第05讲 函数及其性质（专项训练）（上海专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第05讲 函数及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 函数的定义域 题型02 函数的值域 题型03 分段函数 题型04根据函数的单调性解不等式 题型05 函数不等式恒成立问题 题型06 函数奇偶性 题型07 函数的周期性 题型08 函数对称性 题型09 函数新定义 02 核心突破提升练 01 函数的定义域 1．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 2．函数的定义域为 . 3．函数的定义域为 ． 02 函数的值域 4．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 5．若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 6．若，则函数的值域为 . 7．已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 03 分段函数 8．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 9．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 10.已知，关于的方程的解 ． 11．已知，则的解集是 ． 12．若，，则满足的m的最大值为 ． 13．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 04根据函数的单调性解不等式 14.已知函数，则不等式的解集是 . 15.不等式的解集是 ． 16．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 17．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 18．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 05 函数不等式恒成立问题 19.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20.若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 21．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 22.设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 23.若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 . 24．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 06 函数奇偶性 25.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 26．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为 . 27.已知函数为奇函数，则 . 28.已知为实数，且函数是偶函数，则 . 29.设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 30．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 31．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 32．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 33．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 07 函数的周期性 34．函数满足，当时，，则 . 35.函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 . 36.设函数的反函数为． （1）解方程：； （2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值． 37.定义函数.数列满足 （1）若，求及； （2）若且数列为周期数列，且最小正周期，求的值； （3）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 08 函数对称性 38.若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 39.若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ． 40.已知，等差数列的前项和为，记． (1)求证：函数的图像关于点中心对称； (2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围； (3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由． 41.已知函数. (1)写出函数的单调递增区间； (2)求证：函数的图像关于直线对称； (3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐近线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证. 09 函数新定义 42．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 44．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有 个. 45．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 46．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 47．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 48．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 一、单选题 1．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 二、填空题 4．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 三、解答题 5．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 6．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 7．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 8．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 9．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 10．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 11．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 12．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 14．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 15． （2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 函数及其性质 目录 01 常考题型过关练 题型01 函数的定义域 题型02 函数的值域 题型03 分段函数 题型04根据函数的单调性解不等式 题型05 函数不等式恒成立问题 题型06 函数奇偶性 题型07 函数的周期性 题型08 函数对称性 题型09 函数新定义 02 核心突破提升练 01 函数的定义域 1．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】根据被开根数非负及分母不为零列不等式组求解. 【详解】，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为： 2．函数的定义域为 . 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、求对数函数的定义域 【分析】由对数函数性质即可得. 【详解】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 3．函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域 【分析】求函数的定义域，保证根号下的式子大于等于0，分母不为0即可. 【详解】， ，或 所以定义域为：. 故答案为： 02 函数的值域 4．（2025·上海松江·三模）已知函数，则的值域为 . 【答案】 【知识点】分段函数的值域或最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 5．若函数的值域是，则此函数的定义域为 ． 【答案】 【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域 【分析】分类讨论分两种情况解不等式即可. 【详解】当时， 当时， 故答案为： 6．若，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求对数型复合函数的值域 【分析】先求出函数的值域，即可求出函数的值域． 【详解】因为，，令，因此 ，即的值域为． 故答案为：． 7．已知函数为偶函数，则函数的值域为 . 【答案】 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求指数型复合函数的值域、基本（均值）不等式的应用、由奇偶性求参数 【分析】利用偶函数的定义求出，则，设，利用基本不等式，即可求出结果． 【详解】函数（）是偶函数， ， ，易得， 设， 则， 当且仅当即时，等号成立， 所以， 所以函数的值域为． 故答案为：． 03 分段函数 8．（2025·上海宝山·二模）已知函数则= . 【答案】 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值 【分析】由分段函数的解析式，代入已知值，可得答案. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 9．（2025·上海·模拟预测）设，已知，若，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、解分段函数不等式 【分析】讨论、，结合函数解析式求不同区间上对应的参数范围，即可得答案. 【详解】若，即时，，可得； 若，即时，，可得，不符合前提； 综上，的取值范围为. 故答案为： 10.已知，关于的方程的解 ． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、已知分段函数的值求参数或自变量 【分析】根据分段函数的形式分段求解即可. 【详解】等价于或， 故， 故答案为： 11．已知，则的解集是 ． 【答案】 【知识点】解分段函数不等式 【分析】首先求出当时的解析式，再根据解析式分段得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 设，则，所以， 所以， 不等式，即或，解得或， 综上可得的解集. 故答案为： 12．若，，则满足的m的最大值为 ． 【答案】/ 【知识点】根据分段函数的单调性求参数、由函数奇偶性解不等式、判断指数函数的单调性 【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，然后利用偶函数的单调性列不等式，最后解不等式即可得到的最大值. 【详解】当时，，即， 当时，，即， 于是，在上，都成立，即为偶函数. 由指数函数的单调性可知，在上单调递增， 因此，不等式等价于， 即，解得. 故m的最大值为. 故答案为：. 13．已知，函数，若该函数存在最小值，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】分段函数的值域或最值、根据分段函数的值域（最值）求参数、利用函数单调性求最值或值域、求指数函数在区间内的值域 【分析】令，，，，分类讨论的取值范围，判断，的单调性，结合存在最小值，列出相应不等式，综合可得答案． 【详解】由题意，令，，，， 当时，在上单调递减，在上单调递减，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，解得， 结合，此时； 当时，在上单调递减，在上单调递增，则在上的值域为， 因为存在最小值，故需，即，解得， 这与矛盾； 当时，在上单调递减，且在上的值域为，，此时存在最小值2； 则实数的取值范围为或． 故答案为：或． 04根据函数的单调性解不等式 14.已知函数，则不等式的解集是 . 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】根据函数的单调性，以及即可求解. 【详解】函数的定义域为. 因为在上为增函数，在上为增函数， 所以在上为增函数， 又，所以不等式的解集为. 故答案为： 15.不等式的解集是 ． 【答案】 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由指数函数的单调性解不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】设，判断其单调性，根据函数的单调性即可求得不等式.的解集. 【详解】由题意可设，定义域为， 由于在都单调递增， 故在上单调递增，且， 故不等式的解集是， 故答案为： 16．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 17．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】等差中项的应用、根据函数的单调性解不等式、对数的运算性质的应用、求对数函数的解析式 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 18．（2025·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)解关于的不等式； (2)若存在唯一的实数，使得依次成等差数列，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】解含有参数的一元二次不等式、根据函数的单调性解不等式、等差中项的应用 【分析】（1）由在单调递增，得即可求解； （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，即在上恰有一个实数解，令，则在上恰有一个实数解，利用数形结合即可求解. 【详解】（1）由函数在单调递增， 所以 （2）原问题等价于关于的方程恰有一个实数解，求实数的取值范围. 即在上恰有一个实数解. 等价于在上恰有一个实数解. 在上恰有一个实数解. 令，则在上恰有一个实数解. 画出关于的二次函数在上的图像可知，时只有一个交点； . 05 函数不等式恒成立问题 19.设函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】函数不等式恒成立问题、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】分和两种情况下恒成立，参变分离转化为最值求解即可. 【详解】当时，恒成立，即恒成立， 当时，上式成立； 当，，明显函数在上单调递增， 所以，所以； 当时，恒成立，即恒成立， 令，则在上恒成立， 又开口向下，对称轴为， 所以的最大值为， 所以， 综上：实数a的取值范围是. 故选：D. 20.若存在实数，对任意实数，使得不等式恒成立，则实数m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】函数不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】不等式等价于，原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立，等价于存在实数，，不等式成立，分别讨论，，，的情况，先求出，再求出即可解决问题. 【详解】不等式等价于即， 原命题等价于存在实数，，对任意实数不等式恒成立， 等价于存在实数，，不等式成立， 记，则， （1）当时，对任意，恒成立，即在上单调递减 ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； （2）当时，令，解得， 在区间上单调递增，在上单调递减， ，，， ①当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增, 所以； 令，则，，记， 则， 当时，恒成立， 即在区间上单调递减，即， 即； ②当时，此时， 当即时，， 当即时，， 从而当时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； （3）当时，对任意，恒成立，即在上单调递增， ①当，即时，， ②当，即时，， 从而当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以； 综上所述，， 所以. 故选：A 21．（2025·上海松江·三模）若不等式对恒成立，则 . 【答案】 【知识点】函数不等式恒成立问题、二次函数的图象分析与判断、利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 22.设，若在区间上，关于x的不等式有意义且能恒成立，则t的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】指数函数最值与不等式的综合问题、函数不等式恒成立问题、根据解析式直接判断函数的单调性 【分析】根据在上恒成立，故，分时，满足要求，当时，变形为在上恒成立，构造，，根据函数单调性得到，从而得到，得到答案. 【详解】由题意得在上有意义，故在上恒成立， 故， 当时，，而，满足，符合题意， 当时，，在上恒成立， 令，， 其中在上单调递减， 故， 故， 综上，t的取值范围是， 故答案为： 23.若存在实数，对任意的，不等式恒成立.则正数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数图象的应用、函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题 【分析】先化简不等式，转化为两个不等式组，结合二次函数图象与一次函数图象分析确定满足条件的解. 【详解】存在实数，对任意的，不等式恒成立， 等价于或， 整理得①或②， 令，，， 则不等式①②等价于的图象夹在和之间， 令，解得，即，， 的对称轴为，设点关于直线的对称点为点，则， 对任意的，函数的图象必须夹在和图象之间， 所以，即，故. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题以及二次函数图象性质，关键是把不等式恒成立转化为函数图象需要满足特定条件，再结合图象分析计算，体现了转化思想和数形结合的思想. 24．（2025·上海浦东新·三模）已知. (1)数列的前项和为，点均在函数的图象上，求数列的通项公式； (2)设；当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用an与sn关系求通项或项、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）由题意可得，根据的关系求通项公式即可； （2）求出，换元后，分离参数，转化为求函数的最小值，利用二次函数配方后得解. 【详解】（1）由题意，， 当时，， 当时，， 则. （2）， 设，当时，， 恒成立， 则， 因为，所以. 06 函数奇偶性 25.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，， 则关于函数 在R 上的零点的说法正确的是（    ）. A．有4 个零点，其中只有一个零点在区间上 B．有4 个零点，其中两个零点在区间上，另外两个零点在区间上 C．有5 个零点，两个正零点中一个在区间上，一个在区间 上 D．有5 个零点，都不在上 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、求函数的零点 【分析】根据题意，由函数零点的定义可判断时，函数有两个零点，然后结合函数奇偶性的性质，即可得到时的零点，从而得到结果. 【详解】由于函数是定义在R上的奇函数，故，即0是函数的一个零点； 当时，， 此时函数在上单调递减，在上单调递增，且， 即此时函数在和内各有一个零点，在上无零点， 又函数是定义在R上的奇函数， 故函数在和也内各有一个零点， 综合上述可知函数有5 个零点，都不在上 故选：D 26．（2025·上海·模拟预测）设，，记的导数为.若函数为奇函数，则的值为 . 【答案】 【知识点】导数的运算法则、由奇偶性求参数 【分析】求导，结合奇函数的定义即可求解； 【详解】由，得， 所以， 因为为奇函数，定义域为， 所以，所以， 即，，满足； 所以， 故答案为： 27.已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、函数奇偶性的应用、求分段函数解析式或求函数的值 【分析】首先求出当时的函数值，再根据奇函数的性质得解. 【详解】因为函数为奇函数， 当时， 所以. 故答案为： 28.已知为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【知识点】由奇偶性求参数 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 29.设.若函数是定义在上的奇函数，则 . 【答案】1 【知识点】由奇偶性求参数、函数奇偶性的应用 【分析】利用奇函数的定义域关于原点对称，且满足，即可求出结果. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，可知， 再由， 所以， 故答案为：1. 30．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【答案】(1)偶函数，理由见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【知识点】由对数函数的单调性解不等式、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 31．（2025·上海杨浦·二模）已知函数是定义在上的偶函数. (1)当时，，求时，的表达式； (2)当时，，若实数满足，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】由奇偶性求函数解析式、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、解不含参数的一元一次不等式 【分析】（1）利用偶函数的性质直接求解即可； （2）先判断函数的单调性，再结合偶函数的性质解一元二次不等式即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，即 当时，， 所以， 所以. （2）当时，， 由幂函数和指数函数的单调性可得为递增函数. 又函数为偶函数， 所以， 两边平方后展开可得，即， 解得. 32．（2025·上海金山·二模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【知识点】函数奇偶性的应用、求对数型复合函数的值域 【分析】（1）根据函数的奇偶性求解即可； （2）计算表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 所以； （2）， 令，问题等价于求的值域， 函数图象开口向上，对称轴为直线， ， 函数的值域为． 33．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、指数函数y=2x和y=(1/2)x的图像和性质 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 07 函数的周期性 34．函数满足，当时，，则 . 【答案】1 【知识点】由函数的周期性求函数值、对数的运算 【分析】由得函数的周期，然后通过周期性和对数的运算性质即可求出的值. 【详解】由得函数的最小正周期为2. 由周期性可得，， 当时，，则. 所以. 故答案为：1. 35.函数是最小正周期为4的偶函数，且在时，，若存在满足，且，则最小值为 . 【答案】1518.5 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用 【分析】根据题意，先求出函数一个周期的值域，要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且，再利用函数的周期性求解. 【详解】解：函数是最小正周期为4的偶函数，且在时， 函数的值域为，对任意， 都有， 要使取得最小值，尽可能多让取得最高点，且， ， 的最小值估计值为，故的最小值取507，相应的最小值为1011.5， 则的最小值为1518.5. 故答案为：1518.5 36.设函数的反函数为． （1）解方程：； （2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值． 【答案】（1）原方程的解集为；（2）． 【知识点】求反函数、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、对数的运算 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集； （2）求得当时，，通过计算得出，即可得解. 【详解】（1），则 即，解得或． 由可得，，所以，原方程的解集为； （2），其中，令，可得，即， 所以当时，所以，， 由于是定义在上且以为周期的奇函数， 所以对于任意实数，均有，． ，则， 故， 又因为，所以，故. 因此，. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度； （1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性． （2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解； （3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 37.定义函数.数列满足 （1）若，求及； （2）若且数列为周期数列，且最小正周期，求的值； （3）是否存在，使得成等比数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由. 【答案】（1）;(2);(3)存在，且的取值范围为. 【知识点】函数周期性的应用、等比数列的定义 【分析】(1)分别取，2，由，，去掉绝对值符号即可得出． （2）由已知可得，分三种情况讨论即可求值． （3）假设存在，使得，，，，成等比数列，分类讨论当及当，和时，分别利用递推关系及等比数列的定义，得出的取值范围． 【详解】解：（1）， ，，， ． ． （2）， ，， 数列是周期数列，且最小正周期为， 则当时，， ，解得（舍， 当时，，， ，解得（舍， 当时，， ， 令，则， 解得， 综上得到． （3）假设存在，使得，，，，成等比数列， ①当时，，， ，则公比为， ，则，解得，满足题意； ②当时，，则必存在，使得， 若，，由①知， 若，，， ，解得， 则，， 满足，满足公比为， 综上可知：的取值范围为，． 【点睛】本题的关键是采用零点分段，对绝对值函数进行分类讨论. 08 函数对称性 38.若函数 的图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点，则的值为 ． 【答案】 【知识点】由函数对称性求函数值或参数、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】根据题意，求得的图形过点，得到的图象过点，结合，，联立方程组，求得的值，得出，再根据题意，得到必为函数的一个零点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】由函数， 则函数的图形过点， 因为函数的图象关于对称，则函数的图象过点， 可得，且，可得， 又由，且，可得， 联立方程组，解得， 所以， 因为函数图像关于直线对称，且该函数有且仅有7个零点， 则必为函数的一个零点，即， 可得，解得， 所以. 故答案为：. 39.若函数的图像上点与点、点与点分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】函数图象的应用、利用导数研究方程的根、函数对称性的应用、函数与方程的综合应用 【分析】由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数的取值范围. 【详解】若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点． 由时，；得其关于原点对称后的解析式为． 问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根， 化简得，即与在上有两个交点． 对于，求导，令，解得：， 即：当时，单调递增； 令，解得：． 即：当时，单调递减， ∴为其极大值点，，时，；画出其大致图像： 欲使与在时有两个交点，则，即． 40.已知，等差数列的前项和为，记． (1)求证：函数的图像关于点中心对称； (2)若、、是某三角形的三个内角，求的取值范围； (3)若，求证：．反之是否成立？并请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)证明见解析，理由见解析 【知识点】判断或证明函数的对称性、求含sinx(型)函数的值域和最值、等差数列的应用、求等差数列前n项和 【分析】（1）函数中心对称性质：，则的图象关于点中心对称，根据此定义证明即可； （2）利用三角形内角和为和等差中项性质求解出和 ，再根据定义展开，根据三角函数恒等变换展开化简即可求出的取值范围； （3）根据等差数列性质可得，将该关系式代入计算即可. 【详解】（1）， ， ， 故函数的图象关于点中心对称； （2）因为为等差数列，所以， 又因 、、是某三角形的三个内角，所以，得，， 化简得：， 因为、、是某三角形的三个内角，且，所以， 即，，可得； （3）证明：若，根据等差数列性质可得， 由此可得，，， 即， ， 解得，证毕. 反之，若，即 因为为等差数列，所以， 即， 当且仅当时，， 若，则， 故反之不成立，证毕. 【点睛】方法点睛： 常见函数的累加求值： ①若函数呈周期性变化，或者函数的部分呈周期性变化，因此在累加求值的过程中，先找到函数的周期性，再计算出一个周期中的取值情况，最后整体计算； ②若无周期变化，该函数还可能呈首尾相加取定值，可先判断是否存在该规律，再进行整体计算. 41.已知函数. (1)写出函数的单调递增区间； (2)求证：函数的图像关于直线对称； (3)某同学经研究发现，函数的图像为双曲线，和为其两条渐近线，试求出其顶点､焦点的坐标，并利用双曲线的定义加以验证. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，，，，验证答案见解析 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由方程研究曲线的性质、判断或证明函数的对称性、判断方程是否表示双曲线 【分析】（1）求得，令，即可求得函数的递增区间； （2）设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为，根据直线垂直且平分线段，求得代入得到，即可求解； （3）由（2）得直线为函数图像的一条对称轴，联立方程组求得，得到双曲线的两个顶点一定只能是，进而求得，根据的两个焦点，由，求得，，结合双曲线的定义，作出证明. 【详解】（1）解：由题意，函数，可得， 令，即，解得或， 所以函数的单调递增区间为. （2）证明：设为函数的图像上一点，点关于直线对称的点Q的坐标为， 由直线垂直且平分线段，可得， 因为，所以， 将代入，可得， 即点Q也在函数的图像上，所以函数的图像关于直线对称. （3）解：由（2）得直线为函数图像的一条对称轴， 于是，解得， 因为的图像是双曲线（以下记作）， 那么双曲线的两个顶点一定只能是， 于是半实轴a的值一定只能是， 双曲线的实轴所在直线与它的一条渐近线的夹角为， 以双曲线的一个顶为直角的顶点，以为一个锐角，以半实轴a的长为一条直角边的直角三角形的另一条直角边的长应当等于的半虚轴b之长，其斜边则等于的半焦距c之长.因此. 因为双曲线的两个焦点在双曲线的实轴所在的一条对称轴上， 所以的两个焦点，应在直线上， 由，得，利用对称性另一个焦点应为， 以下验证图像上的任意一点到､两点的距离之差的绝对值为定值，设为函数图像上的任意一点， 则 由，得， 故有 ， 因为， 故得， 即为定值，且恰等于前面所得的的值， 由此验证函数的图像为双曲线. 09 函数新定义 42．（2025·上海浦东新·模拟预测）设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、函数的周期性的定义与求解、函数周期性的应用、函数新定义 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 43．（2025·上海黄浦·三模）指示函数是一个重要的数学函数，通常用来表示某个条件的成立情况．已知全集U的元素个数有限，对于U的任意一个子集S，定义集合S的指示函数，集合A、B都是U的子集．现有以下四个命题： ①若，则； ②； ③； ④； 注：表示M中所有元素x所对应的函数值之和．（其中M是定义域的子集） 上述命题中真命题的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】判断命题的真假、函数新定义、集合新定义 【分析】根据题意，知对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数，再结合指示函数的定义对各选项进行逐项分析． 【详解】由已知，集合集合S的指示函数， 则对集合的指示函数求和的结果是属于集合的元素的个数； 对于①，因为，所以若，则，此时， 若，但，此时，，此时， 若，且，此时，故始终有，①正确； 对于②，当时，由指示函数的意义知，次数，②错误； 对于③，表示属于中的元素个数， 表示中元素个数加中元素个数再减去中的元素个数，即中的元素个数， 故③正确； 对于④，当且仅当，且时，， 否则， 所以表示中既不在中又不在中的元素个数， 即中的元素个数， 表示中元素个数减去中元素个数再减去中元素个数， 相较左边多减了1次中的元素个数，故左右两式不相等，④错误； 综上，①③正确，②④错误，真命题个数为2． 故选：B 44．（2025·上海浦东新·三模）对于函数，若关于的方程，（，）恰有个实数根，则称函数为“”函数.①函数的定义域且；②函数是“2”函数，也是“3”函数；那么同时满足条件①②的函数共有 个. 【答案】18 【知识点】函数新定义、排列组合综合 【分析】根据题目所给条件，先根据定义域确定关键的函数值，然后根据计数原理将不能确定的几个函数值进行排列即可得到答案. 【详解】由题意，函数的定义域为和函数的值域均为：，可知自变量和函数值是一一对应的关系； 的定义域为，根据题目给出的“3”函数的新定义：有，即： ，，. 可得：，只能是，，，这样在值域当中只剩下是的倍，故，. 因为函数是“2”函数，根据题意恰有2个根，结合，，，，；剩余的不能确定的个函数值中，只需要，不同的分配方法有种. 故答案为： 45．（2025·上海宝山·三模）已知，函数的定义域是，且满足.记函数的值域为，若存在，使得对于任意符合要求的函数，均满足：，则实数的取值范围是 . 【答案】 【知识点】函数新定义 【分析】设，得到方程，解出，再转化为不动点问题，再结合蛛网图即可得到范围. 【详解】设， ，对求导得， 则 这是一个“吸引不动点”. 由蛛网图可知 ，，，使得， 故，有 因此.① 另一方面，当时，， 又， 所以.② 结合①②可知， 故. 当时，取满足题意. 当时，任取的实数，满足题意. 故的取值范围为 故答案为：. 46．（2025·上海·三模）设定义域为的函数在上可导，导函数为．若区间及实数满足：对任意成立，则称函数为上的“函数”． (1)判断是否为上的函数，说明理由； (2)若实数满足：为上的函数，求t的取值范围； (3)已知函数存在最大值．求证：对任意正整数都是上的函数的充要条件是对任意与恒成立 【答案】(1)是，理由见解析； (2)且； (3)证明见解析. 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、函数新定义、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据给定条件，作差判断即可. （2）利用给定定义列出恒成立的不等式，再建立关于的不等式求解即得. （3）根据给定的定义，按充分性、必要性分别推理证明. 【详解】（1）函数，求导得， ，恒成立， 所以是上的函数. （2）由为上的函数，， 得， 取，得，反之当时，在恒成立， 令，求导得，且的为离散的点， 因此为严格减函数，又，则， 又， 所以t的取值范围是：且. （3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：， 因此为上的函数，即充分条件成立； （必要性）即对任意正整数，有①， 记函数的最大值为， 先证明恒成立， 反证法，假设存在使得，则取正整数，使得， 此时有，与①矛盾，因此假设错误，即； 再证明恒成立， 取为的一个最大值点， 则当时，由单调性知，但，则， 于是， 对任意，可取一个与有关的正整数，使得， 由②知：，因此必要性成立， 所以原命题正确． 47．（2025·上海·模拟预测）记.已知函数和的定义域都为，若存在，使得，当且仅当时等号成立，则称是在上“次缠绕函数”.若，则称是上的“次自倒缠绕函数”. (1)判断是在上“几次缠绕函数”，并说明理由； (2)设，若在上.“3次自倒缠绕函数”，求的取值范围; (3)记所有定义在区间上的函数组成集合，给定，对任意，是否存在，使得，且是在上“次缠绕函数”. 【答案】(1)次，理由见解析 (2) (3)存在 【知识点】函数不等式能成立（有解）问题、利用导数研究函数的零点、函数新定义、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）找到和时，，则得到其为“2次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，使得，求导得，再对合理分类讨论即可； （3）取，令，则，且，即可证明存在存在，则证明了结论. 【详解】（1） 当且仅当和时取等号，内成立且仅在两零点处等号成立 所以缠绕次数为次； （2）设， 因为在上“3次自倒缠绕函数”， 所以存在互异的三个正数，使得， 当且仅当时取等号，所以是的三个变化零点. 注意到，所以是的一个零点.， ①当时，， 在上严格增，1是的唯一零点，不合题意， ②当时，在上严格递减，1是的唯一零点， 不合题意， ③当时，令， 由韦达定理可知，有两正根，且， 所以存在两正根，且， 当时，严格减; 当时，严格增， 当时，严格减， 所以， 因为， 设，因为， 所以在(0，1)上严格减，所以，即， 所以存在. 又， 所以存在， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上，的取值范围是. （3）取， 设， 令， 显然，且， 当且仅当时取等号. 所以对任意， 存在， 其中， 使得，且是在上“次缠绕函数”. 48．（2025·上海黄浦·三模）若对于函数和，对任意实数，都存在常数，使成立，则称函数是函数的“函数”.（已知和定义域均为）. (1)证明：函数是函数的“1函数”； (2)若函数是函数的“函数”，求的取值范围； (3)若函数，函数为偶函数，函数是函数的“1函数”，求证：“”的充要条件是“存在常数，使得恒成立”. 【答案】(1)证明见解析 (2)； (3)证明见解析 【知识点】函数奇偶性的应用、函数新定义、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求出、，证明出，即可证得结论成立； （2）结合定义，构造函数，结合导数求出最小值即可得出实数的取值范围； （3）先证明充分性：若存在常数使得恒成立，结合偶函数定义计算即可得；再证明必要性：由题意可得，又，，可推导出，可得到，即可得证． 【详解】（1）因为，，所以，，则， 故，即恒成立， 故函数是函数的“1函数”. （2）因为，， 则，， 因为函数是函数的“函数”， 所以对任意的，，则， 令， 则， 且， 故当时，，当时，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 若函数是函数的“函数”， 则实数的取值范围是. （3）充分性：若存在常数使得恒成立， 则为偶函数，因为函数为偶函数，所以， 则，即所以恒成立，所以； 必要性：若，则，所以函数为偶函数， 函数是的1函数，因此，又，. 因此函数是函数的“1函数”， 所以，即恒成立，用代换有， 综上可知，记则， 因此存在常数使得恒成立， 综上可得，“”的充要条件是“存在常数使得恒成立”. 一、单选题 1．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 2．（2025·上海奉贤·二模）函数的导函数为，若存在实数，使得成立，则称函数具有性质，下列函数具有性质的函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数的导函数，然后逐个选项验证是否成立即可得出结果.根据指数的运算法则计算可判断选项A；根据二倍角正弦公式和三角函数的有界性可判断选项B；解出方程的根可判断选项C；根据题意令，整理得 ，分正负分析，并结合放缩法可知此方程无解，从而否定D. 【详解】对于选项A：因为函数的导函数为，所以，故选项A错误； 对于选项B：因为函数的导函数为， 所以， 而， 所以，，故选项B错误； 对于选项C：因为函数的导函数为， 所以. 令，解得：，， 即存在实数，使得成立， 所以函数具有性质，故选项C正确； 对于选项D：因为函数的导函数为， 所以. 令，显然，化简得：. 下面证明方程（*）无解. 当时，，方程（*）无解 当时，，而： 令，， 则，所以单调递减. 又因为，所以，即，所以. 综上，方程(*)无解. 所以不存在实数，使得成立，故选项D错误. 故选：C. 3．（2025·上海松江·二模）定义在上的函数满足，当时，，有以下两个命题： ①当为正整数时，； ②若函数在区间内有3个极大值点，则的取值范围是. 则以下选项正确的是（   ） A．①是真命题，②是假命题 B．两个都是真命题 C．①是假命题，②是真命题 D．两个都是假命题 【答案】A 【分析】对①，根据题意，可得，利用累加法求求答案；对②，分别求出，，的解析式，利用导数判断极大值情况，得解. 【详解】对于①，当为正整数时，已知， 则，， 将这些式子累加可得， 由等差数列求和公式， 所以，故①正确， 对于②，当时，，令， ， 即， 同理，可得， ， 由，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是极大值点， 当时，则， 同上易得是极大值点， 当时，则， 可得为极大值点， 当时，则， 易得为极大值点， 因为函数在区间内有3个极大值点，所以，故②错误. 故选：A. 二、填空题 4．（2025·上海金山·二模）已知函数的图象是折线段，且，则函数的图象与轴围成的图形面积为 . 【答案】 【分析】根据题意，求出的表达式，进而得到的表达式，利用图象分割求解面积. 【详解】由题可得，， ， 设函数的图象与轴围成的图形面积为， 如图，由二次函数和可知，曲边三角形的面积等于曲边三角形的面积， 所以. 故答案为：. 三、解答题 5．（2025·上海崇明·二模）已知． (1)是否存在实数a，使得函数是偶函数？若存在，求实数a的值，若不存在，请说明理由； (2)若且，解关于x的不等式． 【答案】(1)存在实数，使得函数是偶函数 (2)答案见解析 【分析】（1）根据偶函数的定义可求解. （2）先根据对数函数的单调性和定义域列出不等式组；再结合且，分类讨论即可求解. 【详解】（1）存在实数，使得函数是偶函数. 要使函数有意义，须满足，即， 显然，即，函数的定义域. 当时，函数定义域不关于原点对称，此时必然存在且，此时函数不是偶函数. 当时，， 函数的定义域为，对于任意的，都有， 并且 因此函数是一个偶函数 综上所述，存在实数，使得函数是偶函数 （2）由，得 所以且①． 由①得，. 因为且， 所以当时，， 当时，. 综上可得：当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 6．（2025·上海浦东新·二模）已知函数的表达式． (1)若函数是奇函数，求实数的值； (2)对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义，即可求解答案； （2）根据分离参数转化为利用单调性求函数的最值，即可求解答案. 【详解】（1）因为函数是奇函数， 的定义域关于原点对称， 由，则， 所以. （2）对任意实数，不等式恒成立，即恒成立， 设， 对任意实数且， ， 因为，所以，所以 所以函数在上单调递减； ，所以 . 7．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，a，b为实常数且． (1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值； （2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围. 【详解】（1）由题设， 所以恒成立，则，又， 所以的最小值为4，显然， 又，当且仅当时取等号，则，即， 所以，经检验满足题设，故； （2）由题设，即在R上恒成立， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，故. 8．（2025·上海杨浦·二模）已知函数的导函数为，若函数的定义域为，且不等式对任意成立，则称函数是“超导函数”. (1)判断是否为“超导函数”，并说明理由； (2)若函数与都是“超导函数”，且对任意，都有，，记，求证：函数是“超导函数”； (3)已知函数是“超导函数”且，若有且仅有一个实数满足，求的取值范围. 【答案】(1)是，理由见解析； (2)证明见解析； (3)或. 【分析】（1）求出导数，再利用“超导函数”定义判断即可. （2）求出的导数，作差变形，利用“超导函数”定义推理判断符号即得. （3）构造函数，利用“超导函数”定义确定单调性可得，再构造函数，利用导数求出函数值集合，结合已知求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则， 所以是“超导函数”. （2）函数，求导得， 则， 由函数与都是“超导函数”，得， 由对任意，都有，，得， 因此，即， 所以函数是“超导函数”. （3）由函数是“超导函数”，得对任意，， 令，求导得，函数在上单调递减，且， 由，得，即， 因此，即，令， 由有且仅有一个实数满足，得直线与函数的图象有且只有1个交点， ，当时，；当时，， 函数在上单调递增，函数值的集合为，在上单调递减，函数值的集合为， 因此当或时，直线与函数的图象有且只有1个交点， 所以的取值范围或. 9．（2025·上海·模拟预测）设定义域为的函数，对于，定义. (1)设，求； (2)设，是否存在，使得是一段闭区间？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)函数的定义域是，函数值恒正，其导函数为；当时，.若对任意，均有，求证：“函数是上的严格增函数”的充要条件是“”. 【答案】(1) (2)存在满足条件的，且，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题设有，化简并解一元二次不等式求； （2）构造，对其求导并讨论，研究是否为一段闭区间，确定存在性，进而得参数范围； （3）从充分、必要性两方面判断“函数是上的严格增函数”与“”的推出关系，即可证结论. 【详解】（1）由题设，将化简得， 解得，故； （2）存在满足条件的，且，理由如下： 因为，代入定义整理得：， 设，则， 令，得，或， 当时，必存在，（设）； 根据的关系，列表如下： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由此是函数的极大值点，故当时，是一段闭区间， 即，解得， 因此， 特别地，当时，， 故仍是一段闭区间，故. 当时，当且仅当时，， 列表可得： 单调递减 极小值 单调递增 所以是函数的极小值点，且取得最小值， 当时，是一段闭区间，即，解得， 由此得. 综上所述，存在满足条件的，且； （3）假设，若，则，因此矛盾，故， 先证必要性：因为函数是上的严格增函数且， 当时，；当时，， 因此， 因此必要性得证； 再证充分性： 引理：对任意，当满足时，，已知， 假设，设，任取，则， 因为函数是严格增函数，所以，即， 所以，由此，因此考虑构造， 当，则，而， 函数是严格减函数，，故矛盾，即， 下面证明函数在上为严格增函数： 任取，若，联立上式可得 ， 而，又因为是严格减函数， 则.由于， 所以，故. 同理，可证函数在上为严格增函数， 且，故函数在上为严格增函数，因此充分性得证. 【点睛】关键点点睛：第三问，问题化求证“函数是上的严格增函数”与“”互为充要关系. 10．（2025·上海嘉定·二模）已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)； (3)答案见解析. 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 11．（2025·上海徐汇·二模）对于函数，记.如果是满足的最小正整数，则称是函数的“最小导周期”. (1)已知函数，其中，求证：对任意实数，都有； (2)设，，若函数的最小导周期为，记，当实数变化时，求的最小值； (3)设，，若函数满足对恒成立，且存在使得，试用表示，并证明. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“最小导周期”的定义即可证明； （2）由题意有对任意实数恒成立，令，得，令，得，根据的取值验证函数的最小导周期为即可得，由可视为点与点之间的距离，利用数形结合即可求解； （3）记，由在上恒成立及存在使，可知是函数的极大值点，即，，解得，由，得，由得，又，即，即得证. 【详解】（1）证明：因为， ， ， ， 所以，对任意实数，都有. （2），， 由题意知，对任意实数恒成立， 令，则，即， 令，则，则， 所以或. 若，则，，最小导周期不是，矛盾； 若，则，，，最小导周期为，符合要求，所以. 可视为点与点 之间的距离，当实数变化时，点在直线上运动，点在曲线上运动， 因此所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值， 而曲线在直线上方，平移直线使其与曲线相切， 则切点到直线的距离即为所求. 设切点，，切线斜率，得，切点为， 点到直线距离. 即的最小值为. （3），， 记，即. 由在上恒成立及存在使， 可知是函数的极大值点，于是， 则①， 又，则②， 由①②得，则. 又因为， 所以，由得， 又因为， 所以， 有，于是， 所以. 12．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【答案】(1)，固着点 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）根据题设定义得，进而有，即可求解； （2）根据条件得到在区间上恒成立，从而有，即可求解； （3）法一，根据题设得到在上有唯一的解，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求得的单调性，进而可得， 再构造函数，利用其单调性，即可求解；法二，前同法一，得，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，求其单调区间，利用单调性，即可求解. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. （3）（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 13．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知. (1)若，求函数的值域； (2)若关于的方程有且仅有三个实数解，求实数的取值范围； (3)若且函数有最小值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）带入参数，求出函数解析式，根据函数单调性，求出函数值域. （2）构造函数，求出函数单调性和极值，找出方程有三个解的范围，求得参数范围. （3）根据函数求出导数，对参数进行分类讨论，求出函数单调区间，根据单调区间确定函数是否有最小值，确定参数范围. 【详解】（1）若，，则 所以在单调递减，， . （2）关于的方程有且仅有三个实数解 ，化简得， 设 ， 令，即，解得， 令，即，解得， 所以在单调递增，在单调递减； 所以在处取得极小值为，在处取得极大值为 当时，，所以. （3） ， 令， 则，可知， 因为，可得， 当时，，单调递增，，所以在单调增，所以无最小值，不符题意； 当时，，且单调递增，时，；先单调递减后单调递增，，必有. 又当时，， 先单调递减后单调递增；，且，取值先负后正，先减小后增大，所以有最小值；符合条件. 综上所述：. 14．（2025·上海金山·二模）若函数和同时满足下列条件：①对任意，都有成立；②存在，使得，则称函数为的“函数”，其中称为“点”. (1)已知图像为一条直线的函数是的“函数”，请求出所有的“点”； (2)设函数为的“函数”，其“点”组成集合；函数为的“函数”，其“点”组成集合.试证明：“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； (3)记（为自然对数的底数），，若为的“函数”，且“点”，求实数的最大值. 【答案】(1)； (2)证明过程见解析 (3) 【分析】（1）取，，满足要求； （2）先得到任意，成立，①成立，再证明出充分性和必要性，得到结论； （3）求导得到的单调性和最值，分，和三种情况，得到实数的最大值. 【详解】（1）取，， 此时，， 故函数是的“函数”，“点”为； （2）为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 函数为的“函数”，其“点”组成集合， 故，设， 显然对任意，成立，①成立， 充分性，若， 不妨设，此时，②成立， 故②成立，所以函数为的‘函数’，充分性成立； 必要性，若函数为的‘函数’， 则存在，使得， 由于对任意，成立，故， 故，所以，充分性成立； 故“函数为的‘函数’”的一个充分必要条件是“”； （3）定义域为R， ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 且当时，恒成立， 又，取，， 满足且， 为的“函数”，此时， 当时，取， 故当为在处的切线方程时，才满足要求， ，故切线方程为， 令得， 由于，设，， 所以在上恒成立， 故在上单调递增， 所以， 当时，结合图象，可知单调递减且下凸， 对任意的，无法做到恒成立， 综上，实数的最大值为. 15． （2025·上海黄浦·二模）设是的一个非空子集，函数的定义域为，若在上不是单调函数，且存在常数，使得对任意的成立，则称函数具有性质，称为该函数的一个下界． (1)设，，判断函数，是否具有性质； (2)设为常数，，，当且仅当满足什么条件时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界； (3)设，，，若函数，具有性质，求的取值范围：当在上述范围内变化时，若总是该函数的下界，求的取值范围． 【答案】(1)不具有，理由见解析； (2)； (3)，. 【分析】（1）借助导数，利用“函数具有性质”的定义推理判断. （2）利用导数求出函数的单调区间及极小值，再利用“函数具有性质”的定义求解. （3）求出的导数，按分类，结合“函数具有性质”的定义求出范围，并求出最小值函数，再换元求出最小值函数的最小值即可. 【详解】（1）函数，，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，上单调递减， 于是函数在上不是单调函数，，， 函数在上的值域为， 不存在常数，使得对任意的成立， 所以函数，不具有性质H. （2）函数，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 由函数，具有性质H，且是该函数的一个下界，得， 当时，函数在上不单调，，， 由，即，整理得，解得或， 当时，，当时，， 因此，，则， 所以当且仅当时，函数，具有性质，且是该函数的一个下界. （3）当时，函数， 求导得， 当时，，，函数在上单调递增，不符合题意； 当时，，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增，在上不是单调函数， ，，因此， 令，则，令， 求导得， 函数在上单调递减，， 由当变化时，总是该函数的下界，得， 所以的取值范围是，的取值范围是. 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$