辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二数学下学期期末考试模拟卷C（函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷C 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．在正项等比数列中，、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．若幂函数（）为偶函数，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是下面四个图象中的（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．已知为锐角，，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．设，若（且），则（ ）。 A、 B、 C、 D、 7．已知实数、、满足：、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 8．若正项等比数列满足，且存在两项、，使得，则的最小值为 （ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知幂函数（），则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则函数在内单调递减 B、若，则函数为奇函数 C、函数的图象过定点 D、若，则 10．已知函数（），则下列说法错误的是（ ）。 A、函数有两个极值点 B、若，则当时， C、若函数有三个零点，则实数的取值范围为 D、若存在，满足，则 11．已知数列的首项，且，则下列说法正确的是（ ）。 A、数列为递减数列 B、 C、 D、 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 。 13．若、是关于的方程（）的两个实数根，则实数 。 14．已知函数，函数（且），若曲线：和曲线：的公切线有两条，则实数的取值范围为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，求的值。 16．（本小题满分分）已知函数的定义域为，若对于任意的、（）， 均成立，则称函数是“平缓函数”。 （1）若函数，试判断函数是否为“平缓函数”并说明理由； （2）已知函数的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由； （3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的、（），均有。 17．（本小题满分分）已知数列是各项为正的等比数列，且满足：，。数列的前项和为，且满足：，。 （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列满足，求证：。 18．（本小题满分分）已知函数，。 （1）求曲线：在点处的切线方程； （2）求函数在内的极值点个数； （3）若且时，都有成立，求实数的取值范围。 19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。 （1）若（），求、、的值； （2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。 参考数据：。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷C （函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】∵、，∴，故选A。 2．在正项等比数列中，、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】设的公比为（），∵，∴， ∴，解得（舍去）或（可取）， ∴，故选A。 3．若幂函数（）为偶函数，则实数（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵为幂函数，∴，即，解得或， 当时，，为奇函数，不符合题意，舍去， 当时，，为偶函数，符合题意，可取， 故选B。 4．已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是下面四个图象中的（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 当时，，为减函数， 当时，，为增函数， 故选C。 5．已知为锐角，，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵，∴，∵，∴， ∴， ∴ ，故选B。 6．设，若（且），则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】， 而，∴，∴，解得，故选B。 7．已知实数、、满足：、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设，则在上单调递增， ∵、、，∴，且， 由得，∴，即，∴， 由得，∴，即， ∴，∴，∴， 故选C。 8．若正项等比数列满足，且存在两项、，使得，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设数列的公比为（），∵，∴， ∴，即，解得， ∵，∴，∴，∴， ∴， 当且仅当，即，即、时，取得最小值， 又、，∴， 只能逐一验证，当、时，， 当、时，， 当、时，， 当、时，， 当、时，， ∴的最小值为，故选C。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．已知幂函数（），则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则函数在内单调递减 B、若，则函数为奇函数 C、函数的图象过定点 D、若，则 【答案】BD 【解析】∵为幂函数，∴，解得或， A选项，当时，，则在内单调递增，错， B选项，当时，，则，定义域为，∴为奇函数， 当时，，则，定义域为，∴为奇函数， ∴当时，为奇函数，对， C选项，∵，∴，当时，， ∴的图象过定点，错， D选项，当时，，定义域为， ，对， 故选BD。 10．已知函数（），则下列说法错误的是（ ）。 A、函数有两个极值点 B、若，则当时， C、若函数有三个零点，则实数的取值范围为 D、若存在，满足，则 【答案】ABD 【解析】的定义域为，， A选项，当时，恒成立，此时无极值点，错， B选项，当时，令，解得或， 当或时，，∴在和内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴当时，，错， C选项，当时，单调递增，至多只有一个零点，不符合题意， 当时，在处取极大值，在处取极小值， 若有三个零点，则只需，解得，对， D选项，∵， ∴等价于或，∴，错， 故选ABD。 11．已知数列的首项，且，则下列说法正确的是（ ）。 A、数列为递减数列 B、 C、 D、 【答案】ABD 【解析】由和可知，的各项均为正值， 由可得，∴，则为递减数列，A选项对， 由A选项的分析可知：为递减数列，又∵，∴，B选项对， 由两边同时取倒数可得， 则，∴， ∵为递减数列，由可得， 当时，，即， 当时，，即，……， ∴当时，，累加可得：， ∴，则，∴，C选项错， ∴，∴，D选项错， 故选ABD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 。 【答案】 【解析】∵是定义域为的奇函数，∴， ∵，∴。 13．若、是关于的方程（）的两个实数根，则实数 。 【答案】 【解析】由题设，解得或， 由韦达定理得、， 又， ∴，即，解得，又或，∴。 14．已知函数，函数（且），若曲线：和曲线：的公切线有两条，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】设曲线：的切点为：，， ∴过该切点的切线斜率为，又， ∴过该切点的切线方程为：，即， 设曲线：的切点为：，， ∴过该切点的切线斜率为，又， ∴过该切点的切线方程为：，即， 则两曲线的公切线应该满足：，化简得：， 构造函数，定义域为，，令，解得， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，为， 又当时，，当时， ∴函数的图象大致如下图所示，∴，即实数的取值范围为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）根据要求完成下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，且，求的值； （3）若，求的值。 【解析】（1）∵，∴， 1分 ∴原式； 4分 （2）∵，∴， ∴， 6分 又∵，∴、，∴， 7分 ∴ ； 9分 （3）由题意可知，， 10分 当时，， 11分 当时，， 12分 。 13分 16．（本小题满分分）已知函数的定义域为的函数，若对于任意的、（）， 均成立，则称函数是“平缓函数”。 （1）若函数，试判断函数是否为“平缓函数”并说明理由； （2）已知函数的导函数存在，判断下列命题的真假：若是“平缓函数”，则，并说明理由； （3）若函数是“平缓函数”，且是以为周期的周期函数，证明：对任意的、（），均有 。 【解析】（1）令、，∵，∴，， 不满足对任意的、（），均成立， ∴不是“平缓函数”； 4分 （2）命题为真命题，，令、， ∵是“平缓函数”，∴，∴， ∴，∴命题为真命题； 8分 （3）∵是以为周期的周期函数，∴设、， 9分 当时，∵是“平缓函数”，∴ ， 10分 当时，设，则， ∵是以为周期的周期函数，∴， ∵是“平缓函数”， ∴ ， 13分 ∴对任意的、，均有， 14分 又∵是以为周期的周期函数， ∴对任意的、（），均有。 15分 17．（本小题满分分）已知数列是各项为正的等比数列，且满足：，。数列的前项和为，且满足：，。 （1）求数列和数列的通项公式； （2）数列满足，求证：。 【解析】（1）∵数列是各项为正的等比数列，设公比为（），首项为， 又∵，∴，即， 即，即，解得（舍去）或（可取）， ∴，∴， 4分 ∵，， 当时，，解得：， 当时，，即，即，， ∴从第二项起是常数数列，∴，∴， 验证，当时符合，∴当时，； 8分 （2）证明：∵， ∴， 10分 设，则， 两式相减得： ， 14分 ∴，∴。 15分 18．（本小题满分分）已知函数，。 （1）求曲线：在点处的切线方程； （2）求函数在内的极值点个数； （3）若且时，都有成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 ，∴切点，，∴切线斜率， 3分 ∴切线方程为，即； 4分 （2）， 5分 当时，恒成立，∴在内单调递减，且， 6分 当时，即时，恒成立，∴在内单调递增， 此时在内无极值点， 7分 当时，即时，， ， 9分 而，∴存在唯一一个，使得， 10分 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴在处取得极大值，无极小值， ∴在内有唯一一个极大值点，无极小值点； 12分 （3）当且时，且， 13分 由（2）可知，当时，在内单调递增，在内单调递减， 且，则， 若，则，不符合题意， 14分 当时，在内单调递增，满足且的情况， ， ， 设，定义域为， 则， ∴在内单调递增，且， ∴当时，，即， ∴当时，，符合题意， 16分 综上所述，实数的取值范围为。 17分 19．（本小题满分分）如果数列、，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”。已知数列为数列的“接近数列”。 （1）若（），求、、的值； （2）若数列是等差数列，且公差为（），求证：数列是等差数列； （3）若数列满足，且，记数列、的前项和分别为、，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由。 参考数据：。 【解析】（1），则，即，即，解得， 又∵，∴， 1分 ，则，即，即，解得， 又∵，∴， 2分 ，则，即，即，解得， 又∵，∴； 3分 （2）由题意，∴、， 4分 ∴，即，即， 5分 ∵、，∴，即， 6分 ∴数列是公差为（）的等差数列； 7分 （3）构造等比数列，公比为，∴，∴， ∴，∵，∴， ∴是首项为、公比为的等比数列， ∴，∴， 10分 ∴， 11分 当为奇数时，，数列单调递减，∴， ∴，而，∴， 12分 当为偶数时，，数列单调递增，， ∴，而，∴， 13分 ∴， 14分 当为偶数时，，由得， 即，无解， 15分 当为奇数时，，由得， 即，解得，正奇数的最小值为， 16分 ∴存在正整数，使得，正整数的最小值为。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$