辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二数学下学期期末考试模拟卷D（函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷D 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．定义域为的函数的图象如图所示，且的导函数为，记、、，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．已知数列为等比数列，且，且，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字，然后乙报两个数字、，接下来丙报三个数字、、，然后轮到甲报四个数字、、、，依次循环，直到报出，则甲报出的第个数字为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知、均为锐角，且、，则（ ）。 A、 B、或 C、或 D、 7．已知函数的定义域为，且满足，对任意的，恒成立，已知、是关于的方程（）的两个不相等的实数解，则关于的不等式 的解集为（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为的常数列，在此数列的第（）项与第项之间插入首项为、公比为的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知函数的定义域为，对于任意，都有，且当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、单调递增 10．已知等比数列的前项和为，且，数列为等差数列，且、，记集合中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 11．已知函数，其定义域记为集合，又，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、若，则 C、存在，使得 D、对任意，存在，使得 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知等比数列的前项的积为，又，则的最大值为 。 13．过点且与曲线：相切的直线的方程为 。 14．若，则 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数（）为奇函数。 （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在内的单调性，并用定义法证明； （3）设函数，求证：函数在内有且只有一个零点。 16．（本小题满分分）年月日，以“激发创新活力、提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称高交会）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会今年已有年历史，高交会是展现高新技术发展新趋势、洞察市场新需求的重要“风向标”，一批新技术、新产品集中亮相，彰显中国科创硬核实力。会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟（如下图）。从数学的角度来观察，我们会被其优美曲线折服。现代科技特别讲究线条感，曲线让人称奇，那么衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，而曲线的曲率定义如下：若函数的导数为，函数的导数为，则曲线：在点处的曲率。 （1）若碟身分别是由曲线：与曲线：旋转一周形成，试比较在点处的曲率、的大小； （2）求正弦曲线的曲率的最大值。 17．（本小题满分分）已知数列满足：。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）已知（），求数列的前项和。 18．（本小题满分分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数。 （1）判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； （2）已知函数，问函数是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由； （3）对于不同的函数与函数，若、的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和。 ①求证：当时，的图象仍有对称中心； ②当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例。 19．（本小题满分分）定义：对于任意大于零的自然数，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列。 （1）若等差数列的前项和为，且、，判断数列是否是数列，并说明理由； （2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且、，证明：数列是数列； （3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷D （函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】 ， ∴，故选D。 2．定义域为的函数的图象如图所示，且的导函数为，记、、，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设点、点， 则为直线的斜率， 为曲线曲线：在点的切线斜率， 为曲线曲线：在点的切线斜率， 作出图形进行数形结合分析，由图可得，即，故选B。 3．已知数列为等比数列，且，且，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由等比中项性质可知，解得， 又，则，∴，故选D。 4．已知、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵对数函数单调递增，∴，∴， ∵对数函数单调递增，∴，∴， ∵指数函数单调递增，∴，∴， ∴，故选B。 5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字，然后乙报两个数字、，接下来丙报三个数字、、，然后轮到甲报四个数字、、、，依次循环，直到报出，则甲报出的第个数字为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】由题可得甲第（）次报数的个数为， 则甲第次报完数后总共报数的个数为，当时，， 而甲第次报时，三人总共报数为次， 当甲第次报完数三人总的报数个数为， 即甲报出的第个数字为，∴报出的第个数字为，故选C。 6．已知、均为锐角，且、，则（ ）。 A、 B、或 C、或 D、 【答案】D 【解析】∵，，∴，， ∵、，∴， 又，∴，∴， ∴，， ∴，故选D。 7．已知函数的定义域为，且满足，对任意的，恒成立，已知、是关于的方程（）的两个不相等的实数解，则关于的不等式的解集为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵、是关于的方程（）的两个不相等的实数解， ∴，解得，由韦达定理可得， ∵的定义域为，且满足，则， ∴的图象关于点中心对称，∴且， ∵对任意的，恒成立，即恒成立， ∴在内单调递增，则在内也单调递增， ∴为定义在上的单调递增函数， 由可得，解得， 综上所述，，即原不等式的解集为，故选C。 8．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为的常数列，在此数列的第（）项与第项之间插入首项为、公比为的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】设介于第个与第个之间或者为这两个当中的一个， 则从新数列的第个到第个一共有项， 从新数列的第个到第个一共有项， ∴，解得，而，∴， ， 令则， ∴，∴， ∴，故选B。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知函数的定义域为，对于任意，都有，且当时，恒成立，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、单调递增 【答案】ABD 【解析】A选项，令，则，对， B选项，令，则，∴、、 …、，∴，对， C选项，令，定义域为，则， 且当时，，满足题意，错， D选项，令、，则，∴， 当时，，∵当时，，∴， 即，即，∴单调递增，对， 故选ABD。 10．已知等比数列的前项和为，且，数列为等差数列，且、，记集合 中元素的个数为，数列的前项和为，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】BD 【解析】A选项，设等比数列的公比为， 则当时，，当时，， ∴，即，∴，∴，∴，错， B选项，设等差数列的公差为，则、，∴， ∴，∴，对， C选项，由得， 则集合中元素的个数为，即，错， D选项， ，对， 故选BD。 11．已知函数，其定义域记为集合，又，则下列结论正确的是（ ）。 A、 B、若，则 C、存在，使得 D、对任意，存在，使得 【答案】BD 【解析】由题意可知、且，解得且，∴，A选项错， 当时，， ∵且， 当时，，当时，， ∴，B选项对， ， 当时，、，∴， 又，∴，∴在内单调递减， 当时，单调递增，∴，∴， 又，∴，∴在内单调递减， 又当时，，当时，， 即当时，的图像在轴下方单调递减， 当时，的图像在上方单调递减， ∴不存在，使得，C选项错， 当时，， 即对任意，存在使得，D选项对， 故选BD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知等比数列的前项的积为，又，则的最大值为 。 【答案】 【解析】设的公比为（），则，∴， 当时，，，当时，，∴为的最大值。 13．过点且与曲线：相切的直线的方程为 。 【答案】或 【解析】的定义域为，，设切点，则切线斜率 ∴切线方程为， 又点在切线上，∴， 整理得：，解得或， 当时，，∴切线方程为，即， 当时，，∴切线方程为，即， ∴切线方程为和。 14．若，则 。 【答案】 【解析】∵，∴， 即，解得或， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， 综上所述，。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知函数（）为奇函数。 （1）求实数的值； （2）设函数，判断函数在内的单调性，并用定义法证明； （3）设函数，求证：函数在内有且只有一个零点。 【解析】（1）的定义域为，∵为奇函数，∴， 1分 即，整理得， 而不恒为，∴， 3分 当时，，，符合要求，可取； 4分 （2）由（1）可知，，在内单调递减，证明如下： 5分 在内任取、，设，则， ∵，∴、、，∴， 即，∴在内单调递减； 9分 （3）由（1）可知，，由（2）可知，在内单调递减， 又在内单调递增，∴在内单调递减， 11分 又∵、，∴存在唯一一个，使得， ∴在内有且只有一个零点。 13分 16．（本小题满分分）年月日，以“激发创新活力、提升发展质量”为主题的第二十五届中国国际高新技术成果交易会（以下简称高交会）在深圳闭幕，作为“中国科技第一展”的高交会今年已有年历史，高交会是展现高新技术发展新趋势、洞察市场新需求的重要“风向标”，一批新技术、新产品集中亮相，彰显中国科创硬核实力。会展展出了国产全球首架电动垂直起降载人飞碟（如下图）。从数学的角度来观察，我们会被其优美曲线折服。现代科技特别讲究线条感，曲线让人称奇，那么衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，而曲线的曲率定义如下：若函数的导数为，函数的导数为，则曲线：在点处的曲率。 （1）若碟身分别是由曲线：与曲线：旋转一周形成，试比较在点处的曲率、的大小； （2）求正弦曲线的曲率的最大值。 【解析】（1）的定义域为，，， ∴， 3分 的定义域为，，， ∴， 6分 ∴； 7分 （2）的定义域为，，， ∴，∴， 10分 设，∵，∴，∴， 12分 设，定义域为，， 当时，恒成立，∴在内单调递减， 14分 ∴，∴的最大值为，∴的最大值为。 15分 17．（本小题满分分）已知数列满足：。 （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）已知（），求数列的前项和。 【解析】（1）当时，， 1分 当时，， ， 两式相减得，∴， 3分 验证，当时，符合，∴当时，； 4分 （2）由（1）可知，， 5分 ∴ ， 6分 ， 7分 用上式－下式得： ， 9分 ∴； 10分 （3）由（1）可知，当为奇数时，， 11分 当为偶数时，， 12分 ∴ 。 15分 18．（本小题满分分）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数 为奇函数。 （1）判断函数的奇偶性，求函数的图象的对称中心，并说明理由； （2）已知函数，问函数是否有对称中心？若有，求出对称中心；若没有，请说明理由； （3）对于不同的函数与函数，若、的图象都是有且仅有一个对称中心，分别记为和。 ①求证：当时，的图象仍有对称中心； ②当时，的图象是否仍一定有对称中心？若一定有，请说明理由；若不一定有，请举出具体的反例。 【解析】（1）为奇函数，证明如下： 1分 的定义域为，，∴为奇函数， 3分 ，∴， 5分 ∴是奇函数，由题意可知图象的对称中心为； 6分 （2） ， 8分 取，则，此时， 9分 ∴有对称中心为； 10分 （3）根据题意，、， 11分 ①证明：当时，， ∴此时的图象仍有对称中心，对称中心为或； 13分 ②当时，不一定有对称重心， 14分 设，则的图象关于点中心对称，∴、， 设，则的图象关于点中心对称，∴、， 此时，其图象不关于某一点对称，即没有对称中心。 17分 19．（本小题满分分）定义：对于任意大于零的自然数，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列。 （1）若等差数列的前项和为，且、，判断数列是否是数列，并说明理由； （2）若各项为正数的等比数列的前项和为，且、，证明：数列是数列； （3）设数列是各项均为正整数的数列，求证：。 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，解得， 2分 则，∴，4分 但等差数列为递增数列，则当时，，∴数列不是数列； 5分 （2）设等比数列的公比为，则，解得，∴， ∴，∴， 8分 则， 10分 又，即对任意大于零的自然数，满足条件，且， 即数列是数列； 11分 （3）假设存在正整数使得成立， 由数列的各项均为正整数，可得，即， ∵，∴， 由及得，∴， ∵，∴， 由此类推可得（）， 15分 ∵又存在，使， ∴当时，，这与数列的各项均为正数矛盾，∴假设不成立， 即任意大于零的自然数，都有成立。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$