5.1 认识方程&5.2 一元一次方程的解法-【优+学案】2024-2025学年新教材七年级上册数学课时通(北师大版2024)

∠A0C+号∠A0C=135,所以∠A0C=60因为 【通中考】 7.B8.D9.20 OB平分∠A0C,所以∠AOB=2∠A0C=30. 第五章 一元一次方程 又因为∠BOD=60°，所以∠DOE=∠AOE 1认识方程 ∠AOB-∠BOD=135°-30°-60°=45°. 1.C2.C3.A4.B 【例2】思路分析：(1)根据直线上线段的条数公式：直线 5.4x-2(25-x)=88 上有n个点，线段的条数是(n-1D,可得答案： 6.07.D8.1 9.解：(1)设从乙工程队抽调x人到甲工程队， (2)根据线段中点的性质，可用CD表示BC,根据 则根据甲队人数是乙队人数的2倍可得：32+x= 线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可 2(28-x). 得CD的长，AC的长： (2)设甲票买了x张，则乙票买了(36一x)张， (3)分类讨论：点E在线段AB上，点E在线段BA 则：10x+8(36-x)=360-16. 的延长线上，根据线段的和差，可得答案 10.解：(1)由已知，得m2-3=1且m-2≠0， 解：(1)6 解得m=-2. (2)因为点D为BC的中点，所以BC=2CD= (2)原式=10m+4-6m+3=4m+7,当m=-2 2BD.由线段的和差，得 时，原式=一8+7=一1. AB=AC+BC,即4CD+2CD=18,解得CD 2一元一次方程的解法 3cm,AC=4CD=4×3-12(cm) 第1课时等式的基本性质 (3)①当点E在线段AB上时，由线段的和差，得 BE=AB-AE=18-2=16(cm): D2.C3.D4.减去2z5.2 ②当点E在线段BA的延长线上，由线段的和 6.解：(1)方程两边同时减8，得8十x一8=一5一8.于 差，得 是x=-13. BE=AB+AE=18+2=20(cm).综上所述，BE 的长为16cm或20cm. (②方程两边同时乘-2，得一2×(-2》z=4X(一2》。 【变式训练2】解：如图所示，当OC在∠AOB内部时， 化简，得x=一8. ∠AOC=∠AOB-∠BOC=50°-20°=30°， (3)方程两边同时加4，得3x一4十4=11十4.化简， 得3.x=15.方程两边同时除以3，得3x÷3=15÷3. 化简，得x=5. 7.C8.2 9.解：(1)根据等式的基本性质1，将2m十3=n一7的 当OC在∠AOB外部时，∠AOC=∠AOB+ 两边同时加（一3一n),得2m一n=一10. ∠B0C=50°+20°=70°. (2)根据等式的基本性质1，将a一2=2b十5的两边 综上所述，∠AOC的度数为30°或70°. 同时加(2一2b),得a一2b=7, 【通模拟】 再根据等式的基本性质2，将a一2b=7的两边同时 1.A2.B3.C 乘2，得2a-4b=14. 4.北偏东53°5.9 10.解：等式两边同时加(2a+1),得3b=5a一2b+1. 6.解：(1)因为AB=16cm,CD=6cm,所以AC+ 等式两边同时加2b,得5b=5a十1.等式两边同时除 BD=AB-CD=10(cm),所以MN=AB-(AM+ 以5，得6=a+号所以6>a, BN)=AB-2Ac+BD)=16-5=11(em. 第2课时用移项和合并同类项法解一元一次方程 (2)因为AB=m,CD=n,所以AC+BD=AB一 1.D2.2x十3x=-1+43.A4.2 CD=m-n,所以MN=AB-(AM+BN)=AB- 5.解：(1)移项，得5x一2x=3,合并同类项，得3x=3, 2AC+BD)=m-2(m-a)="”. 1 方程两边同时除以3，得x=1. 2 (2)移项，得2x十3x=一7-3， 20 合并同类项，得5x=一10， ②当x一1<0时，原方程可化为-3(x-1)一2= 方程两边同时除以5， 10,解得x=一3. 得x=-2. 第4课时解含分数系数的一元一次方程 6B7A8-号9号 1.D2.D3.B4.4 5.解：(1)去分母、去括号，得8x一4=6x十3. 10解：移项，得日-了-日日合并同类项，得 移项、合并同类项，得2x=7. 6x一6·方程两边同时乘6，得x=1, 11 解得x=3.5. (2)去分母，得5(3x-1)=2(4x+2)-10. 11.解：(1)解4x+2m=3x+1, 去括号，得15x-5=8x十4-10. 得x=1-2m. 移项，得15x-8x=4-10十5. 解3x+2m=4x+1,得 合并同类项，得7x=一1. x=2m-1. 由题意，得1一2m=2m-1,解得m= 系数化为1，得红=一子 6.B (2)原式-（←2x》-(-》m=1- 7.解：(1)不正确① (-1)=2. (2)去分母，得3(x十1)-2(2-3x)=6. 第3课时解带括号的一元一次方程 去括号，得 3x+3-4+6x=6. 1D2D30=-号4-3 移项、合并同类项，得9x=7. 5.解：(1)去括号，得5x=3x一12.移项、合并同类项， 7 得2x=一12，解得x=-6. 系数化为1，得x=9 (2)去括号，得5+3x=10-2x, 8.解：原方程可化为红十21_50-20工=0.6， 移项、合并同类项，得5x=10-5, 5 3 解得x=1. 3(4x+21)-5(50-20x)=9, 6.解：解法一：一3(x十1)=-9， 12x+63-250+100x=9, 去括号，得-3x-3=-9, 112x=9-63+250, 移项、合并同类项，得一3x=一6， 112x=196, 解得x=2. 7 解法二：-3(x十1)=-9， x24 方程两边都除以一3，得x十1=3， 10 9.A10.D11.x=7 移项，得x=3一1， 解得x=2 12.解：(1)去分母，得10x-5(x-1)=20-2(x+2). 7.B8.18 去括号，得10x-5x十5=20-2x-4. 9.解：(1)去括号，得4一2x一8=2x一2， 移项、合并同类项，得7x=11. 移项，得-2x-2x=一2-4+8， 合并同类项，得一4x=2, 系数化为1，得红只 系数化为1，得x=一0.5. (2)去分母，得6(x-9)-22(x十2)=66(x-1) (2)去括号，得2x十6x一3=16-x-1, 33(x-2). 移项，得2x十6x十x=16-1十3， 去括号，得6x一54-22x-44=66x-66- 合并同类项，得9x=18, 33x+66. 系数化为1，得x=2. 移项，得6x-22x-66x+33x=-66+66+ 10.解：①当x一1≥0时，原方程可化为3(x一1)一 54+44. 2=10 合并同类项，得一49x=98. 解得x=5, 系数化为1，得x=一2. 21 13.解：原方程去括号，得 15.解：(1)①去分母时，1漏乘6 1 512 (2)正确的解答过程如下： 2mx-3=22-3 2x-1_2-x=1, 移项，合并同类项，得2m一1)x=1, 23 3(2x-1)-2(2-x)=6, 去分母，得(m一1)x=2. 6.x-3-4+2x=6, 当m=1时，方程无解； 6x+2x=6+3+4, 当和1时=名 8x=13, 因为x是正整数，所以m的值为2或3. x是 14.解：按方程左边的1没有乘10，去分母，得2(2x一 16.解：(1)由题意，得k|一3=0，且一3≠0，所以k= 1)+1=5(x+a). -3. 把x=4代入，得2×(2×4一1)+1=5×(4+a). 解得a=-1. 2)解方程3x=4-5x,得x=2 将a=一1代入原方程，得 +1安 原方程为：6c+2m+1-0,把x-号代人，得3计 5■ 2m+1=0, 去分母、去括号，得4x-2十10=5x-5. 解得m=-2. 移项、合并同类项，得一x=一13. 17.解：(1)6y-2y=3y+52 解得x=13. (2)设x一1=y,则原方程可变形为关于y的方程： 因此，a的值是-1，原方程的解为x=13. 1 1 15解：60①-号 3y-3y=2y-2y+2). 1 (2)因为两个一元一次方程互为“阳光方程”的一个 去括号，得3y-3y=2y一2y-1 解为x=k,所以另一个解为1一k. 又因为这两个“阳光方程”的解的差为5， 移项，得3y- 3-2+2=-1 则k-(1一)=5或(1-k)一k=5, 合并同类项，得子y=-1 解得=3或k=一2.故k的值为3或一2. (3)①y+1-y-1②y=-2026. 阶段检测四(12) 系数化为1，得y=一月 1.B2.D3.D4.A5.A6.A7.B8.B 所以x-1= 号解得x=》 9.01210.111.10x+1=10+x+1812.2 3一元一次方程的应用 13.解：(1)去括号，得3x一1+2+3x=7. 第1课时几何图形问题 移项、合并同类项，得6x=6. 1.A2.27 系数化为1，得x=1. 3.解：由题意，得长方体和圆柱的体积相等，设圆柱的 高为hcm,则4×2×3=π×1.5×h.解得h≈3.4. (2)原方程可化为10z_17-20工=1.】 3 答：捏成的圆柱的高约是3.4cm 去分母，得30x-7(17-20x)=21. 4.A5.B6.32cm236cm2 去括号，得30x-119+140x=21. 7.解：设原正方形的边长为xcm,则3x=4(x一3)，解 移项、合并同类项，得170x=140. 得x=12, 系数化为1，得普 故原正方形的面积为12×12=144(cm2). 答：原正方形的面积为144cm2. 14.解：把x=1代人关于x的一元一次方程ax一2b- 8.C9.20cm 1=0,得a-2b-1=0,a-2b=1, 所以2a-4(a-b)=2a-4a+4b=-2a十4b= 10.5或3解析：第一次操作后的两边分别为x和 12 -2(a-2b)=-2×1=-2. (4一x),第二次操作后的两边长分别为4一x和 22第五章一元一次方程 大单元建构 几何图形问题 类型 古代数学问题 方程 一元一次方程 行程问题 一元一次方 找等量关系 方程的解 认识方程 程的应用 列方程 解方程 步骤 解方程 验证 等式的基本性质 方程 实际问题的解 直观分析 去分母 问题解 一元一次方 决策略 去括号 程的解法 移项 解方程的步骤 合并同类项 系数化为1 +一本章核心素养 学科核心素养 具体内容 结合方程的概念、方程的解与解方程，等式的性质等概念，抽象出解一元一次方程的方法，为利用 抽象能力 方程的知识解决问题创造了条件. 利用等式的性质可以把方程进行变形，由此可以解一元一次方程或根据实际问题列出一元一次 运算能力 方程，并在解题过程中提高数学的运算能力. 推理能力 利用一元一次方程的知识进行说理或解答，在解题过程中，提高数学的逻辑推理能力 利用数形结合思想，解决一些与图形有关的实际问题，或把一些抽象的实际问题转化为图形之间 几何直观 的关系，由此提高几何直观能力. 应用意识 在等式的性质、方程的解、利用一元一次方程解决实际问题的过程中，提高数学的应用意识 一七年级上饰数学的 90 11 认识方程（答案P20) 通基础 列方程中正确的是() A.1.5x+x=41 知识点1方程及一元一次方程 B.1.5x+x+8=41 1.(2023·沧州青县期末)下列各式，( )是 C.1.5(x-8)-x+8=41 方程 D.1.5(x-8)+x=41 A.4.8+0.5=5.3 B.2x÷6 8.已知关于x的方程ax十b=c的解是x=1,则 C.5x-4=6.5 D.2a<2.4 1c-a-b-1|= 2.抽象能力》下列方程是一元一次方程的 9.教材P137随堂练习TH1变式根据题意列出 是() 方程 (1)甲、乙两个工程队，甲队有32人，乙队有28 A.x+2y=5 x-1=2 B. 人，要使甲队人数是乙队人数的2倍，那么需 C.x=0 D.4x2=0 要从乙工程队抽调多少人到甲工程队？ 知识点2方程的解 (2)某班组织学生去看戏剧表演.老师派班长 3.若x=1是方程ax十3x=2的解，则a的 先去购票，已知甲票每张10元，乙票每张 值是() 8元.班长带去360元，买了36张票，找回 A.-1 B.5 C.1 D.-5 16元，则甲票买了多少张？ 知识点3列一元一次方程 4.一个长方形钢板，已知它的长比宽的2倍少 1cm,周长为52cm,若设宽为xcm,则可列方 程为() A.2x-1+x=52 B.2(2x-1)+2x=52 C.2x+1+x=52 D.2(2x+1)+2x=52 5.(2023·威海文登区期末)某次数学竞赛共有 25道题，做对一道得4分，做错一道或者不做 10.运算能力已知关于x的方程(m一2)xm2-3十 扣2分.某同学得分为88分.设他做对x道 18=0是一元一次方程，求： 题，可列方程为 (1)m的值， 多惜忽略未知数的系数不为0的前提条件 (2)2(5m+2)-3(2m-1)的值. 6.如果(k-2)x-1+5=0是关于x的一元一 次方程，那么k= 通能力刀》999999292299999 7.学校体育组有学生41人参加了篮球队或足球 队，其中只参加篮球队的学生人数是只参加足 球队的学生人数的1.5倍，两队都参加的有 8人，设参加足球队的学生人数有x人，则下 优学案课时通 2一元一次方程的解法 第1课时等式的基本性质（答案P20) 通基础> (3)3x-4=11. 知识点1等式的基本性质 1.已知等式ac=bc,则下列等式不一定成立的 是() 通能月》923939999933292329>232 A.ac+1=bc+1 B.ac-2=bc-2 C.3ac=3bc D.a=b 7.等式就像平衡的天平，能与如图所示的事实具 2.(2023·张家口宣化区期末)下列运用等式的 有相同性质的是() 性质变形正确的是() -4乎 A.若x=y,则x+5=y-5 A.如果a=b,那么ac=bc B.若a2=b2,则a=b C.若8-6，则a=b B如果a=6,那么g-总c0) C.如果a=b,那么a十c=b+c D.若ax=ay,则x=y D.如果a=b,那么a2=b2 知识点2利用等式的基本性质解方程 8.已知5a+8b=3b十10，利用等式性质可求得 3.利用等式的基本性质解方程正确的是( a十b的值是 A.由3十x=5,得x=5十3 9.利用等式的性质解决下列问题： B商7z=-4,得x=—号 (1)若2m+3=n一7，求2m一n的值. 1 C.由2y=0,得y=2 D.由x+3=-2,得x=-2-3 (2)若a-2=2b+5,求2a一4b的值. 4.由3x=2x-1得3x一2x=-1,在此变形中， 方程两边同时 5.(2023·株洲芦淞区期中)已知2x一1=0，则 x 6.利用等式的基本性质解下列方程： 通素养9999 (1)8+x=-5: 10.已知3b一2a-1=3a-2b,请利用等式的基 本性质比较a与b的大小. 一七鲜级上饰数学的 92 第2课时 用移项和合并同类项法解一元一次方程（答案P20) 通基础 通能力>992999999 知识点1移项 6.关于y的方程ay-2=4与2y-5=-1的解 1.下列变形属于移项的是() 相同，则a的值为() A.由5x+3.x-2y,得3x-2y+5x A.2 B.3 C.4 D.-2 且由5z=9,得x=号 7.如果3ab2m-1与9abm+2是同类项，那么m等 于() C.由2(2x-1)=2,得4x-2=2 A.3 B.1 C.-1 D.0 D.由7x+9=4x-1,得7x-4x=-1-9 8.若代数式2a十1与1十2a的值互为相反数，则 2.解方程2x一4=一3x一1，移项，得 a的值为 9.规定一种运算“￥”：a*b=a一2b,则方程 知识点2用移项和合并同类项法解一元一次 x*2=1￥x的解为x= 方程 10.教材P142随堂练习T门变式◆解方程： 3.一元一次方程x一2=1的解是() ++ A.x=3 B.x=-3 C.x=2 D.x=1 4.当x= 时，代数式3x一2与代数式 6一x的值相等. 5.运算能力解方程： 通素养9999999999997999 (1)5.x-3=2x; 11.运算能力》已知关于x的方程4x+2m= 3x+1和3x+2m=4x十1的解相同. (1)求m的值. (2)求代数式(-2m)-(m一)的值 (2)2x+3=-3x-7. 93 优学案课时通 第3课时 解带括号的一元一次方程（答案P21) 通基础 通能力 知识点解带括号的一元一次方程 7.小虎在解关于x的方程1一x=一2(x一2a) 1.解方程3一4(x一2)=1，去括号正确的 时，误将等号右边的“-2a”看作“+2a”,其他 是() 解题过程均正确，从而解得方程的解为 A.3-4x+2=1 B.3-4x-2=1 x=一5，则原方程正确的解为() C.3-4x-8=1 D.3-4x+8=1 A.x=2B.x=3C.x=4D.x=5 2.方程2(x一1)=x十2的解是( 8.应用意识)某县举行七年级数学知识抢答竞 A.x=1B.x=2C.x=3 D.x=4 赛，甲学校的代表参加比赛，比赛采取双循环 3.以下解方程2(x+1)=1一(x十3)的过程中： 赛制，共比赛22场（胜一场得2分，负一场得 去括号，得2x+1=1一x十3.① 1分)，最终甲学校以总分40分获得第一名，那 移项、合并同类项，得3x=3.② 么甲学校的胜场数为 场 方程两边都除以3，得x=1.③ 9.解方程： 开始出现错误的步骤是 ,正确的答案 (1)4-2(x+4)=2(x-1): 为 4.(2023·汕头金平区期末)若式子9x+6与式 子3(x一1)一9的值相等，则x= 5.运算能力解方程： (2)2x+3(2x-1)=16-(x+1). (1)5.x=3(x-4); (2)5+3x=2(5-x). 通素养》90999990 10.阅读理解)阅读下面的解题过程： 解方程：5x|=2. 解：①当5x≥0时，原方程可化为5x=2,解 得x= ②当5x<0时，原方程可化为 2 6.教材P143例6变式，解方程：（用两种不同方 一5x=2,解得x=一 法解) 5 -3(x+1)=-9. 请同学们仿照上面例题的解法，解方程： 3|x-1|-2=10. 一七鲜级上饰数学的 94 第4课时解含分数系数的一元一次方程（答案21） 通基础> 知识点3解一元一次方程的步骤 知识点1去分母 6.解方程善（停x-30)=7,较简便的方 1.解方程号1一号，去分母时，方程两边都乘 x-1 法是( ) A.先去分母 B.先去括号 的数是( ) A.2 B.3 C.5 D.6 C先两边都除以号 D.无两边都乘号 2.解方程一3-1十=1，其中去分母正确 4 8 7,小玲解方程士2一1的步聚如下。 3 的是() ①去分母，得3(x+1)-2(2-3x)=1: A.2(x-3)-(1+x)=1 ②去括号，得3x+3一4一6x=1: B.2(x-3)-1+x=8 ③移项，得3x一6x=1-3十4： C.2x-3-1-x=8 ④合并同类项，得-3x=2; D.2(x-3)-(1+x)=8 ⑤系数化为1，得x=一 2 知识点2解含分数系数的一元一次方程 3方程1-古3-号的解为水 (1)小玲的解答过程正确吗？答： (填 6 “正确”或“不正确”)，如果不正确，从第 B.r=3 步（填序号）开始出现错误. (2)请你写出这道题正确的解答过程. cx=号 D.x=1 4若式子。与母的值相等，则x的值 5 为 5.运算能力，解方程： （1)2x-1_2x+1 3 4； 8.教材P145随堂练习变式◆解方程： 0.4x+2.1_0.5-0.2x=0.6. 0.5 0.03 (2)3x21-4红+2-1. 2 5 95 优学案课阴通一 通能力● 14.小明解方程2。+1-士时，由于相心大 2 9如果号0十1与20，互为相反数，那么。等 意，在去分母时，方程左边的1没有乘10，由 此求得的解为x=4,试求a的值，并正确求 于() 出方程的解。 A号 B.10 c- D.-10 10.(2023·武汉洪山区期末)如果关于x的方程 。-号与2 6 3 =2m|一x的解相同，那 么m的值是() A.1 B.土1 C.2 D.±2 通素养》99999999 11.规定一种运算“*”：a*b= 11 3a一4b,则方程 15.探究拓展定义：如果两个一元一次方程的 解之和为1，我们就称这两个方程互为“阳光 x￥2=1x的解为 方程”.例如：2x=2的解为x=1,x十1=1的 12.运算能力》解方程： 解为x=0,所以这两个方程互为“阳光方 10x-x1=2-+2 2 5； 程” (1)若关于x的一元一次方程x十2m=0与 3x一2=一x是“阳光方程”，则m= (2)已知两个一元一次方程互为“阳光方程”， 且这两个“阳光方程”的解的差为5.若其中一 个方程的解为x=k,求k的值 （2)-9x+2=（红-1D-,2 113 2 (3)①已知关于x的一元一次方程2023十 a=2023x的解是x=2024,请写出解是y= (+ 2023的关于y的一次方程：2023 2023( )=一a(只需要补充含有y的代 13.推理能力》当m取何整数时，关于x的方程 数式)； 一号号-的解是正整数 1 ②若关于x的一元一次方程2025x一1=0 1 和2025x-5=2.x十a互为“阳光方程”，则关 于y的一元一次方程2025-9-a=2y 2 2025的解为 一七鲜级上饰数学的 96