专题1.2 定义与命题（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题1.2 定义，命题与证明 教学目标 1. 深化对定义的理解，能更精准地识别定义、给概念下规范定义，明确定义在数学推理中的基础作用。​ 2. 巩固命题相关知识，熟练判断语句是否为命题，准确区分命题的题设与结论，熟练将命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式，能快速判断命题真假。​ 3. 理解证明的概念，知道证明是从已知条件出发，依据定义、公理、定理等，通过推理得出结论的过程；掌握证明的基本格式和步骤，能进行简单命题的证明。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解定义、命题和证明的概念，能准确把握三者之间的联系，即证明以定义和命题为基础，命题的正确性需通过证明来确认。​ （2）掌握证明的基本格式和步骤，能运用已学的定义、公理、定理等对简单命题进行规范证明，这是逻辑推理能力培养的核心。 2.难点 （1）构建证明的思路，从已知条件出发，找到通往结论的推理路径，尤其对于稍复杂的命题，学生容易在推理过程中出现逻辑断层。​ （2（理解证明的严谨性，确保每一步推理都有依据，避免出现 “想当然” 的推理错误；同时，在证明过程中准确使用数学语言表述推理过程也存在难度。​ （3）综合运用定义、命题知识解决与证明相关的综合性问题，如根据证明需求补充命题条件、判断证明过程的正确性等 知识点01 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 【即学即练】 1．下列语句不是命题的是（   ） A．如果，那么 B．等角的补角相等 C．过点作直线的垂线 D．两个锐角的和是钝角 【答案】C 【分析】本题考查了命题，判断一件事情的语句是命题，据此判断即可求解，理解命题的定义是解题的关键． 【详解】解：、如果，那么，该选项语句是命题，不合题意； 、等角的补角相等，该选项语句是命题，不合题意； 、过点作直线的垂线，该选项语句不是命题，符合题意； 、两个锐角的和是钝角，该选项语句是命题，不合题意； 故选：． 知识点02 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 【即学即练】 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．若，则 B．两直线平行，内错角相等 C．对顶角相等 D．无理数是无限小数 【答案】A 【分析】本题考查了判断命题的真假，熟记相关结论即可． 【详解】解：A：时，与可能相等或互为相反数，故A是假命题；符合题意； B：两直线平行，内错角相等，故B是真命题；不符合题意； C：对顶角相等，故C是真命题；不符合题意； D：无理数的定义为无限不循环小数，因此所有无理数都是无限小数，故D是真命题；不符合题意； 故选：A 知识点03 定理 如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【即学即练】 1.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E， (1)若，，求的度数． (2)探究，，的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查的是三角形外角的性质及三角形内角和定理，角平分线的性质；熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键. （1）先根据三角形外角的性质得出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，由三角形内角和定理即可得出结论； （2）先由三角形外角的性质得出，故可得出，再由即可得出结论； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 平分， ∴， ， ； （2）解：，理由： ，， ， ， ， ； 题型01判断是否为命题 【典例1】下列属于命题的是（   ） A．请你把书递过来！ B．你早餐吃的什么？ C．连接两点 D．是一个负数 【答案】D 【分析】本题考查了命题，熟记定义是解题关键．命题的核心是“判断”，是对事物的某些情况作出肯定或者否定的回答． 根据命题是指一个能够判断真假的陈述句，逐项判断即可得． 【详解】解：A、请你把书递过来！不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； B、你早餐吃的什么？不是对事情事物的判断，不是陈述句，故不是命题，不符合题意； C、连接、两点，不是对事情事物的判断，故不是命题，不符合题意； D、是一个负数，是命题，则此项符合题意； 故选：D． 【变式1】下列语句是命题的是（   ） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．保护视力 D．第一考场 【答案】B 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、你昨天锻炼身体了吗？，不是命题，本选项不符合题意； B、数学是自然科学的基础，是命题，本选项符合题意； C、保护视力，不是命题，本选项不符合题意； D、第一考场，不是命题，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【答案】D 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一件事情的语句，叫做命题． 根据命题的概念判断即可． 【详解】解：A、画线段，没有做出判断，不是命题，不符合题意； B、内错角相等吗，没有做出判断，不是命题，不符合题意； C、用量角器画∠，没有做出判断，不是命题，不符合题意； D、对顶角相等，做出了判断，是命题，符合题意． 故选：D． 【变式3】下列语句中，是命题的是（　　） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线外一点，作直线 D．与相交，则与也相交 【答案】B 【分析】根据命题的定义进行判断即可． 【详解】解：A、在同一平面内两条直线不平行就相交，不是命题，故选项不符合题意； B、邻补角的角平分线互相垂直，是命题，故选项符合题意； C、过直线外一点，作直线，不是命题，故选项不符合题意； D、与相交，则与也相交，不是命题，故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了命题，熟练掌握“表示判断的语句叫做命题”是解题的关键． 题型02写出命题的题设与结论 【典例2】将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【答案】如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 【分析】本题主要考查的知识点是如何将原命题写成条件与结论的形式，“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是条件的结论，解题关键是找到命题中相应的条件和结论．命题中的条件是一个三角形中一边大于另一边，放在“如果”的后面，结论是该边所对的角大于另一边所对的角，应放在“那么”的后面． 【详解】解：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角 故答案为：如果一个三角形中一边大于另一边，那么该边所对的角大于另一边所对的角． 【变式1】把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【分析】本题考查了把一个命题写成“如果⋯那么⋯”的形式，命题中的条件是两个角相等，放在“如果”的后面，结论是这两个角的补角相等，应放在“那么”的后面即可． 【详解】解：把命题“对顶角相等”改写成“如果⋯那么⋯”的形式为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 【变式2】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 三个角是三角形的内角 它们的和等于 【分析】本题考查了命题，根据命题的题设和结论写出即可，找出命题的题设和结论是解题的关键． 【详解】解：把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于， 故答案为：三个角是三角形的内角，它们的和等于． 【变式3】把命题“无限小数是无理数”写成“如果……，那么……．”的形式为 ． 【答案】如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数 【分析】本题考查的是命题的概念，命题写成“如果……，那么……”的形式，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面接的部分是结论．先分清命题“无限小数是无理数”的题设与结论，然后写成“如果……，那么……”的形式． 【详解】解：把命题“无限小数是无理数”写成“如果……，那么……．”的形式为：如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数． 故答案为：如果一个数是无限小数，那么这个数是无理数． 题型03判断命题的真假 【典例3】下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①内错角相等；②一个角和另一个角的两边分别平行，则两个角的角度相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了假命题的判断，邻补角的定义，对顶角性质，平行公理，点到直线的距离，根据错误的命题是假命题，对顶角相等，平行于同一条直线的两条直线平行，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离等内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：①两直线平行，则内错角相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ②一个角和另一个角的两边分别平行，则两角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； ③平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，故该选项符合题意； ④直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，故该选项不符合题意； 综上，真命题仅有③，共1个； 故选：A． 【变式1】下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．一条线段有且仅有一条垂直平分线 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题真假的判断， 根据“正确的命题是真命题”逐一分析各选项是否为真命题，即可解答． 【详解】解：A. 相等的角不一定是对顶角，例如平行线中的同位角相等，但它们不是对顶角，所以A不是真命题； B. 只有当两直线平行时，同位角才相等，题中未说明平行，所以B不是真命题； C. 面积相等的三角形不一定全等，例如底和高不同但面积相等的三角形，所以C不是真命题； D. 线段的垂直平分线过中点且垂直，由几何公理可知其唯一存在，所以D是真命题． 故选：D． 【变式2】命题“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了命题的真假.直接根据平行线的判定和性质作答即可 【详解】解：命题“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”是真命题. 故答案为：真. 【变式3】内错角相等是 （“真”或“假”）命题； 【答案】假 【分析】利用平行线的性质，对命题进行判断即可得出答案． 本题考查了平行线的性质和命题的真假，解本题的关键在熟练掌握平行线的判定定理． 【详解】解：∵两直线平行，内错角相等， ∴“内错角相等”是假命题． 故答案为：假． 题型04举例说明真(假)命题 【典例4】要判断命题“如果，那么”是假命题，举出的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了举反例判断假命题．根据只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题，解答即可． 【详解】解：A、若，则，不满足条件，故本选项不符合题意； B、若，则，不满足条件，故本选项不符合题意； C、若，则，此时，满足条件，但结论不成立，故本选项符合题意； D、若，则，此时，满足条件，结论成立，故本选项不符合题意； 【变式1】对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查假命题的判断，举反例是说明假命题不成立的常用方法，但需要注意所举反例需要满足命题的题设，但结论不成立．说明命题为假命题，即、的值满足，但不成立，把四个选项中的、的值分别代入验证即可． 【详解】解：当，时，，而成立，故A选项不符合题意； 当，时，，而成立，故B选项不符合题意； 当，时，，但不成立，故C选项符合题意； 当，时，不成立，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了假命题，反例，理解并掌握反例的验证方法是关键．根据题意，分别验证即可求解． 【详解】解：A、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； B、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； C、是两个锐角，是钝角，故两个锐角的和一定是钝角为真命题，不是反例，不符合题意； D、是两个锐角，是锐角，故两个锐角的和一定是钝角为假命题，是反例，符合题意； 故选：D ． 【变式3】下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了假命题，判断一个命题是假命题，只要举的反例满足：符合命题的条件，但不符合命题的结论，即可说明命题是假命题；根据四个选项中的k值进行判断即可． 【详解】解：A、不是偶数，不符合命题条件，故不是举反例； B、是偶数，符合命题条件，但2不是4的倍数，不符合命题结论，故是反例； 选项C与D，k的值既符合命题条件，也符合命题结论，故不是反例； 故选：B． 题型05证明的综合 【典例5】如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的中线、三角形的角平分线、三角形的高、三角形的内角和定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先根据三角形的面积公式以及已知条件求得，再根据三角形中线的定义即可解答； （2）根据三角形的高、三角形内角和定理可得，再根据三角形外角的性质可得，即；再根据角平分线的定义可得，最后根据三角形内角和的定理即可解答． 【详解】（1）解：是边上的高，，的面积为20， ， ． 是边上的中点， ． （2）解：是边上的高，， ． ，且， ， 平分， ． ． 【变式1】如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角性质，三角形的内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平行线的性质得出，，进而得出，即可求证； （2）先求出，再得出，则把数值代入进行计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴． ∴， ∴平分； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）得 ∴． 【变式2】如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、平角的定义，根据平角的定义可得：，又因为，可证，根据，可得，根据外角的性质可得：，从而可证结论成立． 【详解】证明：，， ， ， ， 是的外角， ， ． 【变式3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数． (2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过P作，利用平行线的性质，等量代换证明即可； （2）利用平行线的性质，三角形外角性质，等量代换证明即可； （3）利用三角形外角性质，等量代换证明即可． 本题考查了平行线的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P作， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：如图， ∵， ∴， ∴． （3）解：、、、之间的数量关系为：． 连接并延长到点G， 根据题意，得，，，， 故． 一．选择题 1.下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果b＜a，那么a＞b B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．反向延长射线MN 【答案】D 【分析】根据命题的定义一一判断即可． 【详解】解：A、如果b＜a，那么a＞b，是命题，本选项不符合题意； B、同旁内角互补，是命题，本选项不符合题意； C、垂线段最短，是命题，本选项不符合题意； D、反向延长射线MN，不是命题，本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查命题与定理，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2.能说明命题“对于任何实数，”，是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理有关知识，反例就是符合已知条件但不满足结论的例子，可据此判断出正确的选项．根据“对于任何实数a，”成立的条件是即可得出答案． 【详解】解：∵，即此时不满足， ∴能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是， 故选：D． 3.关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　） A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角” 【答案】B 【分析】本题考查命题，根据命题的定义，以及邻补角，对顶角的定义，进行判断即可． 【详解】解：同一个角的两个邻补角是对顶角是真命题，题设是两个角是同一个角的邻补角， 故选B． 4.要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】作为反例，要满足条件但不能得到结论，然后根据这个要求对各选项进行判断． 【详解】解：A、a＝3，b＝2满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意； B、a＝﹣1，b＝﹣2满足a＞b，但a2＜b2，能作为反例，故符合题意； C、a＝﹣2，b＝﹣1不满足a＞b，不能作为反例，故不符合题意； D、a＝2，b＝﹣1满足a＞b，a2＞b2，不能作为反例，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了命题和反例，熟练掌握反例的意义是解题的关键． 5.下列命题不正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．三角形内角和为180° 【答案】A 【分析】根据直角三角形两锐角互余可直接进行判断． 【详解】解：A、直角三角形的两个锐角互补，是假命题，符合题意； B、两点确定一条直线，是真命题，不符合题意； C、两点之间线段最短，是真命题，不符合题意； D、三角形内角和为，是真命题，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了假命题的判断，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 6.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形外角的性质． 先利用三角形外角的性质得到，再利用三角形外角的性质求得，代入求出即可． 【详解】解：延长交于点E， 是的一个外角， ， ， ， 是的一个外角， ， ，， ， ， 解得：， 故选：B． 7.已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 【答案】C 【分析】根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到“三角形的内角和是”这一隐含的条件． 8.如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 9.如图，已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形外角性质，平行线的性质的应用，解此题的关键是求出的度数，注意：两直线平行，同位角相等． 延长交于F，根据平行线的性质求出，求出，根据三角形外角性质得出． 【详解】解：延长交于F，如图所示： ∵， ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：D． 2、 填空题 10.将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 【答案】如果两直线平行，那么同位角相等 【分析】本题考查了命题的改写，如果部分是命题的题设，那么部分是命题的结论；命题“两直线平行，同位角相等”中，“两直线平行”是命题的题设， “同位角相等”是命题的结论，据此改写即可． 【详解】解：如果两直线平行，那么同位角相等； 故答案为：如果两直线平行，那么同位角相等． 11.能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可． 【详解】解：证明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是：，， 故答案为：，（答案不唯一）． 3、 解答题 12.如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，． (1)若，，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的数量关系． （1）先根据对顶角的性质和已知条件证明，再根据平行线的性质证明，然后利用三角形外角的定义及性质求出即可； （2）先根据（1）中证明的，然利用平行线的性质求证，最后利用已知条件证明，最后根据平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）可知， ∴， ∵， ∴， ∴． 13.如图，直线，，平分，交的延长线与E. (1)若，，求的度数； (2)求证：. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，对顶角相等，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据角平分线的定义以及三角形外角性质得到，即可求解； （2）设，设，由三角形外角性质得到，根据平行得到，由三角形内角和定理得到，那么，即可证明． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图： 设， ∵平分， ∴， 设， ∵ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14.如图，两个外角的平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，熟练掌握三角形的内角和定理，是解题的关键： （1）三角形的内角和定理，求出的度数，根据外角的定义结合角平分线的定义，求出的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可； （2）同法（1）进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵两个外角的平分线交于点P， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，； （2）由（1）可知：， ∴当时，． 15.如图，，点E是的延长线上的一点，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用等式的性质可得，再利用平行线的性质可得，从而可得，然后利用等量代换可得，从而利用内错角相等，两直线平行可得，即可解答； （2）利用平行线的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，进而可得，然后利用三角形的外角性质进行计算即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∴的度数为． 16.如图，在中，点，分别在边，上，，，与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及三角形外角的性质，解题的关键是： （）由三角形内角和定理可得，进而可得，再根据三角形内角和定理计算即可求解； （）根据三角形内角和定理并结合已知可得，然后结合即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 定义，命题与证明 教学目标 1. 深化对定义的理解，能更精准地识别定义、给概念下规范定义，明确定义在数学推理中的基础作用。​ 2. 巩固命题相关知识，熟练判断语句是否为命题，准确区分命题的题设与结论，熟练将命题改写成 “如果…… 那么……” 的形式，能快速判断命题真假。​ 3. 理解证明的概念，知道证明是从已知条件出发，依据定义、公理、定理等，通过推理得出结论的过程；掌握证明的基本格式和步骤，能进行简单命题的证明。 教学重难点 1.重点 （1）清晰理解定义、命题和证明的概念，能准确把握三者之间的联系，即证明以定义和命题为基础，命题的正确性需通过证明来确认。​ （2）掌握证明的基本格式和步骤，能运用已学的定义、公理、定理等对简单命题进行规范证明，这是逻辑推理能力培养的核心。 2.难点 （1）构建证明的思路，从已知条件出发，找到通往结论的推理路径，尤其对于稍复杂的命题，学生容易在推理过程中出现逻辑断层。​ （2（理解证明的严谨性，确保每一步推理都有依据，避免出现 “想当然” 的推理错误；同时，在证明过程中准确使用数学语言表述推理过程也存在难度。​ （3）综合运用定义、命题知识解决与证明相关的综合性问题，如根据证明需求补充命题条件、判断证明过程的正确性等 知识点01 定义与命题 1．一般地，对某一名称或术语进行描述或作出规定就叫做该名称或术语的定义． 2．判断一件事情的语句叫做命题． 3．命题的组成：命题是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 4．命题的表达形式：命题可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后接的部分是题设，“那么”后接的部分是结论． 【即学即练】 1．下列语句不是命题的是（   ） A．如果，那么 B．等角的补角相等 C．过点作直线的垂线 D．两个锐角的和是钝角 知识点02 真命题和假命题 1．正确的命题叫做真命题． 2．要说明一个命题是正确的，需要根据命题的题设和已学的有关公理、定理进行说明（推理、证明）． 3．要说明一个命题是假命题，只需举一个反例即可． 【即学即练】 1．下列命题中，是假命题的是（    ） A．若，则 B．两直线平行，内错角相等 C．对顶角相等 D．无理数是无限小数 知识点03 定理 如果一个命题可以从公理或其他命题出发，用逻辑推理的方法判断它是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫做定理． 【即学即练】 1.如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E， (1)若，，求的度数． (2)探究，，的关系，并说明理由． 题型01判断是否为命题 【典例1】下列属于命题的是（   ） A．请你把书递过来！ B．你早餐吃的什么？ C．连接两点 D．是一个负数 【变式1】下列语句是命题的是（   ） A．你昨天锻炼身体了吗？ B．数学是自然科学的基础 C．保护视力 D．第一考场 【变式2】下列语句是命题的是（　　） A．画线段 B．内错角相等吗 C．用量角器画 D．对顶角相等 【变式3】下列语句中，是命题的是（　　） A．在同一平面内两条直线不平行就相交 B．邻补角的角平分线互相垂直 C．过直线外一点，作直线 D．与相交，则与也相交 题型02写出命题的题设与结论 【典例2】将命题“在三角形中，大边对大角”改写成“如果……，那么……”的形式是 ． 【变式1】把“对顶角相等”，改写成“如果……那么……”的形式 【变式2】把命题“三角形的内角和等于”改写成“如果那么”的形式：如果 ，那么 ． 【变式3】把命题“无限小数是无理数”写成“如果……，那么……．”的形式为 ． 题型03判断命题的真假 【典例3】下列四个命题，其中真命题的个数是（   ） ①内错角相等；②一个角和另一个角的两边分别平行，则两个角的角度相等；③平行于同一条直线的两条直线平行；④直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】下列命题中，真命题是（    ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 C．面积相等的两个三角形是全等三角形 D．一条线段有且仅有一条垂直平分线 【变式2】命题“在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行”是 命题（填“真”或“假”） 【变式3】内错角相等是 （“真”或“假”）命题； 题型04举例说明真(假)命题 【典例4】要判断命题“如果，那么”是假命题，举出的反例可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1】对于命题“若，则”，下列能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式2】能说明命题“两个锐角的和一定是钝角”是假命题的反例是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下面四个k值，能说明命题“对于任意偶数k，都是4的倍数”是假命题的反例是（  ） A． B． C． D． 题型05证明的综合 【典例5】如图，在中，是边上的高，平分，F是边上的中点． (1)若，的面积为20，求的长． (2)若，求的度数． 【变式1】如图，中，分别在，上．已知，，． (1)求证：平分； (2)过点作的平分线交于点，若，求的度数． 【变式2】如图，点、、、分别在线段、、上，，．求证：． 【变式3】平面内的两条直线有相交和平行两种位置关系． (1)如图1，若，点P在、内部，，，求的度数． (2)如图2，将点P移到、外部，则、、之间有何数量关系？请证明你的结论． (3)如图3，直接写出、、、之间的数量关系．（不需证明） 一．选择题 1.下列语句中，不是命题的是（    ） A．如果b＜a，那么a＞b B．同旁内角互补 C．垂线段最短 D．反向延长射线MN 2.能说明命题“对于任何实数，”，是假命题的一个反例可以是（   ） A． B． C． D． 3.关于“同一个角的两个邻补角是对顶角”，下列说法正确的是（　　） A．它不是命题 B．它是真命题 C．它是假命题 D．它的题设是“对顶角” 4.要说明命题“若，则”是假命题，下列a，b的值能作为反例的是（    ） A．， B．， C．， D．， 5.下列命题不正确的是（    ） A．直角三角形的两个锐角互补 B．两点确定一条直线 C．两点之间线段最短 D．三角形内角和为180° 6.如图是一个“燕尾形”，已知，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7.已知中，，则图中的度数为（    ） A．180° B．220° C．230° D．240° 8.如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 9.如图，已知，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 10.将命题“两直线平行，同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式为 ． 11.能说明命题“若，则”是假命题的一个反例可以是： ， ． 3、 解答题 12.如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若，． (1)若，，求的度数； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 13.如图，直线，，平分，交的延长线与E. (1)若，，求的度数； (2)求证：. 14.如图，两个外角的平分线交于点P． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 15.如图，，点E是的延长线上的一点，交于点F，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 16.如图，在中，点，分别在边，上，，，与交于点． (1)若，，求的度数； (2)若，求证：． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$