辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高一数学下学期期末考试模拟卷C（必修三、必修四）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷C 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知复数满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由得，∴，故选D。 2．下列命题是真命题的是（ ）。 A、若、是空间中的两条直线，且，则 B、若直线在平面外，则 C、若平面与平面满足，则 D、正方形的直观图还是正方形 【答案】C 【解析】A选项，若、是空间中的两条直线，且，则或与是异面直线，错， B选项，若直线在平面外，则或直线与平面有唯一一个交点，错， C选项，若平面与平面满足，则，对， D选项，正方形的直观图是平行四边形，错， 故选C。 3．已知、满足且，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题意可知， ∵，∴， ∴，故选C。 4．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的（）倍，得到函数的图像。已知函数在内有两个零点，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题可知，当时，， ∵在内有两个零点，∴，解得，故选D。 5．在中，点是边的中点，且，则在上的投影向量为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵，∴为等边三角形， ∴过点作，垂足为，则点为线段的中点， ∴在上的投影向量为，与方向相同 ∵点是边的中点、点为线段的中点，∴，故选D。 6．在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环。为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与。为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，、，平分，，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设，则，设，则、， 在中，由余弦定理得， ∴，∴， 在中，为锐角，∴，∴，故选C。 7．设集合，则集合的元素个数为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】当时，，由正切函数性质知道，此时单调递增， 则集合至少有个元素，即为、、 、…、， 当时，∵正切函数关于点对称， ∴、、…、， ∴当增加时，元素与前面的重复， 当时，元素， 当时，运用正切函数的周期性知道，元素重复出现， ∴集合的元素个数为个，故选A。 8．已知菱形的边长为，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面。若、、、四点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】如图所示，取的中点，连接、， 由题意可知和均为全等的等边三角形， ∴、，且， ∵平面平面，平面平面， 平面，，∴平面，∵平面，∴， 设为球心，为的外心，为的外心， 则平面，平面，且， ∴四边形为正方形，即，又∵的外接圆半径， ∴在中，，即， ∴球的表面积为，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知某圆锥的高为，轴截面面积为，则下列判断正确的是（ ）。 A、该圆锥的母线长为 B、该圆锥的体积为 C、该圆锥的侧面积为 D、与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 【答案】AD 【解析】设该圆锥的底面半径为，则，解得， A选项，该圆锥的母线长为，对， B选项，该圆锥的体积为，错， C选项，该圆锥的侧面积为，错， D选项，与该圆锥同底等高的圆柱的体积为，对， 故选AD。 10．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、若，且有两解，则的取值范围为 C、若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D、若，且，点为的内心，则 【答案】ACD 【解析】在中，， A选项，由正弦定理得， 即，∴，对， B选项，由余弦定理得， ∵有两解，∴关于的二次方程（）有两个正实数根， ∴，解得，即的取值范围为，错， C选项，由正弦定理得， ∵为锐角三角形，∴，∴， ∴，，即的取值范围为，对， D选项，∵，∴，∵，∴， ∴由正弦定理得，即， ∴，∴， ∵，∴，即， 又∵，∴一定为锐角，∴，∴，∴、， ∴、，∴是直角三角形， ∴内切圆的半径满足，即， ∴的面积为，对， 故选ACD。 11．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法中错误的是（ ）。 A、函数在内单调递减 B、点为函数的图象的一个对称中心 C、直线为函数的图象的一条对称轴 D、函数在内单调递增 【答案】ABC 【解析】由图象知，又，∴的一个最低点为， ∴的最小正周期为，∴， 又，则，∴（）， 即（），又，∴，∴， 将函数图象上的所有点的横坐标伸长到原来的得的图象， 再把所得曲线向右平移个单位长度得，即， 令（），解得（）， ∴的单调递增区间为（）， 令（），解得（）， ∴的单调递减区间为（）， 令（），解得（），∴的对称轴为（）， 令（），解得（），∴的对称中心为（）， 当时，可知在内单调递增，在内单调递减，∴A选项错， ∵，∴点不是的图象的一个对称中心，B选项错， ∵，∴直线不是的图象的一条对称轴， C选项错， ∵在内单调递增，∴ 在内单调递增，D选项对， 故选ABC。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、是不共线的两个单位向量，则与的夹角为 。 【答案】 【解析】∵、是不共线的两个单位向量，∴，∴与的夹角为。 13．在四棱锥中，、分别为棱、棱上的点，，则下列条件可以确定直线平面 的是 。（把正确答案的序号填在横线上） ①；②；③平面；④且。 【答案】① 【解析】设点是对角线上一点，满足， 则有，平面，平面，∴直线平面， 要使直线平面，则平面平面，需使， ①，在四边形中，∵，，∴，对， ②，∵，又∵，但与不一定相等， ∴不一定是平行四边形，推不出，错， ③，∵直线平面，平面ABCD，平面平面， ∴，结合B选项分析，推不出，错， ④，结合B选项分析，推不出，错， 故填①。 14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图所示。已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点。若，则 ；若，则 。 （本小题第一个空分，第二个空分） 【答案】 【解析】设外接圆半径为，则， 由正弦定理得， 即，∵为锐角，∴， 又由题意可知点为的垂心，即，∴， ∴，设、、， 则、、， ∵，∴设、、（）， 则、、， 设、、为三角形的三条高，∵、， ∴，则， ∴， 同理可得， ∴。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，分别以、、为边长的正三角形的面积依次为、、，且。 （1）求； （2）设的平分线交于点，若，，求的长。 【解析】（1）在中，， 由题意可知，、、，则， 2分 由余弦定理得，又， ∴，∵、，∴， 4分 ∵，∴，∴，又∵，∴， 6分 （2）法一：由（1）可知，，又， ∴，∴， 8分 由余弦定理得，解得、， 10分 ∴，∴， 11分 在中，，∴。 13分 法二：由（1）可知，，整理得， 8分 由正弦定理得， 9分 又，∴，∵，∴， 10分 ∵，，∴， 11分 在中，，∴。 13分 16．（本小题满分分）已知、（）、。 （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值； （3）若，求在上的投影数量； （4）若与的夹角为钝角，则实数的取值范围。 【解析】（1）∵，，∴，解得， 2分 ∴，∴； 3分 （2）∵，，∴，解得，∴， 5分 ∴； 6分 （3）∵，∴，解得，∴， 8分 ∴在上的投影数量为； 10分 （4）∵与的夹角为钝角，则且与不反向， ∴且，解得且， 即实数的取值范围为。 15分 17．（本小题满分分）已知函数（，，）的部分图象，如图所示。 （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围。 【解析】（1）由图象可知，，周期，∴， 2分 ∴（），解得（），∵，∴， 3分 ∴， 4分 令（），解得（）， ∴的单调递增区间为（）， 5分 令（），解得（）， ∴的单调递增区间为（）； 6分 （2）由（1）可知，当时，， ∴，∴的值域为； 9分 （3）∵，∴，∴， 12分 即（）或， 解得（）或（）， 14分 又∵，∴的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）如图1，在矩形中，、，点为线段上（包括端点）的一个动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，且满足点平面。 （1）如图2，当时，点在线段上，且平面，求的值； （2）如图2，若点在平面内的射影落在线段上。 ①是否存在点，使得直线平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离。 【解析】（1）取的中点，连接、，∵，∴， 1分 又∵，∴四边形为平行四边形，∴， 2分 ∵平面，平面，∴平面， 3分 ∵平面，，、平面，∴平面平面， 4分 ∵平面平面，平面平面，∴， 5分 ∵为的中点，∴为的中点，∴； 6分 （2）①存在点，当点与点重合时，即时，平面，理由如下： 7分 当点与点重合时，，又∵平面，平面， ∴，∵，、平面，∴平面， ∵平面，∴，又∵，， 、平面，∴平面，得证； 10分 ②在矩形中作，垂足为，延长交于点，折起后得， 设，则、， 11分 ∵、，∴， ∵，∴，又∵， ∴∽，∴，即，即， ∴， 13分 ∵、，，、平面，∴平面， ∵平面，∴，∵平面，平面， ∴，∴点与点重合， 14分 ∵要使得点的射影落在线段上，∴，则，解得， 在中，，∴ ， 当且仅当，即时，三棱锥的体积取得最大值为， 16分 ∴当时，，，则为的中点， ∴点到平面的距离为。 17分 19．（本小题满分分）已知为等边三角形，、、分别是线段、、上的动点。 （1）若为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，且、。 ①求证：； ②求的最大值； （2）若，，试问当长为多少时，的长取得最大值。 【解析】（1）在中，，、、， ①∵，∴， ∴， 2分 ∴，∵，∴， 又∵、，∴，∵、，∴； 4分 ②由正弦定理得，即， 5分 ∴， 6分 ∵为锐角三角形，，则，即，解得， 8分 ∴、， 9分 ∴， 令（），∴， 当且仅当时取等号（最大值），∴的最大值为； 11分 （2）∵、，∴， ∵，∴，设，则， 13分 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， ∴ ， 其中， 15分 ∴当时，取得最大值，， ∴，解得（舍去）或（可取）， ∴当时，取得最大值。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年度下学期高一期末考试模拟卷C 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知复数满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．下列命题是真命题的是（ ）。 A、若、是空间中的两条直线，且，则 B、若直线在平面外，则 C、若平面与平面满足，则 D、正方形的直观图还是正方形 3．已知、满足且，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．将函数的图像先向右平移个单位长度，再把所得函数图像上的每个点的纵坐标不变，横坐标都变为原来的（）倍，得到函数的图像。已知函数在内有两个零点，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．在中，点是边的中点，且，则在上的投影向量为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环。为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地改造为绿化公园，并拟计划修建主干路与。为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，、，平分，，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．设集合，则集合的元素个数为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．已知菱形的边长为，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且平面平面。若、、、四点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知某圆锥的高为，轴截面面积为，则下列判断正确的是（ ）。 A、该圆锥的母线长为 B、该圆锥的体积为 C、该圆锥的侧面积为 D、与该圆锥同底等高的圆柱的体积为 10．在中，角、、的对边分别为、、，且，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、若，且有两解，则的取值范围为 C、若，且为锐角三角形，则的取值范围为 D、若，且，点为的内心，则 11．如图所示的曲线为函数（，，）的部分图象，将图象上的所有点的横坐标伸长到原来的，再将所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列说法中错误的是（ ）。 A、函数在内单调递减 B、点为函数的图象的一个对称中心 C、直线为函数的图象的一条对称轴 D、函数在内单调递增 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知、是不共线的两个单位向量，则与的夹角为 。 13．在四棱锥中，、分别为棱、棱上的点，，则下列条件可以确定直线平面的是 。（把正确答案的序号填在横线上） ①；②；③平面；④且。 14．某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧（劣弧）沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心（即三角形三条高线的交点）如图所示。已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点。若，则 ；若，则 。 （本小题第一个空分，第二个空分） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）在中，角、、的对边分别为、、，设的面积为，分别以、、为边长的正三角形的面积依次为、、，且。 （1）求； （2）设的平分线交于点，若，，求的长。 16．（本小题满分分）已知、（）、。 （1）若，求； （2）若，求与夹角的余弦值； （3）若，求在上的投影数量； （4）若与的夹角为钝角，则实数的取值范围。 17．（本小题满分分）已知函数（，，）的部分图象，如图所示。 （1）求函数的单调区间； （2）当时，求函数的值域； （3）若，求满足不等式的的取值范围。 18．（本小题满分分）如图1，在矩形中，、，点为线段上（包括端点）的一个动点，如图2，将沿着折起，使点到达点的位置，且满足点平面。 （1）如图2，当时，点在线段上，且平面，求的值； （2）如图2，若点在平面内的射影落在线段上。 ①是否存在点，使得直线平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由； ②当三棱锥的体积最大值时，求点到平面的距离。 19．（本小题满分分）已知为等边三角形，、、分别是线段、、上的动点。 （1）若为锐角三角形，角、、的对边分别为、、，且、。 ①求证：； ②求的最大值； （2）若，，试问当长为多少时，的长取得最大值。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 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