辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二数学下学期期末考试模拟卷B（函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列）

绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷B （函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】∵、，∴，故选C。 2．命题：“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】，则，当且仅当时取等号，若命题为真，则， ∴命题为真命题的一个充分不必要条件是集合的真子集，只有满足要求，故选D。 3．函数的大致图象为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】的定义域为， ∵，∴为奇函数，排除A选项、B选项， 又，排除C选项，故选D。 4．已知数列是等比数列，公比为，数列是等差数列，公差为，且、、，又，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】由题意可知，，∴，∴，故选D。 5．已知、、，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】， ， ， ∴，∴，故选B。 6．一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的实心塔群，共分十二阶梯式平台，自上而下一共层，每层的塔数均不少于上一层的塔数，总计座。已知其中层的塔数成公差不为零的等差数列，剩下两层的塔数之和为，则第层的塔数为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】A 【解析】设成为等差数列的其中层的塔数为：、、……、，由已知得，该等差数列为递增数列， ∵剩下两层的塔数之和为，则剩下两层中的任一层，都不可能是第十二层， ∴第十二层塔数必为， ∴，∴①，又由②，且， ∴①+②得，∴，由知， 又∵，观察答案，当且仅当时，满足条件，∴， 组成等差数列的塔数为：、、、、、、、、、， 剩下两层的塔数之和为，只能为和， ∴十二层的塔数，从上到下，可以如下排列：、、、、、、、、、、、， 其中第二层的和第五层的不组成等差数列，满足题意，则第层的塔数为，故选A。 7．已知、是函数的图象上不同的两点，则下列判断正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】的定义域为，且在内单调递增，设，∴， ，∵，∴不能取等号， ∴，C选项对、D选项错， 取、，则、，则，A选项错， 取、，则、，则，B选项错， 故选C。 8．已知函数与函数存在公切线，则实数的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】的定义域为，，定义域为，，切线方程为， 设公切线在的图象上的切点为，设公切线在的图象上的切点为， 则且，∴且，∴， 设，定义域为，，且在内单调递增， 又，∴当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值，∴， ∴，∴，即实数的最小值为，故选C。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．设，已知、是关于的方程（）的两个不相等的实数根，则下列等式正确的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】BD 【解析】∵、是关于的方程的两根，∴、， ∴，解得，经验证，可取， ∴、，∵，∴，∴， ∴， ∴、，∴， ∴， ∴A选项错、B选项对、C选项错、D选项对，故选BD。 10．已知定义域为的函数与函数满足：、，又函数的图象关于直线轴对称，且，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、函数的图象关于点中心对称 C、 D、 【答案】ABC 【解析】A选项，∵的图象关于直线轴对称，∴， 把都换成，∴，即，对， B选项，∵，把都换成，∴， 又∵，∴， 把都换成，∴，∴的图象关于点中心对称，对， C选项，∵，把都换成，∴， 即，又∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∴，对， D选项，由B选项可知，，∵，∴， ∵，∴， ，， ∴，错， 故选ABC。 11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。 A、函数的极小值为 B、函数有两个零点 C、若、，设，且，则 D、存在正整数，使得恒成立 【答案】AC 【解析】A选项，的定义域为，，令，解得， 当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值为，对， B选项，，定义域为， 恒成立， ∴在内单调递减，∴函数不可能有两个零点，错， C选项，由A选项可知，要证明，即证明， 即证明， 设函数，定义域为， ∴，∴在内单调递减， ∴，∴，即，∴，对， D选项，不等式可化为， 设，定义域为，， 设，定义域为，， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， ∴在处取得极大值也是最大值，∴， ∴，∴在内单调递减，又当时，， ∴不可能存在正整数，使得恒成立，错， 故选AC。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12． 。 【答案】 【解析】∵，∴。 13．已知是定义域为的奇函数、是定义域为的偶函数，且满足（），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】∵是奇函数，是偶函数，且， ∴，解得、， 又∵对任意的，恒成立，即恒成立， ∴恒成立，∴恒成立， 设，则在内单调递增， 当时，，为一次函数，在内单调递增，符合题意，可取， 当时，为二次函数，对称轴为， 当时，需，解得， 当时，在内单调递增，符合题意，可取， 综上所述，，即实数的取值范围为。 14．设等差数列的前项和为。写出一个满足下列条件的 。 ①；②、。（答案不唯一，写出一个符合要求的答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】设等差数列的公差为，则，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴且且， 又且，∴， ∵，∴，∴，∵，∴，∴， 综上所述，， ∴，令，则。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：。 【解析】（1）设的公差为，∵，∴，即， 1分 又∵，∴，即， 2分 ∴、，∴； 4分 （2）由（1）可知，，∵，∴，∴， 6分 当时， ， 9分 验证，当时，符合，∴当时，， 10分 ∴ 。 13分 16．（本小题满分分）已知、，且。 （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求的最大值。 【解析】（1）∵、，∴、，又∵， ∴， 当且仅当时，即时，即、时取等号（最小值）， ∴的最小值为； 4分 （2）∵、，∴、，又∵， ∴， 当且仅当时，即时，即、时取等号（最小值）， ∴的最小值为； 8分 （3）∵，即，∵、，∴， ∴， ∵，∴，，∴， ∴，当且仅当时，即、时取等号（最大值）， ∴的最大值为。 15分 17．（本小题满分分）已知递增数列的首项为，且。 （1）求、及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积。 【解析】（1）∵为递增数列，，∴恒成立， 1分 当时，，即，解得（舍）或（取）， 2分 当时，，即，解得（舍）或（取）， 3分 又恒成立，∴，∴， 即，∴，∴是首项为、公差为的等差数列， 6分 ∴，∴； 8分 （2）由（1）可知，， 11分 ∴ 。 15分 18．（本小题满分分）已知函数，。 （1）若函数的极大值为，求实数的值； （2）证明：当时，。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 当时，恒成立，在内单调递增，无极大值，不合符题意，舍去， 2分 当时，令，解得， 当时，，∴在内单调递增， 当时，，∴在内单调递增， 4分 ∴在处取得极大值为 ， 即为， 6分 又在内单调递增，∴，解得； 7分 （2）证明：由（1）可知，当时，恒成立，即恒成立， 8分 要证当时，恒成立， 即证当时，恒成立， 又当时，，即证当时，恒成立， 10分 令，定义域为，， 11分 令，定义域为，， 12分 ∴在内单调递增，又、， ∴在内存在唯一一个使得，即， 13分 当时，，即，∴在内单调递减， 当时，，即，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值， ∴， 16分 ∴当时，恒成立。 17分 19．（本小题满分分）已知数列的前项积为。定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”。 （1）若，且数列为“数列”，求； （2）若，且数列为“数列”，设数列的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求的值和数列的通项公式； （3）若、，且数列为“数列”，数列的前项和为，证明：。 【解析】（1）∵，且为“数列”，∴，即， 1分 则、、 、 ； 3分 （2）设数列的公比为（），由得，∴， 4分 即，则， 两式相减得， 即， 6分 ∵是首项为的“数列”，∴，即， ∴，即对任意的恒成立， 7分 ∵、， 则，解得、， 9分 又由得，解得，∴， 验证，当时，符合要求，∴； 11分 （3）∵为“数列”，∴对任意的恒成立， ∵、，∴，再结合、、， 反复利用，可得对任意的，， 12分 设函数，定义域为，，令，解得， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， 又，∴，∴， 15分 ∴、、…、， 累加可得， 即，即，∴。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 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C、若、，设，且，则 D、存在正整数，使得恒成立 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12． 。 13．已知是定义域为的奇函数、是定义域为的偶函数，且满足（），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 。 14．设等差数列的前项和为。写出一个满足下列条件的 。 ①；②、。（答案不唯一，写出一个符合要求的答案即可） 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）已知等差数列的前项和为，且，。 （1）求数列的通项公式； （2）数列满足，令，求证：。 16．（本小题满分分）已知、，且。 （1）求的最小值： （2）求的最小值； （3）求的最大值。 17．（本小题满分分）已知递增数列的首项为，且。 （1）求、及数列的通项公式； （2）令，求数列的前项积。 18．（本小题满分分）已知函数，。 （1）若函数的极大值为，求实数的值； （2）证明：当时，。 19．（本小题满分分）已知数列的前项积为。定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”。 （1）若，且数列为“数列”，求； （2）若，且数列为“数列”，设数列的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，且满足，求的值和数列的通项公式； （3）若、，且数列为“数列”，数列的前项和为，证明：。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$