直平分线 1.定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线。 2.线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 3.线段垂直平分线的作图 （1）分别以点 A、B 为圆心，以大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于 C、D 两点； （2）作直线 CD，CD 为所求直线 【即学即练】 1.如图，在中，，是的中垂线，点D在上，点E在上，若的周长为，的周长为，则的长度为 ． 知识点02 角平分线 1.角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 2.作已知角的平分线（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分线） ①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。 ②分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。 ③画射线OC，射线OC即为所求。 【即学即练】 1．如图，在中，，平分，，垂足为点E，，，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 题型01 利用垂直平分线的性质求解 【典例1】如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】如图，在平行四边形中，，，分别以A、C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线交于点F，交于点E，则的周长是（    ） A．7 B．10 C．11 D．12 【变式2】如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【变式3】如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，是线段的垂直平分线．已知，则 ．    题型02 作已知线段的垂直平分线 【典例2】如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【变式1】如图，在中，． (1)作线段的垂直平分线，交于点，交于点．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【变式2】如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点D，连接（要求：保留作图痕迹，不必写作法和证明）； (2)在（1）作出的图形中，求的周长． 【变式3】如图，在中，，，是上一点，且． (1)尺规作图：过点作的垂线，交于点．（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母；如果完成有困难，可画出草图后解答第（2）题）． (2)求证：． 题型03 作垂线 【典例3】如图，在等腰中，，延长至点． (1)请用尺规作图法求作射线，使得 ，且点在上方．（保留作图痕迹，不写作法） (2)作中边上的高线，垂足为点，若，求的度数． 【变式1】观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（   ） A．顶角B的角平分线 B．边的垂直平分线 C．边的中线 D．边的高线 题型04 利用角平分线的性质求解 【典例4】如图，在中，平分，则的面积为（   ） A．7 B．10 C．12 D．14 【变式1】如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 题型05 角平分线性质的实际应用 【典例5】如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【变式1】如图，直线，，表示三条公路．现要建造一个中转站，使到三条公路的距离都相等，则中转站可选择的点有（   ） A．一处 B．二处 C．三处 D．四处 【变式2】如图，两条公路与相交于点，在的内部现要修建一个车站，使车站到两条公路的距离相等．则图中车站的位置应建在（   ）    A．点 B．点 C．点 D．点 题型06 作角平分线 【典例6】已知是的一个外角，． (1)尺规作图，作角平分线．（不写作法，保留痕迹）； (2)求证：． 【变式1】如图，某电信部门要在公路、之间修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个村庄、的距离相等，到公路、的距离也相等，问：发射塔应建在什么位置？请用尺规作图法，在图中用点表示出发射塔应建的位置（保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，在中. (1)尺规作图：作的平分线交于点D.（保留作图痕迹，不写作法） (2)若，，的面积为12，求的面积 【变式3】如图，在中，．请用无刻度的直尺和圆规完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法），并回答问题： (1)在图1中，作的平分线； (2)在图2中，把折叠，使得点与点重合，折痕分别交，于点，． ①请作出折痕； ②连接，若，，则的周长为______． 一、单选题 1．通过如下尺规作图，能得到的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点E，交于点D，则的周长为（   ）    A．21 B．14 C．13 D．9 3．如图，在中，分别以、为圆心，大于的长为半径在两侧作弧，两弧相交于点、，作直线分别交于边，于点、，连接，若的长为，则的长为（   ） A． B． C． D． 4．在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 5．如图，平分，于点D，若，点E是边上一动点，关于线段叙述正确的是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，平分，于D．如果，那么的值（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，是矩形的一条对角线，，依据尺规作图的痕迹，与的交点为，则的度数是 （用α的代数式表示）． 8．如图，的三边长分别是6，9，12，其三条角平分线将其分为三个三角形，则等于 ． 9．如图，在中，，线段的垂直平分线交于点的周长是，则的长为        10．如图，在中，，，点是边上一点，过点作于点，若，则的度数为 ． 11．如图所示，在平面直角坐标系中，在轴，轴的正半轴上分别截取，，使；再分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点． 若点的坐标为 ， 则的值为 ． 三、解答题 12．如图，在中，，，是的角平分线，于点E． (1)求的度数； (2)若，求 13．如图，在中，，． (1)实践与操作：用尺规作图法作边的垂直平分线，交于点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)应用与计算，在（1）的条件下，连接，求的周长． 14．如图，已知，用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹）． (1)作 的平分线； (2)过点作线段的垂线． 15．如图，已知中，，，是的角平分线，于E点． (1)求的度数； (2)若，，，求． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$