精品解析：2025年北京汇文中学中考三模数学试题

北京汇文中学初三数学三模 1. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 2. 如图，，与相交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 4. 如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 6. 如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 7. 如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 8. 如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ②③⑤ C. ②④ D. ①③④⑤ 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 11. 不等式组的所有非负整数解的和为______． 12. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________． 13. 如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为______°． 14. 如图，正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为和，边长分别为，当时，的值为_____． 15. 如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 16. 计算：． 17. 求不等式组：的所有整数解． 18. 已知，求代数式的值． 19. 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长． 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【理解“科学常识”】若某同学接了的温水，又接了的开水，得到一杯的温水，则一定有． （1）甲同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； （2）乙同学计划花先接温水再接开水，得到一杯不少于的温水，他至少要接温水多少s？此时他得到的温水为多少℃？ 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 22. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 23. 如图，是的直径，C是上一点，D是中点，过点D作的垂线交的延长线于点F，过点C作的切线交于点E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； （2）将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 25. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 26. 在中，，点D为平面内一点． （1）如图1，若点D在线段上，且，求的值； （2）如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 27. 在平面直角坐标系中，对于图形M和射线，若图形与图形M关于直线对称，且图形M和图形上分别存在点A，B，使得，则称图形M与图形关于射线 “对称”，点B为图形M关于射线的一个“对称点” （1）点，．若半径为1． ①在，，中，__________是关于射线的“对称点”； ②若直线上存在关于射线的“对称点”，则k的取值范围是__________； （2）已知，，，，点G是半径为的关于射线EF的“对称点”，若上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，直接写出t的取值范围．___________________________________________________________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京汇文中学初三数学三模 1. 目前所知病毒中最小的是一级口蹄疫病毒，它属于微核糖核酸病毒科鼻病毒属，其最大颗粒直径为纳米，即米，将化成科学记数法为（       ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，解题关键是熟悉科学记数法一般形式． 根据科学记数法一般形式求解．科学记数法一般形式为，，是正整数． 【详解】解：， 故选：D． 2. 如图，，与相交于点E，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先利用平行线的性质可得：，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 3. 中国传统纹样承载着对称美学的精髓，同时也体现了古代工匠对几何对称的深刻认知．下列传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 寿字纹 B. 万字纹 C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； 故选D． 4. 如图，有三张硬纸片，背面相同，正面分别涂成两红一绿，现把三张硬纸片背面朝上，放在一起，洗匀后，从中任意抽取两张，其中一张是红牌和一张是绿牌的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，列表可得出所有等可能的结果数以及抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中抽取的两张卡片一张是红牌和一张是绿牌的结果有4种， ∴一张是红牌和一张是绿牌的概率是． 故选：D． 5. 如图，，是数轴上的两个数，则可能是（ ） A. B. 0 C. 0.5 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，有理数的减法运算，根据数轴可知，进而可得出，结合选项即可得出答案． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， 故符合题意， 故选：A 6. 如图，线段，，是一个正多边形的三条边，延长，交于点M，若，则这个正多边形是（ ） A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 D. 正八边形 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形的外角，三角形内角和定理和等边对等角，正确记忆相关知识点是解题的关键．由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等，先算出外角再计算边数即可． 【详解】解：由该多边形内角都相等可知该多边形的外角也都相等， ， ， ， 则该正多边形的边数为， ∴这个正多边形是正八边形． 故选：D． 7. 如图，在中，，，．按如图所示作图痕迹作图，在上得点D，在上得点E，则的长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，勾股定理，角平分线的性质．利用勾股定理求得，由作图知，平分，，利用角平分线的性质知，根据三角形的面积公式列式计算即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， 由作图知，平分，， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， 故选：C． 8. 如图，为等边的外心，四边形为正方形．现有以下结论:是的外心；是的外心；；设，则；若点，分别在线段，上运动（不含端点），随着点运动到每一个确定位置时，的周长都有最小值，，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①③④ B. ②③⑤ C. ②④ D. ①③④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】本题命题思路是以等边外心为背景，进而得到，，，四点共圆，从而对角互补，利用旋转，可以转化四边形为一个规则的等边三角形，最后利用轴对称性可解决周长最小值的问题． 【详解】解：连接，； ∵为的外心； ∴； ∵正方形； ∴； ∴； ∴是的外心； 故正确． 对于，连接，； ∵； ∴不是的外心； 故错误． 对于，连接； ∴； ∴，，，三点共圆； ∴； ∵ 即； 故正确． 对于， ∵， ∴，，，四点共圆， 如图所示，以点为旋转中心，把绕点逆时针旋转，点的对应点为点， ∴， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， ∴，，三点共线； 由旋转的性质可得，， ∴是等边三角形； ∵； 过点作的垂线，垂足为； ∴； ∵； 在中， ； ∴； ∴； ∵； ∴； 故正确． 对于，如下图所示；作EM和EN关于和的对称线段； ∴，； ∴； 当，，，四点共线时，周长最小； 即 连接， ∴， 连接； ∴是等腰三角形； ∵，； ∴； ∵； ∴； ∴三角形是以为顶角的等腰三角形； 过点作的垂线，垂足为， ∵； ∴； 在中； ∴； ∴； 即； 故错误； 综上所述，①③④正确； 故选． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，等边三角形性质及其外心的性质，圆周角定理，四点共圆及圆内接四边形的性质，旋转变换，利用轴对称解决周长最小值，等腰三角形的解法及解直角三角形，见外心连顶点，到三个顶点距离相等，判定外心只需确顶点是都到三角形三个顶点距离相等，四边形对角互补要旋转，转化定型求面积，求周长最小值利用轴对称变换是关键，转化两点间距离最短即可，最后牢记特殊三角形的边长之比非常重要，例如等腰三角形三边之比为． 9. 若代数式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据二次根式的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件即可求出的范围，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 分解因式：ab2﹣4ab+4a=________． 【答案】a（b﹣2）2 【解析】 【详解】ab2﹣4ab+4a =a（b2﹣4b+4） =a（b﹣2）2 故答案为a（b﹣2）2． 11. 不等式组的所有非负整数解的和为______． 【答案】10 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出非负整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴非负整数解得和=， 故答案为：10． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解法是解本题的关键． 12. 设是一元二次方程的两个实数根，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，根据题意，得到，，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 13. 如图，内接于，点D为劣弧上一点，连接，若，，则的度数为______°． 【答案】40 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，等弧所对的圆心角相等，等腰三角形的性质等知识，掌握以上知识点是解题的关键． 由，可得到，再结合，可得到劣弧所对的圆心角与的度数相等，则． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴劣弧所对的圆心角与的度数相等， 则． 故答案为：40． 14. 如图，正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为和，边长分别为，当时，的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，先由勾股定理求出，然后得到均为等腰直角三角形，则得到，，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正方形的对角线， ，，， ∴， 又∵四边形与四边形是正方形， ∴均为等腰直角三角形， ，， ，， 即 ∴， 故答案为：． 15. 如图，扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点，则图中阴影部分的面积为________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积公式、根据阴影部分面积等于扇形的面积减去的面积，即可求解． 【详解】解：∵扇形的圆心角为，，点，分别为，的中点 ∴ ∴图中阴影部分的面积为 故答案为：． 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，然后再算乘法，最后算加减法． 【详解】解： 17. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查解不等式组及不等式组的整数解，熟练掌握解不等式组的步骤是解题的关键．利用解不等式组的步骤求解，再得出其整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：； 解不等式②，得：； ∴不等式组的解集为． 所以该不等式组的所有整数解是，，． 18. 已知，求代数式的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，以及代数式求值，正确把所求式子化简成是解题的关键． 先把所求式子化简得到，再得出，由此即可得到答案． 【详解】解：原式 ∵， ∴． ∴原式． 19. 如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E，F分别在AB，AD上，BE=DF，连接EF． （1）求证：AC⊥EF； （2）延长EF交CD的延长线于点G，连接BD交AC于点O，若BD=4，tanG=，求AO的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）AO=1． 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质得出AB=AD，AC平分∠BAD，再根据等腰三角形的三线合一即可； （2）根据菱形的性质和已知条件得出四边形EBDG为平行四边形，得出∠G=∠ABD，再根据tanG=即可求出AO的长． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形 ∴AB=AD，AC平分∠BAD ∵BE=DF， ∴ ， ∴AE=AF ∴△AEF是等腰三角形， ∵AC平分∠BAD， ∴AC⊥EF （2）解：如图2所示： ∵四边形ABCD为菱形，∴CG∥AB，BO=BD=2，∵EF∥BD ∴四边形EBDG为平行四边形，∴∠G=∠ABD，∴tan∠ABD=tan∠G= ∴tan∠ABD=，∴AO=1 【点睛】本题考查了菱形的性质、平行线的判定与性质、解直角三角形，等腰三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 20. 如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 科学常识： 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． 【理解“科学常识”】若某同学接了的温水，又接了的开水，得到一杯的温水，则一定有． （1）甲同学先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯温度为的水（不计热损失），求该同学分别接温水和开水的时间； （2）乙同学计划花先接温水再接开水，得到一杯不少于的温水，他至少要接温水多少s？此时他得到的温水为多少℃？ 【答案】（1）接温水的时间为，接开水的时间为． （2）他至少要接温水；此时他得到的温水为 【解析】 【分析】（1）设该学生接温水的时间为，接开水的时间为，由物理常识的公式列出方程组即可． （2）设乙同学计划花接温水，则接开水时间为，结合“不少于的温水”列出不等式，得出，再根据“开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度”进行列式计算，即可作答． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程，一元一次不等式的应用，熟练列出方程组，一元一次不等式是解答本题的关键． 【小问1详解】 解：设该学生接温水的时间为，接开水的时间为． 根据题意可得方程组：， 解得：， 答：接温水的时间为，接开水的时间为． 【小问2详解】 解：设该学生接温水的时间为，则接开水 ∵一杯不少于的温水 ∴ 解得 则他至少要接温水； 设此时的水温为 ∵开水的体积×开水降低的温度=温水的体积×温水升高的温度． ∴ 解得 此时他得到的温水为 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】（1）； （2）且． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质、一次函数的平移、待定系数法求函数解析式，熟练掌握待定系数法和数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据一次函数图像平移时的k值相等求得k值，再将点代入求解b值即可求解； （2）先求出函数的图象过定点，将代入中，求得，再结合一次函数的图象与性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像由函数的图象平移得到的， ∴． 将点代入，得， ∴一次函数的表达式是； 【小问2详解】 解：∵将代入函数，则， ∴函数的图象过定点， 将代入中，解得， 如图， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值小于一次函数的值， ∴且． 22. 今年央视春晚节目《秧BOT》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从某省的快递分拣站随机抽取两种型号的智能机器人各10台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如下表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数整理如下表： 众数/万件 中位数/万件 平均数/万件 型号 14和16 15 型号 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中___________，___________； （2）请计算表中的值；（需要写出计算过程） （3）若该省共投放市场的型号智能机器人有80台，型号智能机器人有100台，请你估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有多少万件？ 【答案】（1）20，15 （2）20． （3）3200万件． 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，中位数，众数，用样本估计总体，从统计图中得出数量之间关系是解答本题的关键． （1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）运用加权平均数的计算公式求解即可； （3）分别求出型和型号智能机器人分别分拣的快递件数，再求和即可． 【小问1详解】 解：型号的智能机器人每天可分拣20万件的机器人有5台，数量最多， 故众数； 型智能机器人分拣的快递件数最中间的两个数据是15，15， 故中位数； 故答案为：20；15； 【小问2详解】 解：（万件）， 表中的值为20． 【小问3详解】 解：（万件）， 估计该省每天用这两种智能机器人分拣的快递共有3200万件． 23. 如图，是的直径，C是上一点，D是中点，过点D作的垂线交的延长线于点F，过点C作的切线交于点E． （1）求证：； （2）如果，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据切线的性质得：，由垂直定义和同圆的半径相等得：，，所以； （2）根据，设，则，可得，表示，，证明，列比例式得：，即，根据直角三角形的性质得：，则得k的值，从而代入． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵切于点E， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴． 【小问2详解】 解：∵，， 设，则， ∴， ∵D为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， 连接交于点G， ∵为直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了切线的性质，锐角三角函数定义，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，第二问利用三角函数的比设未知数是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系中，已知，，，是抛物线上的四个点，且任意两点都不重合． （1）直接写出抛物线与轴的交点坐标（可用含的代数式表示）； （2）将抛物线在点，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，并将抛物线在，之间的部分（含，）所有点的纵坐标的最小值记为，若，求的取值范围． 【答案】（1）， （2）且且且 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象性质，二次函数与x轴交点，对称轴的概念，以及代入求值等知识点，解决此题的关键是要分类讨论． （1）令，解方程即可得解； （2）由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，，再根据，，，四点中，任意两点不重合，得到且且且，分时，时，两种情况，结合二次函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：令，即， 解得：， ∴抛物线与轴的交点坐标为，； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线． 由题意，点在点的左侧，点与关于对称轴对称，． ∵，，，四点中，任意两点不重合， ∴且且且． ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． ①当时， ∵， ∴． ∴． 由知，不符合题意． ②当时，点在对称轴的左侧． 点关于直线的对称点为． ∵， ∴． ∴且． ∴． 综上所述，的取值范围是且且且． 25. 某实验室在温度下培育一种植物幼苗，该种幼苗在此温度范围下的生长速度相同，现为了提高其生长速度，研究人员配制了一种营养素，在开始培育幼苗时添加到培育容器中，研究其对幼苗生长速度的影响．研究发现，使用一定量的营养素，会促进该种幼苗的生长速度，营养素超过一定量时，则会抑制幼苗的生长速度，并且在范围内的不同温度下，该种幼苗所能达到的最大生长速度相同． 经过进一步实验，获得了和温度下营养素用量与幼苗生长速度的部分数据如表所示：设营养素用量为毫克，温度下幼苗生长速度为毫米天，温度下幼苗生长速度为毫米天． （1）在不使用营养素时，该种幼苗的生长速度为__________毫米天； （2）根据表中数据，发现，都可近似看作的函数．在平面直角坐标系中，补全表中各组数值所对应的点，并用平滑曲线连接这些点； （3）结合函数图象，回答下列问题： 在温度下，使用约___________毫克的营养素时，该种幼苗生长速度最快；此时，温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快__________毫米天（结果保留小数点后两位）； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，营养素用量的取值范围为__________（结果保留小数点后两位）． 【答案】（1） （2）描点，用平滑的曲线连接，得到的函数图象如下： （3），； 【解析】 【分析】（1）不使用营养素，即时，的值； （2）描点，连线即可； （3）看的最高点对应的的值即为该种幼苗生长速度最快时所需要的营养素用量的毫克数，看此时的值即为温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快多少毫米天；看、同时时，所对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：由表格可知： 当不使用营养素，即时，对应的值为， 即此时该种幼苗的生长速度为毫米天， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：在温度下，直线与的交点为的最高点，此时该种幼苗生长速度最快，其所对应的营养素用量约为毫克；此时，直线与的交点比直线与的交点高约，表明温度下该种幼苗生长速度比温度下该种幼苗生长速度快毫米天， 故答案为：，； 当该种幼苗的生长速度在和温度下均不低于毫米天时，图象为直线及直线以上的部分，此时对应的自变量的取值范围为， 故答案为：． 26. 在中，，点D为平面内一点． （1）如图1，若点D在线段上，且，求的值； （2）如图2，若点D为内部一点，且，连接，点E为的中点，连接，用等式表示线段，，的数量关系，并证明； （3）若点D满足，当时，请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点K，根据角平分线的性质可得，再证得是等腰直角三角形，可得，即可求解； （2）延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接，再证得是等腰直角三角形，可得，，再证明，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，可证明，可得，即可解答； （3）以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则，再证得点D在圆O上，可得当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点K， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图，延长至点G，使，过点B作，交延长线于点F，连接， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵点E为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图所示，以为斜边向右作等腰，，以O为圆心，为半径作圆，H是优弧上的一点，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∴点D在圆O上， ∴当点D在线段与圆O的交点处时，取得最小值，最小值为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题是一道几何综合题，主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，正切，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难点在第三问，作出合理的辅助线，找到隐圆是解答本题的关键． 27. 在平面直角坐标系中，对于图形M和射线，若图形与图形M关于直线对称，且图形M和图形上分别存在点A，B，使得，则称图形M与图形关于射线 “对称”，点B为图形M关于射线的一个“对称点” （1）点，．若半径为1． ①在，，中，__________是关于射线的“对称点”； ②若直线上存在关于射线的“对称点”，则k的取值范围是__________； （2）已知，，，，点G是半径为的关于射线EF的“对称点”，若上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，直接写出t的取值范围．___________________________________________________________ 【答案】（1）①；② （2）或或 【解析】 【分析】（1）①先求出关于射线对称的的圆心坐标，验证点、、均是否在上，然后分别连接、、，再将其顺时针旋转，得到、、，通过数形结合的方法得到、、是否与有交点即可判断；②根据①的方法得到上在直径下半部分的点均满足关于射线的“对称点”， 然后根据直线经过点，可知当直线经过点时，取得最大值，求得此时的值；当直线与相切与点时，取得最小值，设，利用和的距离列出方程，联立解得，求得此时的值即可； （2）根据（1）中的方法得到点运动的范围，然后根据等腰三角形的性质，利用数形结合的方法，分情况讨论求得值，即可得到结论． 【小问1详解】 解：①根据题意，作关于射线对称的，连接、、，则，垂足为，，如图所示， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 又， 四边形为平行四边形， ，， 四边形为正方形， ，，， ， ，，， ，，， 点、、均在关于射线对称的上， 根据题意，分别连接、、，再将其顺时针旋转，得到、、，如图所示， 由图可知，、与无交点， 、不是关于射线的“对称点”； 过点作的延长线于点，则， ，， 轴，即，， 又， ， ， 半径为1， 点在圆上， 是关于射线的“对称点”； 故答案为：； ②由①可知，，连接交于点，并延长交于点，过点作的切线，切点为，连接，如图所示， 则， 在中，，， ， ， ， ， 即点为关于射线的“对称点”， 又由①可知，将绕点顺时针旋转，其与相切， 即上在直径下半部分的点均满足关于射线的“对称点”， 在上，当时，，即直线经过点，如图所示， 当直线经过点时，取得最大值， ， ， 将代入，得； 当直线与相切与点时，取得最小值，设， 则， ， 在中，，， ， 联立， 整理②得，即， 将③代入①整理得， 联立④，⑤，解得， ， ， 综上，当直线上存在关于射线的“对称点”． 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，作关于射线对称的，连接、、，则，垂足为，，如图所示， ，，， ，，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ，，点到轴， ； 过点作的切线，切点为，连接，将直线绕点逆时针旋转，交于、，交轴负半轴于点，如图， 则， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的表达式为，代入，， 得，解得， 直线的表达式为； 不妨设直线与的交点坐标为， ，的半径为， 解得， ， ，； 过点作的切线，切点为，连接，则， ，， ， ， ， 即上优弧上的点均满足关于射线的“对称点”； 设和轴交于点和，和的一个交点为，连接、、、，如图所示， ，， ， ， ， ， ， ，即平分， ，、关于射线的对称点分别为、，， 同理， ，，设直线的表达式为，代入得， ，解得， 直线的表达式为； 点在直线上，不妨设其坐标为， ，的半径为， 解得，（较小值已舍去） ， ， ， ， 四边形为菱形， ，轴， 当上的点在和上，与形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形时，的轨迹直线， 同理当点在和与的另一个交点上，与形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形时，的轨迹直线， 同时，当为定点，点在上运动时的轨迹为圆，如图所示， 当轨迹与相切于点，当与重叠时，此时上有一点，能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形，即点与重合，如图所示， ，， ， ， ，即， 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 同理，当轨迹与相切于直线与的另一交点时，当与重叠，此时点与重合，如图所示， ，，设直线的表达式为，代入得， ，解得， 直线的表达式为； 点在直线上，不妨设其坐标为， ，的半径为， 解得，（较大值已舍去） ， ， ， ， 解得或（舍去） 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 当轨迹与相交于点，另一个交点在劣弧上时，如图所示， 当与重叠时，当此时点与重合， ，， ， 为等边三角形， ， ，即， 同理当轨迹与相交于点，另一个交点在劣弧上时，如图所示， 当与重叠时，此时点与重合， ，， ， ， ，即， 上优弧上的点才满足关于射线的“对称点”； 当时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形； 综上所述，当或或时，上的任意一点，都不能使形成一个以为顶角且顶角度数为的等腰三角形． 【点睛】本题考查了图形新定义，轴对称的性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质，求函数解析式，勾股定理，已知两点坐标求两点间的距离，解直角三角形等等，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思维是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $