第07讲 函数的应用（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第07讲 函数的应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 求函数零点或方程根的个数 题型02 根据函数零点的个数求参数范围 题型03 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型04 常见的函数模型 题型05 利用给定函数模型解决实际问题 题型06 建立拟合函数模型解决实际问题 02 核心突破提升练 01 求函数零点或方程根的个数 1．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 2．若的值域为，则至多有 个零点. 3．已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ． 4．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为 ． 5．已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为 ． 6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 02 根据函数零点的个数求参数范围 7．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 8．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 9．已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 11．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 12．已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 03 根据二次函数零点的分布求参数的范围 13．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 14．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 15．已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是 . 16．已知、、为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为 . 17．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为 . 18．已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 . 19．已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 20．设函数，定义集合，集合． (1)若，写出相应的集合和； (2)若集合，求出所有满足条件的； (3)若集合只含有一个元素，求证：． 21．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 04常见的函数模型 22．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率 .（精确到） 23．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 . 24．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    25．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 26．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的 倍．（结果保留一位小数） 27．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）． （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）； （2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）． 28．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 29．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 30．以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》. 年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量 火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电 2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题： (1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？ (2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？ 05 利用给定函数模型解决实际问题 31．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 32．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 33．小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 34．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 35．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 36．某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下： 车型 A B C D E F 价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元 占比 5% 15% 25% 35% 15% 5% (1)如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？ (2)车企推出两种付款方式： 全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%； 分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的． ①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001） ②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001） 37．某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 38．已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． (1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）； (2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？ 39．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：① ；② ；③（以上三式中 均为常数．） (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ (2)若 ，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是 ，其中 表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？ 40．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果． (1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？ (2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？ 41．某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） (1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； (2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 06 建立拟合函数模型解决实际问题 42．一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序 ． 43．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是 ． 44．在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 45．甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 46．上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2.所有人员排成单列行进撤离； 3.队列中人员的间隔是均匀的； 4.队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 47．第四届 “进博会” 将于2021年11月份在国家会展中心进行．某企业计划在会展中心租用一个长方形展区用于产品展示, 按照产品的展示要求, 需要将展区设计为产品陈列区（阴影部分）和观众人行道两部分．已知产品陈列区的面积需要4000平方米，人行道的宽分别需要4米和10米（如图） (1)设产品陈列区的长和宽的比（长＞宽），求展区所占面积关于的函数的解析式； (2)为了使参展所用费用最小（即展区所占面积最小，不考虑其它），问：产品陈列区的长和宽该如何设计？ 48．某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 49．李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息： 款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里； 款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里. (1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）； (2)为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由. 50．某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道． 为了简单起见，现作如下假设： 假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1； 假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路； 假设3：路的宽度在这里暂时不考虑； 假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示． 图1-图3中的相关边、角满足以下条件： 直线与的交点是，，．米． 小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米． (1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长； (2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值； (3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价． 一、单选题 1．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3． 小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．函数的零点是 ． 5．若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是 . 6．（2025·上海·模拟预测）关于x的方程的解集为 ． 7．若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数 . 8．已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 9．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满足条件的正整数的值共有 个． 10．对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 . 三、解答题 11．已知函数. (1)若，求函数在上的零点； (2)已知，函数，，求函数的值域. 12．已知直线与函数、的图像分别交于M、N两点． (1)当时，求的值； (2)求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点． 13．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过千米时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 14．某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 15．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 16．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.02In﹣0.2． 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.08In﹣0.46． 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除． (1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？ 17．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？ (1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？ (2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题. 18．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 函数的应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 求函数零点或方程根的个数 题型02 根据函数零点的个数求参数范围 题型03 根据二次函数零点的分布求参数的范围 题型04 常见的函数模型 题型05 利用给定函数模型解决实际问题 题型06 建立拟合函数模型解决实际问题 02 核心突破提升练 01 求函数零点或方程根的个数 1．（2025·上海·三模）函数的零点个数为 【答案】3 【知识点】求函数的零点、正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案. 【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，   时，函数取最大值， 时函数的值为， 又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点. 所以的零点个数为个. 故答案为：. 2．若的值域为，则至多有 个零点. 【答案】4 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】分别代入、、，求出的解，即可得出答案. 【详解】当时，， 由可得，； 当时，， 由可得，或； 当时，， 由可得，或. 综上所述，的零点可能是或或或. 所以，的零点至多有4个. 故答案为：4. 3．已知幂函数的图像过点，则函数的零点为 ． 【答案】，， 【知识点】求函数零点或方程根的个数、求幂函数的解析式 【分析】设幂函数解析式，求解函数解析式，解方程即可得函数函数的零点. 【详解】设幂函数，因为函数的图像过点，所以，解得 所以，则函数的零点为方程的根，解得或， 所以函数的零点为，，. 故答案为：，，. 4．对于给定的正整数()，定义在区间上的函数满足：当时，，且对任意的，都成立．若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则关于的方程的实数解的个数为 ． 【答案】 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】数形结合，画出在区间上图象，根据与的图象交点分析即可 【详解】由题意，画出在之间的图象，又对任意的，都成立，可理解为区间的图象由区间的图象往右平移一个单位，再往上平移一个单位所得，即可画出在上的图象. 故若与有关的实数使得方程在区间上有且仅有一个实数解，则与在区间上的图象相切，且易得的图象在与区间区间，…，上的公切线之间.故与在区间，…上均有2个交点，故关于的方程的实数解的个数为个 故答案为： 5．已知函数，是定义在R上的奇函数，且满足，当时，．则当时，方程实根的个数为 ． 【答案】506 【知识点】求函数零点或方程根的个数 【分析】转化为两个函数图像交点个数问题，然后作图结合周期性可得. 【详解】因为，所以的图像关于对称 又是定义在R上的奇函数，图像关于原点对称， 所以是周期为8的周期函数 分别作出在上的图像，共2个交点； 又刚好为的252个周期，易知在每个周期内有两个交点， 在上共有504个交点， 综上，共有506个交点，即方程实根的个数为506. 故答案为：506 6．（2025·上海黄浦·三模）已知函数是定义在D上的连续函数，其导函数为，函数的导函数为，定义函数运算：． (1)若，求出函数的极值点，并判断的符号； (2)若，，讨论方程解的个数； (3)若，当，，记与中较大者为．证明：． 【知识点】求已知函数的极值、利用导数证明不等式、求函数零点或方程根的个数 【分析】（1）令 ，解得 或 ，再求，分别代入求解即可； （2）求出，令 ，利用导数研究函数的单调性与极值，分类讨论即可得到答案. （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得，可得，结合导出矛盾，则假设不成立，进而可得结论. 【详解】（1），令，解得或， 由或；由. 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 所以是函数的极大值点；是函数的极小值点. 又，当时，； 当 时，. （2）因为 ，所以 ，， 则 ， 令 ，，， 令 ，即 ，因为 ，所以 ， 当 时，，所以 在上严格递增， 当 时，，所以 在上严格递减， 所以函数在 处取得最大值 ； 当 时，；当 时，， 时， 的图象无交点；当 时，的图象有 1 个交点；当 时，的图象有 2 个交点， 所以当 时，方程 无解；当 时，方程 有 1 个解；当 时，方程 有 2 个解； （3）假设 在 上的最大值在某个内点 处取得， 即时 ， 由最大值的定义且 可导，且，， 因为当，，所以 ， 所以 ，由于 ，所以 ，所以 ， 但 ，而 ，这与 矛盾， 因此，函数 在 上的最大值只能在端点 或 处取得， 即 02 根据函数零点的个数求参数范围 7．（2025·上海黄浦·二模）设、为常数，，若对任意的，函数在区间上恰有4个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据已知讨论、、，结合对应的解析式求值域，及零点个数求参数范围. 【详解】由，则，又， 当，，此时无零点， 当，，此时无零点， 当，如下图，此时，而， 要使在区间上恰有4个根，则，则.    故答案为： 8．（2025·上海·模拟预测）已知设，，若关于的不等式恰有一个整数解，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由一元二次不等式的解确定参数 【分析】作出函数的图象，令，即，设为方程的两个根，且，分、两种情况进行讨论，从而可得以及实数a的取值范围，则的范围可求. 【详解】作出函数的图像，如图所示，    有，， 当时，令，即， 设为方程的两个根，且， 由于，则有， 当时，，则必有， 则必包含在不等式的解中，由图可知的解为， 此时不等式的解中有2个整数，不符合题意， 当时，， 由图象可知，当时，对应的值唯一， 因为的解恰有一个整数，所以这个整数为， 则，当时，有最小值为，即有最大值为， 当时，，此时， 即； 故答案为：. 9．已知，其中实数.若函数有且仅有2个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】研究对数函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、由幂函数的单调性求参数 【分析】由题意可知有两根，通过方程求解即可. 【详解】由题意可知：有两根，结合在和都是单调递增， 所以有一解，解得：， 有一解，解得：， 所以， 故答案为：. 10．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】求函数的零点、根据函数零点的个数求参数范围、由函数在区间上的单调性求参数、利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【详解】（1），当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. （2），求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. 11．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、三角恒等变换的化简问题、数量积的坐标表示、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. 12．已知函数，，其中为自然对数的底数. (1)求函数的图象在点处的切线方程； (2)设函数， ①若，求函数的单调区间，并写出函数有三个零点时实数的取值范围； ②当时，分别为函数的极大值点和极小值点，且不等式对任意恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)①单调区间见解析，，②. 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程即得. （2）①把代入，求出的导数，确定的解集得单调区间，结合极大值、极小值求出的范围；②由导数求出，构造函数并借助导数探讨不等式恒成立即可. 【详解】（1）函数，求导得，得，而， 所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为R，求导得， ①当时，，，由，得或， 当或时，，当时，， 因此函数的单调增区间为和，单调减区间为； 极大值，极小值， 又， ， 所以函数有三个零点时的取值范围为. ②令，得或，解得或， 当或时，，当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此当时，取得极大值，当时，取得极小值，即有， 而，， 又不等式对任意恒成立，于是， 设， 显然，， 令，求导得， 则函数在上严格递减，有， 当时，，则有函数在上严格递减， ，符合题意； 当时，存在，使得，当时，，当时，， 因此函数在上严格递增，有，不符合题意， 所以实数的取值范围为. 【点睛】思路点睛：不等式恒成立或存在型问题，可构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题. 03 根据二次函数零点的分布求参数的范围 13．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用导数研究函数的零点、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据和的符号，将分为三个区间，，，并得到对应的不同的表达式，当时，无解；当时，有唯一解，通过分离常数得到，借助导数得到在上的值域，即可得到的取值范围；当时，将转化成关于的二次函数在上恰有两解的问题，即可求出的取值范围. 【详解】①当时， 所以，， ， 解得，不符合题意，所以在上无解. ②当时，， 所以，，， 令，所以， 即 令，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 此时在上有唯一解； ③当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以在上有两解， 即在上有两解， 即在上有两解. 令 所以，即 解得， 综上①②③，所以的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·上海松江·二模）设，若函数在区间内恰好有6个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】三角函数综合、根据二次函数零点的分布求参数的范围、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】由最多有两个零点，可得至少四个根，分别讨论当和时两个函数零点的个数情况，再结合考虑求解即可. 【详解】当时，令，则， 解得.因为，所以， 当时，，其对称轴为，二次函数最多两个零点. 当二次函数有两个零点时： 结合二次函数图象性质， 解得，即； 解得，即，， 所以当二次函数有两个零点时，的取值范围是. 此时应有四个解，即有四个解. 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 当时，；所以，即 所以当有四个解时 所以当在区间内恰好有6个零点时的取值范围是. 当二次函数有一个零点时：或，即或， 此时应有五个解，即有五个解，即， 所以； 当二次函数有零个零点时：，即， 此时应有六个解，即有六个解，即， 所以此时无符合条件的的值. 终上所述：的取值范围是. 故答案为： 15．已知函数在上存在零点， 且 ， 则 的取值范围是 . 【答案】 【知识点】画（判断）不等式（组）表示的可行域、利用不等式求值或取值范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】就、分类讨论，求解时利用不等式组表示的平面上的点的集合来求范围. 【详解】， 因为，所以， 若即，由零点存在定理可得在上存在零点， 考虑不等式组即在坐标平面上所表示的点的集合， 因为表示直线及直线下方所有的点， 同理表示直线与直线围成的所有点（包含边界，如图所示）， 由可得，，由图可得. 若，因为在上存在零点， 故即①， 同理可得在坐标平面中①所表示的点的集合如图所示： 由可得或（舍）， 由可得， 结合图形可得， 综上， 故答案为： 【点睛】思路点睛：对于含参数的二次函数在给定范围上的零点问题，注意利用零点存在定理把问题转化为平面上的点的集合问题来处理. 16．已知、、为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为 . 【答案】． 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】依题意从而可得，，则有结合，，为正整数可求得最小值 【详解】依题意，可知， 从而可知，， 所以有， 故， 又，，为正整数，取，则， 所以， 所以． 又，所以，因此有最小值为9． 故答案为：9 【点睛】方法点睛：二次方程的根的分布常从以下几个方面考虑：（1）抛物线的开口方向；（2）对称轴的问题；（3）判别式的大小；（4）与坐标轴的交点位置；（5）端点函数值的大小. 要结合已知条件灵活分析解答. 17．设二次函数，（且）在上至少有一个零点，则的最小值为 . 【答案】 【知识点】根据二次函数零点的分布求参数的范围、求点到直线的距离 【分析】由可得,即变换主元,视为关于的直线方程,则表示原点到点的距离的平方,最小值即为原点到直线的距离的平方,进而利用均值不等式求得的最小值即可. 【详解】由题,当时,有解, 则可设点在直线上, 则表示原点到点的距离的平方, 的最小值为原点到直线的距离的平方, 所以, 令, 原式, 因为,当且仅当,即时等号成立,不符合题意, 所以当时,最小,此时取得最小值为, 则的最小值为, 故答案为: 【点睛】本题考查由零点分布求参数范围,考查点到直线距离公式的应用,考查利用均值定理求最值,考查转化思想和运算能力. 18．已知函数，若关于的方程有三个不相等的实数解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【知识点】分段函数的性质及应用、根据函数零点的个数求参数范围、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】因为,即,画出函数图象,设有三个不同实数解,故方程有两个根,结合已知,即可求得答案. 【详解】 画出函数图象: 设 有三个不同实数解, 方程有两个根 其中一个在区间上,一个根为或在区间上, 若方程一个根为, ,另一根为,不满足条件. 故方程有两个根,其中一个在区间上,一个在区间 令 ①当时 则 解得: ②当时 即,故, 将代入 可得:, 解得: 满足方程两个根中,一个在区间上,一个在区间 综上所述,实数的取值范围为:. 故答案为:. 【点睛】本题主要考查了根据零点个数求参数范围,解题关键是掌握函数零点的定义,数形结合,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 19．已知函数，其中. (1)若不等式的解集是，求m的值； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求m的取值范围. 【答案】(1)－1； (2) 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】（1）根据题意，得到，根据韦达定理，直接求解即可 （2），，可得，根据对勾函数的性质，即可得到的取值范围 【详解】（1）的解集是，得到的解集是，所以， ，所以， （2）令，因为，所以，当时，， 即有，因为函数在区间上有且仅有一个零点，令，根据对勾函数的性质，可得，因为与有且仅有一个交点，根据对勾函数的图像性质，得或，进而可得答案为： 20．设函数，定义集合，集合． (1)若，写出相应的集合和； (2)若集合，求出所有满足条件的； (3)若集合只含有一个元素，求证：． 【答案】(1)， (2) (3)证明见解析 【知识点】集合新定义、根据集合中元素的个数求参数、根据二次函数零点的分布求参数的范围、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】（1）由、解得，可得，； （2）由得或，然后由，，方程只有一个实数解0，得， 转化为有唯一实数解0，可得答案； （3）由条件，有唯一解，得有解，分有唯一解、有两个解，结合的图像和实数解的个数可得答案. 【详解】（1），，由解得或，由解得，所以，． （2）由 ， 得或， ，，而方程只有一个实数解0，所以， 即只需有唯一实数解0，所以． （3）由条件，有唯一解，所以有解， ①若有唯一解，则，且有唯一解，结合图像可知，所以，所以．②若有两个解， 则，且两个方程，总共只有一个解，结合图像可知有唯一解，所以，，所以，且的对称轴，所以，所以． 综上，． 【点睛】本题主题考查了二次函数与二次方程之间的关系的相互转换，方程根与系数的应用，考查了系数对新定义的理解能力及计算能力. 21．已知函数，其中. （1）当时，求函数的零点； （2）若，，当时，关于的方程有3个不同的实数解，求实数的值及该方程的解； （3）若对任意，都有恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）1；（2），，，；（3）1. 【知识点】分类讨论证明绝对值不等式、根据二次函数零点的分布求参数的范围、求函数的零点 【分析】（1）当时，代入让得绝对值均为0求得函数的零点； （2）若，时，换元令，将方程转化为一元二次方程，利用根的分布分情况讨论求得的值及该方程的解； （3）先证．结合恒成立思想，考虑、（1），结合绝对值不等式的性质；再证当时，对一切，时恒成立，由二次函数的性质和绝对值不等式的性质，可得证明． 【详解】（1）当时，，则，得，所以函数的零点为1； （2）， 所以可化为, 令，因为，所以，则方程可化为， 要使原方程有3个实数根，则必须满足： 一根为，另两根在上；或者一根为，另两根在上. 1）若一根为0，另两根在上，则 时，则可化为，则， 此时，原方程有3个解，，； 2）若一根为1，另两根在上，则 时，则可化为，则，舍去 综上可知，，，，. （3）因为对任意，都有恒成立， 即对任意，都有恒成立 所以，且都有恒成立. ①当，时，恒成立. ②当，时，恒成立. ③当，时，由恒成立，则， 举例：当时，对一切时，恒成立. 当时，，因为，所以 所以 综上所述，的最小值为1. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是将绝对值去掉，先利用特殊值，，然后分情况讨论将绝对值去掉. 04常见的函数模型 22．某种微生物的日增长率r，经过n天后其数量由变化为p，并且满足方程，实验检测，这种微生物经过一周数量由2.58个单位增长到14.86个单位，则增长率 .（精确到） 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、指数函数模型的应用（2） 【分析】依题意列出方程，改为对数式后，利用计算器可解得结果. 【详解】依题意有，所以， 所以，所以. 故答案为： 【点睛】本题考查了指数式化对数式，考查了利用计算器求近似值，属于基础题. 23．在有声世界，声强级是表示声强度相对大小的指标.其值（单位：）定义为.其中为声场中某点的声强度，其单位为为基准值.若，则其相应的声强级为 . 【答案】130 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】将题中数据直接代入公式，结合对数运算求解. 【详解】因为，， 所以其相应的声强级为. 故答案为：130. 24．（2025·上海·模拟预测）如图所示，正方形是一块边长为的工程用料，阴影部分所示是被腐蚀的区域，其余部分完好，曲线为以为对称轴的抛物线的一部分，．工人师傅现要从完好的部分中截取一块矩形原料，当其面积有最大值时，的长为 ．    【答案】 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、面积、体积最大问题 【分析】建立平面直角坐标系如图所示，由已知求出抛物线方程，当时，矩形面积最大时为，当，设，即可得到关于的函数式，利用求导判断单调性，即可得到最值. 【详解】由题知，以为原点，建立平面直角坐标系，如图， 则，，设方程为：， 所以，，方程为：， 令矩形面积为， 当时，， 当，设，则， 所以， 则， 令，则，在上递增， 令，则或，在上递减， 又，，， 所以当的长为时，该矩形面积最大.    故答案为： 25．某物流公司为了扩大业务量，计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的仓库. 因仓库的背面靠墙，无须建造费用，设仓库前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：仓库前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 不考虑其他因素，若乙队要确保竞标成功，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】分式型函数模型的应用 【分析】根据题意得甲工程队整体报价，由题意可得，孤立参数根据对勾函数的性质确定函数单调性从而得最小值即可得实数的取值范围. 【详解】若仓库前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程整体报价为， 若乙队要确保竞标成功则， 所以，则， 因为，所以函数， 当且仅当时，即时，函数有最小值， 所以函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 26．在如今这个5G时代，6G研究己方兴末艾，2021年8月30日第九届未来信息通信技术国际研讨会在北京举办，会上传出消息，未来6G速率有望达到1Tbps，并启用毫米波、太赫兹、可见光等尖端科技，有望打造出空天地融合的立体网络，预计6G数据传输速率有望比5G快100倍，时延达到亚毫秒级水平．香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率取决于信道宽带，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比．若不改变宽带，而将信噪比从11提升至499，则最大信息传递率会提升到原来的 倍．（结果保留一位小数） 【答案】2.5/ 【知识点】对数函数模型的应用（2）、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为， 再根据题意求，利用指数、对数的运算性质化简即可求解. 【详解】设提升前最大信息传递率为，提升后最大信息传递率为，则 由题意可知，， ， 所以 倍. 所以最大信息传递率C会提升到原来的倍. 故答案为：2.5 27．某种生物身体的长度（单位：米）与其生长年限（单位：年）大致关系如下：（其中为自然对数的底，该生物出生时）． （1）求需要经过多少年，该生物身长才能超过8米（精确到0.1）； （2）该生物出生年后的一年里身长生长量可以表示为，求的最大值（精确到0.01）． 【答案】（1）约需要6.8年；（2）． 【知识点】对数函数模型的应用（2） 【分析】（1）根据题意由，利用指数和对数互化求解； （2）由，令，转化为，利用基本不等式求解； 【详解】（1）由题意得， 即， 解得：， 因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以， 即约需要6.8年． （2）， 令， 则 因为，当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以的最大值为． 28．研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间（单位：分钟）之间的变化曲线如图所示，当时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. （1）求函数的解析式； （2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？（精确到1分钟） 【答案】（1）；（2）14分钟. 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、对数函数模型的应用（2） 【解析】（1）根据题意，分别求得和上的解析式，即可求解； （2）当和时，令，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】（1）当时，设函数， 因为，所以，所以， 当时，， 由，解得，所以， 综上，函数的解析式为. （2）当时，令， 即，解得或（舍去），所以， 当时，令，得， 所以，所以学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟. 29．经过市场调研发现，某公司生产的某种时令商品在未来一个月（30天）内的日销售量（百件）与时间第天的关系如下表所示： 第天 1 3 10 30 日销售量（百件） 2 3 未来30天内，受市场因素影响，前15天此商品每天每件的利润（元）与时间第天的函数关系式为，且为整数，而后15天此商品每天每件的利润元与时间第天的函数关系式为（，且为整数）. (1)现给出以下两类函数模型：①（为常数）；②为常数，且.分析表格中的数据，请说明哪类函数模型更合适，并求出该函数解析式； (2)若这30天内该公司此商品的日销售利润始终不能超过4万元，则考虑转型.请判断该公司是否需要转型？并说明理由. 【答案】(1)选择函数模型①，其解析式为（且为整数） (2)这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型，理由见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、利用二次函数模型解决实际问题、指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）将将以及分别代入对应的函数模型，求得对应的函数解析式，再代入计算判断是否满足即可； （2）记日销售利润为，根据一次函数与二次函数的单调性分析的最大值，判断与4万元的大小关系判断即可 【详解】（1）若选择模型（1），将以及代入可得 解得，即，经验证，符合题意； 若选择模型（2），将以及代入可得， 解得，即， 当时，，故此函数模型不符题意， 因此选择函数模型（1），其解析式为（且为整数） （2）记日销售利润为， 当且为整数时，， 对称轴，故当时，利润取得最大值，且最大值为392（百元） 当且为整数时，， 当时，利润单调递减， 故当时取得最大值，且最大值为（百元） 所以，这30天内日利润均未能超过4万元，该公司需要考虑转型. 30．以太阳能和风能为代表的新能源发电具有取之不尽､零碳排放等优点.近年来我国新能源发电的装机容量快速增长，学校新能源发电研究课题组的同学通过查阅相关资料，整理出《2015-2020年全国各类发电装机容量统计表（单位：万万千瓦）》. 年份 传统能源发电 新能源发电 总装机容量 火力 发电 水力 发电 核能 发电 太阳能 发电 风能 发电 2015 10.06 3.20 0.27 0.43 1.31 15.27 2016 10.60 3.32 0.34 0.76 1.47 16.49 2017 11.10 3.44 0.36 1.30 1.64 17.84 2018 11.44 3.53 0.45 1.74 1.84 19.00 2019 11.90 3.56 0.49 2.10 2.05 20.10 2020 12.45 3.70 0.50 2.53 2.82 22.00 请根据上表提供的数据，解决课题小组的两个问题： (1)2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加多少万万千瓦（精确到0.01）？同期新能源发电装机容量的年平均增长率是多少（精确到0.1%）？ (2)假设从2021年开始，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加2万万千瓦，新能源发电装机容量的年平均增长率为，问从哪一年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的？ 【答案】(1)1.35， (2)2028 【知识点】指数函数模型的应用（2） 【分析】（1）由表中数据：分别得到2015年和2020年我国发电总装机容量，由平均增量等于末量减去初量除以增加年次求解；分别得到2015年和2020年我国新能源发电装机容量，设新能源发电装机容量的年平均增长率为x，由求解； （2）设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的，由求解. 【详解】（1）解：由表中数据知：2015年我国发电总装机容量为15.27万万千瓦， 2020年我国发电总装机容量为22.00万万千瓦， 所以2015年至2020年期间，我国发电总装机容量平均每年比上一年增加万万千瓦； 2015年我国新能源发电装机容量1.74万万千瓦， 2020年我国新能源发电装机容量5.35万万千瓦， 设2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为x， 则，即， 解得， 所以2015年至2020年期间，我国新能源发电装机容量的年平均增长率为； （2）以2021年为第一年，设第n年后我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的， 所以， 当时，， 当时，， 所以，即从年起，我国新能源发电装机容量首次超过发电总装机容量的. 05 利用给定函数模型解决实际问题 31．摩天轮常被当作一个城市的地标性建筑，如静安大悦城的“Sky Ring”摩天轮是上海首个悬臂式屋顶摩天轮.摩天轮最高点离地面高度106米，转盘直径56米，轮上设置30个极具时尚感的4人轿舱，拥有360度的绝佳视野.游客从离楼顶屋面最近的平台位置进入轿舱，开启后按逆时针匀速旋转t分钟后，游客距离地面的高度为h米，.若在，时刻，游客距离地面的高度相等，则的最小值为（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、求cosx（型）函数的最值、三角函数在生活中的应用 【分析】利用正弦型函数的性质分析即可. 【详解】由可知， 当时，， 当时，， 若在，时刻，游客距离地面的高度相等， 则由对称性可知此时的最小值为. 故选：B. 32．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数.当时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ） A．59 B．61 C．63 D．65 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】代入函数模型解方程可得． 【详解】由题意，， ． 故选：C． 33．小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 34．（2025·上海青浦·模拟预测）道路通行能力指单位时间（1小时）内通过道路上指定断面的最大车辆数，是度量道路疏导交通能力的指标.同时为了行驶安全，车辆之间必须保持一定的安全距离.为了研究某城市道路通行能力，现给出如下假设： 假设1：车身长度均为4.8米； 假设2：所有车辆以相同的速度（单位：千米／小时）匀速行驶； 假设3：安全距离（单位：米）与车辆速度近似满足. 该城市道路通行能力的最大值约为 .（结果保留整数） 【答案】821 【知识点】基本（均值）不等式的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】由题意，先进行单位换算统一单位，整理函数解析式，利用基本不等式，可得答案., 【详解】1小时秒，车辆速度（千米／小时）换算为米／秒是米／秒. 1小时内通过的车辆数 . 根据基本不等式（），， 当且仅当时等号成立.所以， 即该城市道路通行能力的最大值约为821. 故答案为：821. 35．为帮助乡村脱贫，某勘探队计划了解当地矿脉某金属的分布情况，测得了平均金属含量（单位：）与样本对原点的距离（单位：）的数据，并作了初步处理，得到了下面的一些统计量的值.（表中） 6 60 (1)利用样本相关系数的知识，判断与哪一个更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型？ (2)根据（1）的结果回答下列问题： （i）建立关于的回归方程； （ii）样本对原点的距离时，金属含量的预报值是多少？ (3)已知该金属在距离原点米时的平均开采成本（单位：元）与关系为，根据（2）的结果回答，为何值时，开采成本最大？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii） (3)10 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、非线性回归、相关系数的计算、求已知函数的极值点 【分析】（1）根据所给数据求出相对应的相关系数，即可判断； （2）（i）由（1）及所给数据求出、，即可得到回归方程；（ii）将代入计算即可； （3）依题意，可得，令，利用导数求出函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而得解. 【详解】（1）因为的线性相关系数， 的线性相关系数， ， 更适宜作为平均金属含量关于样本对原点的距离的回归方程类型. （2）（i）依题意，可得， ， ，关于的回归方程为. （ii）当时，金属含量的预报值为. （3）因为， 令，则， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 在处取得极大值，也是最大值，此时取得最大值， 故为10时，开采成本最大. 36．某城市响应国家号召，积极调整能源结构，推出多种价位的新能源电动汽车．根据前期市场调研，有购买新能源车需求的约有2万人，他们的选择意向统计如下： 车型 A B C D E F 价格 9万元 12万元 18万元 24万元 30万元 40万元 占比 5% 15% 25% 35% 15% 5% (1)如果有购车需求的这些人今年都购买了新能源车，今年新能源车的销售额预计约为多少亿元？ (2)车企推出两种付款方式： 全款购车：购车时一次性付款可优惠车价的3%； 分期付款：无价格优惠，购车时先付车价的一半，余下的每半年付一次，分4次付完，每次付车价的． ①某位顾客现有a万元现金，欲购买价值a万元的某款车，付款后剩余的资金全部用于购买半年期的理财产品（该理财产品半年期到期收益率为1.8%），到期后，可用资金（含理财收益）继续购买半年期的理财产品，问：顾客选择哪一种付款方式收益更多？（计算结果精确到0.0001） ②为了激励购买理财产品，银行对采用分期付款方式的顾客，赠送价值1888元的大礼包，试问：这一措施对哪些车型有效？（计算结果精确到0.0001） 【答案】(1)亿元 (2)①顾客选择全款购车方式收益更多.②这一措施对购买 车型有效． 【知识点】求离散型随机变量的均值、求等比数列前n项和、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】(1) 先计算销售一辆车的价格的数学期望,再计算,即可得今年新能源车的销售额预计; (2) ①先计算全款购车两年后资产总额和分期付款购车两年后资产总额则为顾客选择全款购车方式收益更多.; ②由①得,可得措施对购买 车型有效． 【详解】（1）销售一辆车的价格的数学期望为： （万元）（亿） 所以，今年新能源车的销售额预计约为亿元 （2）①全款购车两年后资产总额为： （万元）. 分期付款购车两年后资产总额为： （万元） 因为，所以顾客选择全款购车方式收益更多. ②由①得：,所以 . 所以，这一措施对购买 车型有效． 37．某地新能源汽车保有量符合阻沛型增长模型，其中为自统计之日起，经过t年后该地新能源汽车保有量、和r为增长系数、M为饱和量． 下表是该地近6年年底的新能源汽车的保有量（万辆）的统计数据： 年份 2018 2019 2020 2021 2022 t 0 1 2 3 4 保有量 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 假设该地新能源汽车饱和量万辆． (1)若，假设2018年数据满足公式，计算的值（精确到0.01）并估算2023年年底该地新能源汽车保有量（精确到0.1万辆）； (2)设，则与t线性相关．请依据以上表格中相关数据，利用线性回归分析确定和r的值（精确到0.01）． 附：线性回归方程中回归系数计算公式如下：. 【答案】(1)，万辆 (2)， 【知识点】非线性回归、求回归直线方程、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据题意代入即可求出，代入利用公式估算即可得解； （2）设设，转化为关于的线性回归问题，利用公式求出即可. 【详解】（1）由题意可知，2018年对应，， 满足，所以，解得， 因为年对应的， 所以 所以估计2023年底该地新能源汽车保有量为40.3万辆. （2）， 设，则， t 0 1 2 3 4 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 3.37 3.07 2.77 2.44 2.11 ，， ， 所以， 因为， 所以. (该题无参考数据，需要计算器计算) 38．已知为正比例系数，定义：为建筑物暴露在空气中的面积（单位：平方米），为建筑物的体积（单位：立方米）． (1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，求该建筑体的（用表示）； (2)现有一个建筑体，侧面皆垂直于地面，设A为底面面积，L为建筑底面周长．已知为正比例系数，与成正比，定义：，建筑面积即为每一层的底面面积，总建筑面积即为每层建筑面积之和，值为．已知该建筑体推导得出，为层数，层高为3米，其中，试求当取第几层时，该建筑体最小？ 【答案】(1) (2)6 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、圆柱表面积的有关计算、柱体体积的有关计算 【分析】（1）利用圆柱体的表面积和体积公式，结合题目中的定义求解即可； （2）利用导函数求的单调性，即可求出最小时的值. 【详解】（1）由圆柱体的表面积和体积公式可得： ，， 所以. （2）由题意可得，， 所以，令即， 解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的最小值在或取得， 当时，， 当时，， 所以在第6层时，该建筑体最小. 39．某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：① ；② ；③（以上三式中 均为常数．） (1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？ (2)若 ，求出所选函数的解析式（注：函数的定义域是 ，其中 表示1月份，表示2月份，⋯⋯，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？ 【答案】(1)选择③，理由见解析； (2)应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略． 【知识点】三角函数在生活中的应用、解正弦不等式、利用正弦型函数的单调性求参数、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③； （2）根据，求出的值，再根据 解出x的值即可． 【详解】（1）应选， ∵①是单调函数且不具有先升后降再升的特点， ②同样不具有先升后降再升的特点， ③有多个单调递增区间和减区间，具有先升后降再升的特点； （2）由， ， 所以解得： ； 所以 所以 当时，需采用外销策略，则此时， 即，又， 由函数得在内， ， 得或， 即或， 即或， 又表示1月份， 故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略． 40．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果． (1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？ (2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？ 【答案】(1)小时 (2)小时 【知识点】利用不等式求值或取值范围、利用给定函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用、分段函数模型的应用 【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可. 【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒， 即血液含药量须不低于4微克，可得，            解得，                                        所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果． （2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克； 若，药物浓度，                         解得，                                        若，药物浓度，          化简得，所以；                 若，药物浓度，                 解得，所以；                           综上，                                       所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时． 41．某便民超市经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本为6元，预计当一袋桃酥的售价为元时，一年的销售量为万袋，并且全年该桃酥食品共需支付万元的管理费. 一年的利润一年的销售量售价（一年销售桃酥的成本一年的管理费）.（单位：万元） (1)求该超市一年的利润（万元）与每袋桃酥食品的售价的函数关系式； (2)当每袋桃酥的售价为多少元时，该超市一年的利润最大，并求出的最大值. 【答案】(1)； (2)售价为9元时，利润最大为9万元 【知识点】基本不等式求和的最小值、利用给定函数模型解决实际问题、分式型函数模型的应用 【分析】（1）直接由题目所给关系即可求得利润（万元）与售价的函数关系式； （2）将函数关系式变形整理得，结合基本不等式即可求出最大值. 【详解】（1）由题意知，分公司一年的利润L（万元）与售价x的函数关系式为； （2），因为，所以， 当且仅当即时取等号，此时最大为9万元.当每件产品的售价为9元时，该分公司一年的利润最大，且最大利润9万元. 06 建立拟合函数模型解决实际问题 42．一般的数学建模包含如下活动过程：①建立模型；②实际情境；③提出问题；④求解模型；⑤实际结果；⑥检验结果，请写出正确的序号顺序 ． 【答案】②③①④⑥⑤ 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据给定条件，利用数学建模的活动过程及顺序写出结论作答. 【详解】数学建模活动，根据实际情境，提出问题，基于问题，建立模型，通过模型的求解，以检验模型解决问题的结果， 若结果不符合实际，还需重新建立模型；若结果符合实际，问题的回答便有了实际的结果， 所以正确的序号顺序是②③①④⑥⑤. 故答案为：②③①④⑥⑤ 43．珠穆朗玛峰高达8848.86米，但即使你拥有良好的视力，你也无法在上海看到它．一个观察者距离珠穆朗玛峰多远，才能在底面上看到它呢？为了能够通过几何方法解决这个问题，需要利用简单的几何模型表示这个问题情境，在此过程中，有下列假设：①珠穆朗玛峰的形状为等腰梯形；②地球的形状是一个球体；③太阳光线沿直线传播；④没有事物可以阻碍人们看到珠穆朗玛峰的视线．你认为最不重要的一个假设是 ． 【答案】① 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】由数学建模时，假设针对问题的主要因素，忽略次要因素的原则，即可得出答案． 【详解】数学建模时，针对问题的主要因素，忽略次要因素，这里我们需要测量观察者距离珠穆朗玛峰多远，主要关注的应该是珠穆朗玛峰的高度，此时，珠穆朗玛峰的形状对于测量结果影响很小，故假设①最不重要， 故答案为：①． 44．在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设 ． 【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可） 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可. 【详解】根据题意可知和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等； ②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动； ③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等； ④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等； 故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）. 45．甲、乙、丙三辆出租车2023年运营的相关数据如下表： 甲 乙 丙 接单量t（单） 7831 8225 8338 油费s（元） 107150 110264 110376 平均每单里程k（公里） 15 15 15 平均每公里油费a（元） 0.7 0.7 0.7 出租车空驶率；依据以上数据，小明建立了求解三辆车的空驶率的模型，并求得甲、乙、丙的空驶率分别为，则 （精确到0.01） 【答案】 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】根据题意得到出租车空驶率的模型，检验甲、乙两辆出租车的空驶率，满足题意，从而利用该模型求得丙的空驶率，从而得解. 【详解】依题意，因为出租车行驶的总里程为，出租车有载客时行驶的里程为， 所以出租车空驶率， 对于甲，，满足题意； 对于乙，，满足题意； 所以上述模型满足要求， 则丙的空驶率为，即. 故答案为：. 46．上海各中学都定期进行紧急疏散演习：当警报响起，建筑物内师生马上有组织、尽快地疏散撤离．对于一个特定的建筑物，管理人员关心房间内所有人疏散完毕（房间最后一个人到达安全出口处）所用时间．数学建模小组准备对某教学楼第一层楼两间相同的教室展开研究．为此，他们提出如下模型假设： 1.疏散时所有人员有秩序地撤离建筑物； 2.所有人员排成单列行进撤离； 3.队列中人员的间隔是均匀的； 4.队列匀速地撤离建筑物． (1)上述模型假设是否合理，请任选两个模型假设说明理由； (2)如图，设第一间教室（图中右）的人数为，第二间教室（图中左）的人数为，每间教室的长度为，其中，都是正整数，，忽略教室门的宽度及忽略教室内人群到教室门口的时间．请再引入适当的变量，建立两个教室内的人员完全撤离所用时间的数学模型． 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据各假设的目的分别判断； （2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为，分两种情况讨论，情况一：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空，；情况二：当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，，可得分段函数模型. 【详解】（1）四个模型假设都合理．理由如下（供参考）： 假设1是为了保证撤离人员的安全，基本符合实际情况； 假设2 是为了方便模型的建立，与假设1相呼应； 假设3 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法； 假设4 是为了方便建立模型，属于模型简化的处理方法． （2）设队列人与人之间的距离为，队列行进的速度为， 先考虑第一间教室人员的疏散，该教室最后一个人达到出口即为疏散完毕，所用时间 ；第二间教室最后一个人达到出口所用时间为． 在所有人员排成单列行进撤离的假设下，建立模型（供参考） 情况一： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室已经撤空（即第一间教室的最后一个人不影响第二间教室人员的撤离），这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为； 情况二： 当第二间教室的第一个人到达第一间教室门口的时候，第一间教室还没有撤空，此时需要等第一间教室撤空后第二间教室的队伍再继续行进，这种情形出现的条件是，这时两个教室内的人员完全撤离所用时间为， . 47．第四届 “进博会” 将于2021年11月份在国家会展中心进行．某企业计划在会展中心租用一个长方形展区用于产品展示, 按照产品的展示要求, 需要将展区设计为产品陈列区（阴影部分）和观众人行道两部分．已知产品陈列区的面积需要4000平方米，人行道的宽分别需要4米和10米（如图） (1)设产品陈列区的长和宽的比（长＞宽），求展区所占面积关于的函数的解析式； (2)为了使参展所用费用最小（即展区所占面积最小，不考虑其它），问：产品陈列区的长和宽该如何设计？ 【答案】(1) (2)长为100米，宽为40米 【知识点】基本不等式求和的最小值、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）设陈列区的宽为米，则其长为米，得到，根据，即可求得面积关于的函数的解析式. （2）由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：设陈列区的宽为米，则其长为米，所以，可得， 所以 ； 所以面积关于的函数的解析式 （2）解：由， 当且仅当时，即时，等号成立， 可得所占面积最小，此时，， 即的长为100米，宽为40米． 48．某学校对面有一块空地要围建成一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（旧墙需要整修），其它三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的进出口，如图所示．已知旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，设利用的旧墙的长度为x（单位：m），设修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）为y（单位：元）． (1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用（含建进出口的费用）最少，并求出最少总费用． 【答案】(1) (2)x=24,12800 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题、基本不等式求和的最小值 【分析】（1）设矩形的另一边长为am，根据旧墙的整修费用为45元/m，新建墙的造价为180元/m，建宽的进出口需2360元的单独费用，且面积为求解； （2）由（1）得到，利用基本不等式求解. 【详解】（1）解：设矩形的另一边长为am， 则， ， 因为， 所以， 则； （2）由（1）知：， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 此时最少总费用为12800元. 49．李先生属于一年工作天的上班族，计划购置一辆新车用以通勤.大致推断每天早八点从家出发，晚上六点回家，往返总距离为公里.考虑从两款车型中选择其一， 款车是燃油车，款车是电动车，售价均为万元.现提供关于两种车型的相关信息： 款车的油耗为升/百公里，油价为每升至元.车险费用元/年.购置税为售价的.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里； 款车的电耗为度/百公里，电费为每度至元.车险费用元/年.国务院年出台文件，宣布保持免除购置税政策.电池使用寿命为年，更换费用为万元.购车后，车价每年折旧率为.保养费用平均元/万公里. (1)除了上述了解到的情况，还有哪些因素可能需要考虑?写出这些因素（至少个，不超过个）； (2)为了简化问题，请对相关因素做出合情假设，由此为李先生作出买车的决策，并说明理由. 【知识点】建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）李先生要考虑生活中得各类费用以及车身本身的因素，列出几条即可 （2）通过数据的分析，得出相关的结论对买款或买款车进行分析. 【详解】（1）李先生可能还需要考虑的因素有： 1、考虑非通勤时段的车辆使用情况； 2、油价和电价的变化； 3、工作单位能否提供免费充电； 4、电动车的国家减免政策的变化； 5、车辆的外观、内饰与品牌效应. 6、车牌费用 （2）假设仅考虑通勤时的车辆费用，油价和电价保持相对稳定， 电动车的免购置税政策保持不变. 计算时取价格区间的中位数即电价元/度、油价元/升. 车辆费用为车价、能源费用、税费、车险费用、保养费用，并扣除车辆残余价值. 使用年数 够车费 里程数 油耗 油费 车险费用 购置税 保养费 车辆残值 总费用 1 300000 10000 600 5100 4000 30000 2000 264000 77100 2 300000 20000 1200 10200 8000 30000 4000 232320 119880 3 300000 30000 1800 15300 12000 30000 6000 204442 158858 4 300000 40000 2400 20400 16000 30000 8000 179909 194491 5 300000 50000 3000 25500 20000 30000 10000 158320 227180 6 300000 60000 3600 30600 24000 30000 12000 139321 257279 7 300000 70000 4200 35700 28000 30000 14000 122603 285097 8 300000 80000 4800 40800 32000 30000 16000 107890 310910 9 300000 90000 5400 45900 36000 30000 18000 94944 334956 10 300000 100000 6000 51000 40000 30000 20000 83550 357450 使用 年数 够车 费 里程数 电耗 电费 车险 费用 购置税 保养费 车辆 残值 电池更换费 总费用 1 300000 10000 2000 1300 6000 0 1000 255000 0 53300 2 300000 20000 4000 2600 12000 0 2000 216750 0 99850 3 300000 30000 6000 3900 18000 0 3000 184238 0 140663 4 300000 40000 8000 5200 24000 0 4000 156602 0 176598 5 300000 50000 10000 6500 30000 0 5000 133112 0 208388 6 300000 60000 12000 7800 36000 0 6000 113145 100000 336655 7 300000 70000 14000 9100 42000 0 7000 96173 100000 361927 8 300000 80000 16000 10400 48000 0 8000 81747 100000 384653 9 300000 90000 18000 11700 54000 0 9000 69485 100000 405215 10 300000 100000 20000 13000 60000 0 10000 59062 100000 423938 写出至年任意一年中的一组对比数据， 例如： 款车使用年的总费用为： 款车使用年的总费用为： 所以，如果李先生打算开年就按二手车卖掉，可以选款车. 再写出至年任意一年中的一组对比数据， 结论： 使用年数不超过年，建议买款车； 使用年数超过年，建议买款车. 50．某小区有块绿地，绿地的平面图大致如下图所示，并铺设了部分人行通道． 为了简单起见，现作如下假设： 假设1：绿地是由线段，，，和弧围成的，其中是以点为圆心，圆心角为的扇形的弧，见图1； 假设2：线段，，，所在的路行人是可通行的，圆弧暂时未修路； 假设3：路的宽度在这里暂时不考虑； 假设4：路用线段或圆弧表示，休息亭用点表示． 图1-图3中的相关边、角满足以下条件： 直线与的交点是，，．米． 小区物业根据居民需求，决定在绿地修建一个休息亭．根据不同的设计方案解决相应问题，结果精确到米． (1)假设休息亭建在弧的中点，记为，沿和线段修路，如图2所示．求的长； (2)假设休息亭建在弧上的某个位置，记为，作交于，作交于．沿、线段和线段修路，如图3所示．求修建的总路长的最小值； (3)请你对（1）和（2）涉及到的两种设计方案做个简明扼要的评价． 【答案】(1)米 (2)米 (3)答案见解析 【知识点】求平面两点间的距离、由导数求函数的最值（不含参）、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）由题目条件可得Q，C坐标，利用两点距离公式可得答案； （2）设，设修建的总路长为，由题可得表达式，后由导数知识可得答案； （3）可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1 修的路相对短，2修的路相对便于居民出行言之有理即可. 【详解】（1）如图，以原点，所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 因为点为弧的中点，所以，即 设DC与y轴交于F点，， 则，即， 所以（米）. 所以的长约为米； （2）设， 则，，， 设修建的总路长为， 所以， ， 令，则，，解得， 当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增． 所以（米）. 所以修建的总路长的最小值约为米 . （3）（1）涉及到的设计方案总路径是米，比起方案2显然不是最优（短）路径； （2）涉及到的设计方案显然相对于方案1是相对不便捷（不利于段附近居民前往）． (说明：可以从多个角度考虑，但以下两个指标是主要的衡量指标：1修的路相对短，2修的路相对便于居民出行) 一、单选题 1．下列函数中，在区间上是严格增函数且存在零点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断指数函数的单调性、研究对数函数的单调性、判断一般幂函数的单调性、求函数的零点 【分析】根据函数的零点为方程的根，结合解析式判断函数的单调性，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以不存在零点，故A错误； 对于B：令 没有实数解，所以不存在零点，故B错误； 对于C：令，所以零点为1，又因为， 所以在为增函数，故C正确； 对于D：在单调递增，在单调递减，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高三上·上海·期中）对于函数，有下列四个命题 ①任取，，都有； ②（为正整数），对一切恒成立； ③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则； ④函数有5个零点 上述四个命题中正确的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】分段函数的性质及应用、求函数零点或方程根的个数、求零点的和、分段函数的值域或最值 【分析】由函数图象可判断①；取可判断②；由函数与函数的图象可判断③；由函数和的图象交点个数可判断④. 【详解】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，， 任取，，都有， 故①正确； 对于②，当时，，而由解析式可知， 故②不正确； 对于③，函数与函数的图象如图所示， 若关于的方程有且只有两个不同的实根，， 则，由对称性可知，故③正确； 对于④，函数和的图象如图所示， 由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点， 故④不正确； 所以四个命题中正确的个数为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是作出函数的图象，结合函数的图象和性质求解. 3． 小李研究数学建模“雨中行”问题，在作出“降雨强度保持不变”､“行走速度保持不变”､“将人体视作一个长方体”等合理假设的前提下，他设了变量： 人的身高 人体宽度 人体厚度 降雨速度 雨滴密度 行走距离 风速 行走速度 并构建模型如下： 当人迎风行走时，人体总的淋雨量为. 根据模型，小李对“雨中行”作出如下解释： ①若两人结伴迎风行走，则体型较高大魁梧的人淋雨是较大； ②若某人迎风行走，则走得越快淋雨量越小，若背风行走，则走得越慢淋雨量越小； ③若某人迎风行走了秒，则行走距离越长淋雨量越大. 这些解释合理的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题 【分析】利用作差法可以比较两人淋雨量判断①，结合函数的单调性可判断②③. 【详解】①若两人结伴迎风行走，设体型较高大魁梧的人身高为，宽度为，厚度为，另一人身高为，宽度为，厚度为， 则， 又，，， 则，， 即， 即体型较高大魁梧的人淋雨是较大，①正确； ②若某人迎风行走，则， 则随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小； 若某人逆风行走，则， 当时，随的增大而减小，即走得越快淋雨量越小， 当时，，随的增大而减小，即走得越慢淋雨量越小， 当时，淋雨量与无关，②错误； ③若某人迎风行走了秒，则为定值，且 ， 则， 所以随的增大而增大，即行走距离越长淋雨量越大，③正确； 综上所述合理的解释有个， 故选：C. 二、填空题 4．函数的零点是 ． 【答案】/0.5 【知识点】求函数的零点 【分析】利用对数运算及零点含义可得答案. 【详解】由题意可得函数的定义域为. ，令可得，解得或（舍）， 故答案为：. 5．若存在实数，使得是方程的解，但不是方程的解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据是的解，不是解直接可得. 【详解】由题意知，，且，故， 显然，即，若，此时显然不满足题意， 故. 故答案为： 6．（2025·上海·模拟预测）关于x的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】函数与方程的综合应用 【分析】根据的取值范围去绝对值，分类讨论解方程即可. 【详解】. 当时，令得； 当时，恒成立； 当时，令得. 综上所述，方程的解集为. 故答案为：. 7．若关于的方程恰有两个不同的实数解，则实数 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求过一点的切线方程、函数图象的应用 【分析】关于的方程恰有两个不同的实数解，可转化为函数与有两个交点，因，故，结合图象，两个函数在时有1个交点，故两个函数在有且只有一个交点，故与相切，可得. 【详解】   如图，显然. 当时，由单调性得，方程有且仅有一解. 因此当时，方程也恰有一解. 即为函数的切线， ， 令得， 故当时，， 得，即 从而. 故答案为： 8．已知函数是上的奇函数，当时，，若关于的方程有且仅有两个不相等的实数解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、指数函数图像应用、由奇偶性求函数解析式 【分析】利用奇函数性质求分段函数解析式，根据指数函数性质画出函数图象，数形结合判断不同值域范围的函数值对应自变量的个数，再由有两个解，对应的解的个数确定范围，进而求m的范围. 【详解】由题设，若，则， 所以，值域为R，函数图象如下：    当时，只有一个与之对应； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有三个对应自变量且； 当时，有两个对应自变量， 记为，则； 当时，有一个与之对应； 令，则，要使有且仅有两个不相等的实数解， 若有三个解，则，此时有7个解，不满足； 若有两个解且，此时和各有一个解， 结合图象知，不存在这样的，故不存在对应的m； 若有一个解，则有两个解，此时， 所以对应的， 综上，. 故答案为：. 9．若存在实数及正整数，使得在区间内恰有个零点，则所有满足条件的正整数的值共有 个． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、函数与方程的综合应用、二倍角的余弦公式 【分析】利用换元思想将问题转化为方程在实数范围内一定有两个异号的根，根据方程与函数的应用进行讨论分析. 【详解】由题意知， ， 令，，此时， 而，，， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根， 当时，， 一个周期内有两个零点，则或； 当时，， 一个周期内有三个零点，则需要个周期， 即； 当时，此时，解得， 若，此时， 则一个周期内有四个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时，， 则一个周期内有三个零点， 则需要个周期， 即； 若，此时， 一个周期内有两个零点， 则或. 综上所述，这样的正整数有个， 分别是. 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题主要考查函数与方程的应用，利用分类讨论思想进行求解是解决本题的关键，属于中档题. 10．对于正整数，设是关于的方程的实数根，记，其中表示不超过实数的最大整数，则 . 【答案】 【知识点】求等差数列前n项和、判断零点所在的区间、函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据导数可得为单调递增函数，根据零点存在性定理找到方程的实数根的取值范围，代入，即可得出通项公式，由等差数列求和公式即可求出答案. 【详解】令，则，函数单调递增， 因为，故方程存在唯一的实数根， 又时, ， 所以， 因此可得：，所以， 因为，其中表示不超过实数的最大整数， 所以， 结合等差数列求和公式可得：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据零点存在性定理找到方程的实数根取值范围，得到，再由题意得到. 三、解答题 11．已知函数. (1)若，求函数在上的零点； (2)已知，函数，，求函数的值域. 【答案】(1)和； (2)． 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求函数的零点 【分析】（1）由两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求出的范围，从而利用正弦函数性质得零点； （2）利用二倍角公式、两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后求出的范围，结合正弦函数性质得值域． 【详解】（1），， 时，，所以或时，，此时或， 所以零点为和； （2），， ， ，则，，所以的值域是． 12．已知直线与函数、的图像分别交于M、N两点． (1)当时，求的值； (2)求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点． 【答案】(1)； (2)；最小正周期为；零点为或或或. 【知识点】求函数的零点、特殊角的三角函数值、求正弦（型）函数的最小正周期、已知三角函数值求角 【分析】（1）当时，，即求； （2）由题可得，可得最小正周期，由可得，再结合条件即求. 【详解】（1）当时，， 可得； （2）∵， ∴， ∴函数的最小正周期为， 由，可得， ∴，又， ∴可取， 故在区间内的零点为或或或. 13．甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速地驶往乙地，速度不得超过千米时.已知汽车每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度（千米/时）的平方成正比，比例系数为，固定部分为元. (1)把全程运输成本（元）表示为速度（千米时）的函数； (2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大的速度行驶？ 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、建立拟合函数模型解决实际问题 【分析】（1）首先确定全程运输时间，根据可变成本和固定成本可得解析式； （2）根据对号函数单调性可分类讨论得到结论. 【详解】（1）由题意知：每小时可变部分的成本为，全程运输时间为时， 全程运输成本. （2）由（1）得：， 由对号函数单调性可知：当时，在上单调递减；则当时，取得最小值； 当时，在上单调递减，在上单调递增；则当时，取得最小值； 综上所述：为了使全称运输成本最小，则当时，应以速度行驶；当时，应以速度行驶. 14．某公司按销售额给销售员提成作奖金，每月的基本销售额为20万元，超额中的第一个5万元（含5万元以下），按超额部分的提成作奖金；超额中的第二个5万元，按超额部分的 提成作奖金；……后每增加5万元，其提成比例也增加一个．如销售员某月销售额为27万元，则按照合约，他可得奖金为元．试求： (1)销售员某月获得奖金7200元，则他该月的销售额为多少？ (2)若某销售员、月份的总销售额为60万元，且两月都完成基本销售额，那么他这两个月的总奖金的最大、最小值分别是多少？ 【答案】(1)3.65万元 (2)最高1万元，最低0.6万元 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】（1）由题分析出销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间，设超额部分比15万多元，列出方程，求解即可； （2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元，分类讨论的范围，得出关于的分段函数，画出图像即可得解． 【详解】（1）超额第一个5万元可得奖金1000元，超额第二个5万元可得奖金2000元，超额第三个5元可得奖金3000元，超额第四个5万元可得奖金4000元， 所以当销售员的销售额超额部分为15万元时，可得奖金3000元，当销售员的销售额超额部分为20万元时，可得奖金7000元， 因为销售员某月获得奖金7200元， 所以销售员该月的销售超额部分在15万元到20万元之间， 设超额部分比15万多元，提成比例为， 则，可得， 故他该月的销售额为万元． （2）设两个月的总奖金为，某销售员月份的销售额为万元，则销售员月份的销售额为万元， 则， ①当时，则， ， ②当时，则， ， ③当时， 则 ， ④当时， 则 ， 综上所述，，作出图像，    由图可知，当，即7月份销售额为30万元，奖金最低为0.6万元； 当或时，即7月份销售额为20或40万元，奖金最高为1万元． 15．环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示： v 0 10 40 60 M 0 1325 4400 7200 为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择： ①；②；③． (1)当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式； (2)现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？ 【答案】(1)符合， (2)当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、分段函数模型的应用、利用给定函数模型解决实际问题 【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可； （2）根据题意可得高速路上的耗电量，再分析的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的，可得国道上的耗电量，根据二次函数的最值分析最小值即可 【详解】（1）因为函数是定义域上的减函数，又无意义，所以函数 与不可能是符合表格中所列数据的函数模型， 故是可能符合表格中所列数据的函数模型. 由，得：，所以 （2）由题意，高速路上的耗电量 任取，当时， 所以函数在区间上是增函数，所以Wh     国道上的耗电量 所以Wh                          所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh 16．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{In}，{In}表示第n周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高．为了治理害虫，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一： 策略A：环境整治，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.02In﹣0.2． 策略B：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：In+1＝1.08In﹣0.46． 当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除． (1)设第一周的虫害指数Ⅰ1∈[0，8]，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？ (2)设第一周的虫害指数Ⅰ1＝3，如果每周都采用最优策略，虫害的危机最快将在第几周解除？ 【答案】(1)分类讨论，答案见祥解； (2)第9周. 【知识点】利用给定函数模型解决实际问题、递推数列的实际应用 【分析】（1）分三种情况讨论即可； （2）根据题意，时，选择策略B，根据策略B的数列，求出数列的通项公式，根据条件列出不等式，解之即可求解. 【详解】（1）策略A：， 策略B：， 当，可得， 当时，两者相等， 当时，用策略B将使第二周的虫害的严重程度更小； 当时，用策略A将使第二周的虫害的严重程度更小； （2）由（1）可知：当时，选择策略B， 所以当时，选择策略B， 因为，所以数列是递减数列， ，也即， 由等比数列的通项公式可得：， 正整数范围内解不等式，得 所以虫害的危机最快在第9周解除． 17．某晚报曾刊登过一则生活趣事，某市民唐某乘坐出租车时，在半途中骂骂咧咧要求司机临时停靠，打表计价结账，然后重新计价，继续前行，该市民解释说，根据经验，这样分开支付车费比一次性付费便宜一些，他的这一说法有道理吗？确实，由于出租车运价上调，有些人出行时会估计一下可能的价格，再决定是否乘坐出租车.据了解，2018年上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%.此外，相关部门还规定了低速等候费和其他时段的计价办法，以及适合其他车型的计价办法.你乘坐过出租车吗？你会仿效那位市民唐某的做法吗？为什么？ (1)根据上述情境你能提出什么数学问题？为了解决你的问题，你能否作出一些合理假设？ (2)你能否根据你的假设建立数学模型，并回答你所提出的问题. 【知识点】分段函数模型的应用 【分析】（1）根据题意可分析出出租车费用为分段函数的模型，故可以提出求解里程计价费用与里程的函数关系问题，并假设只能在路程的中点处停靠一次，再求解此时的函数关式； （2）分别求解不停靠与停靠中点时的费用，再作图分析判断即可. 【详解】（1）由题意，出租车费用为分段函数的模型，故可提出问题： ①上海出租车在5时到23时之间起租价为14元/3千米，超起租里程单价为2.50元/千米，总里程超过15千米（不含15千米）部分按超起租里程单价加50%，求里程计价费用与里程的函数关系式子； ②若只能在路程的中点处停靠一次，分析不停靠与停靠两种计费方式哪种更划算. （2）由（1）中所建立的函数模型： ①由题意，当时；当时；当时. 故. ②若只能在路程的中点处停靠一次，则路费函数，即，分别作出函数图象.    由图象可得，与有交点，联立有，解得. 故若只能在路程的中点处停靠一次，则当路程不足公里时不停靠更划算，当路程不足公里时停靠更划算. 18．已知函数，． (1)当时，若有最大值4，求的值； (2)求满足下列条件的所有整数对：存在，使得是的最大值，是的最小值； (3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）利用二次函数的最值，求出的值； （2）利用二次函数的最值研究两个函数的最值，先求出的最值取得时的值，再求出最值取得时的值，令两者相等，即可求出； （3）由条件，利用区间转换法求出在定义域上的解析式，再与联立，利用根的分布知识，即可求出实数m的取值范围. 【详解】（1）当时，， 若，，则在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 且当时，， 因为有最大值4，所以， 所以. （2）若，在上单调递减，无最大值，不成立， 所以，为二次函数， 要使有最大值，必须， 即， 此时，时，有最大值， 又因为取最小值时，， 依题意有， 可得，且 因为，且，为整数， 所以， 因为，所以或， 所以满足条件的所有整数对是：和. （3）当整数对是：或时，， 因为， 所以， 所以是以4为周期的周期函数， 又因为，， 所以， 因为，所以， 所以对任意的，， 所以对任意的，都有， 即对任意的，都有， 对于任意的都存在，使得， 则， 则，， 所以，即， 所以是奇函数， 函数的零点的个数可转化为的图像与的图像交点的个数， 因为这两个函数都是奇函数，所以它们在轴右侧交点的个数为2， 当，，则，， 所以， 当，，则，， 所以， 显然，不符合题意， 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个公共点， 则有两组解， 即有两解， 利用根的分布知识，可得， 且无解， 即无解， 利用根的分布知识，可得， 所以此时可得； 当时，考虑两个函数在轴右侧有且只有两个交点， 所以有一组解， 即有一解， 利用根的分布知识，可得， 且有一组解， 即有一组解， 利用根的分布知识，可得， 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题求解的关键是把零点个数转化为两个函数图象的公共点个数，结合方程根的区间分布来求解. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$