精品解析：福建省福州一中2024—2025学年下学期期末考试八年级数学试卷

福州一中2024－2025学年第二学期期末考试 初二数学试卷 出卷人：胡宝荟 苗占帅 审卷人：郑春清 陈婷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将一元二次方程化成一般形式，则它的一次项系数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 25 3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ） A. 45m B. 30m C. 22.5m D. 7.5m 4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. 5，4，12 C. 1，，8 D. ，， 5. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 6. 若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 对于一次函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 随着的增大而增大 C. 函数图象经过第二、三、四象限 D. 当时， 8. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 9. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 二次函数的顶点坐标是_____． 12. 数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 13. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为____． 14. 淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点A的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为_____． 16. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是_____． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． （1）求、的值与点坐标； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围； （3）求三角形的面积． 19. 如图：在平行四边形中，点在上，且． （1）尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形． 20. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 21. 某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数． （1）求出与x的函数关系式； （2）若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 23. 【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处． 已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 24. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 （2）如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” （3）如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 25. 如图1，已知二次函数的图像经过点，，， （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线上异于点的一点，且，求点的坐标； （4）如图2，在（3）的条件下，点是线段上的动点，点在第一象限，且，交抛物线于点，连接，，，四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州一中2024－2025学年第二学期期末考试 初二数学试卷 出卷人：胡宝荟 苗占帅 审卷人：郑春清 陈婷 （完卷120分钟 满分150分） 一、选择题：（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图象中，不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的定义，熟悉函数定义是解题的关键. 【详解】解：根据函数的定义：一个x确定唯一一个y值，可知C中图像不符合条件； 故选：C . 2. 将一元二次方程化成一般形式，则它的一次项系数是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解，一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】∵方程化成一般形式是， ∴一次项系数为， 故选：． 3. 如图，，分别是，的中点，测得，则池塘两端，的距离为（ ） A. 45m B. 30m C. 22.5m D. 7.5m 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，三角形中位线等于第三边的一半．根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别是，的中点， 是的中位线， ， 故选：B． 4. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（ ） A. ，1， B. 5，4，12 C. 1，，8 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴5，4，12不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴1，，8不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 5. 函数中自变量的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需考虑分式分母不为零和二次根式被开方数非负两个条件. 【详解】解：∵且，即 ∴且 故选：D . 6. 若将抛物线向左平移1个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与几何变换问题，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式．根据图象的平移规律，可得答案． 【详解】解：原抛物线为，其顶点为；向左平移1个单位后，顶点变为，平移后的函数解析式为：对应选项B； 选项A为向右平移的结果，C和D改变了常数项，属于上下平移，与题意不符． 故选：B． 7. 对于一次函数，下列判断正确的是（ ） A. 函数图象经过点 B. 随着的增大而增大 C. 函数图象经过第二、三、四象限 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象及其性质． 根据一次函数的图象及其性质，对每一个选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵当时，， ∴图象不经过点， ∴选项不符合题意， ∵， ∴随增大而减小， ∴选项不符合题意， ∵，， ∴函数图象经过第二、三、四象限， ∴选项符合题意， ∵当时，， ∴， ∴， ∴选项不符合题意， 故选：． 8. 如图，在四边形中，对角线，相交于点，且，，下列结论不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，，， A、B、C选项结论成立，不符合题意， 无法证明， D选项不一定成立，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键． 9. 扬帆中学有一块长，宽的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空白区域的面积矩形空地的面积可得. 【详解】设花带的宽度为，则可列方程为， 故选D． 【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系. 10. 已知关于x的一元二次方程．下列说法中正确的有（ ） ①若，则方程有一个根是1； ②若方程的两根为和2，则有成立； ③若c是方程的一个根，则有成立； A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系等知识．熟练掌握一元二次方程的根，一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 当时，，则方程有一个根是1；可判断①的正误；由方程的两根为和2，可得，即，可判断②的正误；由c是方程的一个根，可得，即，由，可得，则，可判断③的正误． 【详解】解：当时，， ∴方程有一个根是1；正确，故①符合要求； ∵方程的两根为和2， ∴，即，正确，故②符合要求； ∵c是方程的一个根， ∴，即， ∵， ∴， ∴，正确，故③符合要求； 故选：D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 二次函数的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，主要是根据顶点式解析式写出顶点坐标的方法的考查，需熟记． 根据解析式写出顶点坐标即可． 【详解】二次函数的顶点坐标是． 故答案为：． 12. 数据的方差计算公式为，则这组数据的平均数是_____ 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了方差计算公式，n个数据，的平均数为，那么这n个数据的方差为，据此可得答案． 【详解】解：∵数据的方差计算公式为， ∴这组数据的平均数是3， 故答案为：3． 13. 如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解为____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一次函数的交点与二元一次方程组的解，把代入可得出，进而即可得出关于x，y的方程组的解． 【详解】解：把代入， ∴， ∴点， ∵一次函数与的图象交于点 ∴关于x，y的方程组的解为：， 故答案为： 14. 淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，初三时的体重是，根据“到九年级时，体重增加到”列出一元二次方程，解方程即可得到答案，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点A的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．已知点的坐标为，且矩形中，则点的横坐标为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查矩形性质、折叠性质、勾股定理以及平面直角坐标系的相关知识．解题关键在于利用折叠性质得到相等的线段，结合勾股定理建立方程求解线段长度，进而确定点的坐标． 首先由点A坐标和长度求出长，然后根据折叠性质可知，，在中求出（即），最后在中设未知数，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意四边形，四边形都是矩形， ，，， 点A的坐标为，， ， ． 在中，，， ． D点坐标为，E点纵坐标为10， 由折叠性质可知．． ， 设，则，． 在中，根据勾股定理得： ，即． 解得． ， 点E的横坐标为3． 故答案为：3． 16. 二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，⑤点，，都在抛物线上，则有．其中正确的结论是_____． 【答案】①③##③① 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系，二次函数的图像与性质，解题的关键是运用数形结合的思想分析问题．根据二次函数的图像与系数的关键，逐一分析判断即可． 【详解】解：∵二次函数图像与轴有两个交点， ∴对于方程有两个不相等的实数解，即有， ∴，故结论①正确； ∵二次函数图像对称轴为直线，且当时，有， ∴由抛物线的对称性质可知，当时，有， ∴，故结论②不正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线， ∴，即 又∵当时，有， ∴， ∴，故结论③正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，取最大值，此时， 令，可有， ∴， ∴，故结论④不正确； ∵二次函数图像的对称轴为直线，且开口向下， ∴数轴上的点距离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴，故结论⑤错误． 综上所述，结论正确的有①③． 故答案为：①③． 三、解答题（本题共9小题，共86分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 或 解得，． 18. 如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数（为常数，）的图象与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． （1）求、的值与点坐标； （2）若函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）， ，点B坐标为 （2） （3）3 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数，一次函数与不等式，求三角形面积，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据图象即可解答； （3）首先求出，，然后求出，然后利用代数求解即可． 【小问1详解】 解：把代入， 可得， ， 把代入， 可得， 解得， ∴一次函数的解析式为， 令， 解得， ； 【小问2详解】 解：根据图象可得， 当函数的值大于函数的值，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，设一次函数与y轴交于点D 将代入得，， ∴， ∵将代入得，， ∴， ∴， ∴． 19. 如图：在平行四边形中，点在上，且． （1）尺规作图：在上找一点，使得点到，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形为菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质与判定，等角对等边，角平分线的判定定理和角平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）点到，的距离相等，则点E在的角平分线上，据此作的角平分线交于E，则点E即为所求； （2）由角平分线的判定定理可得点E在的角平分线上，则；由平行四边形的性质得到，则可证明，得到，再由，得到，据此可证明结论． 【小问1详解】 解：如图所示，点E即为所求； 【小问2详解】 证明：∵点到，的距离相等， ∴点E在的角平分线上， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 20. AI与人们的生活联系越发紧密，某校为了解七、八年级学生对AI的了解情况，举办了相关知识竞赛，并将最终成绩分为6分，7分，8分，9分，10分五个等级．学校在两个年级各随机抽取50人的成绩进行分析，将成绩整理并绘制成统计图如下， 两个样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下： 平均数 中位数 众数 方差 七年级 7.6 8 8 1.08 八年级 a b 7 1.08 （1）m，a，b的值分别为______，______，______； （2）若八年级有1000名学生，求八年级得分不低于8分的人数； （3）小明认为七年级的成绩更好，你同意他的说法吗？简要说明理由． 【答案】（1）12，，7 （2）八年级得分不低于8分的人数为人 （3） 解：同意小明的说法，七年级学生的成绩更好，理由如下： 因为两个年级的平均数和中位数相同，而七年级的众数均高于八年级， 所以七年级学生的成绩更好． 【解析】 【分析】本题考查中位数、平均数、优秀率以及样本估计总体，掌握平均数、中位数的计算方法和意义是正确解答的关键． （1）根据平均数、中位数的计算方法进行计算即可； （2）求出八年级得分不低于8分的人数所占的百分比即可解答； （3）比较平均数、中位数、众数、优秀率得出答案． 【小问1详解】 解：由扇形统计图可得， ， 八年级成绩的平均数（分）， 由扇形统计图知八年级成绩中：6分的有人，7分的有人， 中位数是第25,26个数， ∴； 【小问2详解】 解：（人， 答：八年级得分不低于8分的人数为人． 【小问3详解】 略 21. 某商场销售甲、乙两种商品．已知销售甲商品的利润 （元）与销售数量x（件）的函数关系为一次函数，当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元．销售乙商品的利润 （元）与销售数量t（件）的函数关系为二次函数． （1）求出与x的函数关系式； （2）若商场准备销售甲、乙两种商品共25件，其中乙商品的销售数量不少于4件且不多于8件，为使总利润最大，应销售甲、乙两种商品各多少件？最大总利润是多少元？ 【答案】（1） （2）应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元 【解析】 【分析】本题考查的是列一次函数的关系式，二次函数的实际应用，熟练的建立二次函数，再利用二次函数的性质解题是关键． （1）设出与x的函数关系式为，根据当销售2件甲商品时，利润为8元；当销售5件甲商品时，利润为20元，利用待定系数法即可求解； （2）设销售乙商品件，则销售甲商品件，总利润为元，由总利润等于每件销售利润乘以销售量，再利用二次函数的性质解题即可． 【小问1详解】 解：设出与x的函数关系式为， 将，代入可得：， 解得：， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：设销售乙商品件，则销售甲商品件，总利润为元． ∵． ∴二次函数的对称轴为直线． ∵在对称轴右侧，且， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值， ， ∴销售甲商品的件数为：（件）． 答：应销售甲商品21件，乙商品4件，最大总利润是103元． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）若该方程有两个实数根，求k的取值范围． （2）若该方程的两个实数根满足，求k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根的判别式； （1）由该方程有两个实数根得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，再根据得到，然后解关于的方程，最后利用的范围确定的值． 【小问1详解】 解：根据题意得 解得； 【小问2详解】 解：根据题意得： ∵， ， 即 ， 整理得 ， 解得 ∵， ∴． 23. 【项目式学习】某项目小组准备合作制作出一个水流装置，下面是制作装置的活动过程： 活动目的 制作简易水流装置 方案及示意图 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径．从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系（为1个单位长度），水流最终落到轴上的点处． 已知条件 轴，，，，点为水流抛物线的顶点，点，，在同一平面内，水流所在抛物线的函数表达式为． 任务一 求水流抛物线的函数表达式； 任务二 现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯，将该水杯底面圆的圆心恰好放在处，水流是否能流进圆柱形水杯内？请通过计算说明理由（圆柱形水杯的厚度忽略不计）． 【答案】任务一：； 任务二：水流能流到圆柱形水杯内， 理由如下： 圆柱形水杯最左端到点O的距离是， 当时，， ∵， ∴水流能流到圆柱形水杯内． 【解析】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的应用． 任务一：根据题意得到抛物线的顶点坐标为，，利用待定系数法解答即可； 任务二：先求出圆柱形水杯最左端到点O的距离及高度，求出抛物线在此处的高度比较即可得到答案． 【详解】解：任务一：根据题意得：抛物线的顶点坐标为，， ∵水流所在抛物线的函数表达式为， ∴水流所在抛物线的函数表达式为， 把点代入得：， 解得：， ∴水流所在抛物线的函数表达式为； 任务二：略 24. 定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” （1）下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 （2）如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” （3）如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）②④ （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【小问1详解】 ①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； 故答案为：②④； 【小问2详解】 证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； 【小问3详解】 ． 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 25. 如图1，已知二次函数的图像经过点，，， （1）求这个二次函数的解析式； （2）若点是抛物线上位于第四象限内的一点，且，求点的坐标； （3）若点是抛物线上异于点的一点，且，求点的坐标； （4）如图2，在（3）的条件下，点是线段上的动点，点在第一象限，且，交抛物线于点，连接，，，四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） （4）的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图所示，连接，，，由得到，求出所在直线表达式为，设所占直线不等式为，然后将代入求出所在直线不等式为，然后联立求解即可； （3）如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E，求出，证明出，得到，设，则，利用等面积法表示出，然后根据求出，得到，，，然后勾股定理逆定理得到，等量代换得到，如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P，得到，点P即为所求，然后求出所在直线表达式为，和抛物线联立求解即可； （4）如图所示，连接，，设，然后表示出所在直线表达式为，求出所在直线表达式为，然后联立求出，得到，然后等量代换得到，然后代入根据二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点，，， ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，， ∵ ∴点A到的距离等于点P到的距离 ∴ ∵， ∴设所在直线表达式为 ∴ ∴ ∴所在直线表达式为 ∴设所在直线表达式为 将代入得， 解得 ∴所在直线表达式为 ∴联立得， 解得（舍去）或 ∴将代入 ∴； 【小问3详解】 如图所示，在左侧作交x轴于点F，过点E作于点E， ∵，， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去）或， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图所示，作点C关于x轴的对称点，延长交抛物线与点P， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴点P即为所求， ∵，， ∴可得所在直线表达式为， ∴联立得，， 解得， ∴； 【小问4详解】 如图所示，连接，， ∵点M在抛物线上， ∴设 ∵，， ∴可得所在直线表达式为 ∵ ∴设所在直线表达式为 ∴将代入得， ∴ ∴所在直线表达式为 ∵， ∴可得所在直线表达式为 ∴联立得， 解得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴当时，有最大值 ∴将代入得，． ∴的最大值为，此时． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数的解析式，面积最值问题，解直角三角形，一次函数的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $