辽宁省重点高中协作校2024-2025学年高二数学下学期期末考试模拟卷A（函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列）

( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷A 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 2．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 3．已知正数、满足，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 4．已知锐角满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 5．设函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 6．已知函数是函数的导函数，如图所示将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能成立的是（ ）。 A、B、C、D、 7．已知函数（），若只有一个零点，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．下列求导运算结果错误的是（ ）。 A、若函数，则 B、若函数，则 C、若函数，则 D、若函数，则 10．已知函数，关于的方程（）有从小到大排列的四个不同的实数根、、、，设，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、的最小值为 D、的最大值为 11．已知数列的通项公式为（），则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则数列单调递减 B、若对任意，都有，则 C、若，则对任意，都有 D、若数列的最大项与最小项之和为正数，则（） 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知角的始边与轴非负半轴重合，点是角的终边上的一点，则 。 13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，（）。若，恒成立，则实数的取值范围为 。 14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系。要求及图示如下：（Ⅰ）函数在内单调递增；（Ⅱ）每天运动时间为分钟时，当天得分为分；（Ⅲ）每天运动时间为分钟时，当天得分为分；（Ⅳ）每天最多得分不超过分。 现有以下三个函数模型供选择：①，②，③，其中、。 （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于分，至少需要锻炼多少分钟。（注：，结果保留整数）。 16．（本小题满分分）已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对于任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。 17．（本小题满分分）在数列中，，，且（）。设为满足的的个数。 （1）求、的值； （2）设，数列的前项和为，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 18．（本小题满分分）已知函数。 （1）求函数在处的切线方程； （2）若不等式（）恒成立，求实数的取值范围。 19．（本小题满分分）已知，，定义：数列共有项，对任意、（且），存在（且），使得或存在（且），使得，则称数列为“封闭数列”。 （1）若（且），判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列、、、、为“封闭数列”，求、、； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：数列是等比数列。 数学试题 第7页（共8页） 数学试题 第8页（共8页） 数学试题 第1页（共8页） 数学试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用并使用完毕前 测试时间： 年 月 日 时 分—— 时 分 辽宁省重点高中协作校2024-2025学年第二学期高二期末考试模拟卷A （函数与导数、集合与命题、等式与不等式、三角函数恒等变化、数列） 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知集合、集合，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】，， ∴，故选C。 2．若“，使得”是假命题，则实数的取值范围为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】设命题：“，使得”，则为假命题， ∴：“，”，则为真命题， ∴的，解得，即实数的取值范围为，故选C。 3．已知正数、满足，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】∵，∴，又∵，∴， 当且仅当时，即时取等号（最小值），故选D。 4．已知锐角满足，则（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】∵，∴， ∴，即， ∵为锐角，∴，∴，即， 即，∵为锐角，∴，故选B。 5．设函数，若正实数、满足，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】的定义域为，，∴为奇函数， ∵正实数、满足，∴，即， 则， 当且仅当时，即、时取等号（最小值）， ∴的最小值为，故选C。 6．已知函数是函数的导函数，如图所示将和的图象画在同一个平面直角坐标系中，其中可能成立的是（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】A选项，若曲线为导函数图象是先减再增的且恒大于等于，则原函数为直线图象不对， 若直线为导函数图象，则单调性（极值点）不对， B选项，若曲线为导函数图象，则其单调递减且恒大于等于，则原函数为直线图象不对， 若直线为导函数图象，则单调性不对， C选项，若上线为导函数，则导函数单调递增且恒大于，原函数为单调递增的曲线成立， D选项，若上线为导函数，则其恒大于，原函数应单调递增，不对， 若下线为导函数，则其恒小于，原函数应单调递减，不对， 故选C。 7．已知函数（），若只有一个零点，则的最小值为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】D 【解析】令，解得或，∵只有一个零点，∴， 设，可以看成点到的距离的平方， 而到的距离为，的定义域为，， 在点处的切线斜率为，则直线方程为， 直线斜率为，则与线段垂直， 又（）的图象在直线的下方， 综上所述，的最小值为，故选D。 8．已知数列，令为、、…、中的最大值（），则称数列为数列的“控制数列”， 数列中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”。例如：数列为、、、、，则“控制数列”为、、、、，其“阶数”为，若数列由、、、、任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为的所有数列的个数为（ ）。 A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】当由、构成时，则、，、、为、、的一个排列， ∴满足条件的数列有个， 当由、构成时，则、，、、为、、的一个排列， 或、，，、为、的一个排列， ∴满足条件的数列有个， 当由、构成时，则，、、、为、、、的一个排列， 且数字排在的后面，∴满足条件的数列有个， 当由、构成时，则，、、、为、、、的一个排列， ∴满足条件的数列有个， 由分类加法计数原理可得满足条件的数列共有个，故选C。 二、选择题：本题共小题，每小题分，共分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得分，部分选对的得部分分，有选错的得分。 9．下列求导运算结果错误的是（ ）。 A、若函数，则 B、若函数，则 C、若函数，则 D、若函数，则 【答案】ABC 【解析】A选项，的定义域为，，错， B选项，的定义域为，，错， C选项，的定义域为，，错， D选项，的定义域为（），，对， 故选ABC。 10．已知函数，关于的方程（）有从小到大排列的四个不同的实数根、、、，设，则下列说法正确的是（ ）。 A、 B、 C、的最小值为 D、的最大值为 【答案】AC 【解析】作的图象如图所示， 关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根、、、， 等价于的图象与水平直线有四个不同交点，则，A选项对， 令，则或，数形结合有，B选项错， 由二次函数图象性质可知，，又由可知，， ∴， 当且仅当时，即时取等号（最小值），C选项对， 又∵，∴无最大值，D选项错， 故选AC。 11．已知数列的通项公式为（），则下列说法正确的是（ ）。 A、若，则数列单调递减 B、若对任意，都有，则 C、若，则对任意，都有 D、若数列的最大项与最小项之和为正数，则（） 【答案】ACD 【解析】A选项，、，， ∵、，∴，∴， ∴，即单调递减，对， B选项，、， 当为偶数时，恒成立，， 当为奇数且时，为，等价于， 等价于，而，∴， 综上所述，，错， C选项，显然当、同奇或同偶时，必有， 当为奇数，为偶数时，， ∵为奇数，为偶数，，∴，∴， 同理可知，当为奇数，为偶数时，， 综上所述，，对， D选项，先考虑最大项，最小项和为，再调整， 若和为，则必为相邻两整数正中间，如图所示是时，， 如图所示是当时，会有，， 如图所示当时，会有，， 即靠近偶数时，的最大项与最小项之和为正数， 临界值为（），对， 故选ACD。 三、填空题：本题共小题，每小题分，共分。 12．已知角的始边与轴非负半轴重合，是角终边上一点，则 。 【答案】 【解析】由根据三角函数定义可知，、， 原式 。 13．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，（）。若，恒成立，则实数的取值范围为 。 【答案】 【解析】当时，恒成立，可取， 当时，可以理解为将的图象向右平移个单位长度后， 得到的的图象始终在的图象的下方（或重合）， 当时，由的图象可知，，解得， 当时，的图象始终在的图象的下方， ∴实数的取值范围为。 14．若直线为曲线的一条切线，则的最大值为 。 【答案】 【解析】设，定义域为，则，设切点为，则， 则切线方程为，整理可得， ∴，解得、，∴，∴， 设，定义域为，则， 当时，，在内单调递增， 当时，，在内单调递减， ∴当时，取得最大值，∴的最大值为。 四、解答题：本题共小题，共分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间（单位：分）的函数关系。要求及图示如下：（Ⅰ）函数在内单调递增；（Ⅱ）每天运动时间为分钟时，当天得分为分；（Ⅲ）每天运动时间为分钟时，当天得分为分；（Ⅳ）每天最多得分不超过分。 现有以下三个函数模型供选择：①，②，③，其中、。 （1）请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由： （2）根据所给信息求出函数的解析式； （3）求每天得分不少于分，至少需要锻炼多少分钟。（注：，结果保留整数）。 【解析】（1）对于模型③（、）， 对数型的函数增长速度较慢，符合题意，∴选项模型③； 3分 （2）所求函数过点、，则，解得、， 7分 ∴所求函数为，经检验，当时，，符合要求， 综上所述，函数的解析式为； 9分 （3）∵每天得分不少于分，∴，即， ∴，即， ∴至少需要锻炼分钟。 13分 16．（本小题满分分）已知函数，。 （1）讨论函数的单调性； （2）当时，对于任意，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 当时，令，解得，当时，，∴在内单调递减， 当时，，∴在内单调递增， 3分 当时，令，解得或， 当或时，，∴在和内单调递增， 当时，，∴在内单调递减， 5分 当时，内恒成立，∴在内单调递增， 6分 当时，令，解得或， 当或时，，∴在和内单调递增， 当时，，∴在内单调递减； 8分 （2）由（1）可知，当时，在内单调递增，∴， 令，解得，∴， 10分 当时，在内单调递减，在内单调递增， ∴， 设，定义域为，， ，当时，恒成立， ∴在内单调递减，∴， ∴在内单调递减，而，∴， 14分 综上所述，实数的取值范围为。 15分 17．（本小题满分分）在数列中，，，且（）。设为满足的的个数。 （1）求、的值； （2）设，数列的前项和为，对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）由题意可知，当时，，∴数列是等差数列， 1分 设数列的公差为，∴，∴，解得， 3分 ∴， 4分 ∵为满足的的个数，∴，∴、； 6分 （2）由（1）得， 8分 ∴ ， 10分 设，，则，∴， 12分 ∵对任意的，不等式恒成立，即， 即，即，解得， 即实数的取值范围为。 15分 18．（本小题满分分）已知函数。 （1）求函数在处的切线方程； （2）若不等式（）恒成立，求实数的取值范围。 【解析】（1）的定义域为，， 1分 又、， 2分 ∴的图象在处的切线方程为，即； 4分 （2）∵，∴转化为在内恒成立，∴，5分 令，定义域为，， 6分 令，定义域为，， 7分 当时，恒成立，∴在内单调递增， 又、， ∴存在唯一一个，使得，即， 9分 ∴当时，，即，∴在内单调递减， 当时，，即，∴在内单调递增， ∴在处取得极小值也是最小值，∴， 11分 又由得，， 13分 令，定义域为，，当时，恒成立， ∴在内单调递增，∴在内为一一对应函数，∴，即， ∴， 16分 ∴，即实数的取值范围为。 17分 19．（本小题满分分）已知，，定义：数列共有项，对任意、（且），存在（且），使得或存在（且），使得，则称数列为“封闭数列”。 （1）若（且），判断数列是否为“封闭数列”； （2）已知递增数列、、、、为“封闭数列”，求、、； （3）已知数列单调递增，且为“封闭数列”，若，证明：数列是等比数列。 【解析】（1）由题意可知、、、、、、、、、， ∵、，均不是中的项，∴数列不是“封闭数列”； 4分 （2）由数列递增可知，则不是中的项，∴是中的项，∴，6分 ∵（且），∴、、都是中的项，∴，∴， 8分 ∵得； 9分 （3）∵单调递增，∴，∴不是中的项，∴是中的项，∴， 11分 ∵（且）不是中的项，∴是中的项， ∴， ∵、、、、…、、共有项， ∴（且）， 13分 ∴（且）不是中的项，∴是中的项， ∴， ∴（且）， 15分 ∴，∴是首项为的等比数列。 17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$