第06讲 幂指对函数（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第06讲 幂指对函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 幂指对函数过定点 题型02 由幂函数的单调性解不等式 题型03 由指数函数的单调性解不等式 题型04 指数函数最值与不等式综合问题 题型05 对数函数最值与不等式综合问题 题型06 反函数 02 核心突破提升练 01 指数型函数过定点 1．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）如果直线（，）和函数（，）的图象恒过一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 . 4.已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值= ． 5.已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 02 由幂函数的单调性解不等式 6.当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为 7.已知幂函数的图像过点，且，则实数的取值范围是 . 8.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 9.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 10.已知，，则不等式的解集为 . 11．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 03由指数函数的单调性解不等式 12.(24-25高三上·上海·阶段练习）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 13．已知函数是偶函数，且在区间上是严格增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·上海·三模）设集合，则 . 16．（24-25高三上·上海·期中）设集合，，则 ． 17．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则满足的的最大值为 19．已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 20.已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 21.数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，．记的前项和为，若对任意都成立，则的最大值是 ． 22.设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 23.（2023·上海普陀·二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 04 指数函数最值与不等式综合问题 24．已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 25．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 26．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 27．已知函数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 28.设 函数 (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围． 29．已知函数． (1)若，解关于x的方程； (2)讨论的奇偶性，并说明理由； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 30.已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 31.已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）．数列{an}满足：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*． （1）若函数f(x)＝（x≥0），求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M； （3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件． 05对数函数最值与不等式综合问题 32．设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 33.设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 34.已知函数 （1）设是的反函数，当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 35.已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 06反函数 36．若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 37.已知有反函数，则的定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 38.设函数的反函数是，若对任意的，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 39.在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（    ） A． B． C． D． 40．设函数的反函数为，若集合，则由中所有元素所组成的一组数据的中位数为 . 41.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的反函数 . 42．若函数的反函数为，则不等式的解集是 . 43.设为常数，函数． (1)若，求函数的反函数； (2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 44.已知函数. (1)设的反函数为，求的最值. (2)函数满足，求证：当时，. 45.已知函数. (1)设是的反函数，若，求的值； (2)是否存在常数，使得函数为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时在上单调递增，若不存在，请说明理由. 46.设函数是偶函数. （1）求实数的值及； （2）设函数在区间上的反函数为，当时，（且）时，求实数的取值范围. 47.已知，其中是实常数. （1）若，求的取值范围； （2）若，求证：函数的零点有且仅有一个； （3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：. 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 2．（2025·上海·模拟预测）已知为正数，则“”是“”的（   ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 5．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 6．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 ． 7．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 8．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 三、解答题 9．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 10．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 11．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 12．（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第06讲 幂指对函数 目录 01 常考题型过关练 题型01 幂指对函数过定点 题型02 由幂函数的单调性解不等式 题型03 由指数函数的单调性解不等式 题型04 指数函数最值与不等式综合问题 题型05 对数函数最值与不等式综合问题 题型06 反函数 02 核心突破提升练 01 指数型函数过定点 1．（24-25高三上·上海·期中）设与是两个不同的幂函数，记，则中的元素个数的可能是（    ）. A．0、1、2、 B．1、2、3 C．1、2、3、4 D．0、1、2、3 【答案】B 【知识点】幂函数图象过定点问题 【分析】由幂函数的函数图像及性质可以得出结论. 【详解】设，， 由幂函数图像可知，，故至少存在一个解； ②若，在0处都有定义，则，故可能存在解， ③若，同为奇函数或者偶函数，由对称性可知，或，故可能存在解， 综上所述：中的元素个数的可能是：1,2,3. 故选:B. 2．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【知识点】指数型函数图象过定点问题、对数型函数图象过定点问题 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 3．（24-25高三上·上海·阶段练习）如果直线（，）和函数（，）的图象恒过一个定点，且该定点始终落在圆的内部或圆上，那么的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、指数型函数图象过定点问题、点与圆的位置关系求参数 【分析】求出函数恒过的定点，代入直线方程，及圆的方程，再换元令，转化为的不等式，即可求出答案． 【详解】函数（，）的图象恒过定点， 代入直线可得，即 ① 又定点始终落在圆的内部或圆上， 则 ②， 由①②可得，所以，所以， 令，，， 因为，在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 故答案为：. 4.已知过定点P，且P点在直线上，则的最小值= ． 【答案】/ 【知识点】基本不等式求和的最小值、指数型函数图象过定点问题 【分析】先求出定点，代入直线方程，最后利用基本不等式求解. 【详解】经过定点，代入直线得， ， 当且仅当时等号成立 故答案为： 5.已知.记，其中常数m，. (1)证明：对任意m，，曲线过定点； (2)证明：对任意s，，； (3)若对一切和一切使得的函数，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3). 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式、函数单调性、极值与最值的综合应用、对数型函数图象过定点问题 【分析】（1）常数m，，当时，，故曲线过原点. （2），由等价于，用作差法构造函数，对函数进行求导，判断函数的单调性，得，从而可得证. （3）用作差法证明对数平均不等式，函数，通过求导和基本不等式可得出，得出结论； 【详解】（1），故曲线过原点. （2）当时，，故等价于. 考虑.则. 令 当时，所以在单调递增，， 所以，即， 所以， 而，且时，， 故，函数在上严格增. 因此当时，.特别地，.证毕. （3）首先证明对数平均不等式：当时，. 考虑函数，则，等号成立当且仅当. 故当时，. 因为，所以由得. 下证当时，对任意和一切使得的函数成立. 由题意，，故. 令，考虑函数. 则. 当且时，.由对数平均不等式，. 故， 从而函数在上严格增，得，即证. 综上，所求范围为. 【点睛】关键点睛：用作差法构造函数和对数平均不等式是解题的关键，通过求出构造函数的单调性讨论及最值，从而得出结论，考查分类讨论思想，整体思想，属于较难题. 02 由幂函数的单调性解不等式 6.当时，幂函数的图象总在的图像上方，则a的取值范围为 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【分析】问题转化为不等式恒成立问题，利用不等式的性质，结合幂函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为当时，幂函数的图象总在的图像上方， 所以当时，恒成立， ， 因此要想时，恒成立，只需， 因此a的取值范围为， 故答案为： 7.已知幂函数的图像过点，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式、求幂函数的解析式 【分析】根据可求得，由此可得解析式；将所求不等式化为，根据幂函数的单调性解不等式即可求得结果. 【详解】，，即，在上单调递增， 又，可化为，， 解得：，即实数的取值范围为. 故答案为：. 8.已知函数，则关于的表达式的解集为 . 【答案】 【知识点】判断一般幂函数的单调性、判断五种常见幂函数的奇偶性、由函数奇偶性解不等式、由幂函数的单调性解不等式 【分析】利用幂函数的性质及函数的奇偶性和单调性即可求解. 【详解】由题意可知，的定义域为， 所以， 所以函数是奇函数， 由幂函数的性质知，函数在函数上单调递增， 由，得，即， 所以，即，解得， 所以关于的表达式的解集为. 故答案为：. 9.已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】由函数奇偶性解不等式、由幂函数的单调性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】由函数解析式判断的奇偶性、单调性，将原不等式恒成立转化为在上恒成立，讨论x解决恒成立，即可求的取值范围. 【详解】由题设，， ∴为奇函数， 由解析式易知：在定义域上为增函数， 综上，由，可得， ∴在上恒成立， 当时，恒成立，可得； 当时，恒成立，符合题设； 当时，恒成立，可得； 综上，的取值范围. 故答案为： 10.已知，，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由幂函数的单调性解不等式 【解析】依题意可得，，即，再根据幂函数的性质解得； 【详解】解：因为，，则不等式，即， 即 因为为偶函数，且在上单调递增，所以的解集为 故答案为： 【点睛】本题考查幂函数的性质的应用，属于基础题. 11．（2025·上海宝山·二模）已知函数，（且） (1)若，求方程的解； (2)已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【知识点】简单的指数方程、基本不等式求和的最小值、由幂函数的单调性解不等式 【分析】（1）先由求出幂函数解析式，再利用换元法，结合一元二次方程和指数与对数函数的关系求解即可； （2）由幂函数的单调性得到关于的不等式再分离参数，结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）即解得，于是 ， 方程即为， 令，则有即， 求得（舍负） ， 所以方程的解为 . （2）由已知得， 整理得 ， 因为，所以 ， 从而对任意恒成立， 因为（当且仅当取等号）， 所以， 即实数的最大值为. 03由指数函数的单调性解不等式 12.(24-25高三上·上海·阶段练习）已知且，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【知识点】既不充分也不必要条件、由指数函数的单调性解不等式 【分析】结合指数函数的单调性，根据充分必要条件的定义分别进行判断即可． 【详解】， 当时，不成立， 当时，不成立. 所以是的既不充分也不必要条件，即是的既不充分也不必要条件. 故选：D. 13．已知函数是偶函数，且在区间上是严格增函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】指数不等式、由指数函数的单调性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】由与图象的平移关系，可得的对称性与单调性，利用单调性解抽象不等式即可. 【详解】因为函数是偶函数，且在区间上是严格增函数， 而函数图象可由函数向右平移个单位得到， 故函数关于直线对称，且在区间上是严格增函数， 由，且， 得，即，解得. 不等式的解集为. 故选：B. 14．（24-25高三上·上海·期中）已知函数若存在，使得，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】分段函数的性质及应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】分，，三种情况讨论，由题意分别确定的范围，再结合函数的单调性即可得到答案； 【详解】当时，， 所以，即，所以， 则， 因为在上递增， 所以； 当，，所以， 所以，不存在，使得； 当时，， 因为，所以， 所以， 则， 令，则， 因为，所以，， 所以，所以，即， 所以在上单调递增， 所以，即， 综上所述，的取值范围是， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是分，，三种情况讨论，再结合题意分别确定的范围. 15．（2025·上海·三模）设集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、由指数函数的单调性解不等式 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 16．（24-25高三上·上海·期中）设集合，，则 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、交集的概念及运算 【分析】先化简集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为集合，， 所以 故答案为： 17．（24-25高三上·上海宝山·期中）已知是奇函数，时，则不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由奇偶性求函数解析式 【分析】首先求出函数在上的解析式，再分段得到不等式组，解得即可. 【详解】设，则，所以， 又为奇函数，所以， 所以， 不等式，即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 18．（24-25高三上·上海·阶段练习）若，则满足的的最大值为 【答案】/ 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】首先得出的奇偶性、单调性，进一步结合已知列出关于的不等式即可求解. 【详解】显然的定义域是全体实数，所以它的定义域关于原点对称， 当时，，当时，， 当时，， 所以是偶函数， 当时，单调递增，所以当时，单调递减， 所以， 所以满足的的最大值为. 故答案为：. 19．已知函数，，若方程有两个不等实根，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、函数与方程的综合应用、分段函数的性质及应用 【分析】把方程有两个不等的根转化为函数与图象有两个交点，根据函数的单调性数形结合列不等式组求解即可. 【详解】因为函数，所以， 当方程有两个不等实根即函数与图象有两个交点， 当时，函数单调递增，且， 此时函数与图象至多有一个交点； 当时，函数单调递增，且， 此时函数与图象至多有一个交点； 所以要使函数与图象有两个交点，则直线与两段函数各有一个交点，    所以，解得，故实数的取值范围为. 故答案为：. 20.已知是定义在R上的偶函数，当且时，总有，则不等式的解集为 ． 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】利用单调性与奇偶性解不等式． 【详解】因为当且时，总有， 即当时，，所以是上的减函数， 又，则是偶函数，且在上递减， 不等式即为，也即， 所以，，， 故答案为：． 21.数列共有项（常数为大于5的正整数），对任意正整数，有，且当时，．记的前项和为，若对任意都成立，则的最大值是 ． 【答案】21 【知识点】数列新定义、由指数函数的单调性解不等式、求等比数列前n项和 【分析】根据已知得出数列的性质，再分类讨论当为偶数和为奇数的情况即可得出答案． 【详解】根据条件可知，数列具有性质为，首尾对称性两个数互为相反数，如果中间数为1个，则必为0．下面对讨论： 当为偶数（数列各个数非零）， ， 解得； 当为奇数（数列中）， ， 解得， 故最大值为21， 故答案为：21． 22.设.若函数的定义域为，则关于的不等式的解集为 . 【答案】 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、指数式与对数式的互化、求指数（型)函数的定义域 【分析】由函数的定义域可求得实数的值，可得出函数的解析式，求出的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式，即可得其解集. 【详解】若，对任意的，，则函数的定义域为，不合乎题意， 所以，，由可得， 因为函数的定义域为，所以，，解得， 所以，，则， 由可得，解得. 因此，不等式的解集为. 故答案为：. 23.（2023·上海普陀·二模）已知均为不是1的正实数，设函数的表达式为． (1)设且，求x的取值范围； (2)设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由指数函数的单调性解不等式、分组（并项）法求和、求等差数列前n项和 【分析】（1）由题设，利用指数单调性求解集即可； （2）由已知有，，根据条件分析中的元素组成，利用等差数列前n项和公式、分组求和. 【详解】（1）由题设，又且都不为1的正实数， 所以，而，故. （2）由，， 而数列前100项中有，其中属于数列有， 所以数列前100项是的前103项去掉三个元素， 则. 04 指数函数最值与不等式综合问题 24．已知函数关于点对称，若对任意的，，恒成立，则实数的取值范围为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】运用的图象关于对称，求得，由题意可得在，恒成立，所以，令，运用指数函数的单调性求得的范围，设，求得其最大值，可得的范围． 【详解】解：由为奇函数，可得其图象关于对称，可得的图象关于对称， 函数关于点对称，可得， 对任意的，，恒成立，即在，恒成立， 所以，令，由，，可得，， 设， 当时，取得最大值11， 则的取值范围是， 故选：． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数的单调性、二次函数的最值求法，考查运算求解能力，属于中档题． 25．已知不等式对于恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、对勾函数求最值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、指数函数最值与不等式的综合问题 【分析】设，，则题目转化为在恒成立，求的最小值即可. 【详解】设，因为，则， 不等式对于恒成立， 等价于，即在恒成立， 设，，令，（负舍）， 则根据对勾函数的性质可知： 在上为单调减函数，则， 所以，故实数的取值范围是， 故答案为：. 26．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求函数解析式、根据解析式直接判断函数的单调性、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】（1）根据奇函数性质求得，再验证是否满足题设，即可得解析式； （2）令，问题化为能成立求参数范围. 【详解】（1）由题设，故， 所以， 又，满足题设， 所以且； （2）由题设在上能成立， 令，则，即， 又在上单调递增，则， 所以. 27．已知函数. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）当为奇函数时，对任意的，不等式恒成立，求实数的最大值. 【答案】（1）答案见解析；（2）1. 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数、由函数奇偶性解不等式、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）若函数为奇函数，由奇函数的定义可求得的值；又当时，且，函数是非奇非偶函数； （2）对任意，不等式恒成立，化简不等式参变分离，构造新函数，利用换元法和对勾函数的单调性求出最值，代入得出实数m的最大值． 【详解】（1）根据题意，函数， ， 分析可得：当时，，函数为奇函数， 当时，且，函数为非奇非偶函数. （2）∵是奇函数，故由（1）知，从而， 由对任意的，不等式恒成立，得，， 令，故， 由于函数在上单调递增， ∴， 因此，当不等式在上恒成立时，实数的最大值为1. 28.设 函数 (1)求a的值，使得为奇函数； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、由奇偶性求参数 【分析】（1）由的定义域为R，且为奇函数，可得代入求参数,再检验即可； （2）对参数分类讨论，再分参处理恒成立即可. 【详解】（1）由的定义域为R，且为奇函数，可得即有解得 经检验当时，为奇函数， 则满足题意； （2）因为对任意恒成立， 所以对任意恒成立 即， 当时，恒成立； 当时，，由可得解得； 当时，，显然不可恒成立； 综上可得，a的取值范围是. 29．已知函数． (1)若，解关于x的方程； (2)讨论的奇偶性，并说明理由； (3)若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数； (3) 【知识点】已知函数值求自变量或参数、函数奇偶性的定义与判断、指数函数最值与不等式的综合问题、由指数（型）的单调性求参数 【分析】（1）由题意，代入即可求解； （2）要判断函数的奇偶 性，只有检验与的关系即可； （3）根据原不等式，分离参数，构造函数求最小值，即可得实数的取值范围. 【详解】（1）解：由题意， ，， 由可整理得：，则可得或， 或； （2）解：函数定义域， ①当为奇函数时，， ， ， ； ②当为偶函数时，， ， ， ； ③当时，函数为非奇非偶函数； 综上，当时，为奇函数；当时，为偶函数；当时，函数为非奇非偶函数. （3）解：若在上恒成立，则，整理得 令，由，则， 又令，，所以是上的减函数 所以 故实数的取值范围为. 30.已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【知识点】由奇偶性求参数、指数函数最值与不等式的综合问题、判断指数型复合函数的单调性、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）解：由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 31.已知f(x)是定义在[0，+∞）上的函数，满足：①对任意x∈[0，+∞），均有f(x)＞0；②对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）．数列{an}满足：a1＝0，an+1＝an+，n∈N*． （1）若函数f(x)＝（x≥0），求实数a的取值范围； （2）若函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，求证：对任意正实数M，均存在n0∈N*，使得n＞n0时，均有an＞M； （3）求证：“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件． 【答案】（1）a＞1；（2）证明见解析；（3）证明见解析． 【知识点】函数不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质、指数函数最值与不等式的综合问题、判断命题的充分不必要条件 【分析】（1）由f(x)满足①求出，并且此时f(x)恒满足②，由此可得解； （2）利用函数的单调性以及递推关系放缩可得，再累加可得，由得，取，可证结论成立； （3）先证非必要性：令特殊函数，满足，但函数不为增函数； 再证充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0，然后推出矛盾，说明假设不成立，从而说明充分性成立. 【详解】（1）由f(x)＝＞0，即对一切x∈[0，+∞）恒成立，所以a＞1， 当a＞1时，f(x)在x∈[0，+∞）上单调递增，所以对任意0≤x1＜x2，均有f（x1）≠f（x2）， 综上，实数a的取值范围为：a＞1； （2）证明：由函数f(x)在[0，+∞）上单调递减，即对一切x∈[0，+∞），均有f(x)≤f（0）， 所以对一切n∈N*，均有f（an）≤f（0），可得：， 所以， 所以恒成立， 对任意正实数M，由得， 取， 当n＞n0时，. （3）证明：非必要性：取，在[0，+∞）不为增函数， 但a1＝0，，，，， 所以“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”推不出“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”. 所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的非必要条件． 充分性：假设对一切n∈N*，均有f（an+1）≥2f（an）＞0， 所以：， 由递推式, 所以，，，， 累加得， 因为函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以， 又， 所以，所以， 所以当时，上述不等式不成立， 所以假设成立，即存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）． 所以充分性得证. 所以“函数f(x)在[0，+∞）上单调递增”是“存在n∈N*，使得f（an+1）＜2f（an）”的充分非必要条件． 【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： ①若在上恒成立，则； ②若在上恒成立，则； ③若在上有解，则； ④若在上有解，则. 05对数函数最值与不等式综合问题 32．设函数在区间上的最大值为，若，则实数的最大值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、利用函数单调性求最值或值域 【分析】根据在上的单调性得到或，根据，得到关于的不等式或的解集为，根据，得到关于的不等式或的解集为，由，可求出结果. 【详解】因为为上的单调递增函数， 所以，， 又已知在区间上的最大值为， 所以或， 因为，所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或的解集为， 所以关于的不等式或或或的解集为， 由于，所以， 所以，， 所以关于的不等式或的解集为， 所以， 所以，所以，所以，又，所以， 所以实数的最大值为. 故选：C 33.设函数在区间上的最大值为，若，则实数t的最大值为 . 【答案】 【知识点】对数函数最值与不等式的综合问题、根据对数函数的最值求参数或范围 【分析】由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为，当时，则有：，可得：，或因此只需要，即可得出． 【详解】解：由题意：在区间，为正数）上的最大值为，转化为， 当时， 则有： 那么：① 当或时， 或 只需要， 即： 得：② 把①式代入②， 得：， 化为：， ，解得． 的最大值为． 故答案为：． 34.已知函数 （1）设是的反函数，当时，解不等式； （2）若关于的方程的解集中恰好有一个元素，求实数的值； （3）设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或；（3）. 【知识点】利用对数函数的性质综合解题、对数函数最值与不等式的综合问题 【解析】（1）利用反函数的性质，得到，然后，利用指数函数的单调性求解即可； （2）利用对数函数的性质，把问题转化为的解集中恰好有一个元素，然后，对进行分类讨论即可； （3）利用单调性的定义法，得出在上单调递减， 进而可得，通过参变分离，得到 ，设，对进行分类讨论，并利用均值不等式进行求解即可 【详解】（1）因为，所以，所以， 所以， 当时，，故解集为； （2）方程即， 即的解集中恰好有一个元素， 当时，，符合题意， 当时，，解得， 综上所述，或； （3）当时，设，则，， 所以在上单调递减， 所以函数在区间上的最大值与最小值为， 所以， 所以 设，则，， 当时，， 当时，， 因为在上递减，所以， 所以， 所以实数的取值范围是. 【点睛】关键点睛：（1）解题关键在于利用反函数定义，得到，进而用单调性解不等式；（2）解题关键在于利用二次函数性质进行求解；（3）解题关键在于得出的单调性后，分类讨论，并利用均值不等式求解；本题难度属于中档题 35.已知，. （1）当时，求函数的值域； （2）对任意，其中常数，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）当时，当时，当时，. 【知识点】求对数型复合函数的值域、对数函数最值与不等式的综合问题 【分析】（1）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得； （2）由得，令，对一切的恒成立，参变分离，根据函数的单调性求出函数的最值即可求出参数的取值范围； 【详解】（1）因为，， 令， ∵，∴，所以当，即时取最大值，当或，即或时取最小值， ∴函数的值域为. （2）由得， 令，∵，∴， ∴对一切的恒成立， ①当时，若时，； 当时，恒成立，即， 函数在单调递减，于是时取最小值-2，此时， 于是； ②当时，此时时，恒成立，即， ∵，当且仅当，即时取等号，即的最小值为-3，； ③当时，此时时，恒成立，即， 函数在单调递增，于是时取最小值， 此时，于是. 综上可得：当时，当时，当时， 06反函数 36．若函数存在反函数，则常数a的取值范围为（　　） A．（﹣∞，1] B．[1，2] C．[2，+∞） D．（﹣∞，1]∪[2，+∞） 【答案】D 【知识点】反函数的性质应用 【分析】依题意可得f（x）在[0，1]上单调，分两种情况讨论，参变分离，结合指数函数的性质能求出常数a的取值范围． 【详解】解：∵函数存在反函数 ∴函数在[0，1]上单调 若单调递增，即，则在x∈[0，1]上恒成立，即在上恒成立 ∵在[0，1]上单调递增 ∴ ∴a≤1 若单调递减，即，则在上恒成立 即在上恒成立 ∴在上单调递增 ∴ ∴． 综上，常数a的取值范围为． 故选：D． 37.已知有反函数，则的定义域D可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】反函数的性质应用、具体函数的定义域 【分析】利用原函数的定义域和反函数的值域的关系，解不等式即可求解 【详解】因为的定义域为：，解得， 反函数的值域为：， 故函数的定义域为：， 故函数的定义域为：， 故选：B 38.设函数的反函数是，若对任意的，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】求反函数、比较指数幂的大小 【分析】求得函数的表达式，利用指数函数的单调性可得出结果. 【详解】对于函数，该函数的定义域为， 令，则，可得，故. 当时，则，即. 故选：A. 39.在平面直角坐标系中，角（）的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过函数与的交点，角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反函数的性质应用、求正切（型）函数的值域及最值 【分析】首先函数特征判断函数和互为反函数，所以可判断，再计算，再判断函数值的范围，判断选项. 【详解】因为互为反函数，其交点在上， 又，所以，而，所以， 所以. 故选:D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数性质与三角函数的综合应用，本题的关键是判断函数和互为反函数，从而确定角的大小. 40．设函数的反函数为，若集合，则由中所有元素所组成的一组数据的中位数为 . 【答案】5 【知识点】计算几个数的中位数、求反函数 【分析】先求反函数，再解不等式即可 【详解】由,得,所以 由,得,即,所以 所以 所以由中所有元素所组成的一组数据的中位数为5 故答案为：5 41.已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的反函数 . 【答案】/ 【知识点】求幂函数的解析式、求反函数 【分析】先求得幂函数的解析式，再去求的反函数，即可解决. 【详解】 若幂函数在上递减，则， 又幂函数为奇函数，则，则 的反函数为 故答案为： 42．若函数的反函数为，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】根式不等式、求反函数 【分析】先由反函数的定义求出，再解不等式求出解集即可. 【详解】令，由可得，则，则， 则解得，故解集为. 故答案为：. 43.设为常数，函数． (1)若，求函数的反函数； (2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由． 【答案】(1)， (2)当时，函数是奇函数；当且时，函数既不是奇函数，也不是偶函数． 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求反函数 【分析】（1）利用把表示出来即可求得结果；（2）对分情况讨论，利用函数奇偶性判断即可得出结论. 【详解】（1）由，得，于是，且． 因此，所求反函数为，． （2）当时，，定义域为． ，故函数是奇函数； 当且时，函数的定义域为，函数既不是奇函数，也不是偶函数． 44.已知函数. (1)设的反函数为，求的最值. (2)函数满足，求证：当时，. 【答案】(1)最大值1，无最小值 (2)证明见解析 【知识点】作差法证明不等式、求反函数、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）先求出的反函数为，然后得到解析式，再求最值即可； （2）当时，得到和的表达式，然后比较大小. 【详解】（1）. 因为，且，所以当时，有最大值1， 此时；无最小值. （2）证明：. 当时，因为，其中， 又，所以. （另用分析法也可证明.） 45.已知函数. (1)设是的反函数，若，求的值； (2)是否存在常数，使得函数为奇函数，若存在，求m的值，并证明此时在上单调递增，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)3 (2)详细见解析 【知识点】由奇偶性求参数、求反函数、对数的运算性质的应用、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）根据反函数定义可知，，利用对数性质计算即可求得结果. （2）利用奇偶性的定义即可求得的值，利用单调性的定义证明即可得出结果. 【详解】（1）函数，是的反函数，则， ，即， . （2）,定义域为，关于原点对称， 又， 若函数为奇函数，则 ，即，解得 ， 故存在常数，使得函数为奇函数， 任取，且. 因为，所以. 所以. 又， 所以，即，所以，函数在其定义域上是增函数. 46.设函数是偶函数. （1）求实数的值及； （2）设函数在区间上的反函数为，当时，（且）时，求实数的取值范围. 【答案】（1），；（2）. 【知识点】由奇偶性求参数、反函数的性质应用 【分析】（1）根据偶函数的对称性，先得到，再利用偶函数的概念求解当时的解析式； （2）先利用反函数的概念求解出的值，再求解不等式的解集. 【详解】解：（1）因为函数为偶函数，所以定义域关于原点对称且，则， 当时，，则，， 故. （2）函数在区间上的反函数为， 则，即， 即，则或，即或 则实数的取值范围为. 【点睛】本题考查偶函数的性质及根据奇偶性求解函数的解析式，考查反函数的概念，难度一般.解答时要紧扣奇偶性的概念及就函数的性质求解，注意利用原函数与反函数的关系. 47.已知，其中是实常数. （1）若，求的取值范围； （2）若，求证：函数的零点有且仅有一个； （3）若，设函数的反函数为，若是公差的等差数列且均在函数的值域中，求证：. 【答案】（1）（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、零点存在性定理的应用、反函数的性质应用 【分析】（1）直接解不等式即可； （2）说明函数是增函数，然后由，可得结论； （3）首先不等式变形：，即 ，而，问题转化为证明是关于的减函数，即设，证明，利用反函数定义，设，由单调递增可得之间的大小关系，得. 作两个差，，并相减得，若，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有，证得结论． 【详解】（1），所以，，易知，所以，所以. （2）函数为增函数，且，由于.故在上必存在，使.又为增函数，所以函数的零点有且仅有一个. （3）即证：. ，而，所以只需证是关于的减函数. 设，即证※大于0 设，由单调递增可得. . 而， 两式相减得， ① 同理②， ①-②得： . 若，则上式左侧，右侧矛盾，故※.证毕. 【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题． 一、单选题 1．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【知识点】指数幂的化简、求值、由幂函数的单调性求参数 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 2．（2025·上海·模拟预测）已知为正数，则“”是“”的（   ） A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、指数幂的运算 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】已知为正数，则或， 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A. 3．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】对数的运算性质的应用、对数函数单调性的应用、比较指数幂的大小、比较对数式的大小 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可逐一排除A，B项，通过举反例排除D项，利用幂函数的单调性可推理C项正确. 【详解】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误； 对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误； 对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确； 对于D，若取，显然满足正数均不为1，且， 但，即与不等价，故D错误. 故选：C. 二、填空题 4．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、求对数函数的定义域 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 5．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 【答案】 【知识点】交集的概念及运算、具体函数的定义域、由对数函数的单调性解不等式 【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，根据对数函数的单调性求解不等式. ，即集合. 又集合，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于，即，可得； 又因为，所以集合. 结合集合（）和集合，可得. 故答案为：. 6．（2024·上海宝山·一模）若，且，则 ． 【答案】6 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算 【分析】根据指对互化，结合换底公式即可求解. 【详解】由可得， 故， 由于，故， 故答案为：6 7．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数型复合函数的单调性、由对数函数的单调性解不等式 【分析】由复合函数的单调性解抽象不等式可得. 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 8．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求二次函数的值域或最值、根据二次函数的最值或值域求参数、求对数函数在区间上的值域 【分析】根据题意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再对分类讨论求值域，从而求得的取值范围. 【详解】对任意的，存在，使得， 的值域是值域的子集， 当时，的值域为， 是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且， 当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 9．（24-25高三下·上海虹口·期中）已知函数的表达式为，. (1)解不等式：； (2)若存在实数，使得，，成等比数列，求实数的最小值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由对数函数的单调性解不等式、函数与方程的综合应用、分类讨论解绝对值不等式 【分析】(1)利用对数函数和指数函数的单调性解不等式即可； (2)利用复合函数思想，由内到外分别求正弦型函数和对钩函数的值域，从而可求最小值. 【详解】（1）由已知代入可得不等式：， 根据对数函数的单调性可得：且， 则且， 解得： （2）由已知可得： 则 令， 因为，所以，即， 则， 此时在上单调递增，则， 要使得等式，则， 故的最小值为. 10．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【知识点】求对数型复合函数的定义域、根据集合中元素的个数求参数、对数的运算性质的应用 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. 11．（2025·上海·模拟预测）已知函数的定义域是．对于，定义集合． (1)，求； (2)对于集合，若对任意都有，则称是对称集．若是对称集，证明：“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”； (3)若，．求的取值范围，使得对于任意，都有． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由函数在区间上的单调性求参数、集合新定义、由对数函数的单调性解不等式 【分析】（1）根据对数函数的单调性即可求解； （2）根据偶函数的定义和对称集的定义即可证明必要性和充分性； （3）根据定义判断出函数单调不减，得到导函数大于等于0恒成立即可求解. 【详解】（1）由定义得，. （2）证明： 必要性：因为函数是偶函数，所以对任意，， 对任意，若，即，则， 所以，所以对任意，是对称集. 充分性：若对任意，是对称集， 因为对任意，，所以，即①， 又，所以，即②. 由①②得，对任意，， 所以函数是偶函数. 综上，“函数是偶函数”的充要条件是“对任意，是对称集”，得证. （3）因为对于任意，都有， 所以若，则，即若，则， 所以，所以在上单调不减， 所以对任意，恒成立. 当时，显然成立，； 当时，恒成立，令，， 所以在单调递减，单调递增，所以； 当时，恒成立，此时 因为在上单调递减，当时，， 时，， 所以； 综上，. 【点睛】关键点点睛：函数在区间上单调不减等价于导函数在区间上大于等于0恒成立. 12．（24-25高三下·上海虹口·期中）对于定义在上的函数和，，设. (1)若，，求； (2)若，，，求实数的取值范围； (3)已知对任意，均有，记，求证：“对任意，函数零点个数均有限”的充要条件是“在上是严格增函数”. 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【知识点】求已知函数的极值、求指数函数在区间内的值域、函数新定义 【分析】（1），分析出其在上的值域即可； （2）利用导数求得当时取得极小值，再分和讨论即可； （3）充分性利用函数单调性即可证明，必要性先证明是严格增函数．再利用反证法证明即可. 【详解】（1）记， 函数上的值域为，即． （2）设在上的最小值． . 当时，严格增；当时，严格减； 当时，严格增．当时取得极小值． 当时，舍去． 当时，． 综上，． （3）（充分性）若是严格增函数， 则的最小值为，而， 故对任意，都有，即与是相同函数． 故是严格增函数，所以严格增函数，故对任意的零点个数有限． （必要性）对任意，都有，故的值域为， 即在上的最小值为． 先证是严格增函数． 对任意，函数和的最小值分别为和， 则由最小值的定义，，故函数是增函数． 假设存在，使得，则对任意，均有， 从而方程的解有无限多个，与条件＂对任意，函数零点个数均有限＂矛盾． 故假设不成立，从而是严格增函数． 再证对任意，函数的最小值为． 假设存在使得，取，则的最小值为． 由于严格增，知．而，故，矛盾． 所以假设不成立，对任意，函数的最小值为． 另证：再证对任意，函数的最小值为． ．假设，则由在上的最小值为， 存在使得，故在上的最小值为． 取，则在上的最小值为， 故．但由为严格增函数，知，矛盾． 所以假设不成立，所以． 即对任意，函数的最小值为． 而对任意的值域为，故． 于是与是相同函数，所以是严格增函数． 13．（2025·上海浦东新·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得 ，当且仅当时等号成立，则称和在上“次缠绕”. (1)判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； (2)设，若和在上“2次缠绕”，求的取值范围； (3)设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； (4)记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，使得，且和在上“次缠绕”. 【答案】(1)“次缠绕”，理由见解析 (2) (3) (4)证明见解析 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数新定义、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）结合题设新定义，找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的两个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解； （3）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可求解； （4）取，令，则，且，即可证明存在，进而求证. 【详解】（1）函数和“次缠绕”， 理由如下：因为对任意， 当且仅当和时，等号成立， 所以由“次缠绕”定义可知和在上“2次缠绕”. （2）设，， 因为和在上“2次缠绕”， 所以存在互异的两个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的两个零点. 由，当时，， 则函数在上单调递增，不满足题意； 当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又时，， 要使有两个零点，则，解得， 此时存在，使得成立， 当且仅当时等号成立. 综上所述，的取值范围为. （3）设， 因为和在上3次缠绕， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时等号成立，所以是的三个零点. 注意到，所以1是的一个零点，， ①当时，， 在上递增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上单调递减，1是的唯一零点，不合题意， ③当时，令，存在两根， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，因为， 设，因为， 所以在上递减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 使得成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （4）取，设， 令， 显然，且， 当且仅当时，等号成立. 所以对任意，存在， 其中， 使得，且和在上“次缠绕”. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$