专题1.2 有理数的加减（高效培优讲义）数学沪科版2024七年级上册

专题1.2 有理数的加减 教学目标 1.借助数轴，理解有理数的大小关系，会比较有理数的大小。 2.会用绝对值法比较负数的大小 3.能选用适当的方法比较有理数的大小 4.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则，能熟练进行有理数的加法运算。 5.经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。 6.能进行有理数加、减混合运算，理解有理数加法的运算律，能根据具体问题，适当地运用 教学重难点 教学重点： 1.有理数加法法则和减法法则的理解与掌握，有理数加减混合运算的方法，能够熟练将减法转化为加法，并正确运用加法交换律和结合律进行简便运算。​ 2.运用有理数加减运算解决实际问题，理解实际问题中数量关系与有理数加减运算的对应关系，准确列出算式并求解。 教学难点： 1.异号两数相加时和的符号确定以及绝对值的运算，学生容易混淆符号规则，导致计算错误。​ 2.有理数减法法则中 “减去一个数，等于加上这个数的相反数” 这一概念的理解与运用，学生在将减法转化为加法时，容易出现符号错误或对相反数的理解不准确的情况。 3.在实际问题中准确分析数量关系，将实际问题抽象为有理数加减运算模型，部分学生难以理解实际情境与数学运算之间的联系，无法正确列出算式。 知识点01 有理数大小比较 1.法则比较：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 【注意】： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 2.数轴法比较：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 【即学即练】1.（24-25七年级上·安徽合肥·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数的大小比较方法是解题的关键 根据正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．比较即可． 【详解】解： ，， ∵ ∴． 故答案为：． 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较、求一个数的绝对值、化简多重符号 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，计算绝对值和化简多重符号： （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据正数大于0，0大于负数即可得到答案； （2）根据两个负数比较大小，绝对值越大，其值越小进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 【答案】数轴表示见解析， 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了相反数，绝对值，有理数的大小比较与数轴，需要熟练掌握数轴上的数右边的总比左边的大，把各数据正确标注在数轴上是解题的关键． 先找出各数在数轴上的位置，然后根据数轴上的数，右边的数总比左边的数大即可按照从小到大的顺序进行排列． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数如图： 由数轴得：． 知识点02 有理数的加法 ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【即学即练】1.计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2)8 (3) (4) 【知识点】有理数加法运算 【详解】（1）解：； （2）解：， （3）解：； （4）解：． 2.计算：． 【答案】1 【知识点】有理数加法运算律、有理数加法运算 【分析】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式1、3项结合，2、4项结合，计算即可得到结果． 【详解】解： ． 知识点03 有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） 【注意】： 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【即学即练】1.(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)． 【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算． (1)2－(－3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(－2.72)+4＝(0+4)+(3.72－2.72)＝4+1＝5 （3）原式= 2.计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－3－5. 解：(1)7.2－(－4.8)＝7.2＋4.8＝12； (2)－3－5＝－3＋(－5)＝－(3＋5)＝－8. 知识点04 有理数加、减的混合运算 1.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． 2.有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【即学即练】1.计算： 【答案】32 【知识点】有理数加减中的简便运算 【详解】 【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，把减法统一成加法，然后按照加法法则计算．熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关键． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 【答案】5 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了有理数加减混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数加减混合运算的运算顺序和运算法则，以及加法运算律在有理数范围依旧适用． 题型01 有理数大小比较 【例1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是 ，，，，其中最低气温是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据两个负数比较大小，绝对值越大的数反而越小，得最低气温是，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则最低气温是， 故答案为： 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）比较大小： (1)与 (2)与 【答案】(1) (2) 【知识点】化简多重符号、带有字母的绝对值化简问题、有理数大小比较 【分析】（1）先化简，后比较大小，解答即可． （2）先化简，后比较大小，解答即可． 本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握负数比较，绝对值大的反而小是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， 且， ∴. （2）解：∵，， ∴. 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）（1）把下列各数在数轴上表示出来： ，3，0，，， （2）请将上面的数用“”连接起来． 【答案】（1）数轴见解析；（2） 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】此题考查了用数轴上的点表示有理数、借助数轴比较有理数的大小等知识． （1）把各有理数按照所在位置表示在数轴上即可； （2）按照从小到大的顺序用“”连接起来即可． 【详解】解：（1）各数在数轴上表示如图所示， （2）用“”连接起来如下： ． 【变式1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）比较大小： 0（填“＞”、“=”、“＜”）． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据0大于一切负数，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来： ． 【答案】数轴见解析； 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】此题考查了在数轴上表示有理数、绝对值和多重符号化简、有理数比较大小等知识．先化简绝对值和多重符号后，再把各数表示在数轴上，借助数轴比较有理数的大小，并用“”连接起来即可． 【详解】解：， 各数在数轴上表示出来如下： 按从小到大的顺序用“”连接起来： 【变式3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．   (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数大小比较 【分析】（1）根据绝对值的意义即可解答； （2）根据在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大比较即可； （3）根据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数得出答案即可． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）解：， （3）解：， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了数轴，相反数，绝对值和有理数的大小比较，能熟记有理数的大小比较法则是解此题的关键，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数． 题型02 运用加法运算律进行简便运算 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据有理数加减混合运算解答即可． （2）根据有理数加减混合运算解答即可． 本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 【答案】 【知识点】有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，根据提供的方法，拆项计算即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中） (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题主要考查了有理数加减混合运算，熟练掌握有理数加法运算律，是解题的关键． （1）根据题干提供的方法进行计算即可； （2）用提供提供的方法进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中） (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据提供的方法，拆项计算即可； （2）根据提供的方法，拆项计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型03 有理数加、减的混合运算 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1)10 (2) 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】（1）根据有理数加减混合运算解答即可． （2）根据有理数加减混合运算解答即可． 本题考查了有理数加减混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： 【例2】计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）利用加法的交换律和结合律计算可得； （2）减法转化为加法，再利用加法的交换律和结合律计算可得． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【点睛】本题考查了有理数的加减运算，解题的关键是掌握有理数的加减混合运算顺序和运算法则及加法的交换律和结合律． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： 【答案】 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，熟知有理数的加减计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的加减混合运算、有理数加减中的简便运算 【分析】（1）先把有理数的减法转化为加法，然后再利用加法交换律和加法结合律进行计算即可解答； （2）先算括号里，再算括号外，即可解答． 【详解】（1）解： ． （2） ． 【点睛】本题考查有理数加减混合运算．解题的关键是熟记有理数加减法则，混合运算顺序，运算定律，准确熟练地进行计算． 题型04 有理数加、减法的实际应用 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）第33届夏季奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分在法国巴黎开幕，巴黎与北京的时差为时，即同一时刻比北京晚6个小时． (1)求第33届夏季奥运会开幕时的北京时间． (2)第24届冬季奥运会是2022年2月4日20时在北京开幕的，求这一时刻法国巴黎的时间． 【答案】(1)2024年7月27日1时30分， (2)2022年2月4日14时 【知识点】有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查了正负数在实际生活中的意义，有理数加减法在实际生活中的应用；熟练掌握正负数的意义，时差，是解题关键． （1）根据“巴黎与北京的时差为时”，得同一时刻北京时间比该地区时间早6小时计算，超过24小时进1日； （2）根据巴黎时间比北京时间晚6小时计算，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， 第33届夏季奥运会开幕式的时间是巴黎时间2024年7月26日19时30分，北京时间为7月27日1时30分， （2）解：， 第24届冬季奥运会开幕式的时间是北京时间2022年2月4日20时，巴黎时间为2月4日14时． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)17；152 (2)160厘米 (3)青蛙在第18次跳出了井口 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】本题考查正数和负数、有理数加法、有理数减法的应用，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中的实际意义． （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底和井口的距离即可求解； （2）用井深减去青蛙第七次跳跃并下滑稳定后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解： 井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第一次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第二次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底26厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第三次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底41厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第四次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底64厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第五次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底80厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第六次跳跃以后：，表示青蛙在距离井底90厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 第七次跳跃以后没有下滑前：，表示青蛙在距离井底108厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 当青蛙跳完第一次以后距离井底最近为17厘米，当调完第七次后示下滑时，青蛙在距离井口最近152厘米处， 故答案为：17，152； （2）解：第七次跳跃并下滑稳定后：，表示青蛙在距离井底100厘米处，青蛙距离井口的距离是（厘米） 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有160厘米． （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完2周以后，距离井口的距离（厘米），此时青蛙完成了14次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：（厘米）， ∵ ∴青蛙又继续跳跃4次就跳出了井口， ∴青蛙在第18次跳出了井口． 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）华为手机厂某车间一周的生产手机任务为部，计划平均每天生产部，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 若该厂工人工资实行计件制，每生产一部手机元，每超产一辆奖励元，每少生产一辆扣元（超产和少产是相对生产任务来说的），则该车间这周的工资总额是多少？ 【答案】元 【知识点】有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 先求出手机总量，从而根据题意，计算出工资总额． 【详解】解：手机总量＝（部） 工资总额＝（元） 答：该车间这周的工资总额是元． 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）为了响应习近平总书记在党的二十大报告中提出的“推进教育数字化，建设全民终身学习的学习型社会、学习型大国”的号召，老师倡导同学们“爱读书、读好书、善读书”，要求每天阅读课外书．小茹同学由于种种原因，实际每天课外阅读时间与老师要求相比有出入，下表是小茹某周课外阅读时间的情况（增加记为正，减少记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/ (1)求课外阅读时间最多的一天比最少的一天多多少分钟？ (2)根据记录，小茹该周实际课外阅读时间多少分钟？ 【答案】(1)25分钟 (2)214分钟 【知识点】正负数的实际应用、有理数加法在生活中的应用、有理数减法的实际应用 【分析】此题考查正数和负数以及有理数的混合运算，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）将课外阅读时间最多的一天的时间与最少的一天的时间相减计算即可； （2）根据一周实际课外阅读时间相加计算即可． 【详解】（1）解：， 答：课外阅读时间最多的一天比最少的一天多25分钟． （2）解： ， ． 答：小茹该周实际课外阅读时间为214分钟． 【变式3】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某支股票上周末的收盘价格是元，本周一到周五的收盘情况如下表：（“”表示股票比前一天上涨，“”表示股票比前一天下跌） 上周末收盘价 周一 周二 周三 周四 周五 (1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？ (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了多少？ (3)这五天的收盘价中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？ 【答案】(1)周一：元；周二：元；周三：元；周四：元；周五：元； (2)比上周末跌了，下跌了元； (3)周一最高，周二最低，相差元 【知识点】正负数的实际应用、有理数加减混合运算的应用 【分析】本题考查有理数的加减应用，解题的关键是掌握有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据表格，依次求出周一至周五的收盘价，即可； （2）由（1）可得，周五的收盘价，与上周末的收盘价进行比较，即可； （3）由（1）可得，周一最高，周二最低，最高的减去最低的，即可． 【详解】（1）解：周一：（元）； 周二：（元）； 周三：（元）； 周四：（元）； 周五：（元）． （2）解：由（1）得，比上周末跌了，下跌了（元）． （3）解：由（1）得：周一最高，周二最低，相差（元）． 【变式4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【答案】(1)2 (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口67厘米 (3)青蛙在第25次跳出了井口 【知识点】有理数加减混合运算的应用、正负数的实际应用 【分析】本题考查正数和负数的意义，有理数加减法的实际应用； （1）以井底为起点0，正数加负数可以计算出青蛙距离井底的距离； （2）用井深减去青蛙第七次跳完以后距离井底的距离，就可以计算青蛙距离井口的距离； （3）在跳完七次的基础上，进行循环计算，就可以计算出第几次可以跳出井口． 【详解】（1）解：井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住，正数表示上跳，负数表示下滑， 第1跳跃以后：，表示青蛙在距离井底7厘米处， 第2跃以后：，表示青蛙在距离井底5厘米处， 第3跳跃以后：，表示青蛙在距离井底2厘米处， 第4跳跃以后：，表示青蛙在距离井底12厘米处， 第5跳跃以后：，表示青蛙在距离井底18厘米处， 第6跳跃以后：，表示青蛙在距离井底17厘米处， 第7跃以后：，表示青蛙在距离井底23厘米处， 当青蛙跳完第三次以后距离井底最近为2厘米； （2）解：第7跃以后：，表示在井底的上方，距离井底23厘米， 此时青蛙距离井口的距离（厘米）， 答：在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口67厘米； （3）解：每7次跳跃下滑记为一周，青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同， 当青蛙跳完3周以后，距离井底的距离（厘米），此时青蛙完成了21次跳跃， 青蛙继续跳跃情况为：，表示距离井底91厘米， ， 青蛙在第25次跳出了井口， 答：青蛙在第25次跳出了井口． 题型05 含绝对值的有理数的加、减法运算 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，，且，求的值． 【答案】或 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了绝对值的性质，有理数的加法和减法，熟记性质并判断出x，y的对应情况是解题的关键．根据绝对值的性质求出x，y的值，再根据负数的绝对值等于它的相反数确定出x，y的对应情况，然后相加即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， 或， 综上所述，的值为或． 【例2】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①__________，②__________，③__________； 【拓广应用】 （2）计算： ①； ②． 【答案】（1）①；②；③；（2）①；② 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减计算，去绝对值，正确理解题意掌握去绝对值的方法是解题的关键． （1）根据题意可得，去绝对值时，用大数减去小数即可； （2）①根据题意可去绝对值得到，据此求解即可；②根据题意，去绝对值时，用大数减去小数，逐一去绝对值求解即可． 【详解】解：（1）①                ②              ③， 故答案为：，，； 解：（2）①原式 ． ②原式 ． 【变式1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，，求的值． 【答案】的值为： 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算 【分析】由题意可得，，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， 当，时，， ∴的值为：． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，有理数的加法计算，关键是牢记正数、0、负数的绝对值的特点． 【变式2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，且，求的值． 【答案】或． 【知识点】绝对值的几何意义、有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】根据，的绝对值，求出，的值，然后利用，确定，的值，代入求值即可． 【详解】∵，， ∴，， ∵， ∴当，时， ， 当，时， ， 综上可知：的值为或． 【点睛】此题考查了有理数的加减和绝对值，解题的关键是熟练掌握有理数的加减运算法则和绝对值的性质及其应用． 【变式3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)_________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【知识点】求一个数的绝对值、有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了求一个数的绝对值，有理数的加减法，熟练掌握计算法则是解题的关键， （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可； （3）根据负数的绝对值等于它的相反数化简即可； （4）分别化简绝对值，再计算加减法． 【详解】（1）解：， 故答案为2； （2）解：， 故答案为； （3）解：∵， ∴， ∴， 故答案为； （4）解： ． 【变式4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、有理数的加减混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法运算及绝对值的意义．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． （1）根据材料中的规律写出答案即可； （2）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可； （3）根据规律去绝对值符号，再利用有理数的减法法则计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ； （3）解： ． 题型06 新定义运算题 【例1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们规定运算符号的意义是：当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【知识点】有理数加法运算、有理数的减法运算 【分析】（1）根据定义新运算的法则，列式计算即可； （2）根据定义新运算的法则，列式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查有理数的加减法．理解并掌握定义新运算，是解题的关键． 【例2】（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个． 例如：，． (1)计算：； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数大小比较、有理数加法运算、整式的加减运算 【分析】（1）根据负数小于正数，两个负数中绝对值大的反而小，再计算求值即可； （2）利用作差法：括号中的前一项减去后一项，如果差为正数则前一项大，如果差为零则一样大，如果差为负数则后一项大；再根据定义计算求值即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了有理数大小的比较，整式的加减运算，掌握作差法比较两数的大小是解题关键． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【答案】(1) (2)，和， 【知识点】有理数的加减混合运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数的加减运算，理解“”的运算法则是解题的关键． （1）根据“”的运算法则计算即可； （2）分别列举实例，再推广到一般情况，分和两种情况，令即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 令，， 则，，两者相等， 即当时，，， 若，则， 解得，； 综上可知，当，和，两种条件下，． 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)“”运算满足交换律，理由见解析 【知识点】有理数加减混合运算的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查有理数和实数的知识，解题的关键是根据题目新定义运算，有理数的加减运算，进行解答，即可． （1）根据有理数、定义一种新运算“”，规定：，进行计算，即可； （2）新运算的规定计算，即可； （3）新运算的规定计算，验证是否满足交换律，即可． 【详解】（1）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴； ； ； 故答案为：，，． （2）解：∵有理数、定义一种新运算“”，规定：， ∴当时，， ∴． （3）解：“”运算满足交换律，理由如下： 当时，， 此时，； 当，，， 此时：； 当时，，， 此时：； 综上：， ∴“”运算满足交换律． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，， ，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 【答案】(1)正，负，相加，这个数的绝对值 (2)， (3) 【知识点】有理数加法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算． （1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可； （2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可； （3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可． 【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值， 故答案为：正，负，相加，这个数的绝对值； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 题型07 数轴上两点间距离 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是．    (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是______，______； (2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点距离，数形结合，分类讨论是解题的关键． （1）根据题意当为原点，点到点的距离为，则点表示的数为，点表示的数为，根据、、所对应的数的和是，即可求解； （2）分在的左边与在的右边两种情形，分别讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点到点的距离为， 若以为原点，则点表示的数为，点表示的数为， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵点到点的距离为3，点到点的距离为8，点到原点的距离为， ∴当在的左边时，、、三点在数轴上所对应的数分别为、、， ∴， 当在的右边时，、、三点在数轴上所对应的数分别为、、， ∴， 综上所述：的值为或． 【例2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当运动秒时，点追上点；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度 【知识点】有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据追及问题的等量关系，利用动点P的运动距离减去动点Q的运动距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为8个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为6，是数轴上在原点左侧的一点，且，两点间的距离为， ∴点表示的数为， 当点运动到的中点时，点P表示的数为， 故答案为：，； （2）解：①根据题意，得， 解得， ∴当运动秒时，点追上点； ②根据题意得： 当点与点相遇前，点与点距离8个单位长度时，则， 解得； 当点与点相遇后，点与点距离8个单位长度时，则， 解得， ∴当点运动秒或秒时，点与点间的距离为8个单位长度． 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【答案】(1) (2)， (3) (4)9 【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、有理数的加减混合运算 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，有理数加法，数轴，熟练掌握数轴上点的特征，绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数表示的几何意义即可进行求解； （2）根据在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3，即可得到符合条件的数； （3）根据（2）结论表示为：在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7，得出满足条件的整数x的值，再求和即可； （4）由的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数4的点之间的距离与数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离之和，则当时，最小，求出答案即可． 【详解】（1）解：∵表示数轴上数与数对应点之间的距离， ∴数轴上与之间的距离表示为； （2）表示：在数轴上，某点到2所对应的点的距离为3， ∴或， 可以表示数轴上的数或数5； （3），表示为在数轴上某点到所对应的点的距离和到3所对应的点的距离之和为7， ∴， ∴满足条件的整数x可为，，，，0，1，2，3， ∴整数的和为； （4）解：表示在数轴上表示到4和的距离之和， 所以当x在与4之间的数轴上时，有最小值为， 即的最小值为9． 【变式1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）根据如图所示的数轴，解答下面问题： (1)观察数轴上与点距离为5个单位长度的点，表示的数是_________； (2)已知点表示的数是，求点到、两点的距离之和． 【答案】(1)或6 (2)8 【知识点】有理数的减法运算、有理数加法运算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的加减计算： （1）分该点在点A左边和右边两种情况，根据数轴上两点距离计算公式求解即可； （2）根据两点距离计算公式分别求出的长，再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：当该点在点A左边时，该点表示的数为， 当该点在点A右边时，该点表示的数为， 综上所述，该数表示的数为或6； （2）解：∵点A表示的数为1，点B表示的数为，点表示的数是， ∴，， ∴点到、两点的距离之和为． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)9 (2) (3)1，2 (4)最小值为3 【分析】本题考查数轴与绝对值，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）直接计算即可； （2）根据题意得，x所对点为和所对点的中点，根据中点公式即可求解； （3）根据和2所对的两点距离之和为7，和2之间的数均满足，从中找出正整数即可； （4）表示数轴上有理数x所对点到和6对的两点距离之和，结合数轴可知最小值为． 【详解】（1）解：， 故答案为：9； （2）解：由题意知，有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等， ， 故答案为：； （3）解：， 结合数轴知，当时，， x是正整数， x的值为1，2， 故答案为：1，2； （4）解：表示数轴上有理数x所对点到和6所对的两点距离之和， 结合数轴可知，当时，有最小值，最小值为． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某天某地的最低气温是，最高气温是，则这天该地的温差是（   ）℃ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，根据题意找出温差的计算公式是解题的关键． 根据有理数的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意可得，这天的温差为：， 故选D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在下面四个有理数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数大小比较法则．正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小． 根据有理数比较大小法则进行比较即可确定答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∴最小的数是． 故选：D． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（    ） A．5 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，有理数的减法计算，用点A表示的数减去移动的距离即可得到答案． 【详解】解：∵点A表示的数为1，将点A向左移动4个单位长度得到点B， ∴点B表示的数为， 故选：C． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义，有理数的加法和减法运算，根据，，得出，再根据，得出a和b的值，再进行计算即可．解题的关键是掌握同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并把绝对值相减． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴或， ∴或， 故选：C． 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若规定表示不超过的整数中最大的整数，如则，，则的结果为（   ） A．1.46 B．1 C．8 D．7 【答案】C 【分析】根据定义，解答即可． 本题考查了新定义计算，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 ． 故选：C． 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形为 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数的加减运算，根据加减运算法则，去掉括号即可． 【详解】解：； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上表示有理数以及两点间的距离，有理数的减法，由数轴上表示的点与表示3的点，得出它们之间的距离，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是， 故答案为： ． 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了有理数比较大小，熟练掌握两个负数比较大小的方法是解题的关键．两个负数比较大小，绝对值大的反而小．先比较两个负数的绝对值的大小，再根据两个负数比较大小的方法，即得答案． 【详解】，，且， ． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·安徽池州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算．则 （直接写出答案）． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的加减法，正确理解规定的运算法则是解题关键．根据两个图形的运算法则列出式子，再计算有理数的加减法即可得． 【详解】解：由题意得：原式 ． 故答案为：． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若数轴上点对应的数是，将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的加法，计算即可求解． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知有理数和，若添一个有理数，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为，则的值为 ． 【答案】7或 【分析】本题考查了有理数的减法，分为两种情况：①为最大数，②为最小数，再求出即可，能正确运用分类讨论思想进行计算是解此题的关键． 【详解】解：有两种情况：①为最大数，此时， 解得：； ②为最小数，此时， 解得， 综合上述：的值是7或， 故答案为：7或． 12．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）若有理数，则代数式 ． 【答案】或 【分析】本题考查了绝对值的化简以及有理数的加减运算，熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键； 分，或，或，或，，四种情况，讨论即可求解； 【详解】解：①当，，； ②当，，； ③当，，； ④当，，． 故答案为：或 13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 【答案】 4 1 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值的意义，熟练掌握新运算的法则，是解题的关键： （1）根据新运算的法则，求出，再进行减法运算即可； （2）根据新运算的法则，求出，再根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解：（1）； 故答案为：4； （2）， 由绝对值的意义，可知：表示数轴上表示数的点到数的距离之和， ∴当在之间（包括两个端点）时，的值最小为：； 故答案为：1． 三、解答题 14．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）计算：． 【答案】29 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，统一成加法后利用加法法则计算即可． 【详解】原式． 15.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 【答案】数轴见详解，． 【分析】将各数表示在数轴上，再用“＜”连接即可． 【详解】解：如图所示： ∴用“＜”连接各数为：； 【点睛】此题考查了有理数大小比较，以及数轴，将各数正确表示在数轴上是解本题的关键． 16．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，数轴的单位长度为1．如果点A、B表示的数的绝对值相等． (1)标出原点．点A、B分别表示什么数； (2)点A、B分别表示a、b，求的值． 【答案】(1)图见解析，点A、B表示的数分别是、 (2) 【分析】本题考查绝对值的几何意义，以及有理数的加减运算，理解绝对值的几何意义，掌握有理数的加减运算是解题关键． （1）由题意可知原点应位于点A，B的中点处，由此判断作图即可； （2）结合（1）的结论，直接求解即可． 【详解】（1）∵A、B两点之间的距离是6，点A、B表示的数的绝对值相等， ∴点A表示的数的绝对值=点B表示的数的绝对值，点A、B表示的数分别是、； （2）由（1）可知，，， ∴． 17．（23-24七年级上·安徽六安·期中）已知， (1)若为正数，为负数，求的值； (2)若小于，求的值． 【答案】(1) (2)的值是或 【分析】（1），，为正数，为负数，即可得到，，进一步求解即可； （2），，小于，则，或，分情况求解即可； 读懂题意，熟练掌握绝对值的意义和数的大小比较，是正确求解代数式的值的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ∴； （2）解：∵，，小于， ∴，或， 当，时，； 当，时，； 综上，的值是或． 18．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足． (1) ， ， ； (2)若为数轴上一点，且，求的值． 【答案】(1)，， (2)或18 【分析】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义， （1）先利用绝对值的非负性，求出点、点所对应的数分别为，，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到的长即可． （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，利用数轴上的两点间距离求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， 即， ∴ 故答案为：，，； （2）解：当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧时，， 综上所述：或． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）若，， ， ···，照此规律试求： (1) ， (2)计算：； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了绝对者的意义，有理数的加减混合运算，理解规律是解答本题的关键． （1）根据规律化简即可； （2）先根据规律化简，再算加减； （3）先根据规律化简，再算加减． 【详解】（1）∵，， ， ···， ∴． 故答案为：； （2）∵，， ， ···， ∴ ； （3）∵，， ， ···， ∴ ． 20．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）今年五一小长假期间，合肥逍遥津公园在5天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）．若4月28日的游客人数记为0.5万人． 日期 4月29日 4月30日 5月1日 5月2日 5月3日 人次数变化 (1)5月1日的游客人数是多少万人？ (2)请判断5天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？相差多少万人？ (3)求今年五一小长假期间，游客在该公园的总人数． 【答案】(1)2.5万人 (2)游客人数最多的是4月30日，最少的是5月2日，相差1.2万人 (3)11.1万人 【分析】本题考查正数和负数及有理数运算的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）分别计算每天的实际游客人数后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）因为4月28日的游客人数为0.5万人， 所以4月29日的游客人数为（万人）， 4月30日的游客人数为（万人）， 5月1日的游客人数为（万人）， 所以5月1日的游客人数是2.5万人． （2）根据图表，5天的游客人数分别为： 4月29日的游客人数为2.1万人， 4月30日的游客人数为2.9万人， 5月1日的游客人数为2.5万人， 5月2日的游客人数为（万人）， 5月3日的游客人数为（万人）， 所以游客人数最多的是4月30日，最少的是5月2日，相差：（万人）； （3）今年五一小长假期间游客在该公园的总人数为：（万人）． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，设点A，B，C所对应数的和是m． (1)若点C为原点，，则点A，B所对应的数分别为________，________； (2)若点B为原点，，求m的值； (3)若原点O到点C的距离为8，且，求m的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了数轴，有理数加减法，解题关键是数形结合思想的灵活应用， （1）先求出，根据点C为原点，即可得到点A，B所对应的数； （2）根据数轴上原点的位置确定其它点对应的数即可求解； （3）根据原点先确定点C对应的数，进而确定点B和A对应的数，即可求解 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴, ∵点C为原点， ∴点A，B所对应的数分别为； （2）∵，， ∴， ∵点B为原点， ∴点A，C对应的数分别为， ∴ （3）∵原点O到点C的距离为8， ∴点C所对应的数是， ∵， ∴， 当点C对应的数为8时， ∵，， ∴， ∴点B对应的数为4，点A对应的数为， ∴； 当点C对应的数为时， ∵，， ∴， ∴点B对应的数为，点A对应的数为， ∴； 综上，或 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知数轴上两点相距米，一只乌龟从点出发向点爬行，第一次它前进米，第二次后退米，第三次前进米，第四次后退米，第五次再前进米，．．．，按此规律行进，若点表示的数为． (1)直接写出在数轴上点表示的数； (2)经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？ (3)若点在原点的右侧，经过次行进后，小乌龟到达点，求两点之间的距离． 【答案】(1)或 (2)点、点到地的距离相等 (3)两点之间的距离． 【分析】本题考查了数轴，有理数加减运算的实际应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）当点在点左侧和右侧时，按照左减右加的规律分别进行计算即可 （2）数轴上点的移动规律是“左减右加”．依据规律计算点和点即可； （3）根据为时，可列式，根据点为，求解即可． 【详解】（1）解：有两种情况， 当点在点右侧时，， 当点在点左侧时，， ∴点表示的数为：或． （2）解：经过第七次行进后，点为：， 第八次行进后，点为：， ∵点和点到地的距离均为：， ∴点、点到地的距离相等． （3）解：当经过次行进后，小乌龟到达点，它在数轴上表示的数为：， ， ∵点在原点的右侧，点表示的数为，两点相距米， ∴点为， ∴两点之间的距离． 23．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）数轴上表示数a的点与所对应的点的距离；（3） 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义： （1）仿照题意可得表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，据此可得答案； （2），再结合题意即可得到答案； （3）表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离，据此可得答案． 【详解】解：（1）由题意得，表示的是数轴上表示a的数与原点的距离为3，则； （2）由题意得，表示的是数轴上表示数a的点与所对应的点的距离； （3）由题意得表示的是数轴上表示数a的点与3所对应的点的距离加上数轴上表示数a的点与所对应的点的距离， ∴当时，有最小值，最小值为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2 有理数的加减 教学目标 1.借助数轴，理解有理数的大小关系，会比较有理数的大小。 2.会用绝对值法比较负数的大小 3.能选用适当的方法比较有理数的大小 4.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则，能熟练进行有理数的加法运算。 5.经历探索有理数减法法则的过程，理解有理数的减法法则，能熟练进行有理数的减法运算。 6.能进行有理数加、减混合运算，理解有理数加法的运算律，能根据具体问题，适当地运用 教学重难点 教学重点： 1.有理数加法法则和减法法则的理解与掌握，有理数加减混合运算的方法，能够熟练将减法转化为加法，并正确运用加法交换律和结合律进行简便运算。​ 2.运用有理数加减运算解决实际问题，理解实际问题中数量关系与有理数加减运算的对应关系，准确列出算式并求解。 教学难点： 1.异号两数相加时和的符号确定以及绝对值的运算，学生容易混淆符号规则，导致计算错误。​ 2.有理数减法法则中 “减去一个数，等于加上这个数的相反数” 这一概念的理解与运用，学生在将减法转化为加法时，容易出现符号错误或对相反数的理解不准确的情况。 3.在实际问题中准确分析数量关系，将实际问题抽象为有理数加减运算模型，部分学生难以理解实际情境与数学运算之间的联系，无法正确列出算式。 知识点01 有理数大小比较 1.法则比较：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 【注意】： 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤： （1）分别计算两数的绝对值；（2） 比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 2.数轴法比较：在数轴上表示出这两个有理数，左边的数总比右边的数小. 如：a与b在数轴上的位置如图所示，则a＜b． 【即学即练】1.（24-25七年级上·安徽合肥·期末）比较大小： ．（填“”或“”） 2．（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）比较下列每对数的大小（写出比较过程） (1)与 (2)与 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示下列各数，并用“”将它们连接起来． 5，，，，，0，． 知识点02 有理数的加法 ①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加． ②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0． ③一个数同0相加，仍得这个数． 交换律：a+b＝b+a； 结合律（a+b）+c＝a+（b+c）． 【即学即练】1.计算： (1)； (2)； (3)； (4) 2.计算：． 知识点03 有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 即：a﹣b＝a+（﹣b） 【注意】： 在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律． 减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算． 【即学即练】1.(1)2－(－3)； (2)0－(－3.72)－(+2.72)－(－4)； (3)． 2.计算：(1)7.2－(－4.8)； (2)－3－5. 知识点04 有理数加、减的混合运算 1.有理数的加减混合运算 有理数加减混合运算的方法：有理数加减法统一成加法． 2.有理数加减法混合运算技巧 （1）把算式中的减法转化为加法； （2）去括号时注意符号，能省掉的“”号要省掉； （3）多观察，巧妙利用运算律简便计算． 【即学即练】1.计算： 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）计算：． 题型01 有理数大小比较 【例1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）某一天，哈尔滨，北京，杭州，金华四个城市的最低气温分别是 ，，，，其中最低气温是 ． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）比较大小： (1)与 (2)与 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）（1）把下列各数在数轴上表示出来： ，3，0，，， （2）请将上面的数用“”连接起来． 【变式1】（24-25七年级上·安徽六安·期中）比较大小： 0（填“＞”、“=”、“＜”）． 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）把下列各数在数轴上表示出来，并按从小到大的顺序用“”连接起来： ． 【变式3】（23-24七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，表示有理数a，b的点如图所示．   (1)在数轴上标出表示的点． (2)把a，b，0，这五个数按从小到大的顺序排列，并用“＜”连接． (3)用“＞”“=”或“＜”填空：_________a，_________b，_______． 题型02 运用加法运算律进行简便运算 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： (1)； (2)； 【例2】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）阅读计算：的方法． 【解析】 原式        ， 上图这种解题方法叫做拆项法，再用这种方法计算下面的小题． 计算：； 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中） (1)计算：； (2)计算：． 【变式2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中） (1) 计算：； (2)计算：． 题型03 有理数加、减的混合运算 【例1】（24-25七年级上·安徽安庆·阶段练习）计算： (1) (2) 【例2】计算： (1)． (2)． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）计算： 【变式2】计算： (1)； (2)． 题型04 有理数加、减法的实际应用 【例1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）第33届夏季奥运会于当地时间2024年7月26日19时30分在法国巴黎开幕，巴黎与北京的时差为时，即同一时刻比北京晚6个小时． (1)求第33届夏季奥运会开幕时的北京时间． (2)第24届冬季奥运会是2022年2月4日20时在北京开幕的，求这一时刻法国巴黎的时间． 【例2】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）有一口深2.6米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 (1)在这7次跳跃除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是____厘米；青蛙距离井口的最近距离是_____厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一循环，若青蛙之后的每个循环跳跃下滑情况都和第一循环相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 【变式1】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）华为手机厂某车间一周的生产手机任务为部，计划平均每天生产部，由于各种原因，实际每天生产量与计划每天生产量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正，减产为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 若该厂工人工资实行计件制，每生产一部手机元，每超产一辆奖励元，每少生产一辆扣元（超产和少产是相对生产任务来说的），则该车间这周的工资总额是多少？ 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）为了响应习近平总书记在党的二十大报告中提出的“推进教育数字化，建设全民终身学习的学习型社会、学习型大国”的号召，老师倡导同学们“爱读书、读好书、善读书”，要求每天阅读课外书．小茹同学由于种种原因，实际每天课外阅读时间与老师要求相比有出入，下表是小茹某周课外阅读时间的情况（增加记为正，减少记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/ (1)求课外阅读时间最多的一天比最少的一天多多少分钟？ (2)根据记录，小茹该周实际课外阅读时间多少分钟？ 【变式3】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）某支股票上周末的收盘价格是元，本周一到周五的收盘情况如下表：（“”表示股票比前一天上涨，“”表示股票比前一天下跌） 上周末收盘价 周一 周二 周三 周四 周五 (1)周一至周五这支股票每天的收盘价各是多少元？ (2)本周末的收盘价比上周末收盘价是上涨了，还是下跌了多少？ (3)这五天的收盘价中哪天的最高？哪天的最低？相差多少？ 【变式4】（24-25七年级上·安徽滁州·阶段练习）有一口深90厘米的枯井，井底有一只青蛙沿着井壁向上往井口跳跃，由于井壁较滑，每次跳跃之后青蛙会下滑一段距离才能稳住．下面是青蛙的几次跳跃和下滑情况（上跳为正，下滑为负，单位为厘米）． 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 0 (1)除起跳点外，青蛙距离井底的最近距离是______厘米； (2)在这7次跳跃并下滑稳定后，此时青蛙距离井口还有多远？ (3)把每7次跳跃下滑记为一周，若青蛙之后的每周跳跃下滑情况都和第一周相同，那么青蛙在第几次跳出了井口？ 题型05 含绝对值的有理数的加、减法运算 【例1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）已知，，且，求的值． 【例2】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）【信息提取】 在有些情况下，不需要计算出结果也能把绝对值符号去掉．例如：，，，． 【初步体验】 （1）根据上面的规律，把下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不要计算出结果）： ①__________，②__________，③__________； 【拓广应用】 （2）计算： ①； ②． 【变式1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）若，，求的值． 【变式2】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知，且，求的值． 【变式3】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）学习了绝对值的概念后，我们知道：一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，也即当时，，当时，，根据以上内容完成下面的问题： (1)_________； (2)__________； (3)如果有理数，则__________； (4)请利用你探究的结论计算下面式子：． 【变式4】（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）阅读材料： ，，，， 根据以上规律，解决下列问题： (1)______=______； (2)计算：； (3)计算：． 题型06 新定义运算题 【例1】（23-24七年级上·安徽合肥·阶段练习）我们规定运算符号的意义是：当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，请计算： (1) (2) 【例2】（22-23七年级上·安徽合肥·阶段练习）规定符号表示a，b两个数中较小的一个，规定符号表示a，b两个数中较大的一个． 例如：，． (1)计算：； (2)化简：． 【变式1】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）新定义一种运算“”，对于任意两个不相等的有理数a，b，其运算法则为 (1)求的值． (2)请举具体的实例计算说明，在什么条件下，？ 【变式2】（24-25七年级上·安徽淮北·期中）对于有理数、定义一种新运算“”，规定：． 例如：． (1)填空：______，______，______； (2)若，则的结果为______； (3)判断“”运算是否满足交换律并说明理由． 【变式3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：，，，，， ，，， (1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整： 同号得_____，异号得_____，并把绝对值_____；一个数与0相“乘加”等于_____； (2)根据法则计算：_____；_____； (3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算： 题型07 数轴上两点间距离 【例1】（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点，，，其中点到点的距离为3，点到点的距离为8，设点，，所对应的数的和是．    (1)若以为原点，则数轴上点所表示的数是______，______； (2)若原点在图中数轴上，且点到原点的距离为4，求的值． 【例2】（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在原点左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，求： ①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？ 【例3】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）阅读下列材料：我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数A与数对应点之间的距离． (1)用绝对值表示数轴上与之间的距离； (2)若，则可以表示数轴上的哪些数； (3)依据（2）的结论，求使得成立的所有符合条件的整数的和； (4)由以上的探索猜想对于任何有理数，求出的最小值？ 【变式1】（24-25七年级上·安徽安庆·期中）根据如图所示的数轴，解答下面问题： (1)观察数轴上与点距离为5个单位长度的点，表示的数是_________； (2)已知点表示的数是，求点到、两点的距离之和． 【变式2】（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）同学们都知道，表示7与之差的绝对值，实际上也可理解为7与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索： (1)求__________； (2)同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则__________； (3)类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的正整数x，使得，这样的正整数是__________； (4)由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，请说明理由． 一、单选题 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某天某地的最低气温是，最高气温是，则这天该地的温差是（   ）℃ A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）在下面四个有理数中，最小的数是（    ） A．0 B． C．5 D． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）点A在数轴上的位置如图所示，若将点A向左移动4个单位长度得到点B，则点B表示的数是（    ） A．5 B．4 C． D． 4．（23-24七年级上·安徽亳州·期中）如果，，且，那么（    ） A． B． C．或 D．或1 5．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）若规定表示不超过的整数中最大的整数，如则，，则的结果为（   ） A．1.46 B．1 C．8 D．7 二、填空题 6．（23-24七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）将式子省略括号和加号后变形为 ． 7．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离是 ． 8．（24-25七年级上·安徽滁州·期末）比较大小： ．（填“”“”或“”） 9．（24-25七年级上·安徽池州·期中）规定图形表示运算，图形表示运算．则 （直接写出答案）． 10．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）若数轴上点对应的数是，将点向右移动个单位长度，此时点表示的数是 ． 11．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知有理数和，若添一个有理数，使得这三个数中最大的数与最小的数的差为，则的值为 ． 12．（24-25七年级上·安徽淮南·阶段练习）若有理数，则代数式 ． 13．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）规定：，，例如，． （1） ； （2）的最小值是 ． 三、解答题 14．（23-24七年级上·安徽蚌埠·期中）计算：． 15.在数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”连接各数． 5，，|﹣4|，﹣（﹣1），﹣（+3） 16．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，数轴的单位长度为1．如果点A、B表示的数的绝对值相等． (1)标出原点．点A、B分别表示什么数； (2)点A、B分别表示a、b，求的值． 17．（23-24七年级上·安徽六安·期中）已知， (1)若为正数，为负数，求的值； (2)若小于，求的值． 18．（23-24七年级上·安徽宿州·期中）已知点在数轴上对应的数是，点在数轴上对应的数是，将数轴上，之间的距离记作，定义，且满足． (1) ， ， ； (2)若为数轴上一点，且，求的值． 19．（24-25七年级上·安徽合肥·单元测试）若，， ， ···，照此规律试求： (1) ， (2)计算：； (3)计算： 20．（23-24七年级上·安徽安庆·期中）今年五一小长假期间，合肥逍遥津公园在5天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（单位：万人）．若4月28日的游客人数记为0.5万人． 日期 4月29日 4月30日 5月1日 5月2日 5月3日 人次数变化 (1)5月1日的游客人数是多少万人？ (2)请判断5天内游客人数最多的是哪天？最少的是哪天？相差多少万人？ (3)求今年五一小长假期间，游客在该公园的总人数． 21．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，设点A，B，C所对应数的和是m． (1)若点C为原点，，则点A，B所对应的数分别为________，________； (2)若点B为原点，，求m的值； (3)若原点O到点C的距离为8，且，求m的值． 22．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知数轴上两点相距米，一只乌龟从点出发向点爬行，第一次它前进米，第二次后退米，第三次前进米，第四次后退米，第五次再前进米，．．．，按此规律行进，若点表示的数为． (1)直接写出在数轴上点表示的数； (2)经过第七次行进后小乌龟到达点，第八次行进后到达点，点、点到地的距离相等吗？说明理由？ (3)若点在原点的右侧，经过次行进后，小乌龟到达点，求两点之间的距离． 23．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）定义：把在数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．可以理解为． 【运用】 （1）若，则_____； 【拓展】根据的几何意义，式子的几何意义可以理解为在数轴上表示数的点与2所对应的点之间的距离；式子，所以的几何意义就是在数轴上表示数的点与所对应的点之间的距离． （2）式子的几何意义为_____； （3）求的最小值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$