专题02 全等三角形七种模型（高效培优专项训练）数学浙教版2024八年级上册

专题02 全等三角七种模型 题型一：平移型 题型二：翻折型 题型三：旋转型 题型四：一线三等角型 题型五：手拉手模型 题型六：半角模型 题型七：倍长中线法 题型一：平移型 1．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 2．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 3．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 4．如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数 ． 5．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求． 题型二：翻折型 6．如图，平分．求证：． 7．如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 8．如图，，．求证：． 9．如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 10．如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 11．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 题型三：旋转型 12．如图所示，，与交于点O．试说明：． 13．如图，在中，，，点E为上一点，且，连接，求证：． 14．如图，，，，点E在上．求证：． 15．如图，点是上一点，交于点，，．求证：． 16．如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 17．如图，在和中，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 题型四：一线三等角型 18．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 19．已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 20．小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 21．如图，在，度，，是过点的一条直线，且在的异侧，于点． (1)成立吗？成立请证明，不成立请说明理由． (2)若直线绕点旋转到如图2位置时，其他条件不变，与，关系如何？直接写出结论即可． 题型五：手拉手模型 22．如图，与的顶点重合， ，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 23．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 24．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 25．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 26．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 27．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 题型六：半角模型 28．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 29．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 30．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 31．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 32．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：；          （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 题型七：倍长中线法 33．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 34．【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 35．已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 36．【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 全等三角七种模型 题型一：平移型 题型二：翻折型 题型三：旋转型 题型四：一线三等角型 题型五：手拉手模型 题型六：半角模型 题型七：倍长中线法 题型一：平移型 1．如图，点A，D，B，E在同一条直线上，，，．判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，根据平行线的性质得出，根据等式的性质得出，根据证明，得出，然后根据平行线的判定即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 2．如图，点D、C在线段上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，证明，即可作答． 【详解】证明：， ， ， 在和中， ， ． 3．如图，点在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，根据平行线的性质得到，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：， ， ， ， ， 在和中，， ． 4．如图，已知B、E、C、F 在同一条直线上，，且，与交于点G． (1)求证：； (2)若，求的度数 ． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）先证明，，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据平行线的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．如图，在和中，B，E，C，F在同一条直线上，，，． (1)求证：； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，三角形的内角和定理等； （1）由平行线的性质得，由即可得证； （2）由全等三角形的性质得，由三角形的内角和定理即可求解； 掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）证明（1）∵， ， ， ∴， ， 在和中， ， （）． （2）解：∵， ， ． 题型二：翻折型 6．如图，平分．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 先根据角平分线得到，再由证明，即可得到． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7．如图，在中，，点D，E在边上，且．过点D，点E作，，分别与CA，BA的延长线交于点F，G．求证：． 【答案】见解析； 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是找出证明全等的条件；要想证明三角形全等，先找到一组边相等，根据题意易得两组角相等，即可证明全等解决问题； 【详解】解：∵， ∴ 即 ∵，， ∴ ∵，，， ∴ ∴ 8．如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由得到其邻补角相等，再由证明全等，则由全等三角形对应边相等即可说理． 【详解】证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 9．如图，点、、、在同一条直线上，，线段与线段交于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据线段的和差可得出，再利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，再根据等角对等边即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． ∴在和中， ， ∴； （2）∵， ∴， ∴． 10．如图，点D，E分别在，上，连接，，，． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2)2 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，熟记三角形全等的判定方法是解决问题的关键； （1）由全等三角形的判定方法角边角得出即可； （2）根据可得，然后即可求解； 【详解】（1）证：（1）∵，，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ； 11．如图，在和中，，，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． （1）根据定理证得，得到，即可证得结论； （2）证明得到，证明，即可得到． 【详解】（1）证明：∵， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∴． 题型三：旋转型 12．如图所示，，与交于点O．试说明：． 【答案】见解析 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质．连接，利用证明，即可求证． 【详解】解：连接．如图． 在和中． ， ∴ ∴．（全等三角形对应角相等）． 13．如图，在中，，，点E为上一点，且，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质；根据边角边证出，再根据三角形全等的性质即可证出结论． 【详解】证明： ， ， ， ． 14．如图，，，，点E在上．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，先证明，则可证明得到，再由三角形外角的性质可得，则． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，点是上一点，交于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是关键． 根据题意证明即可求解． 【详解】证明：在和中， ， ． 16．如图，在四边形中，点为对角线上一点，连接，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，利用得到，证明，即可得到，熟练利用相关性质是解题的关键． 【详解】证明：，， ， 在和中， ， ， ， ． 17．如图，在和中，，，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据角的运算得到，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“”字形得到，最后进行等量代换求解，即可解题． 【详解】（1）证明： ， ， ， ，， ， ； （2）解： ， ， 记交于点， 有， ， ，， ． 题型四：一线三等角型 18．如图①，在中，，，过点C在外作直线l，于点M，于点N． (1)试说明：； (2)如图②，将（1）中条件改为（），，请问（1）中的结论是否还成立？请说明理由. (3)如图③，在中，点D为上一点，，，，，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，一线三等角模型证明全等，解题关键是熟悉一线三等角模型． （1）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，从而根据，可得； （2）先判定成立，再说理由，先证明，再根据全等三角形的性质得出，，结合，可得； （3）先证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据，，，可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， 又， ， ，， ， ； （2）成立， 理由：，， ， 又∵，， ， ，， 又， ； （3），，， ， 又，， ， ，， ，，， ． 19．已知：如图①，，，点C是上一点，且． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)如图②，若把沿直线向左移动，使的顶点C与B重合，与交于点F，此时与的位置关系怎样？请说明理由； (3)图②中，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)9． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （2）由全等三角形的性质可得，，求出，即可得解； （3）由题意可得，由全等三角形的性质可得，由此即可得解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 20．小丽与爸妈在公园里坐荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面高的处接住她后用力一推，爸爸在处接住她．若妈妈与爸爸的水平距离分别为和，．爸爸在处接住小丽时，小丽距离地面的高度是多少？ 【答案】小丽距离地面的高度是 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握其判定方法和性质是关键． 根据题意可证，得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∵点处距地面高， ∴在处距离地面的高度是， ∴小丽距离地面的高度是． 21．如图，在，度，，是过点的一条直线，且在的异侧，于点． (1)成立吗？成立请证明，不成立请说明理由． (2)若直线绕点旋转到如图2位置时，其他条件不变，与，关系如何？直接写出结论即可． 【答案】(1)成立，理由见解析过程 (2)，理由见解析过程 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，证明是解题的关键． （1）由“”可证，可得，，可得结论； （2）由“”可证，可得，，可得结论． 【详解】（1）解：成立，理由如下： ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 又， ， 即； （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ， 即． 题型五：手拉手模型 22．如图，与的顶点重合， ，，，连接、，将绕点旋转． (1)如图，和的关系为___________． (2)如图，将绕点转动至如图所示示位置时，探究（）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程：若不成立，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)结论仍然成立，理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用证明可得，，延长交于， 由，即可得出，进而得出结论； （）与 （）同理可证明结论成立． 【详解】（1）解：∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 延长交于，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：结论仍然成立，理由如下： 如图，设相交于， ∵和是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作正三角形和正三角形（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于），与交于点，与交于点，与交于点，连接． 试说明： ①； ②填空 °； ③． 【答案】①见详解；②120；③见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． ①由“”可证； ②由全等三角形的性质可得，由外角的性质可求解； ③由“”可证，可得结论． 【详解】证明：① 、为正三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2） ， ， ， ， ， ， 故答案为：120； ③在和中， ， ， ． 24．如图，为任意三角形，以边，为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接，并且相交于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出． （1）根据等边三角形的性质得出，，，求出，根据推出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，求出，代入求出即可． 【详解】（1）证明∵和均是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）∵ ∴ ∵是的外角 ∴ ∵，， ∴． 25．如图，和都是等边三角形，直线，交于点F． (1)如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______． (2)如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明． (3)若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围． 【答案】(1)，； (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键． （1）利用等边三角形的性质证明，结合三角形的外角就可以得出结论； （2）同（1）中方法证明，得出，，再根据三角形的内角和得出； （3）当B、C、D三点共线时得出的最大和最小值，即可得出结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且 （2）（1）中结论仍成立， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 即， 在和中， ， ，， ，且， ； （3）是等边三角形， ， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时， 当旋转=时，B、C、D三点共线，此时； ∴． 26．如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．    (1)求证：BD=CE； (2)求证：△ABM≌△ACN； (3)求证：△AMN是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形． 【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中， ∴△ABD≌△ACE(SAS)， ∴BD=CE． （2）由(1)知△ABD≌△ACE， ∴∠ABM=∠ACN． ∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°， ∴∠CAN=60°=∠BAC． 在△ABM和△ACN中， ∴△ABM≌△ACN(ASA)． （3）由(2)知△ABM≌△ACN， ∴AM=AN， ∵∠CAN=60°， ∴△AMN是等边三角形． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键． 27．如图，是一个锐角三角形，分别以、为边向外作等边三角形、，连接、交于点，连接． (1)求证：≌； (2)求的度数； (3)求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）由、是等边三角形，易证，继而可证； （2）由≌，得到，进一步得到，由三角形内角和得到答案； （3）作于点于点，证明，由，即可得到结论． 【详解】（1）证明：、是等边三角形， ， ， 即， ≌； （2）解：≌， ， ， ； （3）证明：如图，作于点于点， ， ， ，， ， ， ， 平分． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、角平分性的判定知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 题型六：半角模型 28．（1）如图①，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________； （2）如图②，在四边形中，，E，F分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，E、F分别是边延长线上的点，且．请直接写出线段之间的数量关系：________． 【答案】（1）；（2）成立，见解析；（3） 【分析】本题是三角形的综合题，利用全等三角形的判定与性质得出是解题关键，再利用全等三角形的判定与性质得出，本题的3个问题运用了类比的方法依次解决问题． （1）如图，延长到G，使，连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）如图，延长到G，使，连接，同理可得：； （3）如图③，仿照（1）（2）构造全等三角形求解即可． 【详解】解：（1）如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到G，使，连接， ∵， ∴ ∵, ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 又∵， ∴． ∴． ∵． ∴； （3）若如图③，在上截取，使，连接． ∵， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴． ∴， ∵， ∴ ∴． ∵ ∴． 29．（1）如图1，在四边形中，，分别是边上的点，且，则与的数量关系为_______________． （2）如图2，在四边形中，，E、F分别是边BC、CD上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系_________________． （3）如图3，在四边形中，，分别是直线上的点，且，请直接写出三条线段间的数量关系，并证明． 【答案】（1）．（2）．（3），理由见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是学会正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，解题时注意一些题目虽然图形发生变化，但是证明思路和方法是类似的． （1）设，则，延长到点，使，连接，证明，即可解答； （2）延长到点，使，连接，证明，，即可解答； （3）在上截取，连接，同理得，，即可解答． 【详解】解：（1），理由如下： 设，则， 如图1，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）三条线段间的数量关系为：，理由如下： 如图2，延长到点，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： 如图3，在上截取，连接， 同理得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 30．问题背景： 如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______． 实际应用： 如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF． 【答案】问题背景：EF＝BE＋FD；实际应用：两凉亭之间的距离EF为25米 【分析】（1）根据△ABE≌△ADG可得BE=DG，根据△AEF≌△AGF得EF=GF，进而求得结果； （2）延长CD至H，使DH=BE，可证得△ADH≌△ABE，进而证得△FAH≌△FAE，进一步求得EF． 【详解】解：问题背景：∵∠ADC=90°，∠ADC+∠ADG=180°， ∴∠ADG=90°， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE=AG，∠BAE=∠DAG， ∵∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴∠BAE+DAF=120°-60°=60°， ∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=60°=∠EAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FG， ∵FG=DG+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； 实际应用：如图2，延长CD至H，使DH=BE，连接AH， ∵∠B+∠ADC=180°，∠ADH+∠ADC=180°， ∴∠ADH=∠B， 在△ADH和△ABE中， ， ∴△ADH≌△ABE（SAS）， ∴AE=AH，∠BAE=∠DAH， ∵∠EAF=∠BAD， ∴∠HAF=∠DAH+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF， 在△AEF和△AHF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=FH， ∵FH=DH+DF=BE+DF， ∴EF=BE+DF， ∵BE=10米，DF=15米，   ∴EF=10+15=25（米）． 【点睛】本题主要考查的是四边形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形并两次证全等是解题的关键． 31．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是______________； 探究延伸：如图2，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由． 实际应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离． 【答案】问题背景：；探究延伸：成立，理由见解析；实际应用：210海里 【分析】问题背景：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，即可得出结论：EF=AE+CF； 探究延伸1：延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF； 探究延伸2：延长DC到H，使得CH=AE，连接BH，先证明△BCH≌△BAE，即可得到BE=HB，∠ABE=∠HBC，再证明△HBF≌△EBF，即可得出EF=HF=HC+CF=AE+CF； 实际应用：连接EF，延长BF交AE的延长线于G，根据题意可转化为如下的数学问题：在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长．再根据探究延伸2的结论：EF=AE+BF，即可得到两舰艇之间的距离． 【详解】解：问题背景： 如图1，延长FC到G，使CG=AE，连接BG，先证明△BCG≌△BAE，再证明△BFG≌△BFE，可得出结论：EF=AE+CF； 故答案为：EF=AE+CF； 探究延伸1： 上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由如下： 如图2，延长FC到G，使CG=AE，连接BG， ∵CG=AE，∠BCG=∠A=90°，BC=BA， ∴△BCG≌△BAE（SAS）， ∴BG=BE，∠ABE=∠CBG， ∵∠ABC=2∠EBF， ∴∠ABE+∠CBF=∠EBF， 即∠CBG+∠CBF=∠EBF， ∴∠GBF=∠EBF， 又∵BF=BF， ∴△BFG≌△BFE（SAS）， ∴GF=EF， 即GC+CF=EF， ∴AE+CF=EF ∴可得出结论：EF=AE+CF； 探究延伸2： 上述结论仍然成立，即EF=AE+CF，理由： 如图3，延长DC到H，使得CH=AE，连接BH， ∵∠BAD+∠BCD=180°，∠BCH+∠BCD=180°， ∴∠BCH=∠BAE， ∵BA=BC，CH=AE， ∴△BCH≌△BAE（SAS）， ∴BE=HB，∠ABE=∠HBC， ∴∠HBE=∠ABC， 又∵∠ABC=2∠MBN， ∴∠EBF=∠HBF， ∵BF=BF， ∴△HBF≌△EBF（SAS）， ∴EF=HF=HC+CF=AE+CF； 实际应用： 如图4，连接EF，延长BF交AE的延长线于G， 因为舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处．舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，所以∠AOB=140°， 因为指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70°，所以∠EOF=70°，所以∠AOB=2∠EOF． 依题意得，OA=OB，∠A=60°，∠B=120°，所以∠A+∠B=180°， 因此本题的实际的应用可转化为如下的数学问题： 在四边形GAOB中，OA=OB，∠A+∠B=180°，∠AOB=2∠EOF，∠EOF的两边分别交AG，BG于E，F，求EF的长． 根据探究延伸2的结论可得：EF=AE+BF， 根据题意得，AE=75×1.2=90（海里），BF=100×1.2=120（海里）， 所以EF=90+120=210（海里）． 答：此时两舰艇之间的距离为210海里． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线构造全等三角形，解答时注意类比思想的灵活应用． 32．如图，在四边形中，，，分别是，上的点，连接，，． （1）如图①，，，．求证：；          （2）如图②，，当周长最小时，求的度数； （3）如图③，若四边形为正方形，点、分别在边、上，且，若，，请求出线段的长度． 【答案】（1）见解析；（2） ；（3）． 【分析】（1）延长到点G,使，连接，首先证明，则有，，然后利用角度之间的关系得出，进而可证明，则，则结论可证； （2）分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点，根据轴对称的性质有，，当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值，然后利用求解即可； （3）旋转至的位置，首先证明，则有，最后利用求解即可． 【详解】（1）证明：如解图①，延长到点，使，连接， 在和中， ． ，， ，， ． ， 在和中， ． ，； （2）解：如解图，分别作点A关于和的对称点，，连接，交于点，交于点． 由对称的性质可得，， 此时的周长为． 当点、、、在同一条直线上时，即为周长的最小值． ， ． ，， ； （3）解：如解图，旋转至的位置， ， ， ． 在和中， ． ． ． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 题型七：倍长中线法 33．老师在某节数学课上提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围．某小组经过组内合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长中线至点Q，使得； ②连接，把集中在中； ③利用三角形的三边关系，可得． 请根据该小组的方法思考，回答下列问题： (1)直接写出的取值范围是___________； (2)解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑“倍长中线”，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 如图2，是的中线，，，，用等式表示和的数量关系并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等腰直角三角形，关键是“倍长中线”，构造全等三角形． （1）延长中线至点Q，使；连接，得到，判定，推出，由三角形三边关系定理得，即可得到， （2）延长到K，使，连接，得到，判定，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1，延长中线至点Q，使；连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由三角形三边关系定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图2，，理由如下： 延长到K，使，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 34．【教材呈现】如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．学了这个知识后，小明遇到这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围． 【尝试感悟】小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，请完成证明“”的推理过程． （1）求证：． （2）求的取值范围． 【问题解决】 （3）如图3，在中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）6 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． （1）延长到点，使，连接，先根据线段中点的定义可得，再利用定理即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，再根据三角形的三边关系可得，由此即可得； （3）延长，交的延长线于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再证出垂直平分，根据线段垂直平分线的性质即可得． 【详解】（1）证明：如图，延长到点，使，连接， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）已证：， ∴， 在中，，即， ∴， 又∵， ∴， ∴． （3）解：如图，延长，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵，，即， ∴垂直平分， ∴． 35．已知：在中，是的中点． 【问题解决】 （1）如图1，若，，求的取值范围． 小明的做法是：延长至点，使，连接，证明，小明判定全等的依据为：______． 【类比探究】 （2）如图2，在的延长线上存在点，，，求证：． 【变式迁移】 （3）如图3，，，，试探究线段与的关系，并证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，倍长中线法，三角形的三边关系等知识；正确作出辅助线并证明三角形全等是解决问题的关键． （1）利用证明； （2）延长到，使，连接，根据证，推出，根据，推出，根据全等三角形的判定与性质求出即可． （3）在的延长线上截取，连接，则，先证明得到和，进一步证明、和，再证明得到和，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴，其中判定全等的依据为， 故答案为：； （2）解：延长到E，使，连接， ∵是的中点， ， 在和中 ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：， 证明如下： 如图，在的延长线上截取，连接， 则， ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 36．【问题情境】 课外数学兴趣小组活动时，老师提出了如下何题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接，请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，依据是__________． A．           B．           C．         D． (2)由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是__________． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【初步运用】 (3)如图②，是的中线，交于E，交于F，且．若，，求线段的长． 【拓展提升】 (4)如图③，在中，D为的中点，分别交于点E，F．求证：． 【答案】(1)B (2) (3)8 (4)见解析 【分析】（1）利用证明； （2）利用三角形的三边关系进行求解即可； （3）延长到M，使，连接，证明，推出为等腰三角形，得到，即可得解； （4）延长到点G，使，连接，易得，证明，得到，在中，，即可得出结论． 【详解】（1）解：在和中 ， ∴， 故选：B； （2）由（1）得：， ∴， 在中，，即， ∴， 故答案是：； （3）延长到M，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）解： 延长到点G，使，连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的三边关系．熟练掌握倍长中线法，证明三角形全等，是解题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$