辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一数学下学期期末考试模拟卷D（必修三、必修四）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷D 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 【答案】B 【解析】∵，∴、、、…， ∴，则在复平面内对应的点位于第二象限，故选B。 2．若、是空间中两条不相交的直线，则过直线且平行于直线的平面（ ）。 A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个 D、有无数个 【答案】B 【解析】∵、是空间中两条不相交的直线，∴、只可能平行或者异面， 当、平行时，则过直线且平行于直线的平面有无数个， 当、异面时，在上取一点，过作，则、确定平面， ∴，此时过直线且平行于直线的平面有且只有一个， 故选B。 3．已知、，且，则与的夹角的余弦值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵，∴，又∵，∴，∴， ∴，故选C。 4．图中的曲线对应的函数解析式可以为（ ）。   A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】A选项，的定义域为，当时，恒成立，不符合条件，错， B选项，的定义域为，当时，恒成立，不符合条件，错， C选项，的定义域为，，∴为偶函数， 当时，，当时，，符合条件，对， D选项，的定义域为，，∴为偶函数， 当时，，当时，，不符合条件，错， 故选C。 5．如图所示，在等腰中，、，点是边上的动点，则的值（ ）。 A、为定值 B、为定值 C、不为定值，有最小值 D、不为定值，有最大值 【答案】B 【解析】记的中点为，∵，∴， ∴且， ∴，故选B。 6．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：、、、、、…，为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由和开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的高为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】由斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， 即接下来的圆弧对应的圆面半径为，对应的弧长是， 设圆锥底面半径为，则，解得，∴圆锥的高为，故选A。 7．如图所示，在等腰梯形中，、，圆为梯形的内切圆，并与、分别切于点、，与、分别切于点、，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为 （ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】梯形以所在直线为轴旋转一周形成以、分别为上下底面直径的圆台， 该圆台的上底面半径为、下底面半径为， 由圆与梯形相切可得，圆台的高， 则圆台的体积， 圆以所在直线为轴旋转一周形成球，得球的半径， 则球的体积为， ∴图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为，故选C。 8．已知四边形的顶点都在半径为的圆上，且经过圆的圆心，，，四边形的面积为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】连接、，则为等边三角形，， 四边形的面积为 ， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴或， ∴或，∵，∴舍去，∴， ∴为等腰直角三角形，∴，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知锐角、满足：且，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】ABD 【解析】A选项，由得，即， ∴，即， ∵、，∴，∴或， 当时，，不符合题意，舍去， 当时，，符合题意，可取， ∴，对， B选项，由得，即， ∴，∴，对， C选项，由A选项、B选项得， ∴，∴，错 D选项，由C选项得，对， 故选ABD。 10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）。 A、，频率为，初相为 B、函数的图像关于直线轴对称 C、函数在内的值域为 D、若函数在内恰有个零点，则实数的取值范围为 【答案】BD 【解析】由函数图像可知，，，∴， 令（），解得（），又，∴， ∴， A选项，，，，频率为，初相为，错， B选项，令（），解得（）， ∴的对称轴为（）， 当时，，∴的图像关于直线轴对称，对， C选项，当时，，∴， ∴在内的值域为，错， D选项，当时，，∵在内恰有个零点， ∴，解得，∴实数的取值范围为，对， 故选BD。 11．如图所示，正方体的棱长为，点为棱的中点，点为棱上的动点，过点、、的平面截该正方体所得截面记为截面，则下列命题正确的是（ ）。 A、直线与直线所成角的正切值为 B、当时，截面为等腰梯形 C、当时，截面与交于点，则 D、当时，截面为五边形 【答案】BCD 【解析】A选项，∵，∴与直线所成角为，∴，错， B选项，当时，点为棱的中点，此时， 、， 则截面为等腰梯形，对， C选项，当时，连接并延长交延长线于， 直线交于， ∵，∴， ∵点为棱的中点，∴， ∴，∴，对， D选项，当时，连接并延长交延长线于，直线交于， 交延长线于点，连接交于点，连接、， 则截面为五边形，对， 故选BCD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．若、（），且角的终边不落在坐标轴上，则 。 【答案】 【解析】∵，∴，∴或， 当时，不符合题意，舍去， 当时，，，。 13．如图所示，在四边形中，、分别在边、上，、，、， 与的夹角为，则 。 【答案】 【解析】∵、，∴， ∵，∴， 由上面两式相加得，即， 又∵、，与的夹角为，∴， ∴。 14．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动。已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，满足，平面， ，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 。 【答案】 【解析】取的中点，过作，交于点， 则，即为中点， ∵平面，∴平面， ∵，∴，∴，∴， ∴就是三棱锥的外接球的球心，为外接球的半径， ∵，∴， 又，当且仅当时等号成立，此时， ∴外接球的半径，∴， ∴该“鞠”的体积最小值为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数（，）。从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定。 （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的值域与单调递减区间。 条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为。 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 【解析】（1）为奇函数，②不能选， 选①③：∵的最大值为，∴，∴， ∵，∴，的值不唯一，不能选。 选①④：∵的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴，即， 2分 ∴，∵，∴，解得， 4分 ∴； 5分 选③④：∵的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，∴，即， 2分 ∴，∵，∴，解得， 4分 ∴； 5分 （2）由（1）可知，， 7分 ∵，∴，∴，∴的值域为， 9分 令（），解得（）， ∴在内的单调递减区间为。 13分 16．（本小题满分分）如图所示，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面， ，二面角的大小为，点为棱的中点。 （1）证明：； （2）点在棱上，直线平面，求直线与直线所成角的余弦值。 【解析】（1）∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面， ∵、平面，∴、， ∴、，就是二面角的平面角，∴， 3分 连接，∵点为棱的中点，∴、，∴， 又，，、平面，∴平面， ∵平面，∴； 6分 （2）解法1：设，则，∴， 7分 连接，交于点，连接，交于点，连， ∵平面平面，平面，平面，∴， ∴直线与直线所成角等于直线与直线所成角， 10分 ∵为中点，∴为中点，∴， 在中，、， ∴， ∴直线与直线所成角的余弦值为。 15分 解法2；设，则，∴， 7分 取中点，连接，交于点，则， 连接，交于点，连接， ∵平面平面，平面，平面，∴， 与所成角等于直线与直线所成角， 10分 在正方形中，、， ∴，∴， 在中，，，， 由余弦定理，∴， 在中，， ∴直线与直线所成角的余弦值为。 15分 17．（本小题满分分）已知函数，。 （1）当时，求的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）当时，， 2分 ∴； 3分 （2）设，∵，∴，∴， ∴原函数可化为， 为开口向下的二次函数，定义域为，对称轴为， 6分 当时，即时，，解得， 当时，即时，，解得， 综上所述，或； 8分 （3）由（2）可知，当时，，∴， ∵对恒成立， ∴对恒成立， ∵，∴对任意恒成立， 11分 ∵在内单调递增，∴， ∴，∴存在符合条件的实数，且实数的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）如图所示，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，且、，点是圆柱底面圆周上的点。 （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）证明：平面平面； （3）若点是线段的中点，点在线段上，求的最小值。 【解析】（1）∵圆柱的底面半径，高， ∴圆柱的侧面积、圆柱的上、下底面积为， 3分 ∴圆柱的表面积； 4分 由题意可知，，又、， ∴，∴， 6分 ∴三棱锥的体积； 7分 （2）由题意可知，平面，又∵平面，∴， 8分 ∵，、平面，∴平面， 9分 ∵平面，∴平面平面； 10分 （3）将绕着旋转到使其与平面共面，且在的反向延长线上， 当、、三点共线时，取得最小值为， 14分 ∵、，∴，，， 15分 ∴在中，由余弦定理得 ，∴，即的最小值等于。 17分 19．（本小题满分分）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且满足 。 （1）求； （2）若，求的取值范围。 【解析】（1）在中，，、、， ∵，∴， ∵，∴， 2分 由正弦定理得：， 3分 ∵，∴， ∵，∴，∵，∴； 5分 （2）由正弦定理得：、， 6分 ∴ ， 10分 ∵是锐角三角形，，∴，即， ∴，∴，∴， 13分 令，则原式可化为，定义域为， 由二次函数图象可知，在内单调递增，在内单调递减， 、、，∴的值域为， 16分 ∴的取值范围为。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷D 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）。 A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 2．若、是空间中两条不相交的直线，则过直线且平行于直线的平面（ ）。 A、有且仅有一个 B、至少有一个 C、至多有一个 D、有无数个 3．已知、，且，则与的夹角的余弦值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．图中的曲线对应的函数解析式可以为（ ）。   A、 B、 C、 D、 5．如图所示，在等腰中，、，点是边上的动点，则的值（ ）。 A、为定值 B、为定值 C、不为定值，有最小值 D、不为定值，有最大值 6．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数：、、、、、…，为边的正方形拼成长方形（斐波那契数列由和开始，之后的数就是由之前的两数相加而得出），然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线.自然界存在很多斐波拉契螺旋线的图案，例如向日葵、鹦鹉螺等，如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所对应的扇形做圆锥的侧面则该圆锥的高为（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．如图所示，在等腰梯形中，、，圆为梯形的内切圆，并与、分别切于点、，与、分别切于点、，则图中阴影部分以所在直线为轴旋转一周所形成的几何体的体积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知四边形的顶点都在半径为的圆上，且经过圆的圆心，，，四边形的面积为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知锐角、满足：且，则下列结论正确的 是（ ）。 A、 B、 C、 D、 10．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”。在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图像如图所示，则下列说法中正确的是（ ）。 A、，频率为，初相为 B、函数的图像关于直线轴对称 C、函数在内的值域为 D、若函数在内恰有个零点，则实数的取值范围为 11．如图所示，正方体的棱长为，点为棱的中点，点为棱上的动点，过点、、的平面截该正方体所得截面记为截面，则下列命题正确的是（ ）。 A、直线与直线所成角的正切值为 B、当时，截面为等腰梯形 C、当时，截面与交于点，则 D、当时，截面为五边形 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．若、（），且角的终边不落在坐标轴上，则 。 13．如图所示，在四边形中，、分别在边、上，、，、， 与的夹角为，则 。 14．足球起源于中国古代的蹴鞠游戏，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动。已知某鞠（球）的表面上有四个点、、、，满足，平面，，若三棱锥体积为，则该“鞠”的体积最小值为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数（，）。从下列四个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定。 （1）求函数的解析式； （2）设函数，，求函数的值域与单调递减区间。 条件①：；条件②：为偶函数；条件③：的最大值为；条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为。 注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分。 16．（本小题满分分）如图所示，平行六面体的所有棱长都相等，平面平面，，二面角的大小为，点为棱的中点。 （1）证明：； （2）点在棱上，直线平面，求直线与直线所成角的余弦值。 17．（本小题满分分）已知函数，。 （1）当时，求的值； （2）若函数的最小值为，求实数的值； （3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 18．（本小题满分分）如图所示，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，且、，点是圆柱底面圆周上的点。 （1）求圆柱的表面积和三棱锥的体积； （2）证明：平面平面； （3）若点是线段的中点，点在线段上，求的最小值。 19．（本小题满分分）在锐角中，角、、的对边分别为、、，且满足 。 （1）求； （2）若，求的取值范围。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$